Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi toán 7

PHềNG GD-T
TRNG
THI HC SINH GII CP HUYN
MễN TON 7
NM HC 2010-2011
Thi gian lm bi 120 phỳt(Khụng k thi gian giao )
Bài 1 (3 điểm) Tìm x biết
a) (3x
2
- 51)
2n
= (-24)
2n
(n

N
*
)
b) (8x - 5)
2
= |5- 8x|
Bài 2: (3 điểm)
Cho (x
1
p y
1
q) + (x
2
p y
2
q)

2n
+ (x
3
p y
3
q)
2n
+
+ (x
m
p y
m
q)
2n

0 với m,n

N
*
Chứng minh rằng :
x
1
+ x
2
+ x
3
+

+x
m

q
=
y
1
+ y
2
+ y
3
+

+y
m
p

Bài 3. (3 điểm). chứng minh rằng nếu :
bz cy cx az ay bx
a b c

= =
thì x,y, z tơng ứng tỉ lệ với a, b, c.
Bài 4. (4 điểm) Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 65km/h, cùng lúc đó một xe máy
chạy từ B đến A với vận tốc 40km/h. Biết khoảng cách AB là 540km và M là trung
điểm của AB. Hỏi sau khi khởi hành bao lâu thì ô tô cách M một khoảng bằng
1
2

khoảng cách từ xe máy đến M.
Bài 5. Tam giác ABC có AB > AC. Từ trung điểm M của BC vẽ một đờng thẳng vuông
góc với tia phân giác của góc A, cắt tia phân giác tại H, Cắt AB, AC lần lợt tại E và F.
Chứng minh rằng:

a) BE = CF
b) AE =
2
AB AC+
; BE =
2
AB AC
c)
ã
BME
=
ã
à
2
ACB B
Họ và tên thí sinh:
Số báo
danh :
Chữ kí của giám thị 1:
Chữ kí của giám thị 2:
Đáp án đề thi học sinh giỏi toán 7
Năm học 2010 - 2011
Bài 1 (3 điểm) Tìm x
Đáp án điểm
a) (3x
2
- 51)
2n
= (-24)
2n

Vì n

N
*
nên 2n là số chẵn khác 0
Từ đề bài ta có :
3x
2
- 51 = -24 (1)
3x
2
- 51 = 24 (2)
Giải (1) ta đợc: 3x
2
= 27

x
2
= 9

x =

3
Giải (2) ta đợc: 3x
2
= 75

x
2
= 25

x =

5
Vậy x

{ }
3; 5
0,25
0,5
0,5
0,25
b)

(5 8x)
2
= |5- 8x|


|5 8x|
2
= |5- 8x|


|5 8x| (|5 8x| - 1) = 0


|5 8x| = 0

5-8x = 0 (1)

|5 8x| - 1 = 0 |5-8x| = 1 (2)
Giải (1) ta đợc: x=
5
8
Giải (2) ta đợc : 5-8x = 1

8x = 4
5-8x = -1 8x = 6


x =
1
2
x =
3
4
Vậy x

1 5 3
; ;
2 8 4



0,5
0,5
0,5
Bài 2 (3 điểm)
Đặt
bz cy cx az ay bx

k
a b c

= = =
Ta có : bz-cy=ak ; ay-bx=ck ; cx-az=bk
Nhân lần lợt từng vế của đẳng thức lần lợt với a,b,c ta có
abz-acy=a
2
k
bcx-abz=b
2
k
acy-bcx=c
2
k
Cộng theo từng vế của 3 đẳng thức ta đợc:
0 =k(a
2
+b
2
+c
2
)
Theo đầu bài ta có: a
2
+b
2
+c
2

0
Suy ra k=0

bz=cy; cx=az; ay=bx
Từ đó suy ra
x y z
a b c
= =
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Vậy x;y;z tơng ứng tỉ lệ với a,b,c
Bài 3 (3 điểm)
Ta có: (x
1
p y
1
q)
2n


0
(x
2
p y
2
q)
2n

0

(x
m
p y
m
q)
2n

0
Vậy (x
1
p y
1
q)
2n
+(x
2
p y
2
q)
2n
+ +(x
m
p y
m
q)
2n

0
Mà theo đầu bài ta có :
(x
1
p y
1
q)
2n
+(x
2
p y
2
q)
2n
+ +(x
m
p y
m
q)
2n

0
Suy ra ta có :
x
1
p y
1
q=x
2
p y

2
q= =x
m
p y
m
q=0
Do đó :
3
1 2
1 2 3

m
m
x x
x x q
y y y y p
= = = = =
Hay :
1 2 3
1 2 3


m
m
x x x x
q
y y y y p
+ + + +
=
+ + + +

0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 4 (4 điểm)

A M B
Quãng đờng AB dài 540km, nửa quãng đờng AB dài 270km. Gọi
quãng đờng ô tô và xe máy đã đi là S
1
, S
2
(km) (S
1
, S
2
>0) Trong cùng
một khoảng thời gian thì quãng đờng tỷ lệ thuận với vận tốc do đó:

1 2
1 2
S S
t
V V
= =
(t là thời gian cần tìm)

t=
270 270 2
65 40
a a
=
t=
540 2 270 2 (540 2 ) (270 20)
130 40 130 40
a a a
= =


270
3
90
t = =
Vậy sau khi khởi hành 3 giờ thì ô tô cách xe máy một koảng bằng
1
2

khoảng cách từ xe máy tới M.
S
1
S
2
2a a
Bài 5 (7 điểm)
a) Chứng minh
AHE AHC =
(g c - g)

Suy ra AE = AF vaf
à
à
1
E F=
Từ C vẽ CD // AB (D

EF)
Chứng minh
BME CMD =
(g c - g)
Suy ra BE = CD (1)
Có
à
ã
1
E CDF=
(Cặp góc đồng vị)
Do đó
ã
à
CDF F=
CDF
cân. Vậy CF = CD (2)
Từ (1) và (2) Suy ra BE = CF
b) * Ta có: AE = AB BE
Mặt khác: AE = AF AC + CF
Suy ra: AE + AE = (AB - BE) + (AC + CF)
2AE = AB + AC (vì BE = CF)

AE =
2
AB AC+
* Ta có: BE = AB AE = AB AF = AB (AC + CF)
Mặt khác: BE = CF Suy ra BE + BE = (AB AC - CF) + CF

2BE = AB AC

BE =
2
AB AC
c) Xét
CMF

Có
ã
ACB
là góc ngoài Suy ra
ã
ã
à
CMF ACB F=
Xét
BME
Có
à
1
E
là góc ngoài Suy ra

ã
ả
à
1
BME E B=
Vậy
ã
ã
ã
à
( )
à
à
( )
1
CMF BME ACB F E B+ = +
Hay 2
ã
ã
à
ã
ã
à
2
ACB B
BME ACB B BME

= =
B C
A

M
<
E
F
H
D