Đề thi và đáp án học sinh giỏi lớp 6-7-8 huyện Tĩnh Gia - Thanh Hóa

Tích luỹ chuyên môn
Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh
Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008
Môn : Toán học Lớp 6
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu I(2 điểm) :
1- Tính nhanh: A =
15
7
9
4
11
2
15
8
9
5
+

+

++

2- So sánh 2 phân số :
20082008
20072007
và
082008200820

072007200720
3- Rút gọn phân số A=
18071.530
5352.71

+
mà không cần thực hiện phép tính ở tử
Câu II( 3 điểm)
1-Tìm x ,y Z :
a-
3
4
3
4
=


y
x
với x y =5
b- (x + 1 ) .( 3y 2 ) = -55
2- Cho A=
4
53
+

n
n

Tìm nZ để A có giá trị nguyên

Câu III( 3,0 điểm)
Trên cùng nửa mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo
xOy=70
0
và số đo yOz = 30
0
a. Xác định số đo của xOz
b. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB
lớn hơn độ dài OA ) Gọi M là trung điểm của OA . Hãy so sánh độ dài MB
với trung bình cộng độ dài OB và AB.
Câu IV ( 2,0 điểm )
Tìm 2 số tự nhiên a và b biết tổng BCNN với CLN của chúng là 15
Hớng dẫn chấm đề thi HSG lớp 6 năm học 2007 2008
Câu Nội dung yêu cầu Điểm
1-I
0.5đ
Tính nhanh A=
15
7
9
4
11
2
15
8
9
5
+

+

++

=
15
7
15
8
11
2
9
4
9
5
++

+

+

=-1 +
1
11
2
+

A=
11
2
0,25

0,25
2-I
0.5đ
So sánh 2 phân số
20082008
20072007
và
082008200820
072007200720
Ta có P/S :
20082008
20072007
=
2008
2007
10001
10001
.
2008
2007
=
P/s :
082008200820
072007200720
=
2008
2007
100010001
100010001
.

2008
2007
=
Vậy 2 phân số trên bằng nhau
0,25
0,25
3-I
1.0đ
Rút gọn A=
18071.530
5352.71

+
không biến đổi tử số
=
)1871.53.(10
5352.71

+
0,25
0,25
Giáo viên : Mai Huy Dũng 1
Tích luỹ chuyên môn
=
]1871).152.[(10
5352.71
+
+
=
]187152.71.[10

5352.71
+
+
=
]5352.71.[10
5352.71
+
+
=
10
1
0,25
0,25
1-II
a-1-II
0,75đ
b-1-II
1,5đ
Tìm x
Điều kiện y 3 ta có : 3x 12 = 4y-12 3x=4y
Từ x-y=5 x=5+y
Ta có : 3y+15 = 4y y=15
x=5+15 = 20
Vậy x=20 ; y=15
(x + 1 ) .( 3y 2 ) = -55
(x + 1 ) .( 3y 2 ) = (-11).5 =(-5).(11)
*Nếu : (x + 1 ) .( 3y 2 ) = (-11).5
Ta có

=
=




=
=+
3
7
12
523
111
y
x
y
x
(Loại)
Hoặc



=
=

=
=+
3
4
1123
51
y
x
y
x
* Nếu : (x + 1 ) .( 3y 2 ) = (-5)(11)
Ta có :





=
=




=
=+
3
13
6
1123

51
y
x
y
x
(Loại )
Hoặc



=
=



=
=+
1
10
523
111
y
x
y
x
Vậy (x=4 , y=-3) hoặc ( x=-6 , y=-1)
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2-II
1.0 đ
Tìm nZ để A=
4
53
+

n
n
có giá trị nguyên
A=
4
53
+

n
n
= 3 +
4
17
+

n

để A có giá trị nguyên khi

4
17
+

n
có giá trị nguyên . Vậy để
4
17
+

n
có giá trị
nguyên thì n+4 phải là ớc của 17 .
Ta có các ớc của 17 là U
-17
=
}{
17;17;1;1

Lập bảng
x+4 -1 1 -17 17
n -5 -3 -21 13
Vậy với n = -5 ; n=-3 ; n=-21 ; n=13 thì A có giá trị nguyên
0,25
0,5
0,25
Giáo viên : Mai Huy Dũng 2
Tích luỹ chuyên môn
a-III
1.0đ

- Trờng hợp hình ( A) khi Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có :
Số đo góc xOz = 70
0
-30
0
= 40
0
- Trờng hợp hình (B) khi Oz không nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có
Số đo góc xOy = 70
0
+30
0
= 100
0
Vẽ
đúng
đợc 1
trờng
hợp
cho
0,25 đ
0,25
0,25
b-III
2.0đ
- Ta có trung bình cộng sđ của BO và BA là
222
BABOABBO
+=
+

- Ta lại có BO=BA+AO nên
BA
AOBAAOBABABO
+=++=
+
22222
(I)
- Mặt khác ta có BM = BA + AM mà M là trung điểm của OA nên
BM =
BA
AO
+
2
(II)
- Từ (I) và (II) suy ra BM =
2
BABO +
. Hay số đo BM bằng trung bình cộng
số đo của BO và BA
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
IV
2.0đ
Tìm 2 số t nhiên a, b biết tổng BCNN và UCLN của chúng bằng 15
- Gọi UCLN (a,b)=d suy ra a=d.m và b=d.n khi đó (m,n)=1.
ta có a.b = d.m.d.n.

-Mặt khác ta có tích của 2 số bằng tích của BCNN với UCLN của 2 số đó
nên .
-Ta có BCNN [a,b] =
d
nmd
ba
ba
),(
.
2
=
=d.m.n
-Vậy BCNN[a,b] + UCLN(a,b) = d.m.n+d=d.(m.n+1) = 15
Giả sử ab khi đó m n và m.n+12
Lập bảng
d m.n+1 m.n m n a b
1 15 14
1 14 1 14
2 7 2 7
3 5 4 1 4 3 12
5 3 2 1 2 5 10
Vậy ta tìm đợc các số sau:
(a=1 ; b=14) ; (a=2 ,b=7) ; (a=3 ; b=12 ) và (a=5 , b=10)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25

Giáo viên : Mai Huy Dũng 3
Tích luỹ chuyên môn
Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008
Môn : Toán học Lớp 7
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu 1(2 điểm ):
So sánh A và B biết :
A=[0,8 .7+(0,8)
2
] . (1,25 . 7 -
5
4
. 1,25 ) 47,86
B=
( )
( )
9
8
.65,169,18
4
5
.29,009,1



Câu II( 2,5 điểm )
1) Tìm n N biết 32 2

n
> 4
2) Tìm x biết: a)
04
1978
30
1973
35
1968
40
1963
45
=+

+

+

+

xxxx
b) x-
11
3
55.5 3
20

17.1 5
20
15.1 3

20
13.11
20
=

Câu III: (1,5đ)
Tìm x , y z biết
5
4
4
3
3
2 zyx
==
và x+y+z = 49
Câu IV (2 đ) Cho tam giác ABC có

A= 60
0
; BM , CN ( M thuộc AC và N thuộc AB ) lần
lợt là phân giác của góc ABC và góc ACB . BM và CN cắt nhau tại I
a) Tính

BIN
b) Chứng minh

INM =

IMN
Câu V ( 2 điểm )

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số mà khi chia cho 11 d 5 và chia 13 d 8.

Hết
( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm )
Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 7
năm học 2007 2008
Câu Nội dung yêu cầu Điểm
I A= 0,8.0,25 .(49- 0,64) = 48,36 47,86 = 0,5
B=
2
1
9
8
.
4
9
4
5
.
5
4
9
8
.25,2
4
5
.8,0
==
= 0,5
Vậy A=B

1 đ
0,75đ
0,25đ
1-II

2
5
2
n
> 2
2
Nên 5 n > 2
Mà n N nên n =
}{
5;4;3
0,25
0,25
a-2-II Tìm x

1
1978
30
1
1973
35
1
1968
40
1
1963

45
+

++

++

++
xxxx
= 0
0,25đ
0,25
Giáo viên : Mai Huy Dũng 4
Tích luỹ chuyên môn
0
1978
2008
1973
2008
1968
2008
1963
2008
=

+

+

+

xxxx

( )
0
1978
1
1973
1
1968
1
1963
1
.2008 =






+++ x

2008 x = 0

x = 2008

0,25đ
0,25đ
b-2-II Tìm x

11
3
55.53
2

15.13
2
13.11
2
10 =






+++ x
11
3
55
1
53
1
53
1
51
1

15
1

13
1
13
1
11
1
10 =






++++ x
11
3
55
1
11
1
10 =






x
1= x
0,25

0,25
0,25
0,25
III
Ta có:
4
5
3
4
2
3
5
4
4
3
3
2 zyxzyx
=====
Theo dãy tỷ số bằng nhau ta có:
4
5
3
4
2
3
zyx
==
=
12
12

49
49
4
5
3
4
2
3
==
++
++ zyx
x=12.
18
2
3
=
y=12.
3
4
=16
z=12.
15
4
5
=
Vậy x=18 ; y=16 và z = 15
0,5
0,5
0,25
0,25

IV
a-IV
b-IV

-Xét tam giác IBC có

NIB =

IBC +

ICB ( t/c

ngoài )
- Xét Tam giác ABC

ABC+

ACB = 180
0
-60
0
=120
0
(vì

BAC=60
0
)
- Mặt khác do BM và CN là phân giác nên

IBC=1/2

ABC và

ICB=1/2

ACB

IBC +

ICB =
2
60180
00

= 60
0
- Vậy

NIB = 60
0
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
Giáo viên : Mai Huy Dũng 5
Tích luỹ chuyên môn

- Kẻ phân giác IH của góc

BIC
- CM đợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) IH=IN (1)
- CM đợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) IH=IM (2)
- Từ (1) và(2) Tg IMN cân vậy

INM =

IMN
0,25
V
- Giả sử số cần tìm là a khi đó theo bài ra ta sẽ có:
+ a + 6

11

(a+6)+77

11

a+83

11 (1)
+ a + 5

13

(a+5) + 78

13

a+83

13 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a+ 83

BCNN (11, 13 ) mà BCNN ( 11,13) = 143
Ta có : a+ 83

143

a= 143.k 83 ( k

N
*
)
Để a nhỏ nhất thì 143.k nhỏ nhất hay k nhỏ nhất
Nếu k=1 thì a= 60 là số có 2 chữ số ( Loại )
Nếu k=2 thì a = 203 .
Vậy số 203 là số nhỏ nhất thỏa mãn đầu bài đã cho
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện

Năm học 2007-2008
Môn : Toán học Lớp 8
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu I (2 điểm ) :
1) Tính giá trị biểu thức : A= x
5
- 5x
4
+5x
3
-5x
2
+5x 1 với x=4
2) Tìm điều kiện để phân thức : B=
127
75
2
2
+
+
xx
x
có nghĩa.
Câu II ( 3 điểm )
1- Với giá trị nào của a phơng trình
11
1
.
2
2

2
2

=+


x
x
a
x
xax
có một nghiệm
duy nhất .
2- Tìm giá trị lớn nhất của B =
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
3- Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể nớc và một vòi chảy ra ở lng chừng bể . Khi
bể cạn , nếu mở cả 2 vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc . Còn nếu đóng vòi chảy
ra , mở vòi chảy vào thì sau 1 giờ 30 phút bể đầy nớc . Biết vòi chảy vào mạnh gấp
2 lần vòi chảy ra .
Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy
ra?
Câu III (2 điểm ): Cho tam giác vuông ABC (
0

90

=A
) Một đờng thẳng song song với BC
lần lợt cắt AB và AC tại D và E .
a- Chứng minh CB
2
CD
2
= EB
2
ED
2
b- Hãy xác định điểm D thoả mãn DC
2
=BC.DE.
Câu IV :( 2 điểm ) cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng
ac
ac
cb
cb
ba
ba
+

+
+

+
+

< 1
Hết
(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Giáo viên : Mai Huy Dũng 6
Tích luỹ chuyên môn
Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 8
Năm học 2007 2008
Câu Nội dung cần đạt Điểm
a-I Thay x=4 vào biểu thức A ta có
A= 4
5
- 5.4
4
+5.4
3
- 5.4
2
+ 5.4 1
= 4
5
(4+1).4
4
+(4+1).4
3
-(4+1).4
2
+ (4+1).4 1
= 4
5

- 4
5
4
4
+ 4
4
+ 4
3
4
3
4
2
+ 4
2
+4 1
A = 3
0,25
0,25
0,25
0,25
b-I
Tìm điều kiện để phân thức B=
127
75
2
2
+
+
xx
x

có nghĩa
Để B có nghĩa khi x
2
- 7x + 12 0
x
2
4x 3x + 12 0
x(x-4) 3(x-4) 0
(x-4).(x-3) 0
x 4 ; x 3.
Vậy điều kiện để B có nghĩa là mọi x 3 và x 4
0,25
0,25
0,25
0,25
1-II
Điều kiện để PT
11
1
2
2
2
2

=+


x
x
a

x
xax

nếu có nghiệm là x-1 ; 1
ta viết PT dới dạng
1
1
1
22
2
2



=+
xx
x
axax
x-a
2
x+a = 1
(1-a
2
).x = 1- a.
- Nếu a -1: 1 thì x=
a+1
1
là nghiệm nếu
a+1
1

1 ; -1 hay a0 và a -2
- Nếu a=1 thì 0x = 0 phơng trình có vô số nghiệm khác 1 và 1
- Nếu a=-1 thì 0x=2 PT vô nghiệm
Vậy để phơng trình có nghiệm duy nhất thì a1 , a-1 , a0 và a -2
0,1
0,2
0,1
0,2
0,2
0,2
2-II
* Tìm giá trị lớn nhất của B=
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
B=
32
1)32(3
2
2
++
+++
xx
xx
B= 3 +

32
1
2
++
xx
B= 3 +
2)1(
1
2
++
x
Để B có giá trị lớn nhất khi
2)1(
1
2
++
x
(I) có giá trị lớn nhất . Mà để
(I) có giá trị lớn nhất khi (x+1)
2
+ 2 (II) có giá trị bé nhất . (II) có giá trị bé
nhất khi (x+1)
2
= 0 hay x=-1
Vậy Max B =
2
7
khi x= -1
0,2
0,2

0,2
0,2
0,2
Giáo viên : Mai Huy Dũng 7
Tích luỹ chuyên môn
3-II - Gọi thể tích bể nớc quy ớc là 1 ( đơn vị thể tích ) . Gọi Thời gian vòi nớc
chảy vào từ lúc bể cạn đến mực nớc nơi vòi chảy ra là x ( x>0 ; đv thời
gian).
Theo bài ra ta có:
- Trong 1 giờ vòi chảy vào đợc là
3
2
5,1
1
=
(thể tích bể)
- Trong 1 giờ vòi chảy ra chảy đơc
3
1
2:
3
2
=
( thể tích bể)
- Vậy nếu mở đồng thời cả vòi chảy vào và vòi chảy ra thì lợng nớc trong bể
trong thời gian chảy 1 giờ là :
3
1
3
1

3
2
=
(thể tích bể)
- Trong x giờ đầu , chỉ có 1 vòi chảy vào nên lợng nớc trong bể là
x.
3
2
(I)
-Thời gian cả 2 vòi chảy vào và ra sẽ là (2h42 x) hay 2,7h x
- Lợng nớc trong khoảng thời gian (2,7h x) ở trong bể khi cả 2 vòi chảy ra
, chảy vào là :
)7,2.(
3
1
x
(II)
- Từ (I) và (II) ta có phơng trình :
x.
3
2
+
)7,2.(
3
1
x
= 1
- Giải phơng trình x=0,3 .
- Trả lời : để vòi chảy vào từ khi bể cạn đến mực nớc đầy đến nơi đặt vòi
chảy ra là 0,3 h

0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
III
a-III
1.0đ
b-III
a) *-Xét ADC có DC
2
= AC
2
+AD
2
(Pitago)
-Xét ABC có BC
2
=AC
2
+AB
2
( Pitago)
- Vậy BC
2
- CD
2
= AC
2

+AB
2
AC
2
-AD
2
= AB
2
-AD
2
( I)
*- Xét ADE có ED
2
= EA
2
+AD
2
- Xét ABE có BE
2
= EA
2
+AB
2

- EB
2
-ED
2
= EA
2

+AB
2
EA
2
AD
2
= AB
2
-AD
2
(II)
Từ (I) và (II) suy ra CB
2
CD
2
= EB
2
ED
2
( đpcm)
b) Phân tích : Giả sử Ta xác định đợc điểm D thoả mãn DC
2
=BC.DE khi
đó ta có :

DC
DE
BC
DC
=

(I)
Mặt khác ta có EDC= DCB (so le trong ) (II)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Giáo viên : Mai Huy Dũng 8
Tích luỹ chuyên môn
2.0đ
Từ I và II ta suy ra đợc tam giác EDC phải đồng dạng với tam giác DCB
Từ đó suy ra đợc Góc ACD = Góc ABC
Vậy để xác định điểm D thoả mãn DC
2
=BC.DE . Qua điểm C vẽ góc
ACx về phía nửa mf chứa điểm B sao cho góc ACx bằng góc B. Tia Cx cắt
AB tại đâu thì đó là điểm D
Cách dựng :
- Dựng góc ACy= Góc B Cắt AB tại D
Chứng minh
- Kẻ DE //BC ta có
- CED Đồng dạng với BDC có
DC
DE
BC
DC
=
CD
2

=BC.DE
Biện luận : - Bài toán có duy nhất một điểm D
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
IV
Ta biết nếu
x
<1 -1< x < 1



<
<
1
1
x
x
Ta có chứng tỏ
cba
cba
ba
ba
++
+
<
+

Thật vậy
bcbccbabacbaba
cba
cba
ba
ba
<++<++
++
+
<
+

))(())((
luôn
đúng
Vậy
cba
cba
ba
ba
++
+
<
+

( 1)
Tơng tự
acb
acb

cb
cb
++
+
<
+

(2)

bac
bac
ac
ac
++
+
<
+

(3)
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức (1) ,(2),(3) ta đợc
ac
ac
cb
cb
ba
ba
+

+
+

+
+

<
cba
cba
++
++
=1
Tơng tự ta cũng có
ac
ca
cb
bc
ba
ab
+

+
+

+
+

<1
Suy ra đợc
ac
ac
cb

cb
ba
ba
+

+
+

+
+

< 1 ( đ.p.c.m)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Giáo viên : Mai Huy Dũng 9