Dap án Thi Olimpic toan11 cụm Gia Lâm 2011

TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 11
Năm học 2010-2011
Câu1(4.0 đ).
1(2.0 đ). ĐK
sin xcosx 0.>
Khi đó pt trở thành

sinx cosx 2 sin xcosx+ =
. (1) 0,5 đ
ĐK
sinx cosx 0+ ≥
dẫn tới

sinx 0;cosx 0.> >
0,5 đ
Khi đó

(1) sin 2x 1 x k .
4
π
⇔ = ⇔ = + π
0.5 đ
KL nghiệm

x 2m .
4
π
= + π
0,5 đ

2(2.0 đ).ĐK
sin 3x 0.
4
π
 
+ ≥
 ÷
 
(1) 0.5 đ
Khi đó phương trình đã cho tương đương với pt:

1
sin 2x
2
=


x k ;
12
π
⇔ = + π

5
x k
12
π
= + π
0,5 đ
Trong khoảng
( )

;−π π
ta nhận các giá trị

x
12
π
=
;
11
x ;
12
π
= −

5
x
12
π
=
;
7
x .
12
π
= −
0.5 đ
Kết hợp với đk (1) ta nhận được hai giá trị thỏa mãn là:


x

12
π
=
;
7
x .
12
π
= −
0.5 đ
Câu II(4.0 đ)
1(2,0 đ).
TH1: Trong 3 số chẵn đó có mặt số 0.
Số các số tìm được là
2 3
4 5
5.C .C .5! 36000=
số. 1,0 đ
TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0.
Số các số tìm được là
3 3
4 5
C .C .6! 28800=
số 0.5 đ
Đ/ số
36000 28800 64800.+ =
0.5 đ
2(2.0 đ)
Dễ thấy
( ) ( ) ( )

5 2011 2016
1 x 1 x 1 x+ + = +
; và

( )
5
0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5
M 1 x C C x C x C x C x C x= + = + + + + +
1

( )
2011
0 1 1 k k 2011 2011
2011 2011 2011 2011
N 1 x C C x C x C x .= + = + + + + +
0.5 đ

( )
2016
0 1 k k 2016 2016
2016 2016 2016 2016
P 1 x C C x C x C x .= + = + + + + +
0.5 đ
Ta có hệ số của
k
x
trong P là
k
2016

C
.
Vì
P M.N=
, mà số hạng chứa
k
x
trong M.N là 0.5 đ
0 k k 1 k 1 k 1 2 2 k 2 k 2 3 3 k 3 k 3 4 4 k 4 k 4 5 5 k 5 k 5
5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011
C .C x C xC x C x C x C x C x C x C x C x C x
− − − − − − − − − −
+ + + + +

nên
0 k 1 k 1 5 k 5 k
5 2011 5 2011 5 2011 2016
C .C C .C C .C C
− −
+ + + =
0.5 đ
Câu III(4.0 điểm)
1(2.0 đ)
a. Chứng minh bằng quy nạp toán học. 1.0 đ
b. Nhận xét
n 1
0 , n 1
2 4
+
π π

< ≤ ∀ ≥
và hàm số tanx đồng biến trên
0;
4
π
 
 ÷
 
0.5 đ
nên dãy số
( )
n
u
giảm và bị chặn dưới bởi số
tan0 0=
và bị chặn trên bởi số
tan 1.
4
π
=
0.5 đ
2(2.0 đ)
Gọi q là công bội của cấp số nhân
2 3
2 1 3 1 4 1
x x q;x x q ;x x q .⇒ = = =
0.5 đ
Theo định lý Viet, ta có hệ sau :

( )

( )
1
1 2
1 2
1 2
2
3 4
1
3 4
3 4
x 1 q 3
x x 3
x x a
x x a
x x 12
x q 1 q 12
x x b
x x b
+ =
+ =



=
=
 
⇔
 
+ =
+ =

 
 
=
=


0.5 đ
Giải hpt, ta được :

)q 2;a 2;b 32.+ = = =
0.5 đ

)q 2;a 18;b 288.+ = − = − = −
0.5 đ
Câu IV(4,0 điểm)
1(2.0 đ). Đặt
n
y 1 ax,= +
khi đó từ
x 0 y 1.→ ⇒ →
0.5 đ
Vậy
( )
( )
n
n
n 1 n 2
x 0 y 1
y 1
1 ax y 1 y 1 a

Lim aLim aLim .
x y 1 n
y 1 y y y
− −
→ →
→
+ − −
= = = =
−
− + + + +

1.5 đ
2(2.0 đ)
+) Hàm số liên tục trên các khoảng
( ) ( ) ( )
;2 ; 2;5 ; 5; .−∞ +∞
0.5 đ
+) Hàm số liên tục tại
x 2
=
. 0.5 đ
+) Hàm số liên tục tại
x 5=
khi và chỉ khi
a 3.=
0.5 đ
+) KL
a 3=
. 0.5 đ
Câu V(4.0 điểm)

1(2.0 đ)
+) Chứng minh được MNPQ là hình bình hành 0.5 đ
2
+) MNPQ là hình vuông
=

⇔

=

MN NP
MP NQ

⇔
M là trung điểm của AB và a = c. 1.0 đ
+) Lúc đó S
MNPQ
=
2
1
4
b
. 0.5 đ
2(2.0 điểm)
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
+ + + = + + +
= + + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + +

≥ +
uuur uuur uuur uuuur
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur uuur uuur uuur
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
4 2 ( )
4
MA MB MC MD MA MB M C MD
MG GA MG GB MG GC MG GD
MG MG GA GB GC GD GA GB GC GD
MG GA GB GC GD
GA GB + +
2 2
GC GD
1.0 đ
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M
≡
G. 0.5 đ
Vậy:
+ + +
2 2 2 2
MA MB MC MD
đạt giá trị nhỏ nhất khi M là trọng tâm của tứ diện. 0.5 đ
3