LUYỆN THI ĐẠI HỌC-PP MŨ LOGA

Chuyên đề: Phương trình
−
Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit

1

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Hàm số mũ
• y=a
x
; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x

−∞ 0 +∞

x

−∞ 0 +∞
y

+∞
1
−∞

y

+∞

1
−∞

• Đồ thị
-3 -2 -1 1
-2
-1
1
2
3
x
y
y=3
x

-2
-1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
x
y
x
y







=
3
1


II. Hàm số lgarit
• y=log
a
x, ĐK:



≠<
>
10
0
a
x
; D=(0;+∞)
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x

0 0 +∞

x

0 0 +∞

y

+∞
1
−∞

y

+∞
1
−∞


• Đồ thị
-1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x
y=3
x
y=log
3
x

-1 1 2 3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
x
y






=
3
1
xy
3
1
log
=
y=x


III. Các công thức
1. Công thức lũy thừa:

Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
a
n
a
m
=a
n+m
;
mn
m
n
a
a
a
−
= ;(
n
a
1
=a
−m
; a
0
=1; a
−1
=
a
1
);
(a

n
)
m
=a
nm
; (ab)
n
=a
n
b
n
;
m
n
n
b
a
b
a
=






;
n m
n
m

aa =
.
2. Công thức logarit: log
a
b=c⇔a
c
=b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x
1
, x
2
>0;
α
∈R ta có:
log
a
(x
1
x
2
)=log
a
x
1
+log
a
x
2
; log
a

2
1
x
x
= log
a
x
1
−
log
a
x
2
;
xa
x
a
=
log
; log
a
x
α
=
α
log
a
x;
Chuyên đề: Phương trình
−

Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit

2

xx
a
a
log
1
log
α
α
= ;(log
a
a
x
=x); log
a
x=
a
x
b
b
log
log
;(log
a
b=

a
b
log
1
)
log
b
a.log
a
x=log
b
x; a
log
b
x
=x
log
b
a
.
IV. Phương trình và bất phương trình mũ−
−−
−logarit
1. Phương trình mũ−
−−
−logarit
a. Phương trình mũ:
Đưa về cùng cơ số
+0<a≠1: a
f(x)

=a
g(x)
(1) ⇔ f(x)=g(x).
+ 0<a≠1: a
f(x)
=b ⇔
( )



=
>
bxf
b
a
log
0
.
Chú ý: N
ế
u a ch
ứ
a bi
ế
n thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặ
t
ẩ
n ph
ụ

: Ta có th
ể

đặ
t t=a
x
(t>0),
để

đư
a v
ề
m
ộ
t ph
ươ
ng trình
đạ
i s
ố

L
ư
u ý nh
ữ
ng c
ặ
p s
ố
ngh

ị
ch
đả
o nh
ư
: (2
3
±
), (7
4 3
±
),… N
ế
u trong m
ộ
t ph
ươ
ng trình có ch
ứ
a {a
2x
;b
2x
;a
x
b
x
}
ta có th
ể

chia hai v
ế
cho b
2x
(ho
ặ
c a
2x
) r
ồ
i
đặ
t t=(a/b)
x
(ho
ặ
c t=(b/a)
x
.

Ph
ươ
ng pháp logarit hóa: a
f(x)
=b
g(x)
⇔ f(x).log
c
a=g(x).log
c

b,v
ớ
i a,b>0; 0<c≠1.
b.

Ph
ươ
ng trình logarit:
Đư
a v
ề
cùng c
ơ
s
ố
:
+log
a
f(x)=g(x)⇔
( )
( )



=
≠<
xg
axf
a 10
+log

a
f(x)= log
a
g(x)⇔
( ) ( )
[ ]
( ) ( )





=
>>
≠<
xgxf
xgxf
a
00
10
.
Đặ
t
ẩ
n ph
ụ
.
2. Bất phương trình mũ
−
−−

−
logarit
a.

B
ấ
t ph
ươ
ng trình m
ũ
:

a
f(x)
>a
g(x)
⇔
( ) ( ) ( )
[ ]



>−−
>
01
0
xgxfa
a
;  a
f(x)

≥a
g(x)
⇔
( ) ( ) ( )
[ ]



≥−−
>
01
0
xgxfa
a
.
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)>g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: a
f(x)
>a
g(x)

⇔ f(x)<g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≤g(x).
b. Bất phương trình logarit:
log
a
f(x)>log
a
g(x)⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]





>−−
>>
≠<
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
; log

a
f(x)≥log
a
g(x)⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]





≥−−
>>
≠<
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
.
Đặt biệt:
+ Nếu a>1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔
(
)

(
)
( )



>
>
0xg
xgxf
;
+ Nếu 0<a<1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔
(
)
(
)
( )



>
<
0xf
xgxf
.

*
* *









Chuyên đề: Phương trình
−
Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit

3

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
−
−−
−
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
−
−−
−
HỆ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT

I. Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(
)
(
)
2 2 2
2 2
2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0
x x x x x x x x+ − −
− − + = ⇔ − − =
.
Nhận xét:
M
ặ
c dù cùng c
ơ
s
ố
2 nh
ư
ng không th
ể
bi
ế
n
đổ
i
để

đặ
t
đượ
c
ẩ
n ph
ụ
do
đ
ó ta ph
ả
i phân tích thành
tích:
(
)
(
)
2
2
2 1 . 2 4 0
x x x−
− − =
.
Đ
ây là ph
ươ
ng trình tích
đ
ã bi
ế

t cách gi
ả
i.
Ví d
ụ
2: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
( )
(
)
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1
x x x
= + −
.
Nh
ậ
n xét: T
ươ
ng t
ự
nh
ư
trên ta ph
ả
i bi

ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình thành tích:
(
)
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0
x x x
 
− + − =
 
.
Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi
thành tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình:
9 2( 2)3 2 5 0
x x
x x
+ − + − =
.
Đặ
t t = 3
x
(*), khi
đ

ó ta có:
(
)
2
2 2 2 5 0 1, 5 2
t x t x t t x
+ − + − = ⇒ = − = −
. Thay vào (*) ta tìm
đượ
c x.
L
ư
u ý: Ph
ươ
ng pháp này ch
ỉ
s
ử
d
ụ
ng khi
∆
là s
ố
chính ph
ươ
ng.
Ví d
ụ
2: Gi

ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
(
)
(
)
2
3 3
log 1 5 log 1 2 6 0
x x x x
+ + − + − + =
.
Đặ
t t = log
3
(x+1), ta có:
(
)
2
5 2 6 0 2, 3
t x t x t t x
+ − − + =
⇒
= = −
⇒
x = 8 và x = 2.

III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1:
N
ế
u hàm f t
ă
ng (ho
ặ
c gi
ả
m) trên kho
ả
ng (a;b) thì ph
ươ
ng trình f(x)=k (k
∈
R) có không quá m
ộ
t
nghi
ệ
m trong kho
ả
ng (a;b).
Tính chất 2:
N
ế
u hàm f t
ă

ng (ho
ặ
c gi
ả
m) trên kho
ả
ng (a;b) thì
∀
u, v
∈
(a,b) ta có
(
)
( )
f u f v u v
= ⇔ =
.
Tính chất 3:
N
ế
u hàm f t
ă
ng và g là hàm h
ằ
ng ho
ặ
c gi
ả
m trong kho
ả

ng (a;b) thì ph
ươ
ng trình f(x)=g(x) có nhi
ề
u
nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng (a;b).
Định lý Lagrange:
Cho hàm s
ố
F(x) liên t
ụ
c trên
đ
o
ạ
n [a;b] và t
ồ
n t
ạ
i F'(x) trên kho

ả
ng (a;b) thì
(
)
bac ;∈∃
:
( )
(
)
(
)
a
b
aFbF
cF
−
−
='
. Khi áp d
ụ
ng gi
ả
i ph
ươ
ng trình n
ế
u có F(b) – F(a) = 0 thì
(
)
(

)
(
)
; : ' 0 ' 0
c a b F c F x
∃ ∈ = ⇔ =
có nghi
ệ
m thu
ộ
c (a;b).
Định lý Rôn:
N
ế
u hàm s
ố
y=f(x) l
ồ
i ho
ặ
c lõm trên mi
ề
n D thì ph
ươ
ng trình f(x)=0 s
ẽ
không có quá hai nghi
ệ
m
thu

ộ
c D.
Ví d
ụ
1: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
log
2.3 3
x
x
+ =
.
H
ướ
ng d
ẫ
n:
2 2
log log
2.3 3 2.3 3
x x
x x
+ = ⇔ = −
, v
ế
trái là hàm

đồ
ng bi
ế
n, v
ế
ph
ả
i là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n nên ph
ươ
ng
trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x=1.
Ví d
ụ
2: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
6 2 5 3
x x x x
+ = +
. Ph

ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng
6 5 3 2
x x x x
− = −
, gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng
trình có nghiêm
α
. Khi
đ
ó:
αααα
2356 −=−
.
Xét hàm s
ố

(
)
(

)
α
α
tttf −+= 1
, v
ớ
i t > 0. Ta nh
ậ
n th
ấ
y f(5) = f(2) nên theo
đị
nh lý lagrange t
ồ
n t
ạ
i
(
)
2;5
c
∈

sao cho:
( ) ( )
1
' 1
0 1 0 0, 1
f c c c
α

α
α α α
−
−
 
= ⇔ + − = ⇔ = =
 
 
, th
ử
l
ạ
i ta th
ấ
y x = 0, x = 1 là nghi
ệ
m c
ủ
a
ph
ươ
ng trình.
Ví d
ụ
3: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2

1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− + = −
. Vi
ế
t l
ạ
i ph
ươ
ng trình d
ướ
i d
ạ
ng
2
1 2
2 1 2
x x x
x x x
− −
+ − = + −
, xét hàm s
ố

(
)
ttf

t
+= 2
là hàm
đồ
ng bi
ế
n trên R ( ??? ). V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đượ
c
vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng:
(
)
(
)
2 2
1 1 1
f x f x x x x x x
− = − ⇔ − = − ⇔ =
.
Ví d

ụ
4: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
3 2 3 2
x x
x
+ = +
. D
ễ
dàng ta tìm
đượ
c nghi
ệ
m: x = 0 và x = 1. Ta c
ầ
n ch
ứ
ng minh
không còn nghi
ệ
m nào khác.
Xét hàm s
ố

(
)
(

)
2 2
3 2 3 2 '' 3 ln 3 2 ln 2 0
x x x x
f x x f x
= + − − ⇒ = + > ⇒

Đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
này lõm, suy ra
ph
ươ
ng trình không có quá hai nghi
ệ
m.
Chuyên đề: Phương trình
−
Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit

4

Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình
2

2
2007
1
2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x

= −

−



= −

−

có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số
( )
2
2007
1

x
x
f x e
x
= + −
−
.
N
ế
u x <
−
1 thì
(
)
02007
1
<−<
−
exf
suy ra h
ệ
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
N
ế
u x > 1 dùng
đị

nh lý Rôn và ch
ỉ
ra v
ớ
i x
0
= 2 thì f(2) < 0
để
suy ra
đ
i
ề
u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
Ví d
ụ
6: Cho 0
>
≥
ba . Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1 1
2 2
2 2

b a
a b
a b
   
+ ≤ +
   
   
(ĐH Khối D−2007)
HD: BĐT
1 1
ln 2 ln 2
1 1
2 2
ln 2 ln 2
2 2
a b
a b
a b
a b
b a
a b
   
+ +
   
   
   
⇔ + ≤ + ⇔ ≤
   
   
. Xét hàm số

( )
1
ln 2
2
x
x
f x
x
 
+
 
 
=

với
x
> 0
Suy ra
f
’(
x
) < 0 với mọi
x
> 0, nên hàm số nghịch biến vậy với
0
>
≥
ba
ta có
(

)
bfaf ≤)(
(Đpcm).
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất
phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1
: Khác c
ơ
s
ố
:
Ví dụ: Giải phương trình
7 3
log log ( 2)
x x
= +
. Đặt
t
=
7
log 7
t
x x
⇒ =
Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình tr
ở

thành:
3
7 1
log ( 7 2) 3 7 2 1 2.
3 3
t
t
t t t
t
 
 
= + ⇔ = + ⇔ = +
 
 
 
 
.
2.Dạng 2
: Khác c
ơ
s
ố
và bi
ể
u th
ứ
c trong d
ấ
u log ph
ứ

c t
ạ
p
Ví d
ụ
1: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
4
2 2
5
6
log ( 2 2) 2log 2 3
x x x x
− − = − −
.
Đặ
t t = x
2
– 2x – 3 ta có
(
)
6 5
log 1 log
t t
+ = .

Ví d
ụ
2: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
6
log
2 6
log 3 log
x
x x
+ = . Đặt
6
log
t x
= , phương trình tương đương
3
6 3 2 3 1
2
t
t t t t
 
+ = ⇔ + =
 
 
.

3. Dạng 3
:
(
)
log
b
x c
a x
+
=
(
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
b
=
a
+
c
)
Ví d
ụ
1: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình

(
)
7
log 3
4
x
x
+
=
.
Đặ
t
( )
7
log 3 7 3
t
t x x
= + ⇒ = +
, ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng
4 1
4 7 3 3. 1
7 7
t t
t t

   
= − ⇔ + =
   
   
.
Ví d
ụ
2: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
42
5log
3
+=
+
x
x
.
Đặ
t t = x+4 ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng

(
)
t
t
=
+1log
3
2

Ví d
ụ
3: Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(
)
( )
(
)
3 3
log 1 log 1
4 1 2 0
x x
x x
+ +
− − − =
.
4. Dạng 4:

(
)
log
ax b
s
s c dx e x
α β
+
= + + +
, với ,d ac e bc
α β
= + = +

Phương pháp: Đặt
log ( )
s
ay b dx e
+ = +
rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương
trình một ta được:
ax b ay b
s acx s acy
+ +
+ = + . Xét
(
)
at b
f t s act
+
= + .

Ví dụ: Giải phương trình
1
7
7 6log (6 5) 1
x
x
−
= − +
. Đặt
(
)
7
1 log 6 5
y x
− = −
. Khi đó chuyển thành hệ
( )
( )
1
1
1 1
1
7
7 6 1 1
7 6 5
7 6 7 6
1 log 6 5
7 6 5
x
x

x y
y
y
y
x y
y x
x
−
−
− −
−


= − +
= −
 
⇔ ⇒ + = +
 
− = −
= −




. Xét hàm s
ố
(
)
1
7 6

t
f t t
−
= +
suy ra x=y, Khi
đ
ó:
1
7 6 5 0
x
x
−
− + =
. Xét hàm s
ố
(
)
567
1
+−=
−
xxg
x
Áp d
ụ
ng
đị
nh lý Rôn và nh
ẩ
m nghi

ệ
m ta
đượ
c 2
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5:

Đặ
t
ẩ
n ph
ụ
chuy
ể
n thành h
ệ
ph
ươ
ng trình.

Chuyên đề: Phương trình
−
Bất phương trình
−

hệ phương trình Mũ_Logarit

5

Ví dụ: Giải phương trình
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x− − −
+ =
+ + + +

HD: Viết phương trình dưới dạng
1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 2 2 2 2
x x x x− − − −
+ =
+ + + +
,
đặ
t
1 1
2 1, 2 1. , 0
x x
u v u v
− −
= + = + >
.

Nh
ậ
n xét:
u
.
v
=
u
+
v
. T
ừ

đ
ó ta có h
ệ
:
8 1 18
.
u v u v
u v u v

+ =

+


= +


Bài tập
Bài 1:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a.
( ) ( )
2 3 2 3 4 0
x x
+ + − − =

b.
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
− + + =

c.
( ) ( )
7 4 3 3 2 3 2 0
x x
+ − − + =

d.
( ) ( )

3
3 5 16 3 5 2
x x
x
+
+ + − =
e.
(
)
(
)
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
(ĐH_Khối B 2007) ĐS:
x
=1,
x
=−1.
f. 3.8
x
+4.12
x
−18
x
−2.27
x
=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS:
x
=1.

g.
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
(ĐH_Khối D 2006) ĐS:
x
=0,
x
=1.
k.
2 2
2
2 2 3
x x x x− + −
− =
(ĐH_Khối D 2003) ĐS:
x
=−1,
x
=2.
i.
3.16 2.8 5.32
x x x
+ =
j.
1 1 1
2.4 6 9
x x x

+ =

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
a.
3 2 3
4 128
5 1
x y
x y
+
− −

=


=


b.
2
( ) 1
5 125
4 1
x y
x y
+
− −

=




=


c.
2 2 12
5
x y
x y

+ =


+ =



d.
(
)
( )
2 2
2 2
2 2
log 1 log
3 81
x xy y
x y xy
− +


+ = +


=

(
Đ
H_Kh
ố
i A 2009)
Đ
S: (2;2), (−2;−2)
e.
( )
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y

− + − =


− =


(
Đ

H_Kh
ố
i B 2005)
Đ
S: (1;1), (2;2).
f.
( )
1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y

− − =



+ =

(
Đ
H_Kh
ố
i A 2004)
Đ
S: (3;4)

g.
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −


+
=

+

(
Đ
H_Kh
ố
i D 2002)
Đ
S: (0;1), (2;4).
Bài 3:
Gi

ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n ph
ươ
ng trình:
a .
( )
2 .2 .2 0
x x
m m m
−
− + + =
. b .
.3 .3 8
x x
m m
−
+ =
.
Bài 4:
Cho ph
ươ
ng trình
2 2
3 3
log log 1 2 1 0
x x m

+ + − − =
(m là tham s
ố
). (
Đ
H_Kh
ố
i A 2002)
a. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình khi m=2.
b. Tìm m
để
ph
ươ
ng trình có ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c
đ
o
ạ
n

3
1;3
 
 
.
Đ
S: a.
3
3
x
±
= , b. 0 ≤ m ≤ 2
Chuyên đề: Phương trình
−
Bất phương trình
−
hệ phương trình Mũ_Logarit

6

Bài 5: Cho bất phương trình
(
)
1
4 . 2 1 0
x x
m
−
− + >
a. Giải bất phương trình khi m=

16
9
.
b. Định m để bất phương trình thỏa
x R
∀ ∈
.
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a.
(
)
(
)
5 5 5
log log 6 log 2
x x x
= + − +
b.
5 25 0,2
log log log 3
x x+ =
c.
(
)
2
log 2 5 4 2
x
x x
− + =
d.

2
3
lg( 2 3) lg 0
1
x
x x
x
+
+ − + =
−

e. log
2x−1
(2
x
2
+
x−
1)+log
x+1
(2
x−
1)
2
=4 (
Đ
H Kh
ố
i A_2008)
Đ

S:
x
=2;
x
=5/4.
f.
(
)
2
2 2
log 1 6log 1 2 0
x x
+ − + + =
(
Đ
H_Kh
ố
i D 2008)
Đ
S: x=1, x=3.
g.
( )
2 2
1
log 4 15.2 27 2log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−

(
Đ
H_Kh
ố
i D 2007)
Đ
S: x=log
2
3.
Bài 7:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
a.
(
)
3 1
3
2log (4 3) log 2 3 2
x x
− + + ≤
(
Đ
H Kh
ố
i A_2007)

Đ
S: 3/4 ≤ x ≤ 3.
b.
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
 
+
<
 
+
 
(
Đ
H_Kh
ố
i B 2008)
Đ
S: −4< x < −3, x > 8.
c.
(
)
(
)
2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1

x x−
+ − < + +
(
Đ
H_Kh
ố
i B 2006)
Đ
S: 2 < x < 4.
d.
2
1
2
3 2
log 0
x x
x
− +
≥
(
ĐH_Khối D 2008) ĐS:
)
(
2 2;1 2;2 2
 
− +
 
U .
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−