phương trình lượng giác và ứng dụng nâng cao
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.85 MB, 132 trang )
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 2 -
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG
Công thức cơ bản
●
2 2
sin x cos x 1+ =
●
tan x.cotx 1=
●
sin x
tan x
cos x
=
●
cos x
cotx
sin x
=
●
os
2
2
1
1 tan x
c x
+ =
●
2
2
1
1 cot x
sin x
+ =
Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
●
sin2x 2 sin x.cos x=
●
2 2
2 2
cos x sin x
cos2x
2 cos x 1 1 2 sin x
−
=
− = −
●
os
2
1 c 2x
sin x
2
−
=
●
os
os
2
1 c 2x
c x
2
+
=
●
3
sin 3x 3 sin x 4 sin x= −
●
3
cos 3x 4 cos x 3 cos x= −
Công thức cộng cung
●
( )
sin a b sin a.cos b cos a.sin b± = ±
●
(
)
osc a b cosa.cos b sin a.sin b± = ∓
●
( )
tan a tan b
tan a b
1 tan a.tan b
+
+ =
−
●
( )
tan a tan b
tan a b
1 tan a.tan b
−
− =
+
●
π 1 tan x
tan x
4 1 tan x
+
+ =
−
●
π 1 tan x
tan x
4 1 tan x
−
− =
+
Công thức biến đổi tổng thành tích
●
a b a b
cosa cos b 2 cos .cos
2 2
+ −
+ =
●
a b a b
cosa cos b 2 sin .sin
2 2
+ −
− = −
●
a b a b
sin a sin b 2sin .cos
2 2
+ −
+ =
●
a b a b
sin a sin b 2 cos .sin
2 2
+ −
− =
●
( )
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
+
+ =
●
( )
sin a b
tan a tan b
cos a.cos b
−
− =
Công thức biến đổi tích thành tổng
●
( ) ( )
cos a b cos a b
cos a.cos b
2
+ + −
=
●
( ) ( )
sin a b sin a b
sin a.cos b
2
+ + −
=
●
( ) ( )
cos a b cos a b
sin a.sin b
2
− − +
=
Một số công thức thông dụng khác
●
π π
sinx cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
+ = + = −
●
π π
sinx cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
− = − = +
●
4 4 2
1 cos4x
cos x sin x 1 s
3 1
in 2x
2 4
+
+ = − =
●
6 6 2
3 cos4x
cos x sin x 1 s
5 3
in 2x
4 8
+
+ = − =
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” - 3 -
Một số lưu ý
:
Điều kiện có nghiệm của phương trình
sin x
cos x
= α
= α
là:
1 1− ≤ α ≤
.
Khi giải phương trình có chứa các hàm số
tan
hoặc
cot
, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết
phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
Phương trình chứa
tan x
, điều kiện:
( )
cos x 0 x k k
2
π
≠ ⇔ ≠ + π ∈ ℤ
.
Phương trình chứa
cot x
, điều kiện:
( )
sin x 0 x k k≠ ⇔ ≠ π ∈ ℤ
.
Phương trình chứa cả
tan x
và
cot x
, điều kiện:
( )
x k. k
2
π
≠ ∈ ℤ
.
Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để
kiểm tra điều kiện:
Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của
x
vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy
làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.
Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm.
Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm.
Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác
AM
có
số đo là
k2
n
π
α +
0
0
k.360
hay a
n
+
với k ,n
+
∈ ∈ℤ ℕ thì có
n
điểm
M
trên đường tròn
lượng giác cách đều nhau".
Ví dụ 1: Nếu sđ
AM k2
3
π
= + π thì có một điểm
M
tại vị trí
3
π
(ta chọn
k 0=
).
Ví dụ 2: Nếu sđ
AM k
6
π
= + π
thì có 2 điểm
M
tại vị trí
6
π
và
7
6
π
(ta chọn
k 0, k 1= =
).
Ví dụ 3: Nếu sđ
2
AM k.
4 3
π π
= +
thì có 3 điểm
M
tại các vị trí
11
;
4 12
π π
và
19
12
π
,
(
)
k 0;1;2=
.
Ví dụ 4: Nếu sđ
k2
AM k.
4 2 4 4
π π π π
= + = +
thì có 4 điểm
M
tại các vị trí
4
π
,
3
4
π
,
5
4
π
;
7
4
π
(ứng với các vị trí
k 0,1,2,3=
).
Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung
x k
6
π
= − + π
và
x k
3
π
= + π
Biểu diễn cung
x k
6
π
= − + π
trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí:
6
π
−
và
5
6
π
Bi
ểu diễn cung
x k
3
π
= + π
trên đường tròn thì có
Để giải được phương trình lượng giác cũng như các
ứng dụng của nó, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả
những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công
cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên:
"Phương trình lượng giác"
- 6 -
Bài 8. Giải phương trình:
( )
4 4
4
sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
= ∗
π π
− +
Bài 9. Giải phương trình:
( )
3 x 1 3x
sin sin 1
10 2 2 10 2
π π
− = +
Bài 10. Giải phương trình:
( )
sin 3x sin 2x sin x 1
4 4
π π
− = +
Bài 11.
( )
3
8 cos x cos 3x 1
3
π
+ =
Bài 12. Giải phương trình:
( )
3
2 sin x 2 sin x 1
4
π
+ =
Bài 13. Giải phương trình:
( )
3
sin x 2 sin x 1
4
π
− =
Bài 14. Giải phương trình:
( )
cos x cos2x cos 3x cos 4x 0+ + + = ∗
Bài 15. Giải phương trình:
( )
2 2 2
3
sin x sin 2x sin 3x
2
+ + = ∗
.
Bài 16. Giải phương trình:
( )
2 2 2
sin x sin 2x sin 3x 2+ + = ∗
.
Bài 17. Giải phương trình:
( )
2 2 2 2
sin x sin 3x cos 2x cos 4x+ = + ∗
Bài 18. Giải phương trình:
( )
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗
Bài 19. Giải phương trình:
( )
sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2 cos
4 2 2
π
+ = + − ∗
Bài 20. Giải phương trình:
( )
2 2 2
sin x cos 2x cos 3x= + ∗
Bài 21. Giải phương trình:
( )
2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = ∗
Bài 22. Giải phương trình:
( )
sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗
Bài 23. Giải phương trình:
( )
3 3 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = ∗
Bài 24. Giải phương trình:
( )
2 3
cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x+ + = + ∗
Bài 25. Giải phương trình:
( )
3 3 2
4 sin x 3 cos x 3sin x sin x cos x 0+ − − = ∗
Bài 26. Giải phương trình:
(
)
(
)
(
)
2
2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3+ + − + = ∗
Bài 27. Giải phương trình:
( )
( )
6 6 8 8
sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗
Bài 28. Giải phương trình:
( )
( )
8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x
4
+ = + + ∗
Bài 29. Giải phương trình:
( )
( )
3 3 5 5
sin x cos x 2 sin x cos x+ = + ∗
Bài 30. Giải phương trình:
( )
4 2 2 4
3cos x 4 cos x sin x sin x 0− + = ∗
Bài 31. Giải phương trình:
( )
3 3
2 3 2
cos 3x cos x sin 3x sin x
8
−
− = ∗
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” - 7 -
Bài 32. Giải phương trình:
( )
1
cos x cos2x cos 4x cos 8x
16
= ∗
Bài 33. Giải phương trình:
( )
3
4 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗
Bài 34. Giải phương trình:
( )
1
cos x cos2x cos 3x cos 4x cos 5x
2
+ + + + = − ∗
Bài 35. Giải phương trình:
( )
sin2x 2 cos x sin x 1
0
tan x 3
+ − −
= ∗
+
Bài 36. Giải phương trình:
( )
2
1 sin2x cos2x
2 sin x sin 2x
1 cot x
+ +
= ∗
+
Bài 37. Giải phương trình:
( ) ( )
tan x cot x 2 sin 2x cos2x+ = + ∗
Bài 38. Giải phương trình:
( )
2
tan x tan x tan 3x 2− = ∗
Bài 39. Giải phương trình:
( )
2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗
Bài 40. Giải phương trình:
( )
2 2 2
x x
sin tan x cos 0
2 4 2
π
− − = ∗
Bài 41. Giải phương trình:
( ) ( )
2
sin2x cot x tan2x 4 cos x+ = ∗
Bài 42. Giải phương trình:
( ) ( )
2 2
cot x tan x
16 1 cos 4x
cos2x
−
= + ∗
Bài 43. Giải phương trình:
( )
1
2 tan x cot2x 2 sin2x
2 sin 2x
+ = + ∗
Bài 44. Giải phương trình:
( )
( ) ( )
3 sin x tan x
2 1 cos x 0
tan x sin x
+
− + = ∗
−
Bài 45. Giải phương trình:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2
1 cos x 1 cos x
1
tan x sin x 1 sin x tan x
2
4 1 sin x
− + +
− = + + ∗
−
Bài 46. Giải phương trình:
( )
cos 3x tan 5x sin 7x= ∗
Bài 47. Giải phương trình:
( )
1 1
sin2x sin x 2 cotx
2 sin x sin2x
+ − − = ∗
Bài 48. Giải phương trình:
( ) ( )
4 4
sin x cos x 1
tan x cot2x
sin 2x 2
+
= + ∗
Bài 49. Giải phương trình:
(
)
2 2 2 2
tan x.cot 2x.cot3x tan x cot 2x cot3x= − + ∗
Bài 50. Giải phương trình:
( )
x
cot x sin x 1 tan x tan 4
2
+ + = ∗
“Cần cù bù thông minh…………” - 9 -
Bài 4. Giải phương trình:
( )
sin x cos x 1 sin2x cos2x 0+ + + + = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2005
( ) ( )
2
sin x 0 x k
2 cos x 1 sin x 0 k;l
1 2
cos x x l2
2 3
= = π
⇔ − + = ⇔ ⇔ ∈
π
= − = ± + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( ) ( )
2
sin x cos x 2 sin x cos x 2 cos x 0∗ ⇔ + + + =
( ) ( )
sin x cos x 2 cos x sin x cos x 0⇔ + + + =
(
)
(
)
sin x cos x 1 2 cos x 0⇔ + + =
( )
sin x cos x tan x 1
x k
4
k; l
1 2
2
cos x cos x cos
x l2
2 3
3
π
= − = −
= − + π
⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
π
= − =
= ± + π
ℤ
.
Lời bình: Từ việc xuất hiện của cung
2x
và cung
x
mà ta nghĩ đến việc chuyển cung
2x
về cung
x
bằng công thức nhân đôi của hàm sin và cos, từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế
( )
( )
2
sin x 1 2cos x 1 2sin x cos x 1 cos x∗ ⇔ + − + = +
( ) ( )
2
2 sin x cos x 2sin x cos x 1 cos x 2sin x cos x cos x 1 1 cos x 0⇔ + = + ⇔ + − + =
( )( ) ( )
2
1
x k2
cos x
3
cos x 1 sin 2x 1 0 k, l
2
sin2x 1
x l
4
π
= ± + π
= −
⇔ + − = ⇔ ⇔ ∈
π
=
= + π
ℤ
.
Lời bình: Từ việc xuất hiện hai cung
3
x
2
π
−
và
7
x
4
π
−
giúp ta suy nghĩ đến việc đưa hai cung
khác nhau này về cùng một cung chung là
x
. Để làm được điều đó, ta có thể dùng công
thức cộng cung hoặc dùng câu thần chú "cos đối – sin bù – phụ chéo''. Ta thực hiện hai ý
tưởng đó qua hai cách giải sau đây
Bài giải tham khảo
Cách giải 1. Sử dụng công thức cộng cung:
( )
sin a b sin a.cos b cos a.sin b± = ±
Bài 6. Giải phương trình:
( )
1 1 7
4 sin x
sin x 4
3
sin x
2
π
+ = − ∗
π
−
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2008
Bài 5. Giải phương trình:
( ) ( )
sin x 1 cos2x sin 2x 1 cos x+ + = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2008
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 10 -
( )
1 1 7 7
4 sin cos x sin x cos
sin x 3 3 4 4
sin x cos sin cos x
2 2
π π
∗ ⇔ + = −
π π
−
( )
1 1 2
4. sin x cos x
sin x cos x 2
⇔ + = − +
Điều kiện:
sin x cos x 0 sin2x 0≠ ⇔ ≠
.
( )
sin x cos x
2 2 sin x cos x
sin x cos x
+
⇔ = − +
( ) ( )
sin x cos x 2 2 sin x cos x sin x cos x 0⇔ + + + =
( )
( )
sin x cos x 1 2 sin2x 0⇔ + + =
( )
x k
4
tan x 1
sin x cos x 0
x l k, l,m
2
8
1 2 sin 2x 0
sin2x
52
x m
8
π
= − + π
= −
+ =
π
⇔ ⇔ ⇔ = − + π ∈
+ =
= −
π
= + π
ℤ
.
Cách giải 2. Sử dụng "cos đối – sin bù – phụ chéo''
Ta có:
( )
3
sin x sin 2 x cos x
2 2
7 1
sin x sin 2 x sin x sin x cos x
4 4 4
2
π π
− = − π − − =
π π π
− = π − + = − + = − +
( ) ( )
1 1 1
4. sin x cos x
sin x cos x
2
∗ ⇔ + = − +
. Giải tương tự như cách giải 1.
Lời bình: Từ tổng hai cung
x x
3 6 2
π π π
+ + − =
giúp ta liên tưởng đến câu ''phụ chéo'' , thật vậy:
cot x cot x cot x cot x cot x tan x 1
3 6 3 2 3 3 3
π π π π π π π
+ − = + − + = + + =
.
Công việc còn lại của chúng ta là dùng công thức:
4 4 2
1
sin x cos x 1 sin 2x
2
+ = −
. Nếu
không có nhận xét này, mà ta tiến hành biến đổi tan
cos
cot
sin
=
, rồi qui đồng thì bài toán
trở nên rất phức tạp, chưa tính đến việc đối chiếu nghiệm với điều kiện.
Bài giải tham khảo
ĐK:
sin x 0
13
sin x sin x 0 cos 2x 0 cos 2x 0
3 6 2 6 6
sin x 0
6
π
+ ≠
π π π π
⇔ + − ≠ ⇔ − ≠ ⇔ − ≠
π
− ≠
.
Bài 7. Giải phương trình:
( )
4 4
7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
π π
+ = + − ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp. HCM năm 1999
“Cần cù bù thông minh…………” - 13 -
( )
t k
x k
2
cos 3t 0
6
t l x l k;l;m
1
3
cos2t
2
2
x m
t m
3
3
π
= + π π
= + π
=
π
⇔ ⇔ = + π ⇔ = π ∈
= −
π
π
= + π
= − + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
Đặt
t x x t
4 4
π π
= + ⇒ = −
. Lúc đó:
( )
3 3
1 sin t 2 sin t sin t sin t cos t
4
π
⇔ = − ⇔ = −
( )
( ) ( )
3 3 2 2
sin t sin t cos t sin t sin t cos t sin t cos t⇔ = − ⇔ = + − •
( )
2 2
cos t sin t sin t cos t cos t 0⇔ − + − =
( )
( )
( )
cos t 0 N
1
cos t sin 2t 1 0 t k x k , k
sin 2t 2 L2 2 4
=
π π
⇔ − = ⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ∈
=
ℤ
.
Lời bình: Trong
( )
•
, tôi đã sử dụng kĩ thuật ghép công thức
2 2
1 sin t cos t= +
. Vậy trong giải
phương trình lượng giác, dấu hiệu như thế nào để biết ghép như thế ? Câu trả lời rất đơn
giản: " Khi bậc của sin và cos không đồng bậc và hơn kém nhau hai bậc, ta nên ghép
2 2
1 sin t cos t= +
để phương trình trở nên đơn giản hơn ".
Cách giải 2.
( ) ( )
3
3
1 1
1 2 . 2 sin x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x
4
2 2
π
⇔ + = ⇔ + =
( ) ( )( )
3 2
sin x cos x 4 sin x sin x cos x sin x cos x 4 sin x⇔ + = ⇔ + + =
(
)
(
)
sin x cos x 1 2 sin x cos x 4 sin x⇔ + + =
2 2
3 sin x 2cos x sin x 2 sin x cos x cos x 0⇔ − + + + =
( ) ( )
2 2
sin x 3 2cos x cos x 2 sin x 1 0⇔ − + + + =
( ) ( )
2 2
sin x 2 sin x 1 cos x 2 sin x 1 0⇔ − + + + =
( )
( )
( )
2
2
0 2 sin x 1 0 VN
2 sin x 1 cos x sin x 0
cos x sin x 0
= + >
⇔ + − = ⇔
− =
( )
tan x 1 x k , k
4
π
⇔ = ⇔ = + π ∈ ℤ
.
Cách giải 3.
( ) ( )
3
3
1 1
1 2 . 2 sin x 2 sin x 2 sin x cos x 2 sin x
4
2 2
π
⇔ + = ⇔ + =
Bài 12. Giải phương trình:
( )
3
2 sin x 2sin x 1
4
π
+ =
Trích đề thi tuyển sinh Phân Viện Báo Chí Truyền Thông năm 1998
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 14 -
( ) ( )
3
sin x cos x 4 sin x 2⇔ + =
Vì
( )
cos x 0 hay sin x 1= =
không phải là nghiệm của phương trình
( )
2
nên chia hai vế của
phương trình
( )
2
cho
3
cos x
, ta được:
( ) ( )
( )
3
2
2 tan x 1 4 tan x. 1 tan x
⇔ + = +
Giải phương trình theo tanx ta được nghiệm:
( )
tan x 1 x k , k
4
π
= ⇔ = + π ∈ ℤ
.
Bài giải tham khảo
Cách giải 1.
Đặt
t x x t
4 4
π π
= − ⇒ = +
. Lúc đó:
( )
( )
3 3
1 sin t 2 sin t 4 sin t sin t cos t⇔ = + ⇔ = +
( )
( )
3 2 2
sin t sin t cos t sin t cos t⇔ = + +
( )
3 3 2 2 3
sin t sin t sin tcos t cos tsin t cos t cos t sin tcos t 1 0⇔ = + + + ⇔ + =
( )
( )
cos t 0
3
t k x k k , k
sin 2t 2 L
2 4 4
=
π π π
⇔ ⇔ = + π ⇔ = + π ≡ − + π ∈
= −
ℤ
.
Cách giải 2 và cách giải 3 (tương tự ví dụ 13). Bạn đọc tự giải
Lời bình: Bài toán có các cung khác nhau theo một hàm bậc nhất lượng giác cos (hoặc sin hoặc cả
sin và cos) dạng tổng (hoặc hiệu). Ta nên ghép các số hạng này thành cặp sao cho hiệu
(hoặc tổng) các cung của chúng bằng nhau, tức là trong trường hợp này để ý
( )
x 4x 5x+ =
và
( )
2x 3x 5x+ =
. Tại sao phải ghép như vậy ? Lý do rất đơn giản,
chúng ta cần những "thừa số chung" để nhóm ra ngoài, đưa bài toán về dạng phương trình
tích số.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )
5x 3x 5x x
cos x cos 4x cos2x cos 3x 0 2 cos cos 2 cos cos 0
2 2 2 2
∗ ⇔ + + + = ⇔ + =
5x 3x x 5x x
2 cos cos cos 0 4 cos cos x cos 0
2 2 2 2 2
⇔ + = ⇔ =
( )
5x k2
5x k x
cos 0
2 2 5 5
2
cos x 0 x l x l k;l;m
2 2
x
x x 2m
cos 0
m
2
2 2
π π π
= + π = +
=
π π
⇔ = ⇔ = + π ⇔ = + π ∈
π = π + π
=
= + π
ℤ
.
Bài 14. Giải phương trình:
( )
cos x cos2x cos 3x cos 4x 0+ + + = ∗
Bài 13. Giải phương trình:
( )
3
sin x 2 sin x 1
4
π
− =
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Tp.HCM năm 1998
- 16 -
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 cos 6x 1 cos 8x 1 cos10x 1 cos12x
2 2 2 2
∗ ⇔ − − + = − − +
cos6x cos 8x cos10x cos12x 2 cos7x cos x 2 cos11x cos x⇔ + = + ⇔ =
( ) ( )
x k
2
cos x 0
l
cos x cos7x cos11x 0 x k,l, m
cos7x cos11x
2
m
x
9
π
= + π
=
π
⇔ − = ⇔ ⇔ = − ∈
=
π
=
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( )
x xcos 3x sin 7x 1 cos 5x 1 cos 9 cos 3x sin 7x sin 5x cos9
2
π
∗ ⇔ + = − + − − ⇔ + = −
cos 3x cos9x sin 7x sin 5x 0 2 cos 6x cos 3x 2 cos6x sin x 0⇔ + + − = ⇔ + =
( ) ( )
x k
12 6
cos6x 0
cos6x cos 3x sin x 0 x l k,l,m
cos 3x cos x
4
2
m
x
8 2
π π
= +
=
π
⇔ + = ⇔ ⇔ = + π ∈
π
= +
π π
= − +
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )
1 cos2x 1 cos 4x 1 cos 6x
cos2x cos 4x 1 cos 6x 0
2 2 2
− + +
∗ ⇔ = + ⇔ + + + =
( )
2
2 cos 3x cos x 2 cos 3x 0 2 cos 3x cos x cos 3x 0⇔ + = ⇔ + =
( )
k
x
k
6 3
cos x 0
x
l
6 3
4 cos 3x cos2x cos x 0 cos2x 0 x k, l,m
l
4 2
x
cos 3x 0
4 2
x m
2
π π
= +
π π
=
= +
π π
⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ ∈
π π
= +
=
π
= + π
ℤ
.
Bài 18. Giải phương trình:
( )
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x− = − ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2002
Bài 19. Giải phương trình:
( )
sin
2 2
5x 9x
cos 3x sin 7x 2 2 cos
4 2 2
π
+ = + − ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Thể Dục Thể Thao năm 2001
Bài 20. Giải phương trình:
( )
2 2 2
sin x cos 2x cos 3x= + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1998
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” - 17 -
Lời bình: Từ việc xuất hiện các cung
( ) ( ) ( )
x , 2x , 7x
và nhận xét
7x x
4x
2
+
=
, ta có thể định
hướng nhóm
( )
sin 7x sin x−
,
( )
2
2 sin 2x 1−
lại với nhau, để sau khi dùng công thức
tổng thành tích và hạ bậc nhằm xuất hiện nhân tử chung và cuối cùng đưa ta được
phương trình tích số đơn giản hơn.
Bài giải tham khảo
( ) ( )
( )
2
sin 7x sin x 1 2 sin 2x 0 2 cos 4x sin 3x cos 4x 0∗ ⇔ − − − = ⇔ − =
( ) ( )
k2
cos 4x 0
x
18 3
cos 4x 2 sin 3x 1 0 k, l
1
5 l2
sin 3x
x
2
18 3
π π
=
= +
⇔ − = ⇔ ⇔ ∈
π π
=
= +
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( ) ( ) ( )
sin x sin 3x sin2x 1 cos2x cos x∗ ⇔ + + = + +
( ) ( )
2
2 sin2x cos x sin2x 2cos x cos x sin2x 2 cos x 1 cos x 2cos x 1 0⇔ + = + ⇔ + − + =
( )( ) ( )( )
2 cos x 1 sin 2x cos x 0 2cos x 1 2 sin x cos x cos x 0⇔ + − = ⇔ + − =
( )( ) ( )
x k
2
cos x 0
x l2
1
6
cos x 2sin x 1 2 cos x 1 0 sin x k, l,m,n
5
2
x m2
1
6
cos x
22
x n2
3
π
= + π
=
π
= + π
⇔ − + = ⇔ = ⇔ ∈
π
= + π
= −
π
= ± + π
ℤ
.
Bài giải tham khảo
( )
( ) ( )
3 3 3 3 3
sin x 4 cos x 3 cos x cos x 3sin x 4 sin x sin 4x∗ ⇔ − + − =
3 3 3 3 3 3 3
4 sin x cos x 3sin x3 cos x 3cos x sin x 4cos x sin x sin 4x⇔ − + − =
( )
2 2 3
3 sin x cos x cos x sin x sin 4x⇔ − =
3 3
3 3
sin2x cos2x sin 4x sin 4x sin 4x
2 4
⇔ = ⇔ =
( )
3
k
3 sin 4x 4 sin 4x 0 sin12x 0 12x k x , k
12
π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈ ℤ
.
Bài 22. Giải phương trình:
( )
sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x+ + = + + ∗
Bài 23. Giải phương trình:
( )
3 3 3
sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x+ = ∗
Trích đề thi Tuyển sinh Đại học Ngoại Thương năm 1999
Bài 21. Giải phương trình:
( )
2
2 sin 2x sin 7x 1 sin x+ − = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học năm khối A năm 2007
- 20 -
Bài giải tham khảo
( )
2 2
2
1 cos2x 1 cos2x
3 sin 2x 0
2 2
+ −
∗ ⇔ − + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 1 2 cos2x cos 2x 4 1 cos 2x 1 2 cos2x cos 2x 0⇔ + + − − + − + =
( )
2
8 cos 2x 4 cos2x 0 4 cos2x 2 cos2x 1 0⇔ + = ⇔ + =
( )
k
cos2x 0
x k
4 2 4
k, m
1
cos2x
x m
2
3
π π π
=
= + ≡ ± + π
⇔ ⇔ ∈
π
= −
= ± + π
ℤ
.
Cách khác
Do
cos x 0 hay sin x 1= =
không là nghiệm của phương trình
( )
∗
Chia hai vế của
( )
∗
cho
4
cos x
, ta được:
( )
2
2 4
2
t 4t 3 0
3 4 tan x tan x 0
t tan x 0
− + =
∗ ⇔ − + = ⇔
= ≥
( )
2
2
2
t 1
x k
tan x 1
tan x 1
4
t 3
k,m
tan x 3
tan x 3
x m
t tan x
3
π
=
= ± + π
= ±
=
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
=
= ±
= ± + π
=
ℤ
.
Bài giải tham khảo
Lời bình: Ta nhận thấy trong phương trình có chứa
cos 3x
lẫn
sin 3x
, nếu ta sử dụng công thức
nhân ba để khai triễn cũng đi đến kết quả cuối cùng, nhưng nó tương đối phức tạp.
Chính vì thế, ở đây ta khéo léo phân tích để áp dụng công thức tích thành tổng có xuất
hiện số
1
2
nhằm tối giản được với số
2 3 2
8
−
phức tạp bên vế phải của phương trình.
( ) ( ) ( )
2 2
2 3 2
cos 3x cos x cos x sin 3x sin x sin x
8
−
∗ ⇔ − =
( ) ( )
2 2
1 1 2 3 2
cos 4x cos2x cos x cos2x cos 4x sin x
2 2 8
−
⇔ + − − =
2 2 2 2
2 3 2
cos 4x cos x cos2x cos x cos 2x sin x cos 4x sin x
4
−
⇔ + − + =
( ) ( )
2 2 2 2
2 3 2
cos 4x cos x sin x cos2x cos x sin x
4
−
⇔ + + − =
Bài 30. Giải phương trình:
( )
4 2 2 4
3cos x 4 cos x sin x sin x 0
− + = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Qua Tp.HCM 1998 – 1999 đợt 1
Bài 31. Giải phương trình:
( )
3 3
2 3 2
cos 3x cos x sin 3x sin x
8
−
− = ∗
Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao) Ths. Lê Văn Đoàn
“Cần cù bù thông minh…………” - 21 -
( )
2
2 3 2 1 2 3 2
cos 4x cos 2x cos 4x 1 cos 4x
4 2 4
− −
⇔ + = ⇔ + + =
( ) ( )
2 k
4 cos2x 2 1 cos 4x 2 3 2 cos 4x x , k
2 16 2
π π
⇔ + + = − ⇔ = − ⇔ = ± + ∈ ℤ
.
Bài giải tham khảo
Lời bình: Trong bài toán xuất hiện bốn cung
x,2x,4x,8x
khác nhau, giúp ta liên tưởng đến việc
đưa chúng về cùng một cung. Để làm việc này ta sẽ suy nghĩ đến việc dùng công thức
2 2
cos2x 2 cos x 1 1 2 sin x= − = −
, nhưng nó thì không khả quan cho mấy, bởi thế
phương trình sẽ trở thành phương trình bậc cao, việc giải sẽ gây khó khăn. Nhưng để ý
rằng, các cung này lần lượt gấp đôi nhau, ta chợt nhớ đến công thức nhân đôi của
sin
,
bằng cách nhân thêm hai vế của
( )
∗
cho
sin x
. Để đảm trong phép nhân, ta nên kiểm
tra xem
sin x 0=
có phải là nghiệm hay không trước khi nhân.
● Nhận thấy:
( )
sin x 0 x k hay cos x 1 cos2x cos 4x cos 8x 1= ⇔ = π = ± ⇔ = = =
nên
( )
1
1
16
∗ ⇔ ± =
(vô nghiệm) nên
sin x 0 x k= ⇔ = π
không là nghiệm của
( )
∗
● Nhân cả 2 vế của phương trình
( )
∗
cho
16 sin x 0≠
, ta được:
( )
16 sin x cos x cos2x cos 4x cos 8x sin x 8 sin 2x cos2x cos 4x cos 8x sin x
sin x 0 sin x 0
= =
∗ ⇔ ⇔
≠ ≠
4 sin 4x cos 4x cos 8x sin x 2sin 8x cos 8x sin x sin16x sin x
sin x 0 sin x 0 sin x 0
= = =
⇔ ⇔ ⇔
≠ ≠ ≠
k2
x
k2
x
15
15
l
x
l
x
17 17
17 17
x m
π
=
π
=
π π
⇔ ⇔
= +
π π
= +
≠ π
với
( )
17p 1
k 15n; l ; k,l, m,n, p
2
−
≠ ≠ ∈ ℤ
.
Bài giải tham khảo
( )
( )
3
4 sin 3x cos2x 1 2 3sin x 4 sin x 4 sin 3x cos2x 1 2 sin 3x∗ ⇔ = + − ⇔ = +
( )
( )
( )
2
2 sin 3x 2 cos2x 1 1 2 sin 3x 4 cos x 3 1⇔ − = ⇔ − =
Do
( )
cos x 0 x k , k
2
π
= ⇔ = + π ∈ ℤ
không là nghiệm phương trình
( )
, nên nhân hai vế
( )
cho
cos x 0≠
, ta được:
( )
( )
3
2 sin 3x 4 cos x 3 cos x cos x 2sin 3x cos 3x cos x⇔ − = ⇔ =
Bài 32. Giải phương trình:
( )
1
cos x cos2x cos 4x cos 8x
16
= ∗
Trích đề
thi tuy
ển sinh Đ
ạ
i
họ
c Kinh tế
Qu
ốc Dân năm 1998
Bài 33. Giải phương trình:
( )
3
4 sin 3x cos2x 1 6sin x 8 sin x= + − ∗
“Cần cù bù thông minh…………” - 23 -
● So với điều kiện, họ nghiệm của phương trình là
( )
x k2 , k
3
π
= + π ∈ ℤ
.
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
sin x 0≠
( )
2 2
sin x(1 sin2x cos2x) 2 2 sin x cos x 1 sin2x cos2x 2 2 cos x∗ ⇔ + + = ⇔ + + =
( )
2
2 cos x 2 cos x sin x 2 2 cos x 0 2 cos x cos x sin x 2 0⇔ + − = ⇔ + − =
( )
cos x 0
x k
cos x 0
2
k, l
cos x 1
cos x sin x 2
x l2
4
4
π
=
= + π
=
⇔ ⇔ ⇔ ∈
π
π
− =
+ =
= + π
ℤ
.
● So với điều kiện, họ nghiệm phương trình là
( )
x k x l2 , k,l
2 4
π π
= + π ∨ = + π ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
( )
sin x 0
2 sin x cos x 0 sin 2x 0 2x k x k , k
cos x 0
2
≠
π
⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ π ⇔ ≠ ∈
≠
ℤ
.
( ) ( ) ( )
2 2
sin x cos x sin x cos x
2 sin2x cos2x 2 sin2x cos2x
cos x sin x sin x cos x
+
∗ ⇔ + = + ⇔ = +
( ) ( )
1 1
2 sin2x cos2x sin 2x cos2x
sin x cos x sin2x
⇔ = + ⇔ = +
( )
2
sin2x sin2x cos 2x 1 sin 2x sin 2x cos2x 1 0⇔ + = ⇔ + − =
( )
2
sin 2x cos2x cos 2x 0 cos2x sin 2x cos2x 0⇔ − = ⇔ − =
( )
cos2x 0
x k
4
2 cos2x sin 2x 0 k, l
sin 2x 0
4
x l
4
8 2
π
=
= + π
π
⇔ − = ⇔ ⇔ ∈
π
π π
− =
= +
ℤ
.
● Kết hợp với điều kiện, phương trình có 2 họ nghiệm:
( )
x k x l , k,l
4 8 2
π π π
= + π ∨ = + ∈ ℤ
.
Bài giải tham khảo
Bài 36. Giải phương trình:
( )
2
1 sin2x cos2x
2 sin x sin2x
1 cot x
+ +
= ∗
+
Trích đề
thi tuy
ển sinh Đ
ạ
i
họ
c khối A năm 2011
Bài 37. Giải phương trình:
( ) ( )
tan x cot x 2 sin 2x cos2x+ = + ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Giao Thông Vận Tải Tp.HCM năm 1998
Bài 38. Giải phương trình:
( )
2
tan x tan x tan 3x 2+ = ∗
Trích đề thi tuyển sinh Đại học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
Ths. Lê Văn Đoàn Phương trình lượng giác và ứng dụng (Nâng cao)
- 24 -
● Điều kiện:
( )
3
cos x 0
k
cos 3x 0 x , k
cos 3x 4 cos x 3 cos x 0
6 3
≠
π π
⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈
= − ≠
ℤ
.
( ) ( )
sin x sin x sin 3x
tan x tan x tan 3x 2 2
cos x cos x cos 3x
∗ ⇔ + = ⇔ + =
(
)
2
sin x sin x cos 3x cos x sin 3x 2cos x cos 3x⇔ + =
( )
2
sin x sin 2x 2cos x cos 3x⇔ − =
2 2
2sin x cos x 2cos x cos3x⇔ − =
(
)
2
sin x cos x cos 3x do cos x 0⇔ − = ≠
( ) ( )
1 1
1 cos2x cos 4x cos2x
2 2
⇔ − − = +
( )
l
cos 4x 1 x , l
4 2
π π
⇔ = − ⇔ = + ∈ ℤ
● So nghiệm với điều kiện:
Cách 1: Khi
l
x
4 2
π π
= +
thì
3 l3 2
cos 3x cos 0
4 2 2
π π
= + = ± ≠
(nhận).
Cách 2: Biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm, ta thấy không có ngọn cung
nào trùng nhau. Do đó:
l
x
4 2
π π
= +
là nghiệm
của
phương trình. (Cách 2 này mất nhiều thời gian).
Cách 3: Nếu
3 l3
3x k
4 2 2
π π π
= + = + π
thì
3 6l 2 4k 2k 3l 0,5+ = + ⇔ − =
(vô lí vì k,l ∈ ℤ ).
Vậy họ nghiệm của phương trình là:
( )
l
x , l
4 2
π π
= + ∈
ℤ
.
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
cos x 0
sin x 0 sin2x 0
sin2x 0
≠
≠ ⇔ ≠
≠
.
( )
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 11 1 1 1 20
1 1 1
3 3
cos x sin x sin 2x cos x sin x 4 sin x cos x
∗ ⇔ − + − + − = ⇔ + + =
( )
2 2
2
2 2 2
4 sin x 4 cos x 1 20 5 20 3 1 3
sin 2x 1 cos 4x
3 3 4 2 4
4 sin x cos x sin 2x
+ +
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − =
( )
1 2 k
cos 4x cos x , k
2 3 6 2
π π π
⇔ = − = ⇔ = ± + ∈
ℤ
.
π/4
π/6
π/2
3π/4
5π/6
7π/6
5π/4
3π/2
7π/4
11π/6
Bài 39. Giải phương trình:
( )
2 2 2
11
tan x cot x cot 2x
3
+ + = ∗
