TIỂU LUẬN cơ học LƯỢNG tử NÂNG CAO

1
Mục lục
1 LÝ THUYẾT TÁN XẠ LƯỢNG TỬ 2
1.1 Problem 11.6 (paper 367) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2
Chương 1
LÝ THUYẾT TÁN XẠ LƯỢNG TỬ
1.1 Problem 11.6 (paper 367)
PROBLEM 11.6
Show that the ground state of hydrogen (Equation 4.80) satisfies the integral form of
the Schrõdinger, for the appropriate V and E (note that E is negative,sok = iκ, where
κ ≡
√
−2mE

).
Phiên dịch đề bài
Chứng minh rằng trạng thái cơ bản của hidrogen (phương tình 4.80) thỏa mãn dạng
tích phân của phương trình Schrõdinger với V và E có giá trị thích hợp (lưu ý E<0, nên
k = iκ, trong đó κ ≡
√
−2mE

).
Bài làm
Nghiệm tổng quát của phương trình Schrõdinger có dạng:
ψ (
−→
r )=ψ
0
(

−→
r ) −
m
2π
2

e
ik
|
−→
r −
−→
r
0
|
|
−→
r −
−→
r
0
|
V (
−→
r
0
) ψ (
−→
r
0

) d
3
r
0
Theo công thức (4.80) hàm sóng trong trạng thái cơ bản của hydrogen có dạng
ψ =
1
√
πa
3
.e
−r/a
Trong đó:
a =
4πε
0

2
me
2
⇒ e
2
=
4πε
0

2
ma
Xét trong hệ đơn vị SI, biểu thức thế năng tương tác có dạng:
V = −

e
2
4πε
0
r
⇒ V = −
1
4πε
0
r
.
4πε
0

2
ma
= −

2
ma
.
1
r
Từ (4.71), ta lấy giá trị n =0, khi đó ta có:
κ =
me
2
4πε
0


2
.
1
n
=
1
an
=
1
a
Ta có
k =
√
2mE

=

i
2
(−2mE)

=
i
√
−2mE

= iκ =
i
a
3

Trong trường hợp này không có sóng tới, hay ψ
0
(
−→
r )=0
Như vậy từ biểu thức nghiệm tổng quát của phương trình Schrõdinger (11.57) ta đi
chứng minh:
−
m
2π
2

e
ik
|
−→
r −
−→
r
0
|
|
−→
r −
−→
r
0
|
V (
−→

r
o
) ψ (
−→
r
0
) d
3
r
0
= ψ (
−→
r )
Xét vế trái của phương trình trên, đặt là I, ta có:
VT = I =

−
m
2π
2


e
ik
|
−→
r −
−→
r
0

|
|
−→
r −
−→
r
0
|
.V (
−→
r
0
) ψ (
−→
r
0
) d
3
r
0
⇒ I =

−
m
2π
2


−


2
ma

1
√
πa
3

e
−
|
r −
−→
r
0
|
/a
|r −
−→
r
0
|
.
1
r
0
.e
−r
0
/a

d
3
r
0
=

1
2πa

1
√
πa
3

e
−
√
r
2
+r
2
0
−2rr
0
. cos θ/a

r
2
+ r
2

0
− 2rr
0
. cosθ
.
1
r
0
.e
−r
0
/a
.r
2
0
sin θdr
0
dθdφ
Tích phân theo φ:

2π
0
dφ =2π
Khi đó:
I =
1
a
√
πa
3


∞
0
r
0
.e
−r
0
/a
.


π
0
e
−
√
r
2
+r
2
0
−2rr
0
. cos θ/a

r
2
+ r
2

0
−2rr
0
. cosθ
sin θdθ

dr
0
Trước hết ta tính tích phân theo θ, ta có:
J =

π
0
e
−
√
r
2
+r
2
0
−2rr
0
. cos θ/a

r
2
+ r
2
0

− 2rr
0
. cosθ
sin θdθ = −

π
0
e
−
√
r
2
+r
2
0
−2rr
0
. cos θ/a

r
2
+ r
2
0
− 2rr
0
. cosθ
d (cos θ)
đặt
t =


r
2
+ r
2
0
− 2rr
0
. cos θ ⇒ t
2
= r
2
+ r
2
0
− 2rr
0
. cosθ
⇒ 2tdt = −2rr
0
.d (cos θ) ⇒ d(cos θ)=
−tdt
rr
0
Suy ra:
J = −

e
−t/a
t


−tdt
rr
0

=
1
rr
0

e
−t/a
dt = −
a
rr
0

d

e
−t/a

⇒ J = −
a
rr
0

π
0
d


e
−
√
r
2
+r
2
0
−2rr
0
. cos θ/a

= −
a
rr
0
.e
−
√
r
2
+r
2
0
−2rr
0
. cos θ/a




π
0
⇒ J = −
a
rr
0

e
−(r+r
0
)/a
−e
−|r−r
0
|/a

4
Thay biểu thức J vào I ta có:
I =
1
a
√
πa
3

∞
0
r
0

.e
−r
0
/a
.

−
a
rr
0

e
−(r+r
0
)/a
− e
−|r−r
0
|/a


dr
0
⇒ I = −
1
r
√
πa
3


∞
0
e
−r
0
/a
.

e
−(r+r
0
)/a
−e
−|r−r
0
|/a

dr
0
⇒ I = −
1
r
√
πa
3

e
−r/a

∞

0
e
−2r
0
/a
dr
0
−

∞
0
e
−r
0
/a
.e
−|r−r
0
|/a
.dr
0

⇒ I = −
1
r
√
πa
3

e

−r/a

∞
0
e
−2r
0
/a
dr
0
− e
−r/a

r
0
dr
0
−e
r/a

∞
r
e
−2r
0
/a
dr
0

⇒ I = −

1
r
√
πa
3

e
−r/a

a
2

− r.e
−r/a
− e
r/a
.
e
−2r
0
/a
−2/a




∞
r

⇒ I =

−1
r
√
πa
3

e
−r/a

a
2

−r.e
−r/a
+
a
2
.e
r/a
.

0 − e
−2r/a


⇒ I =
−1
r
√
πa

3

a
2
.e
−r/a
− r.e
−r/a
−
a
2
.e
−r/a

=
1
√
πa
3
.e
−r/a
= ψ (
−→
r )=VP
Vậy trạng thái cơ bản của hydrogen thỏa mãn dạng tích phân của phương trình
Schrõdinger với E và V có giá trị thích hợp.