C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CRAME - PHƯƠNG PHÁP GAUSS HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT VÀ ỨNG DỤNG pdf
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (347.22 KB, 26 trang )
1
C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1
Các khái niệm
2
HPTTT Crame
3
Phương pháp Gauss
4
HPTTT Thuần nhất
4
Một số ứng dụng
2
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính:
1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất
gồm m phương trình n ẩn có dạng:
mnmn2
2
m
1
1
m
2n
n2
2
22
1
21
1n
n1
2
12
1
11
bxa xaxa
bxa xaxa
bxa xaxa
x
j
là biến
a
ij
được gọi là
hệ số (của ẩn)
b
i
: được gọi là
hệ số tự do
3
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2. Ma trận các hệ số:
mn
a
2
m
a
1
m
a
n2
a
22
a
21
a
n1
a
12
a
11
a
A
3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do:
T
n
x
2
x
1
x
n
x
2
x
1
x
X
T
m
b
2
b
1
b
m
b
2
b
1
b
B
Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B
4
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
4. Ma trận bổ sung:
m
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
b
b
a aa
a aa
a aa
A
5
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm:
• Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương
trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma
trận A bằng hạng của ma trận bổ sung .
Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình có nghiệm:
1
axxx
1
xaxx
1
xxax
3
2
1
321
321
6
II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ
phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định
thức của ma trận hệ số khác không.
2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm
duy nhất tính bằng công thức X = A
-1
B, tức là:
)Adet(
)
A
det(
x
j
j
Trong đó A
j
là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột
thứ j bằng cột các phần tử tự do.
7
II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
8x3x2x
30x6x4x3
6x2x
3
2
1
321
31
8
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số
phương trình và số ẩn khác nhau hoặc định thức ma
trận các hệ số bằng không.
3.2. Phương pháp: Sử dụng các phép toán sơ biến ma
trận bổ sung về dạng ma trận bậc thang.
m
2
1
mn2m1m
n22221
n11211
b
b
b
a aa
a aa
a aa
A
9
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
• m = n:
m
2
1
nn
n222
n11211
'b
'b
'b
'a 00
'a 'a0
'a 'a'a
A
n
n
'
nn
2n
'
n22
'
22
1n
'
n12
'
121
'
11
'bxa
'bxa xa
'bxa xaxa
10
III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
7x7x11x4
2x2xx3
4x3x4x2
3
2
1
321
321
11
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.1. Định nghĩa:
0xa xaxa
0xa xaxa
0xa xaxa
nmn2
2
m
1
1
m
n
n2
2
22
1
21
n
n1
2
12
1
11
T
0 00
0
0
0
X
Hệ luôn có nghiệm tầm thường
12
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.2. Phương pháp giải:
Trường hợp 1: Nếu rankA = n, hệ phương trình chỉ có
nghiệm tầm thường.
Trường hợp 2: Nếu rankA = k < n thì hệ phương trình
tuyến tính thuần nhất có vô số nghiệm, phụ thuộc n-k
tham số.
Ví dụ:
0x19x24x8x3
0x3x2x5x4
0x4x6x5x3
0x3x4x2x
4
3
2
1
3321
4321
4321
13
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
192483
3254
4653
3
4
2
1
0000
0000
5610
7801
2
42
32
12
H
HH2
HH3
H
H
2
101220
151830
5610
3
4
2
1
41
31
21
HH3
HH4
HH3
14
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
0x5x6x
0x7x8x
4
3
2
431
4
3
2
431
x5x6x
x7x8x
RankA = 2, số ẩn là 4 nên hệ phương trình có vô số
nghiệm phụ thuộc vào 2 tham số X
1
, X
2
.
15
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
4.3. Hệ nghiệm cơ bản: Giả sử rankA = k < n. Ta có hệ
có vô số nghiệm phụ thuộc n-k tham số. Giả sử n-k
tham số đó là x
k+1
, … x
n.
x
1
x
2
x
k
x
k+1
x
k+2
… x
n
c
11
c
12
… c
1k
1 0 0
c
11
c
12
… c
1k
0 1 0
c
n-k,1
c
n-k,2
… c
n-k,k
0 0 1
Hệ này được gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất.
16
IV.HỆ PTTT THUẦN NHẤT
Áp dụng: Sử dụng ví dụ trên ta tìm được hệ nghiệm
cơ bản như sau:
x
1
= 8x
3
– 7x
4
x
2
= -6x
3
+ 5x
4
x
3
x
4
8 -6 1 0
-7 5 0 1
17
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
5.1. Mô hình cân bằng thị trường:
1. Thị trường 1 loại hàng hóa:
Hàm cung : Q
s
= -a
0
+ a
1
P
Hàm cầu : Q
d
= b
0
- b
1
P
a
i
,b
i
≥ 0, P giá sản phẩm
• Mô hình cân bằng: Q
s
= Q
d
=> (a
1
+b
1
)P = (a
0
+b
0
)
Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có các thông tin:
Hàm cung : Q
s
= -1 + P
Hàm cầu : Q
d
= 3 - P
18
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
2. Thị trường 2 loại hàng hóa:
• Sản phẩm 1:
Mô hình cân bằng:
2
2
11
ds
ds
21211110d
21211110s
PbPbbQ
P
a
P
a
a
Q
1
1
22212120d
22212120s
PbPbbQ
P
a
P
a
a
Q
2
2
• Sản phẩm 2:
19
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
• Hệ phương trình cân bằng:
)ba(P)ba(P)ba(
)ba(P)ba(P)ba(
20
20
2
22
22
1
21
21
10102121211111
20
2
22
1
21
10212111
cPcPc
cPcPc
Ví dụ: Thị trường có 2 sản phẩm như sau:
• Sản phẩm 1:
• Sản phẩm 2:
21d
1s
PP210Q
P
3
2
Q
1
1
2
1
2
d
1s
PP15Q
P
2
1
Q
2
20
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
3. Thị trường n loại hàng hóa:
• Sản phẩm i:
nin22i11i0id
nin22i11i0is
Pb PbPbbQ
Pa PaPaaQ
i
i
• Hệ phương trình cân bằng: c
ij
= (a
ij
– b
ij
)
0
n
n
nn
2
2
n
1
1
n
20nn2222121
10nn1212111
cPc PcPc
cPc PcPc
c
P
c
P
c
P
c
21
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
Ví dụ: Giả sử thị trường có 3 sản phẩm:
321d
321s
PPP45Q
PPP28Q
1
1
321d
321s
PP4P2Q
PP2P10Q
2
2
321d
321s
P4PP1Q
P
2
P
P
14
Q
3
3
22
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
5.2.Mô hình cân đối liên ngành (I/O):
Giả sử một quốc gia có nhiều ngành sản xuất
Tổng cầu ngành:
- Cầu trung gian: sản phẩm dịch vụ hàng hoá ngành này là
yếu tố đầu vào phục vụ ngành khách.
- Cầu tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng): phục vụ
cho hộ gia đình, chính phù và xuất khẩu.
23
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
x
i
: tổng cầu của ngành I
x
ịj
: là giá trị sản phẩm hàng hóa, dịch vụ của ngành I mà
ngành j làm yếu tố đầu vào.
b
i
: giá trị sản phẩm hàng hóa dịch vụ ngành i cho tiêu dùng
và xuất khẩu.
Tổng cầu của ngành i:
i
in
2
i
1
i
i
b
x
x
x
x
in
n
in
2
2
2i
1
1
1i
i
bx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
24
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
n
n
nn
2
2
n
1
1
n
n
2nn22221212
1nn12121111
bxa xaxax
bxa xaxax
bxa xaxax
i
ij
ij
x
x
a
n
n
nn
2
2
n
1
1
n
2nn2222121
1nn1212111
bx)a1 (xa xa
bxa x)a1(xa
bxa xa x)a1(
Đặt:
25
V.MỘT VÀI ỨNG DỤNG
nn
a
2
m
a
1
n
a
n2
a
22
a
21
a
n1
a
12
a
11
a
A
B
X
)
A
I
(
• A: ma trận hệ số kỹ thuật hay ma trận chi phí trực tiếp
• a
ij
: hệ số chi phí cho nhập lượng hay hệ số kỹ thuật
• Dòng i: giá trị sản phẩm ngành i bán cho mỗi ngành
• Cột j: giá trị sản phẩm ngành j mua mỗi ngành để sử
dụng
• [I-A] là ma trận Leontief.
