Chương 4: Bất đẳng thức

Xin chào các bạn, sau khi học xong cách giải một phương
trình, hệ phương trình, ta bước sang chương mới cũng
rất quan trọng. Nó chiếm từ 1 đến 2 điểm trong bài thi
Tuyển sinh Đại học, riêng phần bất đẳng thức là 1 điểm.
Mặt khác chương này lại có phần khó đối với các bạn học
sinh lớp 10, do đó chúng ta cần phải xác định phương
pháp học thật rõ ràng và chăm chỉ làm bài tập thì mới có
kết quả cao. Rất mong các bạn ý thức được việc đó và
hợp tác với nhau để đạt được kết quả thật cao. Bây giờ ta
bắt đầu cùng nhau khám phá Bài học mới:

Chương
Bài 1:
Bất đẳng thức

Bất đẳng thức là gì?

Tính chất của bất đẳng thức

Một số bất đẳng thức thường gặp

Vận dụng một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức

I- Ôn tập bất đẳng thức
1. Khái niệm bất đẳng thức:
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
b)
4
1
45 −>−

c)
32 ≤−
a)
425,3 <
Đáp án: a,c đúng; b sai.

Định nghĩa:
Các mệnh đề dạng “a<b” hoặc a>b” được gọi là
bất đẳng thức.
Vd:
a) 5 < 10
b) -15<-1
c) a< b với a<0, b>0
Cũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai.
Việc chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.

II. Bất đẳng thức hệ quả và
bất đẳng thức tương đương
Định lí:
Nếu mệnh đề đúng thì ta nói bất
đẳng thức c<d là bất đẳng thức hệ quả của bất
đẳng thức a<b và cũng viết là
"" dcba <⇒<
dcba <⇒<
Vd:
ba <
và
cacb <⇒<
(tính chất bắc cầu)

Định lí:
Nếu bất đẳng thức a<b là hệ quả của bất đẳng thức
c<d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương
đương với nhau và viết là
dcba <⇔<
Vd:
R∈∀≥+− xxx ,012
2
,12
2
−≥⇔ xx
R∈∀x

III. Tính chất của bất đẳng thức
Ta dễ dàng chứng minh được hai bất đẳng thức sau đây
là tương đương nhau: do đó để chứng
minh a<b ta chỉ cần chứng minh a-b<0.
0<−⇔< baba
Tổng quát
Tổng quát: Khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc
chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính
chất của bất đẳng thức được cho trong bảng sau:

Tính chất
Tên gọi
Điều kiện Nội dung
Cộng hai vế của bất
đẳng thức với một số
Nhân hai vế của bất
đẳng thức với một số

Cộng hai bất đẳng
thức cùng chiều
Nhân hai bất đẳng
thức cùng chiều
Nâng hai vế của bất
đẳng thức lên lũy
thừa
Khai căn hai vế một
bất đẳng thức
cbcaba +<+⇔<
0>c bcacba <⇔<
0<c
bcacba >⇔<
dbcadcba +<+⇒<< và
0,0 >> ca
bdacdcba <⇔<< và
*
Nn ∈
1212 ++
<⇔<
nn
baba
0
và
*
>
∈
a
Nn
nn

baba
22
<⇔<
0>a
nn
baba
22
<⇔<
1212 ++
<⇔<
nn
baba

Vd:
)()(minh . Cho b)
6 và
2
171
sánh So a)
abbbaaba −−>−<
+

Chứng

Giải
917
317
4.6171721
)2.6()171(
2.6171

6
22
>⇔
>⇔
>++⇔
>+⇔
>+⇔
>
+
2
171
a) Giả sử
(Đúng)
Vậy
6>
+
2
171

b)
0)(
02
)()(
2
22
22
>−⇔
>+−⇔
+−>−⇔
−−>−

ba
baba
abbaba
abbbaa :có Ta
Điều này luôn đúng a b nên nó cũng đúng với
∀
≠
ba <
Vậy ta có điều phải chứng minh. 

Chú ý
Chú ý: 1) Các mệnh đề dạng hoặc
cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là
các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng
a<b hoặc a>b là các bất đẳng thức ngặt. Các tính chất đã nêu
trong bảng cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt.
baba ≥≤
2) Nếu A, B là những biểu thức chứa biến thì A>B là
một mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức A>B (với
điều kiện của biến), nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến
A>B đúng với tất cả các giá trị của các biến (thõa mãn điều
kiện đã cho).
Qui ước: Khi nói ta có bất đẳng thức A>B (A, B là những biểu
thức chứa biến) mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta
hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến thuộc R.

Vd: Chứng minh:
)1(2
2
−> xx

01)1(
022
)1(2
2
2
2
>+−⇔
>+−⇔
−>
x
xx
xx
Giải
Ta có:
Điều này đúng với mọi
Chứng minh xong. 
ℜ∈x

IV. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có tính chất sau:
)0( ,
,
>>∨−<⇔>
<<−⇔<
ℜ∈∀≤≤−
aaxaxax
axaax
aaaa
,với a>0

Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:
., , ℜ∈∀+≤+≤− babababa
Chứng minh:
abab
babababa
bababa
≤⇔
++≤++⇔
ℜ∈∀+≤+
2222
22
, , i)
Điều này luôn đúng với mọi a,b
ℜ∈
Vậy i) đã dược chứng minh.

baba
babbba
bbbabbba
bbbabbba
baba
+≤−
+≤−−++⇔
−++≤−−++⇔
−−++≤−−++
+≤−
)(
)(
)(
ii)

Ta có:
Hay:
Từ i) và ii) bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối đã được chứng
minh. 

Ta đã biết là trung bình cộng của a và b, khi a,b không âm thì là
trung bình nhân của chúng.
2
ba +
ab
Định lí:
ab
ba
≥
+
≥≥∀
2
ba
:có ta,0,0
Đẳng thức xảy ra
b.a =⇔
V. Bất đẳng thức Trung bình cộng và Trung bình nhân:
a) Đối với hai số không âm:

Chứng minh:
.
2
:đó Do
0)(
2

1
)2(
2
1
2
:có ta,0,
2
ab
ba
baabbaab
ba
ba
≥
+
≥−=−+=−
+
≥∀
Đẳng thức xảy ra
baba =⇔=−⇔ 0)(
2

Vd:
6
: thì,0,,
6222
222
)()()(
:có Ta
6
: thì,0,,:CMR

≥
+
+
+
+
+
>∀
=++≥
++≥
+++++=
+
+
+
+
+
≥
+
+
+
+
+
>∀
b
ac
a
cb
c
ba
cba
ba

ab
cb
bc
ca
ac
a
b
b
a
b
c
c
b
a
c
c
a
b
ac
a
cb
c
ba
b
ac
a
cb
c
ba
cba

Vậy:
Giải

Hệ quả:
Hệ quả:
∑
Nếu hai số dươngthay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của
chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
∑
Nếu hai số dương thay đổi nhưng tích không đổi thì tổng nhỏ
nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Chứng minh
Chứng minh:( xem SGK)

Ứng dụng:
Ứng dụng:
∑
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có
diện tích lớn nhất.
∑
Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có
chu vi nhỏ nhất.

Áp dụng: Tìm min
0).(x,
x
3
xf(x) >+=
32
x

3
x2
x
3
xf(x) =≥+=
Do x>0 nên:
Và
Vậy min
0)(x 3
3
32f(x) >=⇔=⇔= x
x
x
332f(x) =⇔= x

b) Đối với ba số không âm:
Tương tự như đối với hai số không âm, ta có định lí đối với ba
số không âm như sau:
Định lí:
Định lí:
cba
abc
cba
cba
==⇔
≥
++
≥≥≥∀
3
3

:có ta,0,0,0
Đẳng thức xảy ra
Áp dụng:
9)
111
)((
: thì,0,, :CMR
≥++++
≥
cba
cba
cba

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức:
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức:

Biến đổi tương đương

Sử dụng các bất đẳng thức đã biết (Cauchy, Bunhiacopxki, )

Dùng tam thức bậc hai

Dùng qui nạp toán học

Làm trội số hạng

Sử dụng hình học vector

Phối hợp nhiều phương pháp


Một số phương pháp khác như dùng đạo hàm, tích phân,
phương pháp hàm số…
Ứng dụng bất đẳng thức để tìm min, max của các biểu thức.

4) CM:
ℜ∈∀>+−+−+ yxyxxyyx , 036245
22
naaNn
n
+≥+∈∀ 1)1(:có ta,
5) Cho a>-1,thì
6)CMR: n>0, ta có:
1
)1.(
1

3.2
1
2.1
1
<
+
+++
nn
1) Tìm min, max của:
xxA −+−= 41
7) Cho a,b,c>0. CMR:
Nesbit) (BĐB
2
3

≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
ℜ∈∀++≥++ cbacabcabcba ,, ,
222
2) CMR:
)0,,( 3
444
>≥++ cbaabc
a
c
c
b
b
a
3)CM:
Các bạn làm hết các bài tập trong SGK và SBT.
Bài tập:
Bài tập:

Augustin Louis Cauchy (đôi khi tên họ được viết Cô-si) là
một nhà toán học người Pháp sinh ngày 21 tháng 8 năm

1789 tại Paris và mất ngày 23 tháng 5 năm 1857 cũng tại
Paris. Ông vào học Trường Bách khoa Paris (École
Polytechnique) lúc 16 tuổi.
Năm 1813, ông từ bỏ nghề kỹ sư để chuyên lo về toán học.
Ông dạy toán ở Trường Bách khoa và thành hội viên Hàn
lâm viện Khoa học Pháp.
Công trình lớn nhất của ông là lý thuyết hàm số với ẩn số
tạp.
Ông cũng đóng góp rất nhiều trong lãnh vực toán tích phân
và toán vi phân.
Ông đã đặt ra những tiêu chuẩn Cauchy để nghiên cứu về
sự hội tụ của các dãy trong toán học.
Cauchy
(1789-1857)
Vài nét về Cauchy