CÁC BÀI TẬP CHỌN LỌC ÔN TẬP TOÁN 9

Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
Chuyên đề I: Căn thức bậc hai
B ài 1 :
1) Đơn giản biểu thức : P =
14 6 5 14 6 5+ +
.
2) Cho biểu thức : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x

+ +

ữ
ữ

+ +


a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm x để
Q
> - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

1. Biểu thức rút gọn : Q =
1

2

x
.
b)
Q
> - Q

x > 1.
c) x =
{ }
3;2
thì Q

Z
B ài 2 : Cho biểu thức P =
1 x
x 1 x x
+
+
a) Rút gọn biểu thức sau P.
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x =
1
2
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x

1. Biểu thức rút gọn : P =
x

x

+
1
1
.
b) Với x =
1
2
thì P = - 3 2
2
.
B ài 3 : Cho biểu thức : A =
1
1
1
1
+



+
x
x
x
xx
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
4
1

c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để
A
= A.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x

0, x

1. Biểu thức rút gọn : A =
1

x
x
.
b) Với x =
4
1
thì A = - 1.
c) Với 0

x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì
A
= A.

B ài 4 : Cho biểu thức : A =
1 1 3
1
a 3 a 3 a

+
ữ ữ
+


Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
1
Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A >
2
1
.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a

9. Biểu thức rút gọn : A =
3
2
+
a
.
b) Với 0 < a < 1 thì biểu thức A >
2
1
.
B ài 5 : Cho biểu thức: A =
2
2

x 1 x 1 x 4x 1 x 2003
.
x 1 x 1 x 1 x

+ +
+
ữ
+

.
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x

Z ? để A

Z ?
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0 ; x

1.
b) Biểu thức rút gọn : A =
x
x 2003
+
với x 0 ; x

1.
c) x = - 2003 ; 2003 thì A

Z .
B ài 6 : Cho biểu thức: A =
( )
2 x 2 x 1
x x 1 x x 1
:
x 1
x x x x
+

+

ữ
ữ

+

.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
1

+
x
x
.

b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x =
{ }
9;4
thì A

Z.
B ài 7 : Cho biểu thức: A =
x 2 x 1 x 1
:
2
x x 1 x x 1 1 x

+
+ +
ữ
ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : A =
1
2
++
xx
b) Ta xét hai trờng hợp :
+) A > 0

1
2
++
xx
> 0 luôn đúng với x > 0 ; x 1 (1)
+) A < 2


1
2
++
xx
< 2

2(
1
++
xx
) > 2


xx
+
> 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0 < A < 2(đpcm).
B ài 8 : Cho biểu thức: P =
a 3 a 1 4 a 4
4 a
a 2 a 2

+
+

+
(a

0; a

4)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
2
Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a

0, a

4. Biểu thức rút gọn : P =
2
4

a
b) Ta thấy a = 9

ĐKXĐ . Suy ra P = 4
B ài 9 : Cho biểu thức: N =
a a a a
1 1

a 1 a 1

+
+
ữ ữ
ữ ữ
+


1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004.
H ớng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a

1. Biểu thức rút gọn : N = 1 a .
b) Ta thấy a = - 2004

ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
B ài 10 : Cho biểu thức
3x
3x
1x
x2
3x2x
19x26xx
P
+

+

+
+
=
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P khi
347x
=

c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
H ớng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x 0, x

1. Biểu thức rút gọn :
3x
16x
P
+
+
=

b) Ta thấy
347x
=


ĐKXĐ . Suy ra
22
33103
P

+
=

c) P
min
=4 khi x=4.
B ài 11 : Cho biểu thức




















+

+

+
+
=
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
P
a. Rút gọn P. b. Tìm x để
2
1
P
<
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
H ớng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x 0, x

9. Biểu thức rút gọn :

3x
3
P
+

=

b. Với
9x0
<
thì
2
1
P
<

c. P
min
= -1 khi x = 0
Bài 12: Cho A=
1 1 1
4 .
1 1
a a
a a
a a a

+

+ +

ữ
ữ
ữ
+


với x>0 ,x

1
a. Rút gọn A
b. Tính A với a =
( ) ( )
(
)
4 15 . 10 6 . 4 15+
( KQ : A= 4a )
Bài 13: Cho A=
3 9 3 2
1 :
9
6 2 3
x x x x x
x
x x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

với x 0 , x

9, x

4 .
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
3
Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
a. Rút gọn A.
b. x= ? Thì A < 1.
c. Tìm
x Z

để
A Z
(KQ : A=
3
2x
)
Bài 14: Cho A =
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
x x x x
+
+
+ +
với x 0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A.
c. Tìm x để A =
1
2
d. CMR : A
2
3

. (KQ: A =
2 5
3
x
x

+
)
Bài 15: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
+ +
+ +
+ +
với x 0 , x

1.

a . Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A . ( KQ : A =
1
x
x x+ +
)
Bài 16: Cho A =
1 3 2
1 1 1x x x x x
+
+ + +
với x

0 , x

1.
a . Rút gọn A.
b. CMR : 0 1A ( KQ : A =
1
x
x x +
)
Bài 17: Cho A =
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x
x
x x x x

+
+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z

để
A Z
( KQ : A =
5
3x +
)
Bài 18: Cho A =
2 9 3 2 1
5 6 2 3
a a a
a a a a
+ +

+
với a

0 , a

9 , a

4.
a. Rút gọn A.
b. Tìm a để A < 1
c. Tìm a Z để
A Z
( KQ : A =
1
3
a
a
+

)
Bài 19: Cho A=
7 1 2 2 2
:
4 4
2 2 2
x x x x x
x x
x x x

+ +
+
ữ ữ
ữ ữ

+

với x > 0 , x

4.
a. Rút gọn A.
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
4
Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
b. So sánh A với
1
A
( KQ : A =
9
6
x
x
+
)
Bài20: Cho A =
( )
2
3 3
:
x y xy
x y
x y
y x
x y x y

+

ữ
+
ữ

+

với x

0 , y

0,
x y
a. Rút gọn A.
b. CMR : A

0 ( KQ : A =
xy
x xy y +
)
Bài 21 : Cho A =
1 1 1 1 1
.
1 1
x x x x x x
x
x x x x x x x

+ +

+ +
ữ
ữ
ữ
+ +


Với x > 0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A =
( )
2 1x x
x
+ +
)
Bài 22 : Cho A =
( )
4 3 2
:
2 2
2
x x x
x x x
x x


+

ữ
+
ữ
ữ
ữ




với x > 0 , x

4.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5
(KQ: A =
1 x
)
Bài 23 : Cho A=
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 2x x x x x

+ +
ữ ữ
+ +

với x > 0 , x

1.

a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5
(KQ: A =
3
2 x
)
Bài 24 : Cho A=
3
2 1 1 4
: 1
1 1
1
x x
x x x
x

+ +


ữ
ữ
ữ
+ +



với x

0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z

để
A Z
(KQ: A =
3
x
x
)
Bài 25: Cho A=
1 2 2 1 2
:
1
1 1 1
x
x
x x x x x x




ữ
ữ
ữ

+ +

với x 0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z

để
A Z

c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A =
1
1
x
x

+
)
Bài 26 : Cho A =
2 3 3 2 2
: 1
9
3 3 3
x x x x
x
x x x

+

+
ữ ữ
ữ ữ

+

với x 0 , x

9
. a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A < -
1
2
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
5
Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
( KQ : A =
3
3a

+
)
Bài 27 : Cho A =
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
x x x x x
x x
x x x

+

ữ ữ
ữ ữ

+

với x

0 , x

1.
a. Rút gọn A
b. Tính A với x =
6 2 5
(KQ: A =
4
4
x
x +
)
c . CMR : A
1
Bài 28 : Cho A =
1 1 1
:
1 2 1
x
x x x x x

+

+
ữ
+

với x > 0 , x

1.
a. Rút gọn A (KQ: A =
1x
x

)
b.So sánh A với 1
Bài 29 : Cho A =
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
x
x x x


+
ữ ữ
ữ ữ

+ +

Với
1
0,
9
x x
a. Rút gọn A.
b. Tìm x để A =
6
5
c. Tìm x để A < 1.
( KQ : A =
3 1
x x
x
+

)
Bài30 : Cho A =
2
2 2 2 1
.
1 2
2 1
x x x x
x
x x

+ +

ữ
ữ

+ +

với x 0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. CMR nếu 0 < x < 1 thì A > 0
c. Tính A khi x =3+2
2
d. Tìm GTLN của A (KQ: A =
(1 )x x
)
Bài 31 : Cho A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x

+
+ +
ữ
ữ
+ +

với x 0 , x

1.

a. Rút gọn A.
b. CMR nếu x 0 , x

1 thì A > 0 , (KQ: A =
2
1x x+ +
)
Bài 32 : Cho A =
4 1 2
1 :
1 1
1
x x
x x
x


+
ữ

+

với x > 0 , x

1, x

4.

a. Rút gọn
b. Tìm x để A =
1
2
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
6
Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
Bài 33 : Cho A =
1 2 3 3 2
:
1 1
1 1
x x x x
x x
x x

+ +

+
ữ
ữ
ữ

+


với x

0 , x

1.
a. Rút gọn A.
b. Tính A khi x= 0,36
c. Tìm
x Z

để
A Z

Bài 34 : Cho A=
3 2 2
1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x

+ + +
+ +
ữ ữ
ữ ữ
+ +

với x 0 , x

9 , x

4.
a. Rút gọn A.
b. Tìm
x Z

để
A Z

c. Tìm x để A < 0 (KQ: A =
2
1
x
x

+
)
Chuyên đề II: hàm số bậc nhất
B ài 1 :
1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành.
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
7
Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt :



+=
+=
ba
ba
4

2



=
=

1
3
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = 3x 1
2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ
bằng
3
1
.
B ài 2 : Cho hàm số y = (m 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x 1 đồng quy.
H ớng dẫn :
1) Hàm số y = (m 2)x + m + 3

m 2 < 0

m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0
Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m 2)x + m + 3, ta đợc m =
4

3
.
3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x 1 là nghiệm của hệ pt :



=
+=
12
2
xy
xy

(x;y) = (1;1).
Để 3 đồ thị y = (m 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x 1 đồng quy cần :
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1)

m =
2
1

B ài 3 : Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
H ớng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m 1 = - 2

m = -1.

Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m 1)x + m + 3. Ta đợc : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0

;y
0
). Ta có
y
0
= (m 1)x
0
+ m + 3

(x
0
1)m - x
0
- y
0
+ 3 = 0





=
=
2

1
0
0
y
x
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).
B ài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng
AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
8
Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
H ớng dẫn :
1) Gọi pt đờng thẳng AB có dạng : y = ax + b.
Do đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt :



+=
+=
ba
ba
21
1

=
=

3
2
b
a
Vậy pt đờng thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
2) Để đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua
điểm C(0 ; 2) ta cần :





=+
=
222
23
2
2
mm
mm

m = 2.
Vậy m = 2 thì đờng thẳng y = (m
2
3m)x + m
2
2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng
thời đi qua điểm C(0 ; 2)
B ài 5 : Cho hàm số y = (2m 1)x + m 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định
ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x =
2 1
.
H ớng dẫn :
1) m = 2.
2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x
0

;y
0
). Ta có
y
0
= (2m 1)x
0
+ m - 3

(2x
0

+ 1)m - x
0
- y
0
- 3 = 0










=

=
2
5
2
1
0
0
y
x
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (
2
5
;

2
1

).
Baứi 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau :
y =
6 x
4

; y =
4x 5
3

và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
B ài 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1;
3) và B(-3; -1).
B ài 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).
Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :
1) Đi qua điểm A(1; 2003).
2) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
9
Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
Chuyên đề III:
Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn .
A. kiến thức cần nhớ :
1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0.
Ph ơng pháp giải :
+ Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x =

b
a

.
+ Nếu a = 0 và b 0

phơng trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0

phơng trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn :



=+
=+
c'y b' x a'
c by ax
Ph ơng pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình
thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phơng pháp cộng đại số :
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối
nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
B. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :
a)

2
2 x
x

1 -x
x
=
+
+
ĐS : ĐKXĐ : x 1 ; x - 2. S =
{ }
4
.
b)
1 x x
1 - 2x
3
3
++
= 2
Giải : ĐKXĐ :
1 x x
3
++
0. (*)
Khi đó :
1 x x
1 - 2x
3
3

++
= 2

2x = - 3

x =
2
3

Với

x =
2
3

thay vào (* ) ta có (
2
3

)
3
+
2
3

+ 1 0
Vậy x =
2
3

là nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m :
(m 2)x + m
2
4 = 0 (1)
+ Nếu m

2 thì (1)

x = - (m + 2).
+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm.
Ví dụ 3 : Tìm m

Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên .
(2m 3)x + 2m
2
+ m - 2 = 0.
Giải :
Ta có : với m

Z thì 2m 3

0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) -
3 - m2
4
.
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
10
Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
để pt có nghiệm nguyên thì 4

2m 3 .
Giải ra ta đợc m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y = 23.
Giải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23

y =
4
7x - 23
= 6 2x +
4
1 x

Vì y

Z

x 1

4.
Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4
bài tập phần hệ pt
B ài 1 : Giải hệ phơng trình:
a)
2x 3y 5
3x 4y 2
=

+ =

b)
x 4y 6
4x 3y 5
+ =


=

c)
2x y 3
5 y 4x
=


+ =

d)
x y 1
x y 5
=


+ =

e)
2x 4 0
4x 2y 3
+ =

+ =

f)
2 5
2
x x y
3 1
1,7
x x y

+ =

+



+ =

+


B ài 2 : Cho hệ phơng trình :
mx y 2
x my 1
=


+ =

1) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
B ài 3 : Cho hệ phơng trình:
x 2y 3 m
2x y 3(m 2)
=


+ = +

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x
2
+ y
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
B ài 4 : Cho hệ phơng trình:
(a 1)x y a
x (a 1)y 2
+ =


+ =

có nghiệm duy nhất là (x; y).
1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.
2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x
2

17y = 5.
3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
2x 5y
x y

+
nhận giá trị nguyên.
B ài 5 : Cho hệ phơng trình:
x ay 1
(1)
ax y 2
+ =


+ =

1) Giải hệ (1) khi a = 2.
2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
11
Trêng THCS quang Phơc – tiªn l·ng - h¶I phßng
B µi 6 : X¸c ®Þnh c¸c hƯ sè m vµ n, biÕt r»ng hƯ ph¬ng tr×nh
mx y n
nx my 1
− =


+ =


cã nghiƯm lµ
( )
1; 3−
.
B µi 7 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh
( )
a 1 x y 4
ax y 2a

+ + =


+ =


(a lµ tham sè).
1) Gi¶i hƯ khi a = 1.
2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y ≥ 2.
B µi 8 (trang 22): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :



=+
=+
1 - m 4y 2)x - (m
0 3)y (m -x
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Gi¶i vµ biƯn ln pt theo m.
B µi 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :




+=−
=
1 m 4y mx
0 y m -x
(m lµ tham sè).
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Tìm giá trò nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác đònh mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0.
B µi 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ
thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km.
Tính vận tốc của mỗi xe.
HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h.
B µi 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự đònh đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc
35 km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ
trưa. Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A.
Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.
B µi 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau
5
4
4
giờ thì đầy bể.
Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau
5
6
giờ nữa mới nay bể . Nếu
một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể.
Đáp số : 8 giờ.

B µi 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t
0
C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi
phải dùng bao nhiêu lít 100
0
C và bao nhiêu lít 20
0
C để được hỗn hợp 10 lít 40
0
C.
Hường dãn :
Ta có hệ pt :



=+
=+
400 20y 100x
10 y x

⇔




=
=
7,5 y
2,5 x
Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 20

0
C.
C¸c bµi tËp chän läc - «n tËp to¸n 9 n¨m häc 2009 - 2010–
12
Trêng THCS quang Phơc – tiªn l·ng - h¶I phßng
B µi 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50%. Lại thêm
300g nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung
dòch ban đầu.
Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu.
Theo bài ra ta có hệ pt :







=
+
+
=
+
+
%40%100.
500 y
200) (
%50%100.
200 y
200) (
x

x

⇔




=
=
1000 y
400x

Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40%.
Chuyªn ®Ị iV: Ph¬ng tr×nh bËc hai
®Þnh lý viet vµ øng dơng
A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax
2
+ bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ
thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp
a)Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào
(1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy
nhất
- hoặc vơ nghiệm
- hoặc vơ số nghiệm
b)Nếu a
≠
0
Lập biệt số
∆

= b
2
– 4ac hoặc
∆
/
= b
/2
– ac
*
∆
< 0 (
∆
/
< 0 ) thì phương trình (1) vơ nghiệm
*
∆
= 0 (
∆
/
= 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x
1,2
= -
a
b
2
(hoặc x
1,2
= -
a
b

/
)
*
∆
> 0 (
∆
/
> 0 ) : phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
=
a
b
2
∆−−
; x
2
=
a
b
2
∆+−
(hoặc x
1
=
a
b
//
∆−−
; x

2
=
a
b
//
∆+−
)
2. Định lý Viét.
Nếu x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) thì
S = x
1
+ x
2
= -
a
b
p = x
1
x
2
=
a

c
Đảo l¹i: Nếu có hai số x
1
,x
2
mà x
1
+ x
2
= S và x
1
x
2
= p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã )
cđa ph¬ng tr×nh bËc 2:
x
2
– S x + p = 0
3. DÊu cđa nghiƯm sè cđa ph¬ng tr×nh bËc hai.
C¸c bµi tËp chän läc - «n tËp to¸n 9 n¨m häc 2009 - 2010–
13
Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
Cho phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a

0) . Gọi x
1
,x
2

là các nghiệm của phơng trình .Ta
có các kết quả sau:
x
1
và x
2
trái dấu( x
1
< 0 < x
2
)

p < 0
Hai nghiệm cùng dơng( x
1
> 0 và x
2
> 0 )






>
>

0
0
0

S
p
Hai nghiệm cùng âm (x
1
< 0 và x
2
< 0)







<
>

0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x
2
> x
1
= 0)

>
=
>
0
0
0
S
p
Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x
1
< x
2
= 0)






<
=
>
0
0
0
S
p

4. Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a

0)
Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
=
a
c
Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
= -1 , x
2
= -
a
c
Nếu x
1
+ x
2
= m +n , x
1
x
2
= mn và

0

thì phơng trình có nghiệm
x
1
= m , x
2
= n hoặc x
1
= n , x
2
= m
b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x
1
,x
2
của nó
Cách làm : - Lập tổng S = x
1
+ x
2

- Lập tích p = x
1
x
2
- Phơng trình cần tìm là : x
2
S x + p = 0
c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x

1
, x
2
thoả mãn điều kiện cho
trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):
*) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p
*) (x
1
x
2
)
2

= (x
1
+ x
2
)
2
4x
1
x
2
= S
2
4p
*) x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x

1
+ x
2
) = S
3
3Sp
*) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
2x
1
2
x
2
2
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
14
Trờng THCS quang Phục tiên lãng - hảI phòng
*)

21
21
21
11
xx
xx
xx
+
=+
=
p
S
*)
21
2
2
2
1
1
2
2
1
xx
xx
x
x
x
x
+
=+

=
p
pS 2
2

*) (x
1
a)( x
2
a) = x
1
x
2
a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p aS + a
2
*)
2
21
21
21
2
))((
2
11

aaSp
aS
axax
axx
axax
+

=

+
=

+

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện
0

)
d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x
1
cho trớc .Tìm
nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x
1
cho trớc có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

0

(hoặc
0
/

) (*)
- Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
0

(hoặc
0
/

) mà ta thay luôn
x = x
1
vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này
có

< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x
1
cho trớc.

Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2
trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm
thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc
nghiệm thứ 2
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x
2
2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có
/

= (m + 1)
2
2m + 10 = m
2
9
+ Nếu
/

> 0

m
2
9 > 0

m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân

biệt:
x
1

= m + 1 -
9
2

m
x
2
= m + 1 +
9
2

m
+ Nếu
/

= 0

m =

3
- Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= 4
- Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x
1.2
= -2

+ Nếu
/

< 0

-3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Kết kuận:
Các bài tập chọn lọc - ôn tập toán 9 năm học 2009 - 2010
15