Chứng minh ba điểm thẳng hàng

GV: Lê Công Thuận THCS Bình Thành
1


I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ ĐẶT VẤN ĐỀ:
Do sự phát triển như vũ bão của khoa học và kỹ thuật, kho tàng kiến thức của
nhân loại tăng lên nhanh chóng. Cái mà hôn nay còn mới thì ngày mai đã lạc hậu. Nhà
trường không thể nào luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được. Điều
quan trọng là phải trang bị cho các em khả năng tự học để có thể tự mình tìm kiếm
những kiến thức khi cần thiết trong tương lai. Do đó, vấn đề quan trọng đối với các
em không chỉ là tiếp thu thông tin mà còn biết sử lý thông tin để tìm ra những giải
pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng như của xã
hội.
Mọi ngành nghề trong xã hội đều có " bóng dáng " của toán học. Vì vậy nó rất
cần thiết cho mọi người. Đối với học sinh lớp 7, vì phải đối mặt với một lượng lớn
các kiến thức hình học, nên việc giải các bài toán hình học nhiều em còn lúng túng,
chưa nắm được phương pháp. Đặt biệt là chứng minh ba điểm thẳng hàng, phần lớn
các em đều gặp khó khăn đối với dạng toán này, học sinh không biết lặp luận trình
bày như thế nào ?
Với những trăn trở và suy nghĩ như trên đến nay tôi mạnh dạn đi tới nghiên cứu
và viết sáng kiến này. Tôi cũng không tham vọng nhiều mà chỉ mong giải quyết được
phần lớn những bức xúc trên, những điều không chỉ mình tôi trăn trở.

II. THỰC TRẠNG VÀ SỐ LIỆU BAN ĐẦU:
1. Quan sát:
Qua nhiều năm giảng dạy môn toán lớp 7 và kết hợp tham khảo các ý kiến của
đồng nghiệp, tôi nhận thấy trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán: " chứng
minh ba điểm thẳng hàng " thì phần lớn học sinh rất khó khăn trong việc vận dụng các
kiến thức đã học để giải dạng toán này. Sự vận dụng lý thuyết vào việc giải bài tập
của học sinh còn thiếu linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự
tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến

không làm được bài hoặc giải sai.
2. Điều tra:
Để nắm bắt được học sinh của mình có giải được dạng toán này không tôi đã
mạnh dạn bổ sung thêm câu hỏi " chứng minh ba điểm thẳng hàng " vào bài kiểm tra
một tiết. Kết quả tổng số 57 em thì chỉ có 5em chiếm tỷ lệ 8,8% làm được số còn lại
52 em chiếm tỷ lệ 91,2% đều bỏ trống hoặc làm sai không định hướng được cách làm.

III. NHỮNG GIẢI PHÁP:
Qua thời gian nghiên cứu, tìm tòi và học hỏi từ đồng nghiệp. Tôi đã mạnh dạn
đưa ra những phương pháp giải dạng toán "chứng minh ba điểm thẳng hàng" như sau:
1. Dựa vào định nghĩa góc bẹt để chứng minh ba điểm thẳng hàng:
GV: Lê Công Thuận THCS Bình Thành
2

a
B
A
C
1
21
I
E
F
D
C
B
A
4
3
2

1
K
D
I
B
C
A

B
A
C


ABC
= 180
0


Ba điểm A, B, C thẳng hàng
Ví dụ 1: ( Bài tập 55 trang 80 SGK Hình học 7). Cho hình vẽ:



Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng



Giải: KD là đường trung trực của AC

DA = DC



ADC cân tại D





1 2
D D
 (1)
DI là đường trung trực của AB

DA = DB


ABD cân tại D





3 4
D D
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra





1 4 2 3
D D D D
  

Ta có: DK // AI ( cùng vuông góc AC )
Mà
I

= 90
0
suy ra

IDK
= 90
0







1 4 2 3
D D D D
  
= 90
0




BDC
=




1 4 2 3
D D D D
  
= 180
0
Vậy ba điểm B, D, C thẳng hàng.

2. Vận dụng tiên đề Ơclít chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm
và cùng song song với một đường thẳng cho trước


/ /
/ /
CB a
CA a




A, B, C thẳng hàng
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D. Kẻ DF song
song BC ( F


AC ). Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Gọi I là
trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng.
Giải:

Ta có:


1
D B

( cặp góc đồng vị )



2 1
F C

( cặp góc đồng vị )
mà


1
B C

( tam giác ABC cân tại A )
suy ra


1 2
D F



suy ra

ADF cân tại A
GV: Lê Công Thuận THCS Bình Thành
3

a
A
B
C
H
E
K
D
C
B
A
y
A
x
C
B
BD AB AD
CF AC AF
 




 

BD = CF
mà BD = CE ( gt )
suy ra CE CF
v ID IEì






IC là đường trung bình của

DEF

CI // DF ( tính chất đường trung bình )
mà BC // DF
suy ra ba điểm B, I, C thẳng hàng.
3. Chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng vuông góc với
một đường thẳng cho trước:


AB a
BC a







ba điểm A, B, C thẳng hàng


Ví dụ 3: Cho

ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.
Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH vuông góc BC ( H


BC). Trên đoạn DE lấy điểm K sao cho BH = DK. chứng minh ba điểm A, H, K thẳng
hàng.
Giải:



ADE =

ABC ( vì AE = AC, AD = AB,



DAE BAC

)



D B
 


DE // BC

AHB AKD
  
( vì có AB = AD, BH = DK,


D B

)





AKD AHB

= 90
0




AK ED




AK BC


mà
AH

BC
suy ra ba điểm K, A, H thẳng hàng.
4. Chứng minh ba điểm cùng thuộc tia phân giác của một góc:




BA l tia ph n gi c
CA l tia ph n gi c
à â á xAy
à â á xAy






Ba điểm A, B, C thẳng hàng

GV: Lê Công Thuận THCS Bình Thành
4

N
B
C
A
M

B
C
E
A
D

N
M
A
B
C
C
B
A
M
G
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam
giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, N
thẳng hàng.
Giải:

ABM ACM
  
( vì AM chung, AB = AC, MB = MC )



BAM CAM
 



AM là tia phân giác

BAC
(1)
tương tự
ABN ACN
  
( c.c.c )



BAN CAN
 


Suy ra AN là tia phân giác của

BAC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, M, N thẳng hàng.
5. Chứng minh ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng

A thuộc đường trung trực của MN
B thuộc đường trung trực của MN

A, B , C thẳng hàng
C thuộc đường trung trực của MN

Ví dụ 5: Cho ba tam giác cân ABC, DBC và EBC có chung đáy BC. Chứng
minh rằng ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Giải:


ABC cân tại A suy ra AB = AC

A thuộc đường trung trực của BC (1)

DBC cân tại D suy ra DB = DC

D thuộc đường trung trực của BC (2)

EBC cân tại E suy ra EB = EC

E thuộc đường trung trực của BC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm A, D, E thẳng hàng.
6. Áp dụng đường trung tuyến của một tam giác thì phải đi qua trọng tâm.

G là trọng tâm tam giác ABC

Ba điểm A, G, M
AM là trung tuyến tam giác ABC thẳng hàng

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Trên AM lấy hai điểm P,
Q sao cho AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh ba
điểm B, P, E thẳng hàng.

GV: Lê Công Thuận THCS Bình Thành
5

M
A
CB
P
E
Q


y
x
C
B
A
I
K
D
C
B
A
I
D

C
B
A
H
Giải:

ABC có AM là trung tuyến
mà AQ = QP = PM (gt)
2
3
AP
 
AM

P là trọng tâm

ABC
Vì E là trung điểm của AC nên BE là trung tuyến của

ABC

BE đi qua trọng tâm P
hay ba điểm B, P, E thẳng hàng.
7. Chứng minh đường phân giác của tam giác thì đi qua giao điểm chung của
chúng:
I là giao điểm 2 đường phân giác


,
B C


A, I, D
AD là phân giác của

A
thẳng hàng



Ví dụ 7: Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I.
Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba
điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải:

Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại A
nên K cách đều hai cạnh Ax và AC (1)
Vì K thuộc đường phân giác góc ngoài tại C nên
K cách đều hai cạnh Cy và AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra K cách đều 2 cạnh Ax và Cy
Hay K cách đều hai cạnh BA và BC


KB là tia phân giác

B

Vì I là giao điểm 2 tia phân giác



,
A C
nên:
BI là tia phân giác

B
(gt)


Ba điểm B, I, K thẳng hàng.
8. Chứng minh đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác đó:

H là trực tâm

ABC

A, H, D
AD là đường cao

ABC thẳng hàng



GV: Lê Công Thuận THCS Bình Thành
6


K
H
I

C
B
M
A
C
B
A
O
E
F
C
B
D
M
A
Ví dụ 8: Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ đường cao BH và CK cắt nhau tại I.
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh A, I, M thẳng hàng.
Giải:

Vì I là giao điểm hai đường cao BH và CK nên I là trực tâm

ABC

ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên cũng là
đường cao.

Đường cao AM đi qua trực tâm I

Ba điểm A, I, M thẳng hàng.
9. Chứng minh đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai đường

trung trực của hai cạnh còn lại:

O là giao điểm 2 đường trung trực của

E, F, O
2 cạnh AC và BC thẳng hàng
EF là đường trung trực của cạnh AB


Ví dụ 9: Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Đường trung
trực của AB, AC cắt nhau ở D. Chứng minh A, D, M thẳng hàng.
Giải:


ABC cân tại A có MB = MC nên:
AM là đường trung tuyến

ABC


AM cũng là đường trung trực của

ABC
Mà D là giao điểm hai đường trung trực cạnh AB, AC
Nên AM đi qua D


Ba điểm A, D, M thẳng hàng.

Trên đây là những định hướng ban đầu nhằm giúp cho học sinh làm quen với

dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Vì đây là kiến thức mới và khó đối với
học sinh nên bước đầu bản thân tôi chỉ chọn những bài tập nhỏ, đơn giản, những bài
tập chủ yếu vận dụng kiến thức đã học để qua đó giới thiệu cách chứng minh ba điểm
thẳng hàng. Tuy nhiên dù dễ hay khó giáo viên cần phân tích kỹ đề bài để học sinh
tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh những lập luận sai hoặc lập luận quanh co
dẫn đến những sai lầm đáng tiếc.

IV. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Qua qúa trình giảng dạy môn hình học 7 nhiều năm. Sau khi xây dựng đề
cương chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã vận dụng vào dạy ở các lớp 7
1
, 7
2

GV: Lê Công Thuận THCS Bình Thành
7

chủ yếu vào các tiết luyện tập hoặc ôn tập chương và qua khảo sát các bài kiểm tra tôi
nhận thấy rằng tỷ lệ học sinh biết cách vận dụng và làm được dạng toán tìm ba điểm
thẳng hàng đã tăng lên khá nhiều so với đầu năm học.
Cụ thể: Bài kiểm tra 1 tiết - Tổng số 57 em
Số bài học sinh biết cách giải 34 em chiếm tỷ lệ 59,6% trong đó số bài học sinh
giải đúng 21 em chiếm tỷ lệ 36,8%.
Tuy chỉ mới dừng lại ở những bài tập đơn giản, những bài tập mang tính áp
dụng nhưng bước đầu bản thân tôi nhận thấy kết quả đạt được đã phản ánh phần nào
hướng đi đúng.
Như vậy qua quá trình hướng dẫn cho học sinh thì số học sinh giải được dạng
toán này đã tăng lên rõ rệt. Từ đó chất lượng dạy và học môn hình học 7 nói riêng và
môn toán nói chung trong nhà trường đã được nâng lên.

V. BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Qua quá trình vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này bản thân tôi nhận thấy còn
có một số khó khăn sau:
- Khả năng tư duy sáng tạo của các em còn yếu bởi đây là đặc điểm chung của
học sinh vùng gò đồi.
- Đòi hỏi người dạy phải linh hoạt trong việc sắp xếp bố trí thời gian trong quá
trình giảng dạy trên lớp.
- Đây là kiến thức mới và khó nên học sinh dễ rơi vào tình trạng e ngại hoặc
mất tự tin khi gặp dạng toán này. Có lẽ đây là khó khăn mà giáo viên cần phải khéo
léo tháo gỡ.
Qua quá trình giảng dạy, qua việc nghiên cứu các phương án giúp học sinh
chứng minh ba điểm thẳng hàng, tôi đã rút ra được một số kinh nghiệm sau:
* Đối với giáo viên:
- Muốn áp dụng được sáng kiến kinh nghiệm trên, người thầy phải thường
xuyên trau dồi kiến thức cả về chuyên môn lẫn nghiệp vụ, phải thường xuyên dự giờ
thăm lớp, rút kinh nghiệm từ phía đồng nghiệp. Thường xuyên nắm bắt được tâm sinh
lý của từng đối tượng học sinh, phải hiểu được khả năng tiếp thu của học sinh, từ đó
tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh của mình.
- Thông qua các phương pháp trên thì giáo viên cần có sự uốn nắn sai sót mà
học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi các em làm bài tập tốt. Đặc biệt
chú ý đến đối tượng học sinh yếu thông qua việc bố trí các buổi học phụ đạo để giúp
các em nắm được bài.
- Giáo viên phải có sự chuẩn bị kỹ càng, chu đáo về kiến thức, kế hoạch cũng
như phương tiện dạy học. Giúp cho người học có cảm giác nhẹ nhàng nhưng cũng
không kém phần sôi nổi, tạo hứng thú và niềm say mê học tập cho các em.
* Đối với học sinh:
GV: Lê Công Thuận THCS Bình Thành
8

- Bản thân học sinh phải tích cực trau dồi kiến thức thông qua tự học, tự rèn.

Kiên trì và chịu khó trong quá trình học tập.
- Nắm và hiểu được lý thuyết ngay tại lớp. Có kỹ năng vận dụng linh hoạt lý
thuyết giải bài tập.
- Phải biết vận dụng khéo léo các phương pháp mà giáo viên đã hướng dẫn trên
lớp.
- Tập trung nhiều thời gian cho việc làm bài tập ở nhà, thường xuyên trao đổi
và thảo luận cùng bạn bè để nâng cao kiến thức cho bản thân.

VI. KẾT LUẬN:
Nội dung chứng minh ba điểm thẳng hàng là một kiến thức rộng và sâu, tương
đối khó đối với học sinh. Vì vậy đòi hỏi người học phải có đầy đủ kiến thức, phải có
đầu óc phân tích, tổng hợp. Đây là một tiền đề giúp học sinh có khả năng tích hợp
kiến thức cũ để phát hiện kiến thức mới.
Do khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tầm quan sát tổng thể
chương trình môn toán chưa cao, nên khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Vì
vậy để sáng kiến của tôi thật sự có hiệu quả trong quá trình giảng dạy, tôi rất mong
nhận được sự đóng góp, giúp đỡ của hội đồng khoa học giáo dục trường THCS Bình
Thành và ngành giáo dục Huyện Hương Trà để bổ sung cho tôi những gì tôi chưa làm
được trong qúa trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này.
Tôi xin trân trọng cám ơn !

Bình Thành, ngày 06 tháng 5 năm 2009
Người viết



Lê Công Thuận

GV: Lê Công Thuận THCS Bình Thành
9


Ý KIẾN NHẬN XÉT, XẾP LOẠI CỦA HĐKHGD TRƯỜNG THCS BÌNH THÀNH










Nhất trí xếp loại: . . . . . . . .
Bình Thành, ngày tháng năm 2009
Hiệu trưởng - Chủ tịch hội đồng

Ý KIẾN NHẬN XÉT, XẾP LOẠI CỦA HĐKHGD NGÀNH GIÁO DỤC HƯƠNG TRÀ








Nhất trí xếp loại: . . . . . . . .

Hương Trà, ngày tháng năm 2009
Trưởng phòng - Chủ tịch hội đồng






GV: Lê Công Thuận THCS Bình Thành
10


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HƯƠNG TRÀ
TRƯỜNG THCS BÌNH THÀNH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Giáo viên: LÊ CÔNG THUẬN
Bình Thành, ngày 6 tháng 5 năm 2009