bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc 2

Kiểm tra bài cũ
4x
2
+ x – 5 = 0
a = 4, b = 1, c = -5
Ta có: a + b +c = 4 + 1 - 5 = 0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm là:
4
5
,1
21
−
===
a
c
xx
Xác định nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) khi
a + b + c = 0?
Áp dụng: Giải phương trình 4x
2
+ x – 5 = 0
Xác định nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) khi
a – b + c = 0 ?
Áp dụng: Giải phương trình 3x
2

+ 4x + 1 = 0
3x
2
+ 4x + 1 = 0
a = 3, b = 4, c = 1
Ta có: a - b +c = 3 - 4 + 1 = 0
Suy ra phương trình có 2 nghiệm là:
3
1
,1
21
−
=
−
=−=
a
c
xx

1. Phương trình trùng phương:
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a ≠0)
Nhận xét: Có thể giải phương trình trùng phương bằng cách đưa về
phương trình bậc hai, bằng cách: Đặt x
2
= t rồi giải phương trình bậc

hai at
2
+ bt + c = 0
Ví dụ̣: a) x
4
+ 2x
2
– 1 = 0; b) x
4
– 16 = 0;
c) 3x
4
+ 2x
2
= 0; d) 5x
4
= 0
Là những phương trình trùng phương

1. Phương trình trùng phương:
Là phương trình có dạng:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a ≠0)
Ví dụ: Giải phương trình: x
4
– 7x
2

+ 12 = 0 (*)
Giải
Đặt x
2
= t.
Phương trình (*) trở thành:
Giải phương trình (1): Ta có:
Phương trình (1) có 2 nghiệm
t
1
= 4 , t
2
= 3(nhận) (nhận)
* Với , ta có x
2
= . Suy ra
x
1
= , x
2
=
2
4
-2
* Với , ta có x
2
= . Suy ra
x
3
= , x

4
=
3
Vậy phương trình (*) có nghiệm:bốn
Nhận xét: Có thể giải phương trình
trùng phương bằng cách đưa về phương
trình bậc hai, bằng cách: Đặt x
2
= t rồi
giải phương trình bậc hai at
2
+ bt + c = 0
1. Đặt x
2
= t (t ≥ 0)
Đưa phương trình trùng phương
về phương trình bậc hai theo t:
at
2
+ bt + c = 0
2. Giải phương trình bậc hai theo t.
t
3. Lấy giá trị t ≥ 0 thay vào x
2
= t để
tìm x.
x = ±
4. Kết luận số nghiệm của phương
trình đã cho.
Các bước giải

Điều kiện t
t
2
– 7t + 12 = 0 (1)
t = t
1
= 4
t = t
2
= 3
≥ 0
Δ = (-7)
2
– 4 . 1 . 12 = 49 – 48 = 1
∆
= 1
- 3
3
x
1
= -2, x
2
= 2, x
3
= , x
4
=
- 3
3

1. Phương trình trùng phương:
Là phương trình có dạng:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a ≠0)
1. Đặt x
2
= t (t ≥ 0)
Đưa phương trình trùng phương
về phương trình bậc hai theo t:
at
2
+ bt + c = 0
2. Giải phương trình bậc hai theo t.
t
3. Lấy giá trị t ≥ 0 thay vào x
2
= t để
tìm x.
x = ±
4. Kết luận số nghiệm của phương
trình đã cho.
Các bước giải
?1 Giải các phương trình trùng phương:
4 2
)4 5 0(1)a x x+ − =
4 2
)3 4 1 0(1)b x x+ + =

4 2
)4 5 0(1)a x x+ − =
4 2
)3 4 1 0(1)b x x+ + =
Đặt: ……… Khi đó,
pt được viết:…………….
Giải phương trình bậc hai ,
ta được: t
1
= … (.……)
t
2
= … (……)
+ Với t = …, suy ra x
2
=…
Suy ra: x = ……….
Vây phương trình đã
cho có ……
……………………
Đặt: ……………….
Khi đó, pt được viết:
…………………
Giải phương trình bậc hai, ta được:
t
1
=……… (…… )

t

2
= …… (…… )
Vậy phương trình đã cho ………….
2
( 0).x t t= ≥
2
4 5 0t t+ − =
1 2
1; 1.x x
= = −
2
( 0).x t t= ≥
2
3 4 1 0t t+ + =
?1 Giải các phương trình trùng phương:
1. Phương trình trùng phương:
- 1 < 0 loại
loại
vô nghiệm.
nhận
loại
1
2 nghiệm:
1
1
- 5 < 0
± 1
0
3
1

<
−

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Cách giải:
Bước 1 : Tìm điều kiện xác định
của phương trình.
Bước 2 : Quy đồng mẫu thức hai vế
rồi khử mẫu thức.
Bước 3 : Giải phương trình vừa
nhận được.
Bước 4 : Tìm nghiệm thỏa mãn điều
kiện xác định và trả lời nghiệm
của phương trình.
?2 Giải phương trình :
2
2
3 6 1
(*)
9 3
x x
x x
− +
=
− −
+ ĐKXĐ :
(*)

⇒
2

3 6 3x x x− + = +
2
4 3 0x x
⇔ − + =
1
1x+ =
(TMĐK)
2
3x+ =
(KhôngTMĐK)
Vậy: Nghiệm của phương
trình(*) là: x = 1
3x ≠ ±
1. Phương trình trùng phương:

3. Phương trình tích:
1. Phương trình trùng phương:
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:
⇔
⇔
Giải
x
3
+ 3x
2
+ 2x = 0
x (x
2
+ 3x + 2) = 0
x = 0 hoặc x

2
+ 3x + 2 = 0
x
1
= 0, x
2
= -1 , x
3
= -2
Vậy phương trình có 3 nghiệm
x
1
= 0, x
2
= -1 , x
3
= -2
?3
Giải phương trình:
x
3
+ 3x
2
+ 2x = 0
⇔
Phương trình tích có dạng A(x).B(x) = 0
Cách giải phương trình A(x).B(x) = 0
 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

Cho các phương trình sau:

a) x
4
+ 2x
2
– 1 = 0
b) x
4
+ 2x
3
– 3x
2
+ x – 5 = 0
c) 3x
4
+ 2x
2
= 0
d) x
4
– 16 = 0
e) 5x
4
= 0
f) 0x
4
+ 2x
2
+ 3 = 0
Hãy chỉ ra các phương trình là phương trình trùng
phương và chỉ rõ các hệ số của từng phương trình.

3. Phương trình tích:
1. Phương trình trùng phương:
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:

a) x
4
+ 2x
2
– 1 = 0
b) x
4
+ 2x
3
– 3x
2
+ x – 5 = 0
c) 3x
4
+ 2x
2
= 0
d) x
4
– 16 = 0
f) 5x
4
= 0
e) 0x
4
+ 2x

2
+ 3 = 0
Các phương trình là phương trình
trùng phương
Các phương trình không phải là
phương trình trùng pương
(a=1,b=2,c=-1)
(a=3,b=2,c=0)
(a=1,b=0,c=-16)
(a=5,b=0,c=0)
Hãy chỉ ra các phương trình là phương trình trùng phương và
chỉ rõ các hệ số của từng phương trình.
1. Phương trình trùng phương:
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (a ≠ 0)
HDVN


Cách 1. x
4
- 16x
2
= 0 (1)
Đặt x
2
= t; t ≥ 0 ta được phương trình

(1) ⇔ t
2
-16 t = 0
⇔ t(t-16) = 0
⇔ t = 0 hay t -16 = 0
⇔ t = 16
* Với t = 0 ⇒ x
2
= 0 ⇔ x = 0
* Với t
1
= 16 ⇒ x
2
= 16 ⇔ x = ±

⇔ x = ± 4
Vậy phương trình có 3 nghiệm:
x
1
= 0; x
2
= 4; x
3
= -4
16
3. Phương trình tích:
1. Phương trình trùng phương:
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức:
Bài 1. Giải phương trình:
x

4
– 16x
2
= 0 (bằng 2 cách)
Hướng dẫn:
Cách 1. Giải theo phương trình trùng phương
Cách 2. Đưa về phương trình tích.
Cách 2. x
4
– 16x
2
= 0 (1)
(1)⇔ x
2
(x
2
– 16) = 0
⇔
x
2
= 0 (*) hoặc x
2
– 16 = 0 (**)
Giải (*) x
2
= 0 ⇔ x = 0
Giải (**) x
2
– 16 = 0
⇔ x

2
= 16 ⇔ x
2
= 16 ⇔ x = ±
⇔ x = ± 4
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:
x
1
= 0; x
2
= 4; x
3
= -4
16
HDVN

3. Phương trình tích:
1. Phương trình trùng phương:
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
thức:
Bài tập 2. Tìm chỗ sai trong lời giải sau ?
4
x + 1
=
-x
2
- x +2
(x + 1)(x + 2)
4(x + 2) = -x
2

- x +2
<=> 4x + 8 = -x
2
- x +2
<=> 4x + 8 + x
2
+ x - 2 = 0
<=> x
2
+ 5x + 6 = 0
Δ = 5
2
- 4.1.6 = 25 -24 = 1
Do 1 > 0, nên Δ > 0 nên phương trình
có hai nghiệm phân biệt:
3
2
15
1.2
15
2
2
15
1.2
15
2
1
−=
−−
=

−−
=
−=
+−
=
+−
=
x
x
Vậy phương trình có nghiệm:
x
1
= -2, x
2
= -3
ĐK: x ≠ - 2, x ≠ - 1
( Không TMĐK)
(TMĐK)
<=>
=>
Vậy phương trình có nghiệm: x = -3
BT 3

1/ Xem lại cách giải phương trình trùng phương,
phương trình chứa ẩn ở mẫu thức và phương
trình tích.
2/ Vận dụng các bước giải và thực hiện tương tự
như các ví dụ để giải các bài tập còn lại.

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN

CÁC THẦY CÔ GIÁO VÀ CÁC
EM HỌC SINH

Giải pt: x
4
- 10x
2
+ 9 = 0
Đặt x
2
= t; t ≥ 0
Ta được phương trình
t
2
- 10t + 9 = 0 (*)
Ta có a + b + c = 1 – 10 + 9 = 0
Phương trình (*) có hai nghiệm là
t = 1 , t = 9
* Với t = 1 ⇒ x
2
= 1 ⇔ x = ±1
* Với t

= 9 ⇒ x
2
= 9 ⇔ x = ± 3

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm
x
1

= 1 ; x
2
= - 1 ; x
3
= 3 ; x
4
= -3
3. Phương trình tích:
1. Phương trình trùng phương:
2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
thức:
HDVN