Đề và đáp án thi HSG trường môn Toán 11

SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT CẨM BÌNH

ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn Toán Lớp 11
(Thời gian: 180 phút)

Câu 1. Giải phương trình:
2
3sin2 2cos 2 2 2cos2x x x− = +
Câu 2. Tìm giới hạn:
3
0
8 2
lim
sin2011
x
x
x
→
+ −
.
Câu 3. Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mặt phẳng (ABC); tam giác DAB
cân; tam giác ABC vuông tại B và
·
BAC
α
=
. Gọi
β

là góc tạo bởi hai mặt
phẳng (DAC) và (DBC). Chứng minh rằng:
2
1 cos
tan .tan
cos
α
α β
α
+
=
.
Câu 4. Tính các góc của tam giác ABC, biết các cạnh a, b, c và các góc A, B, C thỏa
mãn hệ thức:
( )
4
2 3 3
sin sin sin
2 2 2 8
p p a bc
A B C

− ≤


−
=


. ( p là nữa chu vi của

ABC∆
).
Câu 5. Cho a, b, c dương và thỏa mãn
2 2 2
3a b c+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
1 1 1
2 2 2
P
a b c
= + +
− − −
.
Hết
Họ tên thí sinh:…………………………………………………………
Số báo danh:……………………………………………………………
SỞ GD – ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT CẨM BÌNH

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM
Môn Toán Lớp 11

Câu Hướng dẫn giải Điểm
1(2.đ)
2
2
3sin2 2cos 2 2 2cos2
2 3sin cos 2cos 4 cos
3 1

cos sin cos cos cos .sin cos
2 2 6
cos 0
2
cos 0
cos 0
2
sin 1
2
6
3
cos 0
sin 1
6
x x x
x x x x
x x x x x x x
x k
x
x
x
x
x k
x
x
π
π
π
π
π

π
π
− = +
⇔ − =
 
 
⇔ − = ⇔ − =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 



 = +
=


>
>


⇔ ⇔
 


− =
= +
 ÷



 



<



 


− = −
 ÷


 


cos 0
5
2
3
,
2
x
x k
x k k
π

π
π
π
















<




= +




⇔ = + ∈¢

0.50
0.50
0.75
0.25
2(2.đ)
( )
( )
3
3
0 0
3
0 0
2
3
3
0
2
3
3
0
3
0
8 2
8 2
lim lim
2011.sin2011
sin2011
2011
8 2
*lim lim

8 2 8 4
1 1
lim
12
8 2 8 4
2011.sin2011
*lim 2011
2011
8 2 1 1
lim
sin2011 12.2011 24132
x x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x x
x x
x
x
x
x

→ →
→ →
→
→
→
+ −
+ −
=
+ −
=
 
+ + + +
 ÷
 
= =
 
+ + + +
 ÷
 
=
+ −
⇒ = =
0.50
1.00
0.25
0.25
Câu Hướng dẫn giải Điểm
3(2.đ)
- Gọi H là hình chiếu của A lên DC, trên DB lấy điểm K sao cho
HK vuông góc với DC, ta có:

- Góc tạo bởi hai mặt phẳng (DAC) và (DBC) là
·
AHK
β
=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
1
( )
2
1 , 2 tan 3
Trong ABC cos = 4
cos
1 1 1 2 2
Trong ADB 5
2
BC AD
AD ABC BC ADB AK BC
BC AB gt
DC HA
DC HAK AK DC
DC HK
AK
AK DBC AK KH
HK
AB AD

AC
AC
AD
AK
AK AD AB AD
β
α
α

⊥
⊥ ⇒ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
∆ ⇒ ⇒ =
∆ ⇒ = + = ⇒ =
0.50
0.50
0.50
Câu Hướng dẫn giải Điểm
3(2.đ)
( )
2 2

2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
2
1 1 1 1 cos 1 cos
Trong ADC:
cos
Trong AHK: DH
1 cos
1 cos
.
ñoàng daïng vôùi 6
BD AD AB AD
AH AD AC AD AD AD
AD AD
AD AH AD DH
DH DB BC DH
DHK DBC HK
HK BC DB
α α
α
α
α
= + =
+
∆ = + = + =
∆ = − = − ⇒ =

+
+
∆ ∆ ⇒ = ⇒ =
Từ (3), (5), (6) suy ra điều phải chứng minh.
0.50
0.50
4(2.đ)
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2
2 2
2
2
* 4
2
1 1 3 3
cos 1 cos sin sin
2 2 4 2 4 2 2
1
* sin sin sin sin cos cos
2 2 2 2 2 2 2
1
sin 1 cos
2 2 2
1 1 1 1 1 3 1 2
sin
8 2 2 2 8 2 2 2
p p a bc a b c b c a bc
b c a bc b c a bc bc

A A A
A
A B C A B C B C
A B C
A
− ≤ ⇔ + + + − ≤
⇔ + − ≤ ⇔ + − + ≤
⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥
 
− +
= −
 ÷
 
 
+
≤ −
 ÷
 
 
 
= − − ≤ − − =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
3 3
8
−
Dấu “=” xảy ra khi

2
3
sin
3
2 2
cos 1
6
2
A
A
B C
B C
π
π


=
=


 
⇔
 
−
 
= =
=
 



0.50
0.10
0.50
5(2.đ)
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2 3 3 3 3 3 3
3 3 2
3 3 2 3 3 3
3 3 2
2 0
, , 0
* 2 0
3
2 0
1 1 1
*
2 2 2
2 2 2
9
1

2 6
1 3
* 1 3 3 2
1 3
* 1 , 2 3
3, khi
a
a b c
b
a b c
c
a b c
P
a b c
a a b b c c
a b c
a b c a b c a b c
a a a
b b b a b c
c c c
P
MinP a

− >

>
 
⇒ − >
 
+ + =




− >

= + + = + +
− − −
− − −
+ +
≥ =
+ + − + + − + +

+ + ≥

+ + ≥ ⇒ + + ≥


+ + ≥

⇒ ≥
⇒ = =
1b c
= =
0.50
0.50
0.50
0.50
(Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa)