Đề và đáp án thi HSG trường môn Toán 10

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 10 NĂM HỌC 2010-2011
TRƯỜNG THPT CẨM BÌNH.
( thời gian làm bài 180 phút không kể giao đề)
……………………
Câu 1. (4 điểm)
Giải phương trình:
2
9 16 2 2 4 4 2x x x+ − + = −
Câu 2.(4 đi ểm)
Giải hệ phương trình:


2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =


+ + =

Câu 3. (4 điểm)
Cho các số x;y;z;t v à x ≥ 4 ; y ≥ 6; z ≥ 7; t ≥ 8.
Tìm giá trị lớn nhất của

A=
( )
1
8 7 6 4xyz t xyt z xzt y yzt x
xyzt

− + − + − + −
Câu 4.(5 điểm).
Cho
ABC
∆
có các cạnh a,b,c với p=
2
a b c+ +
Chứng minh: (p-a)(p-b)(p-c) ≤
8
abc
; từ đó chứng minh R ≥2r
Trong đó R và r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ; nội tiếp
ABC∆
.
Câu 5:(3 điểm)
Cho
ABC
∆
nội tiếp đường tròn (o) các tiếp tuyến với (o) tại B,Ccắt ngau ở
M
AM cắt BC ở N. Chứng minh:
2
NB AB
NC AC
 
=
 ÷
 
Đ ÁP ÁN V À BI ỂU ĐI ỂM

…………
B ài Đ áp án Đi ểm
C âu1
(4 đ)
Đi ều kiện
2 2 2
2 4(8 2 ) 16 8 2 ( 8 ) 0x PT x x x x≤ ⇔ − + − − + =
đặt
8 2x−
=t (t
≥
0)
PT
⇒
4 t
2
+16t –(x
2
+8x) =0
⇒
t=x/2 hoặc t =-4-x/2
Giải x theo t được x=
4 2
3
±
là nghiệm
1 đ
1đ
1đ
1đ

Câu 2
(4đ)
Xét y=0 hệ không thoả mạn
với y
≠
0 hệ
2 2
2
1 1
7 7
1 1
13 ( ) 13
x x
x x
y y y y
x x
x x
y y y y


+ + = + + =


 
⇒
 
 
+ + = + − =
 



đặt u =
1
x
y
+
.v =
x
y

2
7
13
u v
u v
+ =

⇒ ⇒

− =

u=4; v=3 hoặc u=-5; v=12
với u=4 v=3 ta có
1
4
3
x
y
x
y


+ =




=


giải hệ này có
1
3
;
1
1
3
x
x
y
y
=

=


 
=
=




là nghiệm
với u=-5; v=12ta có
1
5
12
x
y
x
y

+ = −




=


vô nghiệm
vậy hệ đã cho có 2 nghiệm :
1
3
;
1
1
3
x
x
y

y
=

=


 
=
=



1đ
0.5đ
1đ
0.5
1đ
Câu 3
4đ
Từ gt ta có A=
6
8 7 4
y
t z x
t z y x
−
− − −
+ + +
=
6 6

8 8 7 7 4 4
8 7 6 4
y
t z x
t z y x
−
− − −
+ + +
1 1 1 1
2 8 2 7 2 6 2 4 2 8 2 7 2 6 2 4
t z y x
t z y x
≤ + + + = + + +

vậy GTLN của A là MaxA=
1 1 1 1
2 8 2 7 2 6 2 4
+ + +
khi
1đ
1đ
1đ
1đ
4 4
6 6
7 7
8 8
x
y
z

t

− =

− =


− =


− =

hay x=8; y=12 z=14; t= 16
Câu4
5đ
Vì a,b,c là 3 cạnh tam giác nên: a+b-c >0; a+c-b >0; b+c-a >0
Theo BĐT cô-si có

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
2
2
4
4

4
a b c a c b
a b c a c b a
a b c b c a
a b c b c a b
b c a a c b
b c a a c b c
+ − + + −
+ − + − ≤ =
+ − + + −
+ − + − ≤ =
+ − + + −
+ − + − ≤ =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
a b c a c b b c a a b c⇒ + − + − + − ≤
( ) ( ) ( )
;
8 2
abc a b c
p a p b p c p
+ +
⇒ − − − ≤ =
đpcm.
• ta có S =
( ) ( ) ( )
.
4
abc

p p a p b p c p r
R
− − − = =
• theo cm trên
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
8 . 8 .
8
2
2
4
abc
p a p b p c p p a p b p c p abc S p abc
abc S
R r
S p
− − − ≤ ⇒ − − − ≤ ⇔ ≤
⇒ ≥ ⇒ ≥
1đ
1đ
1đ
1đ
1đ
Câu5
3đ
gọi H; K hình chiếu của B;C trên AM
ta có:
. sin
. sin
BAM

CAM
SNB BH BA BM ABM
NC CK S CA CM ACM
∆
∆
∠
= = =
∠
; giả thiết BM=CM;
sin sin( ) sin ;sin sin( ) sinABM A B C ACM A C B∠ = + = ∠ = + =
( A;B;C là 3 góc
của tan giáic ABC)
Vậy:
2
.sin
.sin
NB BA C BA
NC CA B CA
 
= =
 ÷
 
( theo định lý sin)

c
1
j
N
O
C

M
B
A
H
K
1đ
1đ
1đ