Tự chọn 23-24 Ôn tập

Trường THPT Phúc Trạch GA Tự chọn 12
LUYỆN TẬP
Tiết PPCT
23
Ngày soạn
20/3/2011
I. MỤC TIÊU:
Ôn tập một số kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thông qua một số bài tập.
II. TIẾN HÀNH;
Bài cũ: nhắc lại các bước tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một ĐOẠN,
một KHOẢNG.
III. BÀI TẬP:
Bài tập 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
( )
3 2
2 3 12 10f x x x x= − − +
trên đoạn
3;3−
 
 
Giải:
Ta có f(x) liên tục trên đoạn
3;3−
 
 
,
( )
2
' 6 6 12f x x x= − −

( )

1
' 0
2
x
f x
x
= −

= ⇔

=

Tính
( ) ( ) ( ) ( )
3 35; 3 1; 1 17; 2 10f f f f− = − = − = = −
.
Từ đó
[ ]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
3;3
3;3
max 1 17;min 3 35.f x f f x f
−
−
= − = = − = −
Bài tập 2. Tìm GILN, GINN của hàm số
1
sin

y
x
=
trên đoạn
5
;
3 6
π π
 
 
 
;
Giải:
Ta có hàm f(x) liên tục trên đoạn
5
;
3 6
π π
 
 
 
;
( )
2
cos
'
sin
x
f x
x

= −
;
( )
5
' 0 cos 0 ;
2 3 6
f x x x
π π π
 
= ⇔ = ⇔ = ∈
 
 
Tính
2 5
; 2; 1
3 6 2
3
f f f
π π π
     
= = =
 ÷  ÷  ÷
     
Từ đó,
( ) ( )
5
5
;
;
3 6

3 6
5
max 2; min 1
6 2
f x f f x f
π π
π π
π π
 
 
 
 
 
 
   
= = = =
 ÷  ÷
   
Bài tập 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số
2
4
x
y
x
=
+
trên khoảng
( )
;−∞ +∞
Giải:

Hàm số
2
4
x
y
x
=
+
liên tục trên khoảng
( )
;−∞ +∞
;
( )
2
2
2
4
'
4
x
y
x
−
=
+
;
2
' 0
2
x

y
x
= −

= ⇔

=

Bảng biến thiên (sơ lược)
Tính các giá trị
( ) ( ) ( )
1 1
2 ; 2 ; lim 0
4 4
x
f f f x
→±∞
− = − = =
GV: Đặng Minh Trường Trang 1
Trường THPT Phúc Trạch GA Tự chọn 12
Từ bảng biến thiên ta có
( ) ( )
1 1
max 2 ; min 2
4 4
y f y f= = = − = −
¡
¡
Bài tập 4. Trong các hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy tìm hình trụ có thể tích lớn
nhất.

Giải:
Kí hiệu chiều cao, bán kính đáy và thể tích của hình trụ nội tiếp hình cầu lần lượt là h, r và V.
Khi đó,
2
V r h
π
=
.
Vì
2
2 2
4
h
r R= −
nên
2 3
2 2
4 4
h h
V R h R h
π π
   
= − = −
 ÷  ÷
   
.
Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
( )
3
2

4
h
V h R h
π
 
= −
 ÷
 
,
( )
0;2h R∈
.
Ta có
( )
2
2
3
' ;
4
h
V h R
π
 
= −
 ÷
 

( ) ( )
2
' 0 0;2

3
R
V h h R= ⇔ = ∈
Bảng biến thiên:
( )
3
0;2
2 4
max
3 3 3
R
R R
V V
π
 
= =
 ÷
 
Vậy hình trụ nội tiếp hình cầu bán kính R có thể tích lớn nhất khi chiều cao của nó bằng
2
3
R
.
Khi đó thể tích hình trụ là
3
4
3 3
R
π
GV: Đặng Minh Trường Trang 2

x
y’
y
− ∞
-2 2
+ ∞
-0+
0
-
1
4
−
1
4
0
0
y’
y
0
x
0
2
3
R
2R
-
+
0
3
4

3 3
R
π
0
Trường THPT Phúc Trạch GA Tự chọn 12
LUYỆN TẬP
Tiết PPCT
24
Ngày soạn
27/3/2011
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG I
B1: Đặt
( )
x u t=
B2: Lấy vi phân hai vế ở B1
B3: Biến đổi
( ) ( )
( )
( ) ( )
'f x dx f u x u t dt g t dt= =
B4: Đổi cận :
( ) ( )
,a u b u
α β
= =
B5: Tính
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx g t dt G t

β
β
α
α
= =
∫ ∫
Bài tập:
1
2
2
0
1 x dx−
∫
;
1
2
0
1
dx
x+
∫
;
2
2
1
4 x dx
−
−
∫
;

2
2
2
2
0
1
x
dx
x−
∫
;
( )
1
3
2
0
1 x dx−
∫
;
( )
2
2
2
3
0
2
1
x dx
x−
∫

2
2 2
0
4x x dx−
∫
;
3
2
1
2
2
1
dx
x x−
∫
;
2
1
2
0
4
x dx
x−
∫
;
3
2
0
3

dx
x +
∫
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN DẠNG II
B1: Đặt
( ) ( )
't u x dt u x dx= ⇒ =
B2: Đổi cận
( ) ( )
;u a u b
α β
= =
B3: Biến đổi
( ) ( )
( )
( ) ( )
'f x dx g u x u x dx g t dt= =
B4: Tính
( ) ( )
b
a
f x dx g t dt
β
α
=
∫ ∫

3
0
sin cosx xdx

π
∫
;
3
2
0
sin xdx
π
∫
;
3
2
0
cos xdx
π
∫
;
2
0
sin
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
;
2
4

0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
π
−
+
∫

1
3 2
0
1x x dx−
∫
;
1
5 3
0
1x x dx−
∫
;
3
7
2
0
1
x dx
x+

∫
;
2 3
2
5
4
dx
x x +
∫
;
3
1
2
0
1
x dx
x +
∫

( )
ln3
3
0
1
x
x
e dx
e +
∫
;

( )
1
6
5 3
0
1x x dx−
∫
;
1
0
2 1
xdx
x +
∫
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Ta có
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
B1: Biến đổi
( ) ( ) ( )
1 2
b b
a a
I f x dx f x f x dx= =
∫ ∫
B2: Đặt

( )
( )
( )
( )
1
1
2
2
du df x
u f x
dv f x dx
v f x dx
 =
=
 
⇒
 
=
=




∫
B3: Tính
b
b
a
a
I uv vdu= −

∫
*) Chú ý: Phải thực hiện theo nguyên tắc sau:
- Chọn phép đặt
dv
sao cho dễ xác đònh được
v
.
GV: Đặng Minh Trường Trang 3
Trường THPT Phúc Trạch GA Tự chọn 12
-
b
a
vdu
∫
phải được tính dễ hơn
b
a
I udv=
∫
*) Các dạng cơ bản: Kí hiệu
( )
P x
là đa thức
Dạng 1:
( )
sinP x xdx
∫
,
( )
,

x
P x e dx
∫

( )
,
x
P x a dx
∫
nên đặt
( )
u P x=
Dạng 2:
( )
ln ,P x xdx
∫

( )
log ,
a
P x xdx
∫
Nên đặt
lnu x
=
,
log
a
u x=
Dạng 3:

sin
x
a xdx
∫
,
cos
x
a xdx
∫
thì phải sử dụng tích phân từng phần 2 lần.
Chú ý :Nếu
( )
P x
hoặc
log
a
x
có bậc cao thì ta có thể phải dùng tích phân từng phần nhiều
lần liên tiếp để tính.
Bài tập: Tính các tích phân sau:

( )
2
0
1 sinI x x
π
= +
∫
;
( )

2
4
0
2cos 1I x x
π
= −
∫
;
( )
1
2
0
1
x
I x e dx= −
∫
;
2
2
1
ln x
I dx
x
=
∫

( )
3
2
2

lnI x x dx= −
∫
;
3
4
0
sin 4
x
I e xdx
π
=
∫
;
( )
1
2
0
2
x
I x x e dx
−
= +
∫
;
( )
1
2 2
0
4 2 1
x

I x x e dx= − −
∫

2
0
sinI x xdx
π
=
∫
;
2 2
1
ln
e
I x xdx=
∫
.

GV: Đặng Minh Trường Trang 4