Bài giảng đại số 11- Cấp số cộng

TOÁN ĐẠI SỐ 11
Cho dãy (u
n
) với u
n
= 2n + 5 (n  N
*
)
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số?
b) Xét tính đơn điệu (tăng, giảm) của dãy số?
c) Chỉ ra một quy luật của các số hạng trong dãy?
KIỂM TRA BÀI CŨ
a) 5 số hạng đầu của dãy số:
u
1
= 7

u
2
= 9

u
3
= 11

u
4
= 13

u
5

= 15
c) Kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng của dãy số
đều bằng số hạng đứng liền trước nó cộng với 2.
KIỂM TRA BÀI CŨ
b) Ta có u
n+1
= 2(n + 1) + 5 = 2n + 7
Xét hiệu : u
n+1
– u
n
= 2n + 7 – 2n – 5 = 2 > 0
Vậy dãy số trên là dãy số tăng.
Bài giải
Tiết 42 - Bài 3 :CẤP SỐ CỘNG
I. Định nghĩa
Phương pháp: Để cm một dãy số là cấp số cộng
ta cm hiệu u
n+1
– u
n
bằng số d không đổi.
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số
hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng liền trước nó cộng
với một số d không đổi.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
d = 0 => CSC là một dãy số không đổi có dạng:
u
1
, u

1
, u
1
, u
1
,…
u
n+1
= u
n
+ d (nN
*
)
Công thức truy hồi:
n 1 n
d = u u


Chú ý : công sai
Vì –2 = –5+ 3; 1= –2+ 3; 4 = 1+ 3; 7 = 4+ 3; 10 =7 +3
Nên theo định nghĩa, dãy số –5; – 2; 1; 4; 7; 10 là 1
CSC với công sai d = 3.
I. Định nghĩa
Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
u
n+1
= u
n
+ d (n N*)
Công thức truy hồi

Phương pháp:
Để cm một dãy số là
cấp số cộng ta cm
hiệu u
n+1
– u
n

bằng số d không đổi.
Ví dụ1: CMR dãy số hữu hạn sau là 1 CSC:
–5; – 2; 1; 4; 7; 10.
Giải:
u
3
= u
2
+ d = u
1
+ 2d
a) u
2
= u
1
+ d = u
1
+ 1d
u
4
= u
3

+ d = u
1
+ 3d
…
b) u
n
= u
1
+ (n – 1)d (n  2)
II. Số hạng tổng quát
Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
Ví dụ 2: Cho CSC (u
n
)
a) Biểu thị u
2
,u
3
,u
4
theo u
1
và d.
b) Từ đó biểu thị u
n
theo u
1
và d.
I. Định nghĩa
Bài giải

u
n
= u
1
+ (n – 1)d (n  2)
II Số hạng tổng quát
Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
Nếu cấp số cộng (u
n
) có số hạng đầu là u
1
và công sai d
thì số hạng tổng quát u
n
được tính bởi công thức:
I. Định nghĩa
Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
II Số hạng tổng quát
I. Định nghĩa
u
n+1
= u
n
+ d (nN*)
Công thức truy hồi
u
n
= u
1
+ (n – 1)d (n  2)

Số hạng tổng quát
Ví dụ 3:
Cho cấp số cộng có u
1
= -1, u
2
= 2
a) Tìm u
15
?
b) Số 296 là số hạng thứ bao nhiêu?
Ta có d = u
2
– u
1
= 3
a) Theo ct số hạng tổng quát:
u
15
= u
1
+ (15 – 1)d = -1 + 14.3 = 41
b) Giả sử 296 là số hạng thứ n ta có
u
n
= u
1
+ (n – 1)d <=> 296 = -1 + (n – 1).3
<=> n = 100 => 296 là số hạng thứ 100 của dãy số.
Lời giải

Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
II Số hạng tổng quát
I. Định nghĩa
u
n+1
= u
n
+ d (n N*)
Công thức truy hồi
u
n
= u
1
+ (n – 1)d (n  2)
Số hạng tổng quát:
III. Tính chất
u
k
= với k ≥ 2
u
k–1
+ u
k+1
2
Chú ý:
Để cm 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng
ta chỉ ra 2b = a + c
Hay 2u
k
= u

k–1
+ u
k+1
Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
Nếu (u
n
) là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
là trung bình cộng của số hạng đứng liền trước và liền sau nó.
II. Số hạng tổng quát
I. Định nghĩa
Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
II. Số hạng tổng quát
I. Định nghĩa
III. Tính chất
Ví dụ 4 : Cho CSC ( u
n
) với u
n
= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 …
Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên.
Bài giải
Ta có S
100
= 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100
S
100
= (1 + 100) + (2 + 99) + …
S
100
= (1+100) .

100
2
u
1
n
u
n
IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
S
n
=
n(u
1
+ u
n
)
2
Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
Nếu (u
n
) là cấp số cộng có số hạng đầu là u
1
thì
tổng n số hạng đầu được tính bởi công thức:
Chú ý : Vì u
n
= u
1
+ ( n – 1 )d nên:
= nu

1
+
n(n – 1)d
2
S
n

II. Số hạng tổng quát
I. Định nghĩa
III. Tính chất
IV. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
u
n+1
= u
n
+ d (n N*)
u
n
= u
1
+ (n – 1)d (n  2)
n(u
1
+ u
n
)
2
Sn =
= nu
1

+
n(n – 1)d
2
u
k
= với k ≥ 2
u
k–1
+ u
k+1
2
1, Công thức truy hồi:
2, Công thức số hạng tổng quát:
3, Tính chất
4, Tổng n số hạng đầu:
Cho dãy số (u
n
) với u
n
= 5 + 4n
a) Cm dãy (u
n
) là cấp số cộng , tìm u
1
, d
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu.
c) Biết Sn = 1425, tìm n.
Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
Ví dụ 5:
u

n+1
= u
n
+ d (n N*)
u
n
= u
1
+ (n – 1)d (n  2)
n(u
1
+ u
n
)
2
Sn =
= nu
1
+
n(n – 1)d
2
u
k
= với k ≥ 2
u
k–1
+ u
k+1
2
1, Công thức truy hồi:

2, Công thức số hạng tổng quát:
3, Tính chất:
4, Tổng n số hạng đầu:
Bài 3: CẤP SỐ CỘNG
Giải:
a, u
n +1
= 5 +4(n+1) = 4n + 9
Xét hiệu : u
n+1
– u
n
= 4n + 9 – 4n – 5 = 4
Vậy d/số trên là CSC với u
1
= 9 ; d = 4
b, u
50
= 9 + 49.4 = 205
S
50
=
50(9 + 205)
2
= 5350
c, Theo bài ra ta có:
1425 = 9n +
n(n - 1)
2
.4

=> n = 25
Vậy số 1425 ở vị trí thứ 25 trong dãy.
Kiến thức
u
n+1
= u
n
+ d (n N*)
u
n
= u
1
+ (n – 1)d (n  2)
n(u
1
+ u
n
)
2
Sn =
= nu
1
+
n(n – 1)d
2
u
k
= với k ≥ 2
u
k–1

+ u
k+1
2
1, Công thức truy hồi:
2, Công thức số hạng tổng quát:
3, Tính chất:
4, Tổng n số hạng đầu:
CỦNG CỐ
- Các công thức của bài này.
- Hai phương pháp chứng minh một dãy số là CSC :
- Dùng định nghĩa
- Dùng tính chất
-Vận dụng các công thức để giải các bài toán
liên quan
- Chú ý:Khi giải các bài toán về CSC ta
thường gặp 5 đại lượng: u
1
,d,u
n
,n,S
n
.Cần biết
ít nhất 3 trong 5 đó thì sẽ sẽ tính được các đại
lượng còn lại.
Hs cần nắm được:
DẶN DÒ
• Học thuộc các công thức của bài.
• Xem lại các ví dụ đã giải và làm bài tập: 2,3,5 SGK trang 97 –
98.
• Bài tập về nhà (photo phần bài tập cô giao cho).

Xin chúc toàn thể các em học sinh
mạnh khoẻ học giỏi!