- Trang chủ >>
- Đại cương >>
- Toán cao cấp
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (150.73 KB, 17 trang )
ƒx = x + khk∈
x ∈h∈ !"#y = f(x ) $"%&
ƒ'
()*+
y
k+,
−
y
k
k∈ -"#$&
./.,%ƒ!01)+2y
k
+y
k+,
−
∆y
k
++y
k
k∈
-"#$&./.3%&ƒx!456"7)+y
k
+y
k+,
−+y
k
++y
k
k ∈8 -"#$&./.%&ƒx,39
:!!
!"
;&./<.=)(>>)?@A"%&
y,y
,
,y,….,y,…
;&./B"B"C
&./#.$DE)FGH.!
4I$
∀∈8∀αβ∈∀ƒx"x→&$)5(
+αƒxJβ"xα+ƒxJβ+"x!
;&./.%&&IHn
•$D&IH−K
•LB"
•MB"CN!
5"I&./O".P
+ƒ
k.
"
k
ƒ
k
!+"
k
+ "
k+,
+ƒ
k
!
Q"&./
+y = y
−
y
,
#$%"&'(")*+"
RS T"U&./.k$D1I)FGI&
&./.k.
f(yR+R+2R!!!R+yC
U&./.=)(>>)?@A"%&(
?'" &
C
y + a
1
yJ!!!J&
k
yƒ!
4"(&
C
&
,
!!!!&!ƒ=)VFWy , ,y $"
&F!
•S T"U -"#$. T"U&./)FG.
k!
•XF)ƒCU. T"U(?'"
ay + ay + + ay = ,
-"#$. T"U&./)FG)P.k.
•XF)ƒ≠CU( -"#$. T"U&./)FG
5")P!
• 0 y FY&V -"#$"1%&. T"
U&./)FG!
• 0 yZ.[)D&Y&V9 -"#$
"1Q"7)%&9!
•\D"18Y&V3 -"#$D"1"%&
3!
./0
12./
Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương
trình dạng:
u
1=
α
,
au
n+1
+ bu
n
= f(n) n
∈
¥
* (1), trong đó
α
,
a
≠
0, b
≠
0 là các hằng
số và f(n) là biểu thức của n cho trước.
#$%3
4&"]. T"U&./)P T"I"!
• ^]. T"U "a
λ
+ b = 0>U
λ
!
• 4U"1%&. T"U&./)FG)P T"
I"au
n+1
+ bu
n
= 0? ?'"u' = c
λ
n
( c là hằng số).
• 4U"1"u
%&. T"U5")P!
• 4U"1Q"7)%&. T"U,u
n
=
u*
n
+ u' .
4$)56XF)f(n) = P
m
(n)$&IHm!
_(
XF)
λ
≠
1U&#u = Q(n)`"$&IHmn!
XF)
λ
≠
1U&#u =nQ(n)"(Q
m
(n)`"$&IHm
n!
7$)58Xa)f(n) = p.
β
n
(p;
β
≠
0)!_(
XF)
λ
≠
β
U&#x*
n
= d.
β
?
∈
¡
!
XF)
λ
β
U&#x*
n
= d. n.
β
n
?
∈
¡
!
4$)59Xa)f(n) =
α
.sinnx +
β
.cosnx (
α
+
β
≠
0; x
≠
k
π
; k
∈
¢
).
_(&#u*
n
= A.sinnx + B.cosnx với A; B
∈
¡
$B"
!
4$)5:XF)f(n) =
,
!
m
k
k
f n
=
∑
_(&#"1"x*
n
%&,? ?'"x*
n
=
,
m
nk
k
x
∗
=
∑
"(
nk
x
∗
T"I"$"1"%&. T"U&./,F.]
$
k
f n
!
12
;Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương
trình dạng:
u
1=
α
,
3
u
β
=
,
au
n+1
+ bu
n+1
+cu
n
= f(n) n
∈
¥
* (1), trong đó
α
,
β
&$
B"
a
≠
0, c
≠
0 và f(n) là biểu thức của n cho trước.
$%3
^]. T"U)P T"I"!
4U"1"%&. T"U5")P!
4U"1Q"7)%&. T"U,? ?'"
u
n
=
u*
n
+ u'n.
^]. T"U)P T"I"
au
n+1
+ bu
n+1
+cu
n
= 0.
^]. T"U "a
3
λ
+ b
λ
+ c = 03>U
λ
!
1< "&$=>?@"AB)3" CDE*
Trường hơp 01: Nếu (2) có hai nghiệm phân biệt:
λ
=
,
λ
,
λ
=
3
λ
thì:
u'n = A.
λ
+ B
λ
trong đó A và B được xác định khi biết u
1
và u
2
.
Trường hơp 02: Nếu (2) có hai nghiệm kép:
λ
=
,
λ
=
3
λ
thì:
u'n = (A+Bn)
λ
, trong đó A và B được xác định khi biết u
1
và u
2
.
Nếu: au
n+1
+ bu
n+1
+cu
n
= f(n) với vế phải có dạng đặc biệt.
f(n) = P
k
(n) là đa thức bậc k đối với n.
Khi đó:
Nếu phương trình đặc trưng (2) không có nghiệm
λ
= 1 thì ta chọn
n
x
∗
= Q
k
(n), trong đó Q
k
(n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.
Nếu (2) có nghiệm đơn
λ
= 1 thì ta chọn
n
x
∗
= nQ
k
(n), trong đó Q
k
(n)
là đa thức bậc k nào đó đối với n.
Nếu (2) có nghiệm kép
λ
= 1 thì ta chọn
n
x
∗
= n
2
Q
k
(n), trong đó
Q
k
(n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.
*Trường hợp khi f(n) = P
k
(n).
n
β
trong đó P
k
(n) là một đa thức bậc k đối
với n.
Khi đó:
Nếu
β
không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (2) thì ta
chọn:
n
x
∗
= Q
k
(n), trong đó Q
k
(n) là đa thức bậc k nào đó đối với n với hệ số
cần được xác định.
Nếu
β
một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) ta chọn
n
x
∗
=
nQ
k
(n), trong đó Q
k
(n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.
Nếu
β
một nghiệm kép của phương trình đặc trưng (2) ta chọn
n
x
∗
=
n
2
Q
k
(n), trong đó Q
k
(n) là đa thức bậc k nào đó đối với n.
*Trường hợp 04: f(n) =
,
!
m
k
k
f n
=
∑
Khi đó ta chọn nghiệm riêng x*
n
của (2) dưới dạng: x*
n
=
,
m
nk
k
x
∗
=
∑
trong
đó
nk
x
∗
tương ứng là nghiệm riêng của phương trình sai phân (2) với vế
phải là
k
f n
và được tìm theo một trong các trường hợp trên.
12F
Cho a, b, c, d,
α β γ
là các hằng số thuộc tập
¡
; a
≠
0 ; d
≠
0 còn f(n) là
một hàm số biến số n. Phương trình:
, 3 9
9 3 ,
R R
n n n n
u u u
au bu cu du f n
α β γ
+ + +
= = =
+ + + =
được gọi là phương trình sai phấn tuyến tính cấp 03.
$%3"'@?@&G
S T"U&./)FG.C9("1Q"7)?'"
!
n n n
u u u
∧
∗
= +
"(
n
u
∧
$"1Q"7)%&. T"U&./)FG
)PW
n
u
∗
$"1"%&. T"UV!
13 "'@
n
u
∧
bc. T"U "
9 3
C!a b c d
λ λ λ
+ + + =
9
XF)9(&"1d./1U
n
u
∧
,
!
,
n
λ
J
3
!
3
n
λ
J
9
!
9
n
λ
!
XF)9("1c.D"1TU
n
u
∧
,
J
3
!
,3
n
λ
J
9
!
9
n
λ
!
XF)9(D"1)"?)
n
u
∧
,
J
3
J
9
3
!
n
λ
!
_G1)
,R
3R
9
$B"e -B"&
n
u
∧
=)1"]1. T"U) -!
13 "'@
n
u
∗
4 f" C,XF)gS
$&IHU
_95"("1
λ
,U&#
n
u
∗
h
"(h
$
&IH!
_9("1T
λ
,U&#
n
u
∗
h
"(h
$
&IH!
_9(&"1
λ
,U&#
n
u
∗
3
h
"(h
$
&IH!
_9(]9"1
λ
,U&#
n
u
∗
9
h
"(h
$
&IH!
Nếu f(n) = A.
n
µ
( A ;
µ
là các hằng số cho trước) thì
Khi
µ
không là nghiệm của (3) thì ta chọn:
n
u
∗
= B.
n
n
µ
với B là hằng số
được xác định bằng cách thay
n
u
∗
vào phương trình đã cho.
Khi
µ
là nghiệm đơn của (3) thì ta chọn:
n
u
∗
= B.n.
n
n
µ
.
Khi
µ
là nghiệm bội hai của (3) thì ta chọn:
n
u
∗
= B.n
2
n
n
µ
.
Khi
µ
là nghiệm bội ba của (3) thì ta chọn:
n
u
∗
= B.n
3
n
n
µ
.
XF)UDT7)&&/)Y'&$'5"(
&$Q"7)$)5!/)]$fijF)'$U
'eF.P&#F/&=)U/)]$fQ"7)
( "F)'(%k&F$UU'I
$(IWF)&GkUe?@OY"&Ud&
l""U&V)U &cF f" $"1(U
=&`"m&&i&[(>[&)D" f
5"P.]"&)/&e &&5". T"UQ"
7)
HIJKL12
1M
S T"U
&y + ay + … + ay = f(n)
-"#$. T"U&./)FG.&
$%3
n! ^]. T"U&./)FG)P T"I"
- ^]. T"U "
a
λ
+ a
λ
+ …. + a.
λ
+ a = 0
o 4U"1Q"7)%&. T"U)P T"I"!
XF)3("1d&)$
, 3
!!!!
k
λ λ λ
U"1Q"7)$
y' = c
λ
+ c
λ
+ … + c 9
"(
, 3
!!!!!!
k
c c c
$B"pq!
• XF)3("1d
j
λ
DU"1Q"7)$
,
, ,
Z
s k
i n n
n j i j i i
i i i j
y c n c
λ λ
−
+
= = ≠
= +
÷
∑ ∑
• XF). T"U "3("1.IT
!
j
r i
λ θ θ
= +
U
!
j
r c i
λ θ θ
= −
`"$"1%&3!
r
,j j
λ λ
+
=
!r>) -5"I"1Q"7)
"5"I9&&D.H
, ,
n n
j j j j
c c
λ λ
+ +
+
iD.H T"I"
,
n n
j j
c r n c r n
θ θ
+
+
• XF). T"U "3("1.ID
, ,
!!!! J
j j j s
r c
λ λ λ θ θ
+ + −
= = = =
U3`"("1.ID$
j
λ
$
j
λ
&$
, 3 ,
!!!!!
j s j s j s
r c
λ λ λ θ θ
+ + + + −
= = = = −
4" f" >) -5"I"1
Q"7)"5"I9&&D.H
, , 3 , 3 ,
!!!!!
n n n
j j j j j s j s
c c c
λ λ λ
+ + + − + −
+ + +
iD.H T"I"
, ,
C C
s s
i n i n
j i j s i
i i
c n r n c n r n
θ θ
− −
+ + +
= =
+
÷ ÷
∑ ∑
M! 4U"1"%&. T"U&./)FG
5")P!s1U"1"%&. T"U
&./)FG5")P.$ T"d
U"1"%&. T"U&./)FG
5")P.&.&!
! 4U"1Q"7)%&. T"U&./)FG
.!X"1Q"7)(?'"
y= y'n + yn
"(
•
n
y
$"1%&. T"U&./)FG.
!
• y' $"1%&. T"U)P T"I"!
•
8
n
y
$D"1"%&. T"U5")P
