Bài giảng phương pháp tính đại học mỏ địa chất

TRƢỜNG ĐẠI HỌC MỎ ĐỊA CHẤT
BỘ MÔN TOÁN





BÀI GIẢNG
PHƢƠNG PHÁP TÍNH










THÁNG 09/2014

1




Chƣơng 1. SAI SỐ


Trong các bài toán kỹ thuậ t, giá trị các đạ i lưng dùng trong tính toán thưng
không đưc biế t mộ t cách chính xác . Chúng ta làm việ c chủ yế u với giá trị gầ n đúng củ a
các đạ i lưng mà thôi. Khi đó, độ lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị đúng gọi là sai số.
1. Số xấp xỉ. Gọi a là số xấp xỉ của số đúng A, nếu a sai khác A không đáng kể và đƣợc
dùng thay cho A trong tính toán. Ký hiệu là a ≈ A.
2. Sai số tuyệt đối. Đại lƣợng ∆
a
= |a - A| đƣợc gọi là sai số tuyệt đối của của số xấp xỉ a.
Thực tế, không biết số đúng A, nên cũng không thể biết chính xác sai số tuyệt đối. Vì vậy,

ta gọi sai số tuyệt đối củ a số xấp xỉ a là đại lƣợng ∆
a
, càng bé càng tốt, sao cho |a - A| ≤ ∆
a
.
Từ bất đẳng thức trên, ta có a - ∆
a
≤ A ≤ a - ∆
a
.
Vậy giá trị của số đúng A đƣợc viết nhƣ sau: A = a ± ∆
a
.
3. Sai số tƣơng đối.
Đại lƣợng
a
a
a



gọi là sai số tƣơng đối của số a.
Sai số tƣơng đối cho biết mức độ tin cậy của số xấp xỉ. Sai số tuyệt đối không phản ánh
đƣợc điều đó. Giả sử đo chiều dài của hai cung đƣờng, đƣợc kết qủa:
S
1
= 1500m ± 50cm
S
1
= 10m ± 50cm

Hai phép đo có cùng sai số tuyệ t đố i nhƣng phép đo trƣc chính xác hơn phép đo sau.
4. Chữ số đáng tin. Cho số xấp xỉ a vi sai số ∆
a
. Giả sử a đƣợc viết dƣi dạng thập phân
   
1 1 2
1 0 1 2
1 0 1 2
10 10 10 10 10
,
n n m
n n m m
n n m
a a a a a a a a
hay a a a a a a a
   
    
   
        


Chữ số a
k
đƣợc gọi là đáng tin nếu
10 / 2 10 2
kk
aa
    
.
Chữ số a

k
đƣợc gọi là đáng nghi nếu
10 / 2 10 2
kk
aa
    
.
Ví dụ: cho a = 21.53674, sai số Δ = 0.004. Có 2≤

Các chữ số đáng tin là các
chữ số trƣc chữ số thập phân thứ 2, đó là 2,1,5,3. Các chữ số còn lại là đáng nghi.
Nếu sai số là Δ = 0.006. Thì 2Δ = 0.012 ≤ 10
-1
. Chữ số đáng tin là chữ số thập phân thứ
nhất. Các chữ số thập phân còn lại là đáng nghi.
5. Cách viết số xấp xỉ.
Cách thứ nhất: Viết số xấp xỉ kèm theo sai số tuyệt đối. Chẳng hạn 12,345 ± 0,005. Cách
này dùng để biểu diễn kết quả tính hoặc phép đo.





2




Cách thứ hai: Viết số xấp xỉ theo quy tắc: Mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin. Ví dụ khi viết
a = 1.26 thì sai số đƣợc hiểu là 0.005 (hoặc nhỏ hơn). Cách này thƣờng dùng trong các

bảng số lập sẵn.
6. Sự quy tròn số. Khi tiến hành tính toán, nếu số a có quá nhiều chữ số không tiện cho
tính toán hoặc không ghi hết đƣợc vào máy tính, ta phải bỏ đi vài chữ số cuối để nhận đƣợc
số gần đúng a
1
. Việc làm đó gọi là sự quy tròn. Biểu thức | a - a
1
| đƣợc gọi là sai số quy
tròn.
Quy tròn số phải theo quy tắc: Sai số quy tròn không đƣợc vƣợt quá nửa đơn vị của chữ số
giữ lại cuối cùng bên phải. Nhƣ vậy, nếu chữ số bỏ đi đầu tiên ln hơn hoặc bằng 5 thì
thêm 1 vào chữ số giữ lại cuối cùng. Nếu chữ số bỏ đi đầu tiên nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên
chữ số giữ lại cuối cùng.
Ảnh hưởng của sai số quy tròn. Xét ví dụ: Nếu khai triển nhị thức Newton, đƣợc công thức
đúng

 
10
2 1 3363 2378 2  

Thay gần đúng giá trị
2
vào hai vế của đẳng thức trên, đƣợc kết quả:
2

vế trái
vế phải
1.4
0.0001048576
33.8

1.41
0.00013422659
10.02
1.41421
0.00014866399
0.00862
1.414213563
0.00014867678
0.0001472
Sự khác biệt ln giữa hai vế chứng tỏ sai số quy tròn gây ra những hậu quả rất đáng ngại.
7. Sai số tính toán.
Khi tính toán biểu thức số học f(x
1
, ,x
n
), từ sai số của đối số x
i
, ta nhận đƣợc sai số của kết
quả tính biểu thức. Sai số này có thể sẽ rất ln.
a) Công thức tổng quát. Giả sử phải tính biểu thức u = f(x
1
, ,x
n
), vi sai số của mỗi x
i
là
Δ
i
. Gọi X
i

và U
i
là giá trị đúng của của các số xấp xỉ x
i
, u
i
tƣơng ứng. Theo công thức số
gia hữu hạn, có

 
   
 
11
11
1
1
, , , ,
, ,
1
nn
nn
i i i
ii
ii
n
n
i
i
i
f x x f x x

u U u X x x
xx
f x x
u
ux
u u x




      



  




b) Sai số của tổng. Xét tổng u = x
1
+ x
2
+ + x
n
. Theo công thức tổng quát, hoặc tính trực
tiếp, ta đƣợc

3





1
1


n
n
u x x
xx
u
u

     
   


Chú ý về sai số của hiệu. Nếu x
1
- x
2
nhỏ thì sai số Δu có thể rất ln. Vì vậy ngƣời ta
thƣờng tránh thực hiện phép trừ hai số gần nhau bằng cách biến đổi biểu thức nếu có thể.
Ví dụ: Tính hiệu u =

2,01 2
,
Nếu lấy
2,01 1,42, 2 1,42
thì u = 0,01. Sai số trong trƣờng hợp này là
Δ = (0,005 + 0,005) / (1,42 - 1,41) = 1.
Nếu viết u dƣi dạng

  
 
2.01 2 2.01 2
2.01 2 0.01
0,00353
1,42 1,41 2,83
2.01 2
u


   



Sai số Δ = (0,005 + 0,005) / (1,42 +1,41) = 0,005
Rõ ràng kết quả tốt hơn và sai số trong trƣờng hợp này nhỏ hơn nhiều cách tính trực tiếp.
c) Sai số của tích và thương. Theo công thức tổng quát: nếu u = x
1
x
2
hoặc u = x
1

/x
2
, đều có
Δu = |u|(Δx
1
+ Δx
2
)
Δu = (Δx
1
+ Δx
2
)
8. Sai số phƣơng pháp.
Nói chung các phƣơng pháp giải bài toán là các phƣơng pháp gần đúng. Sai số xuất hiện do
cách giải gọi là sai số phƣơng pháp. Mỗi phƣơng pháp thƣờng có một sai số nhất định.
Loại sai số này sẽ đƣợc nghiên cứu trong từng phƣơng pháp cụ thể.
9. Bổ sung: Kỹ năng sử dụng máy tính Casio - f 500.
a) Ô nhớ thanh tổng Ans: Để gán giá trị cho Ans, ta bấm giá trị cần gán rồi bấm dấu =.
Từ lúc này, giá trị ô nhớ thanh tổng đưc duy trì cho đến khi gặp lệnh gán khác.
b) Thực hiện phép tính lặp: Ví dụ cần tính x
n+1
= x
n
2
- 2x
n
+ 4, với x
1
= 1. Thực hiện theo

thứ tự sau: Gán 1 cho ans / bấm ans ans - 2ans + 4 / bấn dấu = liên tiếp n+1 lần.
c) Sử dụng ô nhớ khác: Để gán giá trị cho ô nhớ bất kỳ (có 9 ô nhớ), ta bấm giá trị cần
gán, rồi bấm lần lưt Shift / Sto (phím RCL) / bấm chữ cái là tên ô nhớ. Có 9 chữ cái là a
(phím (-)), b (phím ,,,), c (phím hyp) v.v .
Muố n sử dụ ng giá trị củ a ô nhớ nà o đó , bấ m Alpha / bấ m phí m chữ tương ứ ng.





4




Chƣơng 2. GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN


Chương này đưa ra các phương pháp giải gần đúng nghiệm thực của phương trình
phi tuyến f(x) = 0. Trong đa số trưng hp phương trình này không có công thức tìm
nghiệm. Ngay cả khi có công thức tìm nghiệm, thì do các hệ số của phương trình chỉ đưc
đưa ra một cách gần đúng, nên việc xác định chính xác nghiệm không còn ý nghĩa. Vì vậy
việc giải gần đúng nghiệm, với việc đánh giá đưc sai số của nó đóng vai trò quan trọng.

I. KHOẢNG PHÂN LY NGHIỆM VÀ SAI SỐ TỔ NG QUÁ T
1. Định nghĩa. Gọi [a,b] là khoảng phân ly nghiêm của phƣơng trình f(x) = 0 nếu khoảng
này chứa đúng một nghiệm của phƣơng trình đã cho.
Việc xác định khoảng phân ly nghiệm là yêu cầu bắt buộc để thực hiện đƣợc các
phƣơng pháp đƣợc trình bày dƣi đây.
2. Cách xác định khoảng phân ly.

Để tìm khoảng phân ly nghiêm, ta vẽ đồ thị hàm số y = f(x). Việc này đƣợc thực
hiện dễ dàng nhờ một số phầm mềm thông dụng nhƣ Graph, Mathlable, Dựa vào đồ thị,
dễ dàng xác định đƣợc khoảng phân ly. Muốn chính xác, ta dù ng định lý sau:
Định lý: Nếu hàm f(x) xác định và liên tục trên [a,b], f(a)f(b) < 0, có đạo hàm f '(x) không
đổi dấu trên (a,b), thì [a,b] là khoảng phân ly nghiệm.
Dƣi đây là một số đồ thị mà dựa vào đó, bạn đọc dễ dàng xác định đƣợc các
khoảng phân lý nghiệm tƣơng ứng.


-2 2 4

-2 2 4
y











2
21
2
1
x
y

x




2
4sin
2
x
yx












5




-15 -10 -5 5 10 15
-10
10

x
y

y =

||    2
3. Đánh giá sai sô tổng quát
Trong mọi phƣơng pháp gần đúng để tìm nghiệm của phƣơng trình f(x) = 0, ta có
thể sử dụng đánh giá sai số tổng quát sau đây
Định lý: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b). Gọi x* và α là nghiệm gần
đúng và nghiệm đúng trong khoảng phân ly nghiệm của phƣơng trình f(x) = 0. Khi đó

( *)
*
fx
x
m


, trong đó m = min{ |f '(x)| ; x

(a,b) } (2.1)
Chứng minh.
Theo định lý Lagrange, có f(x*) = f(x*) - f(α) = f'(c)(x* - α). Từ đó ta có ĐPCM.
Đánh giá trên là đúng trong mọi trƣờng hợp. Tuy nhiên, vi mỗi phƣơng pháp cụ thể, do
đặc thù khác nhau, có thể có các đánh giá tốt hơn.

II. PHƢƠNG PHÁP CHIA ĐÔI
1. Thuật toán. Xét bài toán f(x) = 0. Luôn giả thiết f(a)f(b) < 0, và khoảng phân ly nghiệm
là [a,b].

Bƣc 1. Chọn khoảng phân ly xuất phát [a
1
; b
1
] vi a
1
= a, b
1
= b. Tìm trung điểm
11
1
2


ba
x
.
Bƣc 2. Nếu f(x
1
) = 0 thì x
1
là nghiệm. Dừng thuật toán.
Nếu không, xét các trƣờng hợp


Hình 1 Hình 2
Nếu f(x
1
)f(a
1

) > 0 thì lập khoảng mi [a
2
,b
2
] vi a
2
= x
1
, b
2
= b
1
(hình 1).
Nếu f(x
1
)f(a
1
) < 0 thì lập khoảng mi [a
2
,b
2
] vi a
2
= a
1
, b
2
= x
1
(hình 2).

a x
1
b

Hình 1
a x
1
b


Hình 2





6




Bƣc 3.
Đối vi khoảng [a
2
,b
2
], lặp lại quá trình trên n lần, đƣợc nghiệm gần đúng
2



nn
n
ba
x
.
2. Sự hội tụ. Dãy nghiệm gần đúng tìm đưc theo phương pháp chia đôi hội tụ về nghiệm
đúng α của phương trình f(x) = 0.
Thật vậy, có a ≤ a
n
≤ x
n
≤ b
n
≤ b, nên dãy {a
n
} bị chặn trên, dãy {b
n
} bị chặn dƣi.
Do đó tồn tại các gii hạn lima
n
, limb
n
. Lại có lim(a
n
-b
n
) = lim(b-a)/2
n
= 0, nên lima
n

=
limb
n
. Đặt α = lima
n
= limb
n
.
Có f(α) = limf(a
n
) = limf(b
n
). Vì f(a
n
) và f(b
n
) luôn trái dấu, nên f(α) = 0. Vậy α là
nghiêm. Lại do x
n
bị kẹt giữa a
n
và b
n
nên cũng có limx
n
= α. ĐPCM.
3. Sai số. Do x
n
là trung điểm của [a
n

,b
n
] và x
n-1
là một trong hai mút a
n
hoặc b
n
, nên
|x
n
- α| ≤
1 1 2 2
23

2
2 2 2
n n n n n n
n
b a b a b a
ba
   
  

   
(2.2)

Ví dụ: Giải phƣơng trình x
3
- x - 1 = 0, bíêt khoảng phân ly nghiệm là [1,2].

Giải: f(1) < 0, f(2) > 0. Kết quả đƣợc ghi trong bảng sau
N
a
n

f(a
n
)<0
b
n
f(b
n
)>0
x
n
f(x
n
)
1
1
2
1,5
+ 0,875
2
1
1,5
1,25
- 0,2969
3
1,25

1,5
1,375
+ 0,2246
4
1,25
1,375
1.3125
- 0,0515
5
1,3125
1,375
1,3438
+ 0,0826
6
1,3125
1,3436
1,3281
+ 0,0146
Nghiệm gần đúng x
6
= 1,3281, Sai số = 1/2
6
= 0,0156.
Chú ý về cách thưc hiện :
+ Giá trị hàm tại các mút trái và mút phải là không đổi trong quá trình tính toán, nên ta
chỉ cần tìm dấu của hàm một lần là đủ. Ở đây, tại mút trái, giá trị hàm số luôn âm (-), tại
mút phải là dương (+).
+ Nếu giá trị hàm số tại f(x
n
) cùng dấu với giá trị hàm tại đầu mút bên nào, thì mút ấy đổi

thành giá trị mới, mút còn lại để nguyên. Trong bảng, các giá trị gạch dưới là các mút
đưc đổi mới.





7





II. PHƢƠNG PHÁP LẶP
1. Thuật toán. Xét bài toán f(x) = 0. Luôn giả thiết f(a)f(b) < 0, và khoảng phân ly nghiệm
là [a,b].
Bước 1. Đƣa phƣơng trình về dạng x = φ(x), trong đó φ(x) là hàm số liên tục, thoả mãn
điều kiện hội tụ :
i) |φ'(x)| ≤ q < 1
ii) φ(x)  [a,b]
Bước 2. Chọn điểm xuất phát tuỳ ý x
0


[a,b].
Bước 3. Lập dãy nghiệm xấp xỉ theo công thức sau:
x
1
= φ(x
0

), x
2
= φ(x
1
), , x
n
= φ(x
n-1
). (2.3)
Khi đó dãy {x
n
} sẽ hội tụ về nghiệm đúng của phƣơng trình đã cho.
Thật vậy. Gọi x* là nghiệm, x* = φ(x*). Vậy x
n
- x* = φ(x
n-1
) - φ(x*) = (công thức số gia
hữu hạn đƣợc) = φ'(c)(x
n-1
- x*). Từ đó có dãy các đánh giá liên tiếp
|x
n
- x*| ≤ q|x
n-1
- x*| ≤ q
2
|x
n-2
- x| ≤ ≤ q
n

|x
0
- x*|. (2.4)
Vì q < 1 nên dãy {x
n
} hội tụ về nghiệm đúng x*. ĐPCM.
Mô tả hình học




Chú ý: Ở bƣc 1, có thể thay điều kiện φ(x)  [a,b] (ii) bằng cách chọn điểm xuất phát
theo cách sau:
+ Nếu trên [a,b], φ'(x) > 0 thì chọn x
0
tùy ý trên [a,b].
+ Nếu φ'(x) < 0, thì chọn
0
0
( ) ( ) 0
2
( ) ( ) 0
2
ab
x a khi f a f
ab
x b khi f b f













Chú ý rằng, cách chọn x
0
nhƣ trên là theo quy tắc: nếu đầu mút nào gần nghiệm hơn thì
chọn mút ấy làm điểm xuất phát.
3. Sai số. Gọi x* là nghiệm đúng thì nghiệm x
n
thoả mãn các đánh giá sau

 
 
1
10
*1
1
*2
1
n n n
n
n
q
x x x x

q
q
x x x x
q

  

  

(2.5)
a x
1
x
2
x
0
b








8

Thật vậy, theo (2.4) có |x
n
- x*| ≤ q|x
n-1
- x*| = q|x
n-1
- x
n
+ x
n
- x*| ≤ q|x
n-1
- x
n
|+
q|x
n
- x*|. Chuyển vế nhận đƣợc công thức (1).
Lại có |x
n
- x
n-1
| = |φ'(c)| . |x
n-1
- x
n-2
| ≤ q|x
n-1
- x
n-2

| ≤ ≤ q
n-1
|x
1
- x
0
|.
Thay vào (1) nhận đƣợc (2). ĐPCM.
Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình x
3
- x - 1 - 0, bíết khoảng phân ly là [1,2].
Giải: Đƣa phƣơng trình về dạng
3
1.xx
Có
 
 
2
3
11
' , ó 0 ' , 1,2
3
31
cx
x

    

.
Ngoài ra, trên đoạn [1, 2] có

 
 
3
1 1,2xx

  
.
Vậy chọn điểm xuất phát tuỳ ý trong khoảng [1,2], chẳng hạn x
0
= 1, đƣợc
x
0
= 1
x
1
= 1.25992
x
2
= 1.31229
x
3
= 1.32235
x
4
= 1.32427
x
5
= 1.32463
Có q = 1/3, q/(1-q) = 1/2 , x
5

- x
4
= 0.00036, nên sai số là 0.0002.
III. PHƢƠNG PHÁP DÂY CUNG
1. Thuật toán. Biết trƣc [a,b] là khoảng phân ly nghiệm của phƣơng trình f(x) = 0. Ngoài
ra, f(x) là hàm số liên tục và các đạo hàm f '(x), f ''(x) có dấu không đổi trên (a,b).
Trƣc tiên ta xây dựng thuật toán trong hai trƣờng hợp riêng
a) Trường hợp f(a).f ''(x)>0.
Chọn điểm xuất phát x
0
= b.
Lập phƣơng trình dây cung AB:
 
   
0
0
00
y f x
xx
f a f x a x









Hoành độ giao điểm của dây AB vi trục hoành là

 
 
   
00
10
0
f x a x
xx
f a f x



; x
1
có tính
chất: a < x
1
< b, và f(x
1
) luôn cùng dấu vi f(x
0
) (do tính lồi của hàm f(x)). Vậy chọn
khoảng mi [a,x
1
] thì khoảng này nằm trong [a,x
0
] và bảo toàn điều kiện f(x
1
)f ''(x) > 0.
Lặp lại quá trình trên n lần, đƣợc

 
 
   
11
01
1
,
nn
nn
n
f x a x
x b x x
f a f x




  

(2.6)
a x
2
x
1
b
x
0

B
A
a x
2
x
1
b



B
A





9




Dễ dàng chứng minh đƣợc dãy [x
n
} sẽ hội tụ về nghiệm đúng x*.
Thật vậy, dãy {x

n
} là dãy giảm, bị chặn dƣi, nên tồn tại x* = lim x
n
.Lấy gii hạn hai vế
của (2.5), đƣợc
 
 
   
**
**
*
f x a x
xx
f a f x



. từ đó f(x*) = 0. ĐPCM.
a) Trường hợp f(a).f ''(x)<0.
Chọn điểm xuất phát x
0
= a.
Lập phƣơng trình dây cung AB:
 
   
0
0
00
y f x
xx

f b f x b x









Hoành độ giao điểm của dây AB vi trục hoành là
 
 
   
00
10
0
f x b x
xx
f b f x



; x
1
có
tính chất: a < x
1
< b, và f(x
1

) luôn cùng dấu vi f(x
0
) (do tính lồi của hàm f(x)). Vậy chọn
khoảng mi [x
1
,b] thì khoảng này nằm trong [x
0
,b] và bảo toàn điều kiện f(x
1
)f ''(x) > 0.
Lặp lại quá trình trên n lần, đƣợc

 
 
   
11
01
1
,
nn
nn
n
f x b x
x a x x
f b f x




  


(2.7)
Tƣơng tự chứng minh sự hội tụ của công thức (2.6), dãy {x
n
} tính theo công thức
(2.6) sẽ hội tụ về nghiệm đúng x*.
c) Trường hợp tổng quát. Hai công thức (2.6), (2.7) đƣợc viết thành công thức chung sau

 
 
   
   
   
11
11
1
11
nn
nn
nn
nn
f x d x
df x x f d
xx
f d f x f x f d







  

(2.8)
trong đó
   
   
0
0
, , '' 0
, , '' 0
x b d a Khi f a f x
x a d b Khi f a f x
  



  



2. Sai số. Giả sử trên [a,b], có M ≥ f '(x) ≥ m. Khi đó dãy nghiệm gần đúng của phƣơng
pháp dây cung thoả mãn đánh giá

1
*
n n n
Mm
x x x x
m



  
(2.9)
Chúng minh. Từ (2.8), đƣợc
   
 
 
 
1
11
1
n
n n n
n
f d f x
x x f x
dx






.
Thêm vào vế trái 0 = f(x*), đƣợc
a x
1
x
2

b
x
0




B
A
a x
1
x
2
b



B
A





10




   

 
 
   
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
1
11
1
1 1 2 1 2 1
1 2 1 2
12
1 1 1
2
*
' ' * ' *
' ' ' *
''
*

'
n
n n n
n
n n n n n n
n n n
n n n n n n n
f d f x
x x f x f x
dx
f c x x f c x x f c x x x x
f c f c x x f c x x
f c f c
Mm
x x x x x x x x
f c m



  

  

  

       
    







       

Ví dụ. Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình x
3
- x - 1 - 0, bíết khoảng phân ly là [1,2].
Giải. Trên đoạ n [1,2] có f ' = 3x
2
– 1 > 0, f" = 6x > 0 vậ y điề u kiệ n củ a phƣơng phá p dây
cung thoả mã n . Có f(1) = -1 < 0, trái dấu vi f". Vậy chọn điểm xuất phát x
0
= 1, đƣợc
công thức lặp

   
   
3
11
11
3
1
11
22
2 7 2
2
6
nn
nn

n
n
nn
f x x f
xx
x
f x f
xx










Kết quả
x
1
= 1
x
2
= 1,16667
x
3
= 1, 25311
x
4

= 1,29344
x
5
= 1,31128
x
6
= 1,31899
Sai số: Có M
1
=11; m
1
=2; x
n
- x
n-1
= 0,00771. Vậy  =
11 2
0,00771 0,04
2


.
IV. PHƢƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN
1. Thuật toán. Biết trƣc [a,b] là khoảng phân ly nghiệm của phƣơng trình f(x) = 0. Ngoài
ra, f(x) là hàm số liên tục và các đạo hàm f '(x), f ''(x) có dấu không đổi trên (a,b).
a) Trường hợp f(a).f ''(x)>0. Chọn điểm xuất phát x
0
= a.
Phƣơng trình tiếp tuyến tại A là
   

 
0 0 0
'y f x f x x x  
.




Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến vi trục hoành là
 
 
0
10
0
'
fx
xx
fx

.
x
1
thỏa mãn: a < x
1
< b, và f(x
1
) luôn cùng dấu vi f(x
0
) (do f(x) lồi). Vậy chọn khoảng
mi [x

1
,b] thì khoảng này nằm trong [x
0
,b] và bảo toàn điều kiện f(x
1
)f ''(x) > 0.
Lặp lại quá trình trên n lần, đƣợc
 
 
1
01
1
,
'
n
nn
n
fx
x a x x
fx



  
(2.10)
Dễ dàng chứng minh đƣợc dãy {x
n
} sẽ hội tụ về nghiệm đúng x*.
a x
1

x
2
x
0
b






A
b
a x
1
x
2




B
A





11

Thật vậy, dãy {x
n
} là dãy tăng, bị chặn trên, nên tồn tại x* = lim x
n
.Lấy gii hạn hai vế
của (2.10), đƣợc
 
 
*
0
'*
fx
fx

. Từ đó f(x*) = 0. ĐPCM.
b) Trường hợp f(a).f ''(x)<0. Chọn điểm xuất phát x
0
= b. Pƣơng trình tiếp tuyến tại B là
   
 
0 0 0
'y f x f x x x  
.

Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến vi trục hoành là
 
 
0
10
0
'
fx
xx
fx


x
1
có tính chất: a < x
1
< b, và f(x
1
) luôn cùng dấu vi f(x
0
) (do tính lồi của hàm f(x)). Vậy
chọn khoảng mi [a,x
1
] thì khoảng này nằm trong [a,x
0
] và bảo toàn điều kiện f(x
1
)f ''(x) >
0. Lặp lại quá trình trên n lần, đƣợc

 
 
1
01
1
,
'
n
nn
n
fx
x b x x
fx



  
(2.11)
c) Trường hợp tổng quát. Hai công thức (2.10), (2.11) đƣợc viết thành công thức chung
sau

 
 
1
1
1
'
n
nn

n
fx
xx
fx




, trong đó
   
   
0
0
, '' 0
, '' 0
x a Khi f a f x
x b Khi f a f x







(2.12)
2. Sai số.
Đặt
 
 
 

 
21
max | ''( )|, , ; min | '( )|, ,M f x x a b m f x x a b   
. Khi đó dãy
nghiệm gần đúng của phƣơng pháp dây cung thoả mãn đánh giá

2
2
1
1
*
2
n n n
M
x x x x
m

  
(2.13)
Chúng minh. Từ (2.12), đƣợc
   
 
1 1 1
'0
n n n n
f x f x x x
  
  
. Từ đó, khai triển Taylor
hàm f(x) tại x

n-1
, đƣợc

     
 
 
 
   
   
2
1 1 1 1
22
2
11
1
' ''
2
1
''
22
n n n n n n n
O
n n n n n
f x f x f x x x f x x
M
f x f x x x x


   



     
    


Mặt khác, theo đánh giá tổng quát (2.1), đƣợc
x
0

a x
2
x
1
b





B
A
a x
2
x
1
b



B

A





12





2
*
2
1
11
()
2
n
n n n
fx
M
x x x x
mm

   
. ĐPCM.
Ví dụ.
Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình x

3
- x - 1 = 0 bằng phƣơng pháp tiếp tuyến,
biết khoảng phân ly nghiệm là [1,2].
Giải. Trên khoảng phân ly có y’ = 3x
2
-1 > 0; y'' = 6x > 0. Vậ y điề u kiệ n củ a phƣơng
pháp tiếp tuyến thoả mãn.
Có y(1) = -1 < 0. Tƣ̀ đó y(1)y'' < 0. Vậy chọn điểm xuất phát x
0
= 2.
Công thức lặp là
3
3
11
n-1
10
22
n-1 n-1
1
2x 1
;2
3x 1 3x 1
nn
nn
xx
x x x





   


Đƣợc kết quả
x
0
= 2
x
1
= 1,54545
x
2
= 1,35961
x
3
= 1,32580
x
4
= 1,32472
x
5
=1,32471
Sai số: Có x
n
- x
n-1
= 0,0001. M
2
= max{2x} = 12 ; m
1

= min{3x
2
-1} = 2.
Vậ y  =
28
12
(0,0001) 3.10
4



V. SƠ ĐỒ HOCNER
1. Sơ đồ Hocner.
Cho đa thức P
n
(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ +a
n-1
x + a
n
. Cho trƣc số thực x
0
. Thực hiện

phép chia đa thức P
n
cho (x - x
0
). Các hệ số của thƣơng và số dƣ đƣợc xác định theo sơ đồ
sau, gọi là sơ đồ Hocner tại x
0
:

a
0
a
1
a
2
a
3
a
n-1
a
n

0 x
0
b
0
x
0
b
1

x
0
b
2
x
0
b
n-2
x
0
b
n-1



x
0
: b
0
b
1
b
2
b
3
b
n-1
b
n

trong đó b
0
= a
0
, b
k
= a
k
+ x
0
b
k-1
, k=1,2 n.
Kết quả: P
n
= (x - x
0
)(b
0
x
n-1

+ b
1
x
n-1

+ +b
n-2

x + b
n-1
) + b
n
.
Đặc biệt quan trọng trong kết quả trên là: hệ số b
n
là phần dƣ của phép chia.
2. Áp dụng tính giá trị đa thức.










13




Thực hiện sơ đồ Hocner tại x
0
, dễ dàng tìm đƣợc phần dƣ b
n
. Khi đó P
n

(x
0
) = b
n
.
Ví dụ: Tính x
4
- x
3
+ 2x
2
+ x - 1 tại x = 2.
Sơ đồ Hocner là
1 -1 2 1 -1
2 2 8 18
(2)
x

1 1 4 9 17
Vậy P(2) = 17.
Chú ý: Cách tính giá trị đa thức bằng sơ đồ Hocner giảm thiểu đƣợc rất nhiều sai số tính
toán vì số phép nhân cần sử dụng ít hơn so vi tính trực tiếp.
Để minh hoạ, xét ví dụ:
Tính giá trị đa thức P = x
4
+ x
3
+ 2x
2
+ x + 1 tại x = 2,01.

Chỉ giữ lại hai chữ số lẻ trong các phép tính trung gian.
- Tính theo Hocner:
1 1 1 1 1
2,01 6,05 14,17 30,49
1 3,01 7,05 15,17 30,49 = P(2,1)
- T ính trực tiếp: P(2,1) = 34,99.
- Giá trị đúng là P = 31,49.
3. Viết đa thức theo luỹ thừa của (x-x
0
).
Áp dụng liên tiếp sơ đồ Hocner tại x
0
, ta thu đƣợc khai triển đa thức cho trƣc theo
luỹ thừa của (x-x
0
).
Ví dụ: Viết đa thức P = x
4
- x
3
+ 2x
2
+ x - 1 theo các luỹ thừa của (x-2)
Giải: Thực hiện sơ đồ Hocner liên tiếp:
1 -1 2 1 -1
2 2 8 18
(2)
x

1 1 4 9 17

2 6 20
(2)
x

1 3 10 29
2 10
(2)
x

1 5 20
2
(2)
x

1 7
1





14




Kết quả : P = (x-2)
4
+ 7(x-2)
3

+ 20(x-2)
2
+ 29(x-2) +17
4. Tính đạo hàm.
Nếu phân tích đa thức theo luỹ thừa của (x-x
0
) thì dễ dàng tính đƣợc đạo hàm các
cấp tại x
0
. Theo ví dụ trên, có
P'(2) = 29, P''(2) = 2!20, P'''(2) = 3!7, P''''(2) = 4!
5. Tìm nghiệm gần đúng của đa thức (Phƣơng pháp Muller).
Xét phƣơng trình P(x) = 0, trong đó P(x) là đa thức.
Bƣc 1: Chọn ba giá trị tuỳ ý x
0
, x
1
, x
2
làm nghiệm xấp xỉ ban đầu.
Bƣc 2: Lập tam thức bậc hai đi qua ba điểm (x
0
,f(x
0
)), (x
1
,f(x
1
)), (x
2

,f(x
2
)):
h(x) = a(x-x
0
)
2
+ b(x-x
0
) + c, trong đó:

     
   
   
   
   
2 0 2 1 2 1 2 0
2 0 2 1 1 0
2
2
2 0 2 1
2 1 2 0
2 0 2 1 1 0
2
x x f f x x f f
a
x x x x x x
x x f f
x x f f
b

x x x x x x
cf
    

  

  

  


Bƣc 3: Tìm nghiệm x
3
của tam thức bậc hai theo công thức

 
32
2
2
4
c
xx
b sign b b ac



(vì c = f
2
là số gần 0, vậy dùng công thức này để giảm thiểu sai số tính toán)
Vi bộ ba số x

1
, x
2
, x
3
, lặp lại quá trình trên. Cứ tiếp tục nhƣ vậy cho đến khi |x
n
- x
n-1
| <
ε vi ε là sai số cho trƣc.
Phƣơng pháp trên gọi là phƣơng pháp Muller. Phƣơng pháp này có thể áp dụng cho
phƣơng trình f(x) = 0 tuỳ ý.
Ví dụ: Giải gần đúng phƣơng trình 6x
4

- 40x
3
+ 5x
2
+ 20x + 6 = 0. Sai số định trƣc 10
-5
.
Giải: Chọn x
0
= 0,5 ; x
1
= 1 ; x
2
= 1,5 ta đƣợc

TT
x
n

f(x
n
)
mẫu số
a
b
c
0
0,5
13,250




1
1
-7




2
1,5
-6,750
0,25
-15,0000

-35,000
-6,7500
3
1,28785
-1,37624
0,03053
7,53712
-26,9293
-1,37627





15




4
1.23746
0,12695
0,00281
17,13164
-30,6915
0,12695
5
1,24160
0,00219
-0,00001

5,69230
-30,0678
0,00219
6
1,24168
-0,00000
-0,00000
3,83890
-30,0749
-0,00000
7
1,24168
0,00000




Trở ngại ln nhất của phƣơng pháp Muller là nghiệm x
3
nhận giá trị phức. Vi hàm số f(x)
bất kỳ, tính giá trị hàm tại giá trị phức là khó khăn. Nếu f(x) là đa thức, dùng sơ đồ Hocner,
vi cách lập trình đặc biệt, vẫn tính đƣợc f(x
3
). Vì vậy phƣơng pháp Muller chỉ thích hợp
để giải phƣơng trình đa thức.

16




BÀI TẬP VỀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH

Bài 1. Tìm nghiệm gần đúng của các phƣơng trình sau vi sai số ≤ 10
-3
bằng
các phƣơng pháp chia đôi:
a)
3
3 4 0xx  
= 0;
b)
10
x
xe 

Bài 2. Tìm nghiệm gần đúng của các phƣơng trình x+lnx-10=0 vi sai số ≤
10
-3
bằng phƣơng pháp dây cung.
Bài 3. Tính gần đúng nghiệm dƣơng của phƣơng trình x
2

- cos4x = 0 bằng
phƣơng pháp Newton vi n=3 (các giá trị lấy đến 4 chữ số sau dấu phẩy) và
đánh giá sai số.
Bài 4. Tính gần đúng nghiệm dƣơng của phƣơng trình x
2

- sin2x = 0 bằng
phƣơng pháp Newton vi n=3 (các giá trị lấy 4 chữ số thập phân) và đánh giá
sai số.
Bài 5. Tính gần đúng nghiệm dƣơng của phƣơng trình 3x

2

- sinx = 0 bằng
phƣơng pháp Newton vi n=3 (các giá trị lấy 4 chữ số thập phân) và đánh
giá sai số.
Bài 6. Tính gần đúng nghiệm ln nhất của phƣơng trình x
4

- 5x - 2 = 0 bằng
phƣơng pháp lặp vi n=3 (các giá trị lấy 4 chữ số thập phân) và đánh giá sai
số.
Bài 7. Cho phƣơng trình
010
2

x
ex
. Tìm gần đúng nghiệm dƣơng của
phƣơng trình trên bằng phƣơng pháp lặp vi n=3 (các giá trị lấy 4 chữ số thập
phân) và đánh giá sai số.
Bài 8. Dùng phƣơng pháp Newton giải gần đúng nghiệm ln nhất của
phƣơng trình
015
1

x
ex
vi sai số
4
10


e
.





17




Chƣơng 3. GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Chương này đưa ra các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
11 12 1 1
12
21 22 2 2
12
1 12
12





nn
nn
n n nn n n

a a a x b
xx
a a a x b
xx
a a a x b
xx
  


  




  

(3.1)
Gọi A là ma trận hệ số, b là cột tự do và x là véc tơ ẩn, thì hệ đưc viết dưới dạng
ma trận Ax = b. Nếu tồn tại ma trận nghịch đảo A
-1
thì nghiệm của hệ tồn tại và duy nhất,
tính theo công thức Cramer x = A
-1
b. Khi n có giá trị lớn, việc tìm nghiệm theo công thức
này đòi hỏi nhiều phép tính, vì vậy chúng ta sẽ đưa ra đây các phương pháp khác giải hệ
đã cho.
I. PHƢƠNG PHÁP KHỬ GAUSS
1. Thuật toán
a) Quá trình thuận. Đƣa hệ (3.1) về dạng tam giác.
Bƣc 1: Gọi phần tử a

11
là phần tử trụ. Luôn có thể coi a
11
≠ 0 và là số có giá trị tuyệt đối
ln nhất trong các hệ số của cột 1 (bằng cách đổi chỗ các phƣơng trình cho nhau, điều kiện
này luôn thỏa mãn). Chia phƣơng trình đầu cho a
11
. Đặt a
1
1j
= a
1j
/ a
11
, b
1
1
= b
1
/ a
11
, vi
mọi j = 1,2, ,n. Ta đƣợc

 
 
 
1 1 1
12
12 1 1

21
12
22 2 2
1
12
12
1

2




n
n
n
n
nn
n nn n
x
xx
a a b
ax
xx
a a b
a x n
xx
a a b

  


  




  


(3.2)
Đối vi hệ mi (3.2), khử các hệ số của x
1
trong các phƣơng trình còn lại nhƣ sau:
Nhân phƣơng trình (1) vi a
21
rồi trừ vào phƣơng trình (2)
Nhân phƣơng trình (1) vi a
31
rồi trừ vào phƣơng trình (3)
Cứ tiếp tục nhƣ vậy cho đến phƣơng trình cuối cùng, đƣợc hệ tƣơng đƣơng

1 1 1
2
1
12 1 1
1 1 1
2
22 2 2
1 1 1
2

2





n
n
n
n
n
n nn n
x
x
x
a a b
x
x
a a b
x
x
a a b

  









(3.3)
Bƣc 3: Đối vi hệ con
1 1 1
2
22 2 2
1 1 1
2
2




n
n
n
n nn n
x
x
a a b
x
x
a a b
















18




Lặp lại bƣc 1 cho đến hết. Cuối cùng nhận đƣợc hệ tam giác, tƣơng đƣơng vi hệ ban đầu
nhƣ sau:

1
11
12
1
12 1
2
2
2
2
2

n
n
n
n
n
n
n
x
xx
b
aa
x
x
b
a
x
b













(3.4)
b) Quá trình ngƣợc. Từ phƣơng trình cuối cùng của hệ (3.5), tìm đƣợc ẩn x
n
. Thế vào
phƣơng trình ngay phía trên, tìm đƣợc ẩn x
n-1
. Tiếp tục cho đến phƣơng trình đầu tiên, tìm
đƣợc toàn bộ nghiệm.
Ví dụ:
Giải hệ
3
1 2 4
3
14
3
1 2 4
3
1 2 4
2 2 4 8 2
3 2 2 8
7 4 3 2 7
2 8 5 5 2
x
x x x
x
xx
x
x x x
x
x x x

     


  


   


   


x
1
x
2
x
3

x
4
b

x
1
x
2
x
3

x
4
b
-2
-2
4
8
-2


6,86
5,86
4,43
0
3
0
-2
2
8


-0,86
3,14
8,57
0
7
4
-3
2
7

-1,71
-0,71
1,14
5
2
8
5
5
2


1
0,85
0,65
0
7
4
-3
2
7



3,88
9,13
0
3
0

-2
2
8


0,75
2,25
5
-2
-2
4
8
-2



1
2,36
0
2
8
5
5
2



0,49
5
1

0,57
-0,43
0,29
1




1
10,33

-1,71
-0,71
1,14
5

khử dần các ẩn từ dƣi lên trên, lần
lƣợt nhận đƣợc
x = (-20,45; 14,11; -24,33; 10,33)

-0,86
3,14
8,57
0


6,86
5,86
4,43
0

II. PHƢƠNG PHÁP GAUSS - JORDAN
Phƣơng pháp Gauss - Jordan là một biến dạng của phƣơng pháp Gauss. Điểm khác
biệt là: Ở mỗi bƣc khử hệ số của ẩn x
j
, ta không chỉ khử vi các phƣơng trình từ thứ j+1
đến hết, mà khử đối vi tất cả các phƣơng trình, trừ ra chính phƣơng trình thứ j.





19




Ví dụ: Giải hệ sau bằng phƣơng pháp Gauss - Jordan

3
1 2 4
3
1 2 4
3
1 2 4
3
1 2 4
8 7 1
4 2 4 3 4
2 3 1

2 3 5 4
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
    


   


    


   


x
1
x
2
x
3

x
4

b

x
1
x
2
x
3

x
4
b
8
7
1
-1
-1

1

0,68
0,43
0,59
4
-2
4
3
4

1
-0,63
-0,64
-0,82
2
-1
-1
-3
-1



5
6,5
6
2
1
3
5
4



-3
-4,5
-3
1
0,88
0,13
-0,13

-0,13

1


-0,45
-0,23

-5,52
3,48
3,52
4,52

1

0,19
-0,05

-2,76
-1,26
-2,74
-0,75



1
1,3
1.2

2,76

3,26
4,47
3,74



-0,6
0,6
1

0,68
0,43
0,59

1



-0,68

1
-0,63
-0,64
-0,82


1

0,14


-3
-4,5
-3



1


2,5


5
6,5
6




1
1
Nghiệm là (-0,68; 0,14; 2,5; 1)
III. PHƢƠNG PHÁP NHÂN TỬ HAI TAM GIÁC
1. Thuật toán hai tam giác.
Xét hệ phƣơng trình Ax = b. Nếu ma trận A đƣợc phân tích thành tích A = D.T, trong
đó D là ma trận tam giác dƣi, T là ma trận tam giác trên, thì hệ đƣợc giải một cách dễ
dàng bằng hai lần khử liên tiếp. Điều kiện để phân tích đƣợc nhƣ trên là det(A) ≠ 0. Dƣi

đây chúng ta nêu thuật toán để tìm D và T, gọi là thuật toán hai tam giác.
Cho ma trận A không suy biến, A = (a
ij
). Khi đó luôn phân tích đƣợc :





20





11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
a 1 0 0
1 0 0
.

1 0 0
nn
nn
n n nn n n nn
a a t t t
a a a d t t
a a a d d t
     

     
     

     
     
     

Các phần tử của D và T đƣợc xác định theo công thức sau:
 
11
1
jj
t a j n  


1
1
11
(2 )
i
i
a
d i n
t
  


 
1
ij ij ik

1
d1
i
kj
k
t a t i j


   



 
1
ij ij ik
1
1
d1
j
kj
k
jj
d a t j i
t



   





Ma trận A ma trận D



Cách tính cột tiếp theo của D nhƣ sau:
=
1

[ x - (Hàng D trong ô vuông). (cột T trong ô)]
Ma trận T



Quy tắc thực hiện
Bước 1: Tính hàng đầu của T và cột đầu của D: Hàng đầu tiên của T là hàng đầu của A.
Cột đầu tiên của D là cột đầu của A, sau khi đã chia cho a
11
.
Bước 2: Tính các hàng 2 của T và cột 2 của D: Hàng của T đƣợc tính trƣc, và bắt đầu từ
phần tử trên đƣờng chéo, rồi tính dần sang bên phải. Tiếp đến tính cột của D, bắt đầu từ
phần tử dƣi đƣờng chéo, rồi tính dần xuống dƣi. Riêng phần tử trên đƣờng chéo của D
luôn là 1.
Bước 3: Tính hàng và cột tiếp theo. Thực hiện giống bƣc 2 cho đến hết. Giả sử đã tính
đƣợc k hàng của T và k cột của D. Khi đó cách tính hàng tiếp theo của T đƣợc mô tả nhƣ

21




hình trên.
Ví dụ: Giải phƣơng trình
3
1 2 4
3
1 2 4
3
1 2 4
3
1 2 4
4
21
33
3
4
x
x x x
x
x x x
x
x x x
x
x x x
   



   


    


    


Phân tích thành tích hai tam giác nhƣ sau
1 1 0 3 1 0 0 0 1 1 0 3
2 1 1 1 2 1 0 0 0 1 1 5
3 1 1 2 3 4 1 0 0 0 3 13
1 2 3 1 1 3 0 1 0 0 0 13
A D T
    
    
   
    

    

    
    
    
  

Trƣc hết giải phƣơng trình Dy = b. Do D là ma trận tam giác dƣi, nên khử nghiệm từ

trên xuống dƣi đƣợc y = (4 ; -7 ; 13 ; -13).
Giải tiếp hệ Tx = y, vi y tìm đƣợc ở trên. Do T là ma trận tam giác trên, nên khử nghiệm
từ dƣi lên trên, đƣợc x = (-1 ; 2 ; 0 ; 1).
2. Giải hệ tuyến tính ba đƣờng chéo chính.
Phƣơng pháp nhân tử hai đƣờng chéo đặc biệt tiện lợi khi ma trận A là ma trận ba
đƣờng chéo chính. Khi đó số phép toán giảm đáng kể. Các phần tử của đƣờng chéo trên
cùng là không thay đổi.
Ví dụ: Giải hệ
1
2
3
4
1 1 3
3 1 2 9
4 1 5 11
3 6 12
x
x
x
x

   

   
   

   


   



   

   


Phân tích ma trận A thành tích hai tam giác nhƣ sau

1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
3 1 2 0 3 1 0 0 0 2 2 0
.
0 4 1 5 0 2 1 0 0 0 3 5
0 0 3 6 0 0 1 1 0 0 0 1
     
     
    
     

     

     
     

Giải hệ
1
2
3
4
1 0 0 0 3

3 1 0 0 9
.
0 2 1 0 11
0 0 1 1 12
y
y
y
y

   

   


   


   

   

   

, đƣợc nghiêm
1
2
3
4
3
0

11
1
y
y
y
y














.
Giải hệ
1
2
3
4
1 1 0 0 3
0 2 2 0 0
0 0 3 5 11
0 0 0 1 1

x
x
x
x

   

   


   


   

   

   

, đƣợc nghiệm
1
2
3
4
1
2
2
1
x
x

x
x














.





22





IV. TÌM MA TRÂN NGHỊCH ĐẢO
Cho A =

11 12 1
21 22 2
12




n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a






. Cần tìm A
-1
=
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
x x x
x x x

x x x






= ?
Do AA
-1
= E, nên
11 12 1
21 22 2
12




n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a







.
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n nn
x x x
x x x
x x x






=
1 0 0
0 1 0

0 0 1






.
Vậy mỗi cột của A
-1

là nghiệm của hệ:

11 12 1
21 22 2
12
1 0 0
0 1 0
; ;
0 0 1
n
n
n n nn
x x x
x x x
A A A
x x x
     
     
     
     
     
     
  
     
     
     
     
     
     

Bốn hệ trên có chung ma trận hệ số A, nên có thể giả đồng thời và viết kết quả vào một
bảng chung.
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của A =
4 3 2 6
7 2 8 4
6 1 4 6
4 0 7 2










Giải:
A
1
A
2
A
3
A
4
E
1
E

2
E
3
E
4
7
2
8
4
0
1
0
0
4
-3
2
6
1
0
0
0
6
-1
4
6
0
0
1
0
4

0
7
-2
0
0
0
1
1
0,29
1,14
0,57
0
0,14
0
0

-4,16
-2,56
3,72
1
-0,56
0
0

-2,74
-2,84
2,58
0
-0,84
1

0





23





-1,14
2,43
-4,29
0
-0,57
0
1
1

0,97
0,83
0,07
0,1
0
0

1
0,62

-0,9
-0,24
0,14
0
0


-1,17
0,14
-0,66
-0,48
1
0


3,14
-5,31
-0,28
-0,41
0
1
1

0,97
0,83
0,07
0,1
0
0

1
0,62
-0,9
-0,24
0,14
0
0


3,14
-5,31
-0,28
-0,41
0
1


-1,17
0,14
-0,66
-0,48
1
0
1


2,46
0,15
0,25
0

-0,31

1

0,15
-0,19
0,22
0
-0,20


1
-1,69
-0,09
-0,13
0
0,32



-1,85
-0,76
-0,64
1
0,37
1



-0,86

-0,62
1,33
0,19

1


-0,25
0,17
0,08
-0,17


1

0,61
0,45
-0,92
-0,02



1
0,41
0,35
-0,54
-0,20
Vậy ma trận nghịch đảo là A
-1
=

-0,86 -0,62 1,33 0,19
-0,25 0,17 0,08 -0,17
0,61 0,45 -0,92 -0,02
0,41 0,35 -0,54 -0,20







V. CHUẨN MA TRẬN & SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1. Chuẩn ma trận. Cho ma trận A = (a
ij
). Khi đó, Các đại lƣợng sau đây đƣợ c gọi là chuẩn
của ma trận A:

 
1 1j 2j nj
j
|| || ax a a aAm   
(chuẩn cột)

2
2 ij
,
|| ||
ij
Aa


(chuẩn Ơclit)