BỒI DƯỠNG TOÁN KHÓ TẬP 1

TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM *** BỒI DƯỠNG TOÁN KHÓ
Sử dụng bất đẳng thức
ĐỂ TÌM KHOẢNG GIÁ TRỊ CỦA SỐ
PHẢI TÌM
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Có thể nói khi giải các bài toán ở tiểu học, sử dụng bất đẳng thức để tìm khoảng
giá trị của số phải tìm giúp cho việc giải nhiều bài toán trở nên sáng sủa, mạch lạc
hơn và có tác dụng không nhỏ đối với việc rèn tư duy toán học cho học sinh tiểu học.
Tuy nhiên thủ thuật trên chỉ là một bước trong dãy các bước giải một bài toán vì thế
nó ít được lưu ý với học sinh. Để giúp các em học sinh làm quen với thủ thuật trên,
chúng ta hãy cùng nhau giải một số bài toán sau :
Bài toán 1. Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu số đó chia cho chữ số hàng đơn vị
của nó thì được thương là 6 và dư 5.
Giải: Gọi số phải tìm là
ab
(a ≠ 0 ; a, b < 10). Theo bài ra ta có :
ab
= b x 6 + 5. Vì
số dư bé hơn số chia nên 5 < b. Nếu lấy giá trị nhỏ nhất của b là 6 (trong trường hợp
này) thì giá trị nhỏ nhất của
ab
sẽ là 6 x 6 + 5 = 41. Do đó a ≥ 4.
Nếu lấy giá trị lớn nhất của b là 9 thì giá trị lớn nhất của
ab
sẽ là 9 x 6 + 5 = 59.
Do đó a ≤ 5. Vì thế 4 ≤ a ≤ 5 nghĩa là giá trị nhỏ nhất của a là 4 và lớn nhất của a là 5.
- Nếu a = 4 thì
b4
= b x 6 + 5. Ta thấy b x 6 + 5 chỉ có giá trị từ 41 đến 49 nên b chỉ
có thể lấy giá trị là 6 hoặc 7. Vì b x 6 là số chẵn nên b x 6 + 5 là số lẻ. Do đó b là số
lẻ. Vậy ta chọn b = 7. Thử : 47 : 7 = 6 (dư 5) (đúng với yêu cầu bài ra).

- Nếu a = 5 thì
b5
= b x 6 + 5. Ta thấy b x 6 + 5 chỉ có giá trị từ 51 đến 59 nên b chỉ
có thể lấy giá trị là 8 hoặc 9. Vì b x 6 + 5 là số lẻ nên ta chọn b = 9.
Thử : 59 : 9 = 6 (dư 5) (đúng với yêu cầu bài ra). Vậy số phải tìm là 47 và 59.
Bài toán 2. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
a
4
+
3
b
=
6
5

Giải: Vì
a
4
+
3
b
=
6
5
mà
6
5
< 1 nên
3
b

< 1 (vì
a
4
≠ 0). Do đó : b < 3.
Vì
a
4
+
3
b
=
6
5
nên
a
4
=
6
5
-
3
b
.
Nếu b = 0 thì
a
4
=
6
5
. Không có giá trị tự nhiên nào của a để có

a
4
=
6
5
.
Nếu b = 1 thì
a
4
=
6
5
-
3
1
. Ta tìm được a = 8.
Nếu b = 2 thì
a
4
=
6
5
-
3
2
. Ta tìm được a = 24.
Vậy ta tìm được a = 8, b = 1 và a = 24, b = 2.
1
TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM *** BỒI DƯỠNG TOÁN KHÓ
Bài toán 3. Cho số có hai chữ số. Nếu lấy số đó chia cho 6 thì được thương là tích

của chữ số hàng chục nhân với chính nó. Tìm số đã cho.
Giải: Gọi số phải tìm là
ab
(a ≠ 0 ; a, b < 10). Theo bài ra ta có :
ab
= a x a x 6.
Nhận xét : a > 1 vì nếu a = 1 thì a x a x 6 = 1 x 1 x 6 = 6 chỉ là số có một chữ số.
Số lớn nhất có hai chữ số chia hết cho 6 là 96. Do đó a x a x 6 có giá trị lớn nhất là
96. Vì thế a x a có giá trị lớn nhất là 96 : 6 = 16.
Vậy a có giá trị lớn nhất là 4 (vì 4 x 4 = 16) hay a ≤ 4. Vậy 1 < a ≤ 4.
- Nếu a = 2 thì a x a x 6 = 2 x 2 x 6 = 24 =
ab
.
Đúng với điều kiện bài toán vì 24 : 6 = 4 ; 4 = 2 x 2.
- Nếu a = 3 thì a x a x 6 = 3 x 3 x 6 = 54. Trái với điều kiện bài toán vì
b3
≠ 54.
- Nếu a = 4 thì a x a x 6 = 4 x 4 x 6 = 96. Trái với điều kiện bài toán vì
b4
≠ 96.
Vậy số phải tìm là 24.
Bài toán 4. Toán học và Tuổi trẻ, Toán Tuổi thơ đều sinh vào tháng 10. Biết rằng
năm 1994 thì tuổi của Toán học và Tuổi trẻ gấp rưỡi tổng các chữ số của năm
sinh. Bạn có thể suy luận để biết Toán học và tuổi trẻ ra đời vào năm nào không ?
(Những Đề toán hay của Toán Tuổi thơ 1)
Giải: Gọi năm sinh của Toán học và Tuổi trẻ là
abcd
. Tuổi của Toán học và Tuổi trẻ
năm 1994 là: 1994 -
abcd

=
2
3
x (a + b + c + d) (*)
Vì a + b + c + d ≤ 9 + 9 + 9 + 9 = 36 nên :
2
3
x (a + b + c + d) ≤
2
3
x 36 = 54.
Từ (*) ta thấy 1994 -
abcd
≤ 54 nên 1940 ≤
abcd
≤ 1994. Suy ra
ab
= 19 và 40 ≤
cd
≤
94. Thay
ab
= 19 vào (*) được : 94 -
cd
=
2
3
x ( 1 + 9 + c + d).
hay : 2 x (94 -
cd

) = 3 x (10 + c + d).
hay : 188 – 2 x (c x 10 + d) = 30 + c x 3 + d x 3.
hay : c x 23 + d x 5 = 158.
Vì d x 5 ≤ 45 nên suy ra 113 ≤ c x 23 ≤ 158.
Do đó 5 ≤ c ≤ 6.
- Nếu c = 5 thì d x 5 = 159 – 115 = 43, không tìm được số d nguyên.
- Nếu c = 6 thì d x 5 = 158 – 138 = 20 nên d = 4.
Thử lại : 1994 – 1964 =
2
3
x (1 + 9 + 6 + 4).
Vậy báo Toán học và Tuổi trẻ sinh năm 1964.
Bài toán 5. Tìm số có năm chữ số
abcde
biết rằng :
a > b + c + d + e
b > c + d + e
c > d + e
d > e.
Giải: Số phải tìm là
abcde
với các chữ số đều là số tự nhiên có 1 chữ số.
Theo điều kiện của đầu bài : a > b + c + d + e (1)
b > c + d + e (2)
2
TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM *** BỒI DƯỠNG TOÁN KHÓ
c > d + e (3)
d > e (4)
- Từ (4) ta có e = 0. Vì nếu e = 1 thì giá trị nhỏ nhất của từng chữ số sẽ là : d > e
hay d > 1 ; do đó d = 2. c > d + e hay c > 3 ; do đó c = 4. b > c + d + e hay b > 7 ; do

đó b = 8. a > b + c + d + e hay a > 15 ; do đó a = 16.
Vô lí vì theo điều kiện bài toán thì a < 10.
- Từ (3) ta có d = 1. Nếu d = 2 thì giá trị nhỏ nhất của từng chữ số là : c > d
hay c > 2 ; do đó c = 3. b > c + d hay b > 5 ; do đó b = 6. a > b + c + d hay a > 11 ; do
đó a = 12. Vô lí vì theo điều kiện bài toán thì a < 10.
- Từ (2) ta có c = 2. Nếu c = 3 thì giá trị nhỏ nhất của từng chữ số sẽ là : b > c + d
hay b > 4 ; do đó b = 5. a > b + c + d hay a > 9 ; do đó a = 10.
Vô lí vì theo điều kiện bài toán thì a < 10.
- Từ (1) ta có b = 4 hoặc b = 5.
- Nếu b = 6 thì giá trị nhỏ nhất của a sẽ là : a > b + c + d hay a > 9 ; do đó a = 10.
Vô lí vì theo điều kiện bài toán thì a < 10.
- Nếu b = 5 thì ta có : a > b + c + d hay a > 5 + 2 + 1 ; do đó a = 9.
- Nếu b = 4 thì ta có : a > b + c + d hay a > 4 + 2 + 1 ; do đó a = 8 hoặc a = 9.
- Kết luận : Các số phải tìm là 84210 ; 94210 ; 95210.[
Bài toán 6. Tìm tất cả các số có ba chữ số khác nhau
abc
sao cho:
a
1
+
b
1
+
c
1
= 1.
Giải : Giả sử a < b < c, suy ra
c
1
<

b
1
<
a
1
. Do đó ta có :
a
1
+
b
1
+
c
1
<
a
1
+
a
1
+
a
1
.
Hay : 1 <
a
1
x 3 nên suy ra a < 3. Mà a lớn hơn 1, vậy a = 2.
Với a = 2 thì
2

1
+
b
1
+
c
1
= 1. Suy ra :
b
1
+
c
1
=
2
1
. Suy ra b và c phải lớn hơn 2.
Hơn nữa :
2
1
=
b
1
+
c
1
<
b
1
+

b
1
=
b
1
x 2. Suy ra b < 4.
Vậy b = 3. Khi đó ta có :
3
1
+
c
1
=
2
1
. Suy ra : c = 6. Nhưng a, b, c bình đẳng với
nhau nên các số phải tìm là : 236, 263, 326, 362, 632, 623.[[ơ
Bài toán 7. Một cơ quan tổ chức đi trồng cây. Một phần ba số nhân viên mang theo
con, nhưng chỉ mang theo 1 con. Nhân viên nam trồng 13 cây, nhân viên nữ trồng 10
cây, trẻ em trồng 6 cây. Hỏi cơ quan đó có bao nhiêu nhân viên nam ? Bao nhiêu
nhân viên nữ ? Biết họ trồng được tất cả 216 cây.
(Đề thi toán Tiểu học quốc tế tổ chức tại Hồng Kông)
Giải : Theo bài ra ta có : Số nhân viên phải ít hơn 18 người vì nếu số nhân viên
bằng 18 người thì số cây trồng ít nhất (khi nhân viên toàn nữ) là : 10 x 18 + 6 x (18 :
3) = 216 (cây), đúng bằng số cây của bài ra. Số nhân viên phải nhiều hơn 14 người vì
nếu số nhân viên bằng 14 người thì số cây trồng được nhiều nhất (khi nhân viên toàn
nam) là : 13 x 14 + 6 x (14 : 3) = 210 (cây) nhỏ hơn 216 cây.
3
TRƯỜNG TIỂU HỌC HOÀNG HOA THÁM *** BỒI DƯỠNG TOÁN KHÓ
Mặt khác ta có : một phần ba số nhân viên có mang theo con nên số nhân viên phải là

số chia hết cho 3, do đó số nhân viên phải bằng 15.
Số con mang theo là : 15 : 3 = 5 (con)
Số cây mà nhân viên trồng là : 216 – 6 x 5 = 186 (cây)
Giả sử 15 nhân viên toàn là nam thì số cây trồng được là : 13 x 15 = 195 (cây)
Số nhân viên nữ là : (195 – 186) : (13 – 10) = 3 (nhân viên)
Số nhân viên nam là : 15 – 3 = 12 (nhân viên)
Thử lại : 13 x 12 + 10 x 3 + 6 x 5 = 216 (đúng).
Bây giờ các bạn hãy dùng thủ thuật trên để giải các bài toán sau nhé.
Bài 1. Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu lấy 8 lần chữ số hàng chục chia cho chữ số
hàng đơn vị của nó thì được thương 5 và dư 3.
Đáp số : 69
Bài 2. Tìm
abcd
biết :
dcba
+
dcb
+
dc
+ d = 4321
Đáp số : 1983
Bài 3. Tìm các số tự nhiên a và b sao cho :
3
a
-
b
4
=
5
1

Đáp số : a = 3 và b = 5
Bài 4. Cho số có hai chữ số mà chữ số hàng chục chia hết cho chữ số hàng đơn vị.
Tìm số đã cho biết rằng khi chia số đó cho thương của chữ số hàng chục và hàng đơn
vị thì được thương là 20 và dư 2.
Đáp số : 62 và 82
Bài 5. Năm 1993 anh Toán nhẩm tính rằng “số tuổi của mình đúng bằng tổng các chữ
số chỉ năm sinh của mình”. Em tìm xem anh Toán sinh năm nào và năm 1993 anh
Toán bao nhiêu tuổi ?
Đáp số : sinh năm 1973 ; 20 tuổi
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
4