De+Da HSG Toan9 huyen Anh son - 2010

đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009-2010
Môn : Toán- Lớp 9
Thời gian làm bài 150 phút

Bài 1: Chứng minh rằng : A = 21
30
+ 39
21
chia hết cho 45.
Bài 2: Giải phơng trình và hệ phơng trình sau:
a, + =5
b,



+=
=+
)y)(xx-y(y-x
2yx
20102010
22

Bài 3: Tìm tích abc biết rằng:



=++
=++
1
1
333

222
cba
cba
Bài 4: Cho x
2
+y
2
=1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S =(2-x)(2-y)
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O đờng kính BC, đờng cao AH .
Đờng tròn tâm O đờng kính AH cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là G, cắt AB và
AC lần lợt tại M và N .
a, Chứng minh : AM.AB = AN.AC.
b, Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại M và N cắt BC lần lợt tại I và K , so
sánh IK và BC.
c, Chứng minh các đờng thẳng : AG; NM và CB cùng đi qua một điểm.
h ớng dẫn chấm toán lớp 9 .
Bài 1 (3,0 đ): A= 21
30
+ 39
21
= 3
30
. 7
30
+ 3
21
. 13
21
0,5 đ
A= 3

21
( 3
9
.7
30
+ 13
21
)
Kết luận đợc A chia hết cho 9 (1) 0,5 đ
A= 21
30
+ 39
21
= (21
30
-1) + (39
21
+ 1) 0,5 đ
A= (21-1)P + (39+1)Q (P và Q nguyên) 0,5 đ
A = 20(P+2Q) chia hết cho 5 (2) 0,5 đ
Vì (5;9)=1 kết hợp (1) và (2) ta có A chia hết cho 45. 0,5 đ
Bài 2: a, Nhận xét : =
(3.0 đ) =
2
3)-1(

x
Vậy tìm đợc ĐK là: x 1
0,75 đ
0,5 đ

HS biến đổi đợc: +
2
3)-1( x
= 5
+2+ = 5 0,5 đ
+ Nếu x 10, ta có : +2+-3=5 x=10 (thoả mãn)
0,5 đ
+ Nếu 1 x<10, ta có 5=5 (luôn đúng)
Vậy nghiệm của phơng trình là 1 x 10
0,75 đ
b, Điều kiện x,y 0
(2,0 đ) Từ
2yx
22
=+
(x,y)

(0,0) x
2010
+y
2010
> 0
0,5 đ
Nếu x>y thì PT thứ 2 có VT > 0 > VP ( Vô nghiệm)
Nếu y>x thì PT thứ 2 có VP > 0 > VT (Vô nghiệm)
0,5 đ
0,5 đ
Nếu x=y , HS kết luận đợc thoả mãn PT thứ 2.
Thay vào PT thứ nhất và tìm đợc: x = y = 1 0,5 đ
Bài 3 (2,0 đ): Ta có

1
222
=++ cba
nên
1;1;1 cba
0,5 đ
Ta có :
0)()(
333222
=++++ cbacba
=>
0)1()1()1(
222
=++ ccbbaa
0,5 đ
Vì
0)1(;0)1(;0)1(
222
ccbbaa
=>
0)1()1()1(
222
=== ccbbaa
0,5 đ
Nếu a=b=c=1 thì trái với giả thiết a
2
=b
2
=c
2

=1.
HS kết luận đợc có ít nhất 1 số bằng 0 vậy tích abc = 0. 0,5 đ
Câu 4: Ta có: S = 4-2x-2y+xy
(3,0 đ) 2S = 8 - 4x 4y + 2xy
2S = 1+4+3 - 4x 4y + 2xy 0,5 đ
2S = x
2
+ y
2
+ 4 - 4x 4y + 2xy +3
2S =(x+y-2)
2
+ 3
S =
2
3 2)-y(x
2
++
0,25 đ
Vậy S
max
(x+y-2)
2
đạt max và S
min
(x+y-2)
2
đạt min
0,25 đ
Ta có (x-y)

2
0 với mọi x,y 2xy x
2
+y
2
(x+y)
2
2(x
2
+y
2
)=2
- x+y
0,5 đ
- -2 x+y-2 -2 < 0
0,5 đ
S = =
Vậy S
Max
= Đẳng thức xảy ra x=y= -
0,5 đ
S
2
249
2
34242
2
3)22(
2

=
++
=
+

Vậy S
Min
= Đẳng thức xảy ra x=y=
0,5 đ



C) (2,0 đ) Nối AO căt MN tại P; gọi giao AG và CB là S.
Kết luận đợc

OAC =

OCA


ONA =

OAN


OAC+

ONA=

OCA+

OAN =90
0
0,5 đ
Rút ra đợc: MN

AO (1) 0,25 đ
OO là đờng nối tâm của (O) và (O) nên OO

AG hay OO

AS 0,5 đ
Xét tam giác : SAO có AH là đờng cao; OO là đờng cao => O là trực tâm của
tam giác . 0,25 đ
=> SO

AO (2) kết hợp với (1) => SO và MN cùng vuông góc với AO 0,25 đ
Và có chung điểm O => đờng thẳng SO trùng đờng thẳng MN =>
S; M; N thẳng hàng => AG; MN và BC đồng quy (ĐPCM) 0,25 đ
Bài 5:a) (2 đ) HS kết luận đợc :
AM.AB = AH
2
(0,75 đ)
AN.AC = AH
2
(0,75 đ)
AM.AB = AN.AC (0,5 đ)
b) Kết luận đợc

IMH cân tại I (0,5 đ)

Kết luận đợc : MI=BI=IH . (0,75 đ)
IH=1/2 BH. (0,25 đ)
Tơng tự kết luận đợc:
HK =1/2 HC. (1,5 đ)
IK = 1/2 BC. (0,5 đ)
(3,0 đ)