KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT SỐ

KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT SỐ
i. Số thực :
 Định Nghĩa 1.1:
: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  =
(−∞,∞) số thực x ∈  được gọi là một cận trên của A nếu:
a ≤ x , ∀x ∈ A.
Tập A được gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận
trên
 Số thực x ∈  được gọi là một cận dưới của A nếu:
a ≥ x , ∀ a ∈A.
Tập A được gọi là bị chặn dưới nếu A có ít nhất một cận
dưới.
 Tập A được gọi là bị chặn nếu A vừa bị chặn trên và vừa bị
chặn dưới, A bị chặn khi và chỉ khi tồn tại x > 0 sao cho:
|a | ≤ x , ∀a ∈ A.
 Định Nghĩa 1.2
: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (−∞,∞)
Số thực x ∈ được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu:
x ∈ A, a ≤ x , ∀a ∈ A.
Ta viết: x = max{a: a∈ A} = a
Số thực x ∈  được gọi là giá trị bé nhất của A nếu:
x ∈ A, a ≥ x , ∀ a ∈ A.
Khi đó ta viết: x = min{a: a ∈A} = a.
 Định Nghĩa 1.3:
: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (−∞, ∞).
Giả sử A bị chặn trên.
 Số thực x ∈  được gọi là cận trên đúng của A, nếu x là một
cận trên của A và là cận trên bé nhất trong tập các cận trên của A, tức là:
a ≤ x, ∀a ∈ A.
∀ ε > 0, ∃a
ε

∈ A, a
ε
> x − ε
ta viết: x = sup{a : a ∈ A} = a.
 Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (−∞, ∞).
Giả sử A bị chặn dưới:
Số thực x ∈  được gọi là cận dưới đúng của A, nếu x là một
cận dưới của A và là cận dưới lớn nhất trong tập các cận dưới của A, tức
là:
a ≥ x, ∀a ∈ A.
∀ε > 0, ∃a
ε
∈ A, a
ε
< x +ε
Ta viết: x = inf{a : a ∈ A} = a.
 Tiên Đề về cận trên đúng
: Nếu  là tập con không rỗng, bị chặn dưới (trên) của tập các
số thực, Thì  có cận dưới (trên) đúng (duy nhất).
 Suy ra  là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số thực ,
thì  có cận trên và dưới đúng.
 Nếu tập  không bị chặn trên, thì ta quy ước Sup  = + ,
Nếu tập  không bị chặn dưới thì ta ước inf  = −.
 Tập hợp các số hữu tỷ trù mật trong tập các số thực là giữa hai số
thực khác nhau bất kỳ (a < b ) tồn tại ít nhất một số hữu tỉ r, ( a < r <
b ).
Một số tính chất mà ta có thể suy ra khi làm bài tập.
: Cho A,B   không rỗng, Các tập thỏa mãn:
A+B = {z = x+y : x  A, y  B}
A−B = { z = x

−
y : x  A, y  B }
thì ta có : Sup (A+B) = SupA + Sup B
Sup (A−B) = Sup A − Sup B.
và tương tự cho inf ( A+B), inf( A − B )
Chứng Minh:
: Giả sử A và B bị chặn trên và đặt a = supA và b = supB, khi đó
a , b lần lượt là một cận trên của A và B
suy ra a + b là cận trên của A+ B. Hơn nữa ∀ε > 0, tồn tại x*  A
và y*B sao cho x* > a − và y* > b −
do đó x*+y* > a + b− ε, vì z*= x*+y*  A+B ⇒ a+b = sup(A+B)
= supA+ supB (1)
ta có sup(A−B) = sup(A+(−B)) = supA + Sup(−B) (*)
bây giờ ta sẽ chứng minh sup(−B) = −inf B.
Giả sử −A = {x : − x  A} và A bị chặn dưới a = inf A, khi đó:
1. x ≥ a với mọi x  A.
2. với ε > 0, tồn tại x*  A sao cho x* < a + ε.
nhân hai bất đẳng thức trong (1) và (2) với −1, ta có:
i. x ≤ −a với mọi x  (−A)
ii. với ε > 0 bất kỳ, tồn tại x*  (−A) sao cho x* > − a − ε
từ đó suy ra −a = sup(−A). Nếu A không bị chặn dưới thì −A không bị
chặn trên và do đó sup(−A) = −inf (A) = +.
nên (*) = sup(A) − inf (B).
 Cho các tập không rỗng A và B những số thực dương, định
nghĩa
A.B = {z = x.y : x  A, y  B}
= { z = : x  A}
thì ta có: sup(A.B) = sup A. sup B
nếu inf A > 0 thì sup =
khi inf A = 0 thì sup = +. Hơn nữa nếu A và B là các tập số thực

bị chặn thì sup( A. B) = max{ supA.sup B, supA.inf B,infA.supB
infA.infB}.
chứng minh giả sử cả hai tập bị chặn trên, đặt a = supA và b = supB. vì
các phần tử của A và của B là các số dương nên xy ≤ ab với x  A, y 
B. Ta sẽ chứng minh rằng: ab là cận trên nhỏ nhất của A.B.
Cho trước ε > 0, tồn tại x*  A và y*  B sao cho x* > a − ε và y* > b
− ε. Khi đó x*.y* > ab − ε(a+b − ε). Vì ε(a+b − ε) có thể nhỏ tùy ý với ε
đủ nhỏ, ta thấy rằng bất kỳ số nào nhỏ hơn ab không thể là cận trên của
A.B . Do đó ab=sup(A.B). Nếu A hoặc B không bị chặn trên thì A.B
cũng không bị chặn. Do đó sup (A. B) = sup A. sup B = + .(1)
giả sử nếu a' = inf A > 0. Với mọi x  A ta có bất đẳng thức x ≥ a'
tương đương với ≤ nên là cận trên của
hơn nữa, với ε > 0 bất kỳ, tồn tại x*  A sao cho x* < a' + ε, do
đó:
> = −
vì nhỏ tùy ý nên là cận trên nhỏ nhất của . Xét trường hợp
a'=0. thấy rằng tập là bị chặn( thật vậy, với ε > 0, tồn tại x*  sao cho
x* > ) do đó sup = +.
Bây giờ giả sử A,B là các tập bị chặn các số thực bất kỳ và đặt a =
supA b = sup B, a' = inf A và b' = inf B. Nếu a' và b' là không âm thì sd
kết quả ở trên ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Nếu a' < 0 và a,b'
> 0 thì xy ≤ ab với bất kỳ x  A và y  B. Chọn ε > 0 đủ nhỏ để a − ε
> 0. Khi đó tồn tại
x*  A sao cho x* > a − ε. Hơn nữa, tồn tại y*  B sao cho y* > b − ε.
Do đó
x*.y* > x*(b−ε) > (a − ε )(b − ε ) = ab − ε(b+b − ε ).
vậy trong trường hợp này ta có sup( A.B ) = ab.
Xét trường hợp a',b' < 0 và a,b > 0. với bất kỳ x A và y  B ta có:
xy ≤ max{ ab , a'b'}.
Đầu tiên xét trường hợp max{ab, a'b'} = a'b'. Theo định nghĩa của

cận dưới đúng, với ε > 0 đủ nhỏ tồn tại x*  A và y*  B sao cho x* <
a' + ε < 0 và y* < b' + ε < 0, suy ra:
x*y* > x*(b'+ε) > (a'+ε)(b'+ε ) = a'b' + ε(a' + b') + (a' + b' +
ε)
Nhận xét rằng a' + b' + ε là số âm sy ra a'b' là cận trên bé nhất của
A.B Trong trường hợp max{ab, a'b'} = ab lập luận tương tự ta suy ra
sup( A.B)=ab
Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.