CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP CHỌN LỌC HAY NHẤT

CHUN ĐỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP CHỌN LỌC HAY NHẤT
LOẠI TOÁN ĐẾM
Bài 1: Với các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có tính chất:
1. Mỗi số gồm 3 chữ số trong đó chữ số 1 là chữ số duy nhất lập lại nhiều nhất 2 lần.
2. Mỗi số gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 1 và 3 xuất hiện một lần, chữ số 2 xuất hiện ba
lần.
1. Đs: 12
2. Đs: 20
Bài 2: Với các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số số tự nhiên khác nhau, mỗi số có
các chữ số không trùng nhau và dó nhiên không có chữ số 0 ở vò trí đầu trừ số không.
Đs:261
Bài 3: Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số không
trùng nhau sao cho hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau.
Đs :72
Bài 4: Với các chữ số 1,2,3, ,n có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số khác nhau
trong đó chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau.
Đs :n! - 2(n - 1)!
Bài 5: Với các chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số lớn hơn 20.000 sao cho trong mỗi
số các chữ số 2,3,4 có mặt một lần và chữ số 1 có mặt hai lần.
Đs :
!
.
4
3
2
Bài 6: Có tất cả bao nhiêu số đăng ký xe ôtô khác nhau có 5 chữ số nếu chữ số đầu tiên khác
không.
Đs :9x10
4
.
Bài 7: Các số 1,2, ,n được xếp thành hàng ngang. Hỏi có mấy cách sắp xếp sao cho:

Trang 1
1. Hai chữ số 1 và 2
2. Ba chữ số 1,2,3
đứng cạnh nhau và theo thứ tự tăng dần.
1. Đs: (n - 1)!
2. Đs: (n - 2)!
Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số tạo bỡi các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 sao cho các chữ số
không lặp lại và chữ số cuối cùng là chẵn.
Đs :
.A
5
6
3
.
Bài 9: Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của nó là
số chẵn.
Hd: - Có tất cả là 9x10
6
số nguyên dương có 7 chữ số.
- Trong 10 số nguyên dương có 7 chữ số sau:


a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0
1

9
có 5 số có tổng các chữ số là chẵn và 5 số có tổng các chữ số là lẻ.
Vậy đáp số là:
.
6
10
9
2
.
Bài 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số chỉ tạo bỡi các chữ số 1,2 và 3 với điều kiện chữ
số 2 xuất hiện hai lần trong mỗi số.
HD: Vì số các chữ số dùng để lập một số như yêu cầu của bài toán là không kiểm soát được như
vậy ta lại dựa vào vò trí, thứ mà ta kiểm soát được. Cụ thể như sau:Ta sẽ chọn ra hai vò trí cho số
2: có
C
2
7
cách. Còn lại 5 vò trí dành cho hai số 1 và 3: có 2
5
cách sắp. Vậy đáp số là: 2
5
C
2
7
.
Bài 11 : Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 10
4
viết dưới hệ cơ số thập phân có tất cả các
chữ số khác nhau.
Đs:

A A A A A A A A+ + + − − − −
4 3 2 1 3 2 1 0
10 10 10 10 9 9 9 9
Trang 2
Bài 12: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 4 tạo bỡi các chữ số 1,2,3,4,5 trong
hai trường hợp sau:
1. Các chữ số có thể trùng nhau.
2. Các chữ số khác nhau.
HD:
1. Các số chia hết cho 4 tận cùng bỡi các cặp: 24,44,32,12,52. Như vậy ta chỉ còn hai vò trí
còn lại cho năm số: 1,2,3,4,5: có 5
2
. Đs: 5x5
2
.
2. Nếu các chữ số khác nhau thì các số chia hết cho 4 tận cùng bỡi các cặp: 24,32,12,52. Hai
vò trí còn lại ta sẽ chọn có thứ tự hai số trong ba số còn lại. Đs: 4.
A
2
3
Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số được viết bỡi các chữ số 1 và 2
Đs:2
10
Bài 14: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có bốn chữ số khác
nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 1.
Đs: 204
Bài 15: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có tám chữ số trong đó
chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần.
HD: Để lập ra một số theo yêu cầu thì ta phải sắp xếp tám chữ số : 0,1,1,1,2,3,4,5 theo một thứ
tự nào đó. Có 8! Cách sắp xếp như thế. Nhưng phải loại đi 7! Số có chữ số 0 đứng đầu. Ngoài ra

3 chữ số 1 giống nhau không kể thứ tự nên tính theo cách trên sẽ dôi ra 3! lần. Vậy đs:
! !
!
−8 7
3
.
Bài 16 : Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 10
4
có các chữ số không trùng nhau, là bội số
của 4 tạo bỡi các chữ số 0,1,2,3,5.
Đs: 31
Bài 17: Có bao nhiêu số nguyên dương có bốn chữ số, trong đó nhiều nhất là hai chữ số trùng
nhau.
Đs:576
Trang 3
Bài 18: Có bao nhiêu số nguyên dương có sáu chữ số, trong đó chỉ có đúng bốn chữ số khác
nhau.
Bài 19: Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn
.
8
2 10
chia hết cho 3 có các chữ số là 0, 1, 2.
Đs:
. −
7
2 3 1
Bài 20: Người ta xếp 12 cuốn sách vào 6 hộc, mỗi hộc có 2 cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp.
ĐS:
!
C C C C C C

2 2 2 2 2 2
12 10 8 6 4 2
6
=10395=
!
!
6
12
2 6
Bài 21: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ta lập tất cả các số có 4 chữ số không trùng nhau. Tìm
tổng của các số đó.
HD: Có
A
4
9
số có 4 chữ số khác nhau. Trong đó ta có thể sắp thành các cặp số bù nhau, ví dụ:
3562 và 7548, tổng của cặp số này là 1000x10 + 100x10 + 10x10 +1x10 = 11110 Vậy tổng của
các số phải tìm là:
.
A
4
9
11110
2
.
Bài 22: Trong một giải cờ vua có cả nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi
hai ván với mỗi vận động viên còn lại. Cho biết có hai vận động viên nữ và số ván các vận
động viên nam chơi với nhau nhiều hơn số ván mà họ chơi với 2 vận động viên nữ là 66. Hỏi
có bao nhiêu vđv tham dự và có tất cả bao nhiêu ván cờ đã xảy ra.
ĐS: Có 13 vđv và 2

C
2
13
ván cờ.
Bài 23: Cho các số 3,5,7,11,13,17,19,23. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu phân số nhỏ
hơn đơn vò, trong đó mỗi phân số được tạo thành bới hai số đã cho.
ĐS:
C
2
8
Bài24: Trong ba lần chọn ngẫu nhiên 3 chữ số thì có mấy trường hợp:
1. Có hai lần lặp lại.
2. Có một lần lặp lại.
3. Không có lần nào lặp lại.
Trang 4
HD: 1. Chọn ba chữ số mà có hai lần lặp lại như vậy là thật ra ta chỉ chọn có một chữ số. Vậy
trong trường hợp này có 10 cách chọn.
2.Chọn ba chữ số mà có một lần lặp lại như vậy là thật ra ta chọn 2 chữ số rồi sau đó ta thêm
vào một chữ số trùng với một trong hai số đã chọn ta được
C
2
10
2
. Sau đó ta thay đổi thứ tự của
các chữ số trong số được lập, ta được
!
.
!
C
2

10
3
2
2
= 270.
3.
A =
3
10
720
.
Bài 25: Có 90 phiếu được đánh số từ 1 đến 90. Tính số cách rút ra 5 phiếu cùng một lúc sao
cho có ít nhất 2 phiếu có số thứ tự là hai số liên tiếp.
HD: Số cách rút 5 phiếu tuỳ ý là:
C
5
90
. Gọi
a b c d e
≤ < < < < ≤
1 90
là số thứ tự của 5 phiếu mà sao
cho bất kỳ hai phiếu nào cũng có hiệu số khác 1. Khi đó a, b - 1, c - 2,
d - 3, e - 4 là 5 số phân biệt nằm giữa 1 và 86. Đảo lại, với năm số bất kỳ a’,b’,c’,d’,e’ sao cho
' ' ' ' 'a b c d e
≤ < < < < ≤
1 86
thì 5 số a’, b’ + 1, c’ + 2, d’ + 3, e’ + 4 sẽ có hiệu hai số bất kỳ khác 1.
Vậy có
C

5
86
phiếu không thoả yêu cầu đề bài. ĐS:
C
5
90
-
C
5
86
.
Bài 26: Người ta lập tích số của hai số nguyên khác nhau từ 1 đến 100. Hỏi có bao nhiêu tích
số là bội số của 3.
ĐS:
C C+
1 2
33 33
67
Bài 27: Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh.
Bài 28: Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh sao cho mỗi học
sinh có ít nhất một phần thưởng?
HD: Đầu tiên phát cho mỗi học sinh một phần thưởng. Như vậy có một cách. Còn lại 4 phần
thưởng phát cho 6 học sinh ( phát tuỳ ý ). Vì ta phát tất cả 4 phần thưởng cho 6 học sinh nên ta
chỉ cần xét cách phân phối cho 5 học sinh, học sinh thứ 6 nhận số phần thưởng còn lại. Bỡi vì có
thể xảy ra trường hợp có 5 học sinh không nhận phần thưởng nào trong 4 phần thưởng còn lại,
cho nên ta thêm vào 4 phần thưởng đó 5 phần thưởng ảo tượng trưng cho không có phần thưởng.
Vì các học sinh nhận là khác nhau nên ta có thể xem các phần thưởng là khác nhau. Như vậy ta
Trang 5
sẽ lấy 5 phần thưởng trong 9 phần thưởng ra để phát cho 5 học sinh. Số còn lại học sinh thứ 6 sẽ
nhận. Vậy có

C
4
9
cách phát thưởng cho học sinh.
Bài 29: Giả sử có n viên bi giống nhau và m cái hộp khác nhau. Ta xếp bi vào các hộp. Tìm số
cách xếp:
1, Xếp tuỳ ý.
2, Tất cả các hộp đều phải có bi.
HD:
1, Ta biểu diễn m hộp bỡi các khoảng ở giữa m + 1 gạch thẳng đứng, còn các viên bi biểu diễn
bằng các ngôi sao. Ví dụ: |**|*| |****|….|*|.
Như vậy ở ngoài cùng luôn lấcc vạch thẳng đứng, còn lại m – 1 vạch đứng và n ngôi sao được
xếp theo thứ tự tuỳ ý. Như vậy số cách chọn n phần tử trong m-1+n phần tử, nó cũng là số cách
chọn m-1 phần tử trong m-1+n phần tử:
1
1 1
m n
n m n m
C C
−
+ − + −
=
.
2, Trường hợp mội hộp có chứa ít nhất một viên bitương ứng với cách biểu diễn mỗi gạch phải
bao gồm giữa hai ngôi sao. Nhưng có tất cả n-1 khoảng trống giữa n ngôi sao. Vậy thì phải xếp
m-1 vạch vào n-1 khoảng trống đó. Vậy có:
1
1
m
n

C
−
−
. Hoặc có thể giải cách khác bằng cách trước
tiên ta phân cho mỗi hộp một viên bi cái đã rồi sau đó số viên bi còn lại ta phân phối tuỳ ý như
câu 1,
Bài toán có thể phát biểu dưới dạng khác như sau:
1, Tìm số các nghiệm tự nhiên của pt:
1 2 3

m
x x x x n+ + + + =
2, Tìm số các nghiệm nguyên dương của pt:
1 2 3

m
x x x x n+ + + + =
Bài 30: Có 5 cuốn sách khác nhau đặt trên giá sách. Rút lần lượt không hoàn lại ba cuốn sách.
Có bao nhiêu cách rút được cuốn A; có bao nhiêu cách rút không được cuốn A?
LOẠI TOÁN GIẢI PT, BPT,…:
Lưu ý: Đặt đk, dùng các công thức, khử giai thừa, giải pt, bpt,…
Vì giải trong tập hợp số tự nhiên nên có thể thử nghiệm nếu cần.
Trang 6
( )
3 2
2 4 2 3 4
1 4 1 1
3 3
8 6
6 5

1
1
2 2 2
4 5 6
4
3
1
1
2
1
2 1
3 1
1 1
2 1
1
1, 14
2,
3, 5
4,3 4
5,35 132
1 1 1
6,
7, 60
2
8,
3
9, 14 1
10, 79
x
x x

x x
x x x
x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
A C x
x C A C xC
C A
C C
C C
C C C
A
C
C
C
A C x
A C
−

− −
− + −
+
+ +
−
−
−
−
+
−
+
−
+ +
−
+ =
= −
=
=
− =
=
=
+ = +
− =
( )
3 2
1
2 2
2
2 2 3 1
1 2

2
1
3
2 2
1 2
3
5
5
11, 14
12,3 2
13, 4
4
14,
5
15,3 4
16, 720
x
x x
x x
x x x
x
x
x x
x
x x
A C x
C A x
C A x A
C
x

C
C P x A
P
A P
−
+
+
+
+
+
−
+ =
= +
+ − =
=
+ =
=
2
13 13
2
18 18
4 3 2
1 1 2
2 1
1 1
17,
18,
5
19, 0
4

20, 100
x x
x x
x x x
x x
x x
C C
C C
C C A
C C
+
−
− − −
− −
+ +
<
>
− − <
− ≤
Trang 7
( )
( )
4
1
3
3
1
1
10 10
2 1

4
3 4
1
4
4
1
105 105
1 1
1 1 1
1 1
2
5
3
1
1
21, 14
22, 2
23, 48
24
24,
23
143
25,
2 ! 4
26,8 3
27, : : 5 : 5 : 3
28, : : 2 :3 : 4
29, 60
!
30, : :

x
x
x
x x
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
m m m
n n n
n n n
m m m
k
n
n
y y
x x x
A
P
C
C C
A C
A
A C
A
x P

C C
C C C
C C C
P
A
n k
C C C
+
−
−
−
−
−
+
+
+
+ −
+ + +
− +
+
+
+
+
+
<
>
=
=
−
<

+
<
=
=
≤
−
1
6 : 5 : 2
y−
=
LOẠI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC
Bài tập1:
( )
( ) ( )
( )
1
1
2 3
1
1 2 1
1 1 1
2
1
1
1 2 3
1
0
2
2 2 2
0 1 2

1 2 3
2 3 4 2
1, .
1
1 , 2 3
2
1 , 2
2, 2 3 1 1
3,0 :
4,
−
−
−
+ − +
+
−
−
−
=
+ −
+
+ + + + +
=
+
+ + + + =
+ + =
− + − + − = −
≤ ≤ ≤
+ + + +
∑

r r
n n
n
n n n
n
n
n n n
m m m m
n n n n
n
n k
n k
n n n n n
k
n n n
n k n k n
k
n n n n
k
n n n n k
n
C C
r
n n
C C C
a C n
C C C
b C C C C
C C C nC C
k n C C C

C C C C
C C C C
1 1
2 2
1 2 3
3
1
1 2 1 1
1 2 3
4
1

2
5, 3 3
6,
7, 4 6 4
+
+
− − −
+
+
− − + +
− − −
+
+ + =
+ + + =
+ + + + + =
+ + + =
n
n

n
n
k k k k k
n n n n n
k k k k k k
n n n k k n
k k k k k
n n n n n
C
C
C C C C C
C C C C C C
C C C C C
Bài tập2: Chọn các số nguyên dương n và k như thế nào để:
1 1
, ,
k k k
n n n
C C C
− +
theo thứ tự là các số
hạng của một cấp số cộng.
Bài tập3: Chứng minh rằng với số nguyên dương n cho trước, có không quá hai số nguyên
dương k sao cho
1 1
, ,
k k k
n n n
C C C
− +

theo thứ tự là các số hạng của một cấp số cộng.
Trang 8
Bài tập4: Chứng minh số
2
1
1
m
m
C
m +
là một số nguyên dương.
Bài tập5: Tìm số nguyên dương bé nhất k sao cho
2
1
m n
n
k
C
n m
+
+ +
là một số nguyên với mọi số
nguyên dương
n m≥
.
Hd: đkc: n = m, suy ra k = 2m + 1.
Đkđ: thử lại với n = m.
Bài tập6: Tìm số nguyên dương n sao cho:
2432 42
210

=++++
n
n
n
nnn
CCCC
Bài tập7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có:
n
nnnn
n
nnnn
CCCCCCCC
2
2
4
2
2
2
0
2
12
2
5
2
3
2
1
2
++++=++++
−

Bài tập8: Chứng minh rằng:
1919
20
17
20
5
20
3
20
1
20
2 =+++++ CCCCC
Bài tập9: Tính tổng:
10
10
109
10
98
10
87
10
76
10
65
10
54
10
43
10
32

10
21
10
0
10
3333333333 CCCCCCCCCCCP
+−+−+−+−+−=
Bài tập10: CMR:
1 1 2 3
2 2 3
n n
n n n n
n C C C nC
−
= + + + +
Bài tập11: CMR:
( ) ( )
2 2 3 4
1 2 1.2 2.3 3.4 1
n n
n n n n
n n C C C n n C
−
− = + + + + −
Bài tập12: Tính tổng:
n
nnnn
C
n
CCCS

1
1

3
1
2
1
210
+
++++=
biết rằng n là số nguyên dương thỏa
mãn điều kiện:
79
21
=++
−− n
n
n
n
n
n
CCC
.
Bài tập13: Chứng minh rằng:
( )
n
nnn
n
nnn
nCCCCnCC

2
2
4
2
2
2
12
2
3
2
1
2
2 4212 31 +++=−+++
−
Bài tập14: CMR:
( ) ( ) ( )
1
0 1 2 1
1 2 1 0
n
n
n n n n
nC n C n C C
−
−
− − + − − + − =
Bài tập15: Chứng tỏ rằng:
( )
( )
( )

12 5.3.1
222 6.4.2
12
1

753
1
321
+
−
=
+
−
++−+−
n
nn
n
CCCC
n
n
n
nnn
.
Bài tập16: Chứng minh rằng:
k
n
k
n
k
n

k
n
CCCCCCC =++
−
−
−
−−
2
2
2
2
1
2
1
22
0
2
(n ≥ k+2 ; và là các số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Bài tập17: CMR:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 1 2
2

n n
n n n n n

C C C C C+ + + + =
.
Trang 9
LOẠI TOÁN TÌM HỆ SỐ CỦA NHỊ THỨC NEWTON
Bài tập18: Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển của nhò thức
( )
2007
2 x+
.
Bài tập19: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhò thức:
2007
2
x
x
 
−
 ÷
 
.
Bài tập20: Tìm hệ số của
2
x
trong khai triển của nhò thức
( )
2007
2
2 x x+ +

.
Bài tập21: Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển của nhò thức:
( )
1
n
x+
.
Bài tập22: Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển của nhò thức:
15
1 2
3 3
x
 
+
 ÷
 
.
LUYỆN TẬP
Bài tập23: ĐH, CĐ – Khối A – Năm 2002
Cho khai triển nhò thức:
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x

n
x
n
n
x
n
n
x
x
CCCC








+

















++
















+









=








+
−
−
−
−
−
−
−
−−
−
−
3
1
3
2
1
1
3
1
2

1
0
2
1
0
3
2
1
222 22222
(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
13
5
nn
CC =
và số hạng thứ tư bằng
20n, tìm n và x.
ĐS: n = 7, x = 4
Bài tập24: ĐH, CĐ – Khối B – Năm 2002
Cho đa giác đều
( )
nguyênnnAAA
n
,2
221
≥
nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam
giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
, A
2

, , A
2n
nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có
các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
, A
2
, , A
2n
, tìm n.
ĐS: n = 8
Bài tập25: ĐH, CĐ – Dự Bò 1 – Năm 2002
Trang 10
Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12,
6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội
đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.
ĐS: 41811 cách
Bài tập26: ĐH, CĐ – Dự Bò 2 – Năm 2002
Tìm số n nguyên dương thỏa mãn bất phương trình:
nCA
n
nn
92
23
≤+
−
, trong đó
k
n
k

n
CvàA
lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử.
ĐS: n = 3 hoặc n = 4
Bài tập27: ĐH, CĐ – Dự Bò 4 – Năm 2002
Giả sử n là số nguyên dương và
( )
n
n
k
k
n
xaxaxaxaax ++++++=+ 1
2
210
Biết
rằng tồn tại số k nguyên
( )
11 −≤≤ nk
sao cho:
2492
11 +−
==
kkk
aaa
. Hãy tính n
ĐS: n = 10
Bài tập28: ĐH, CĐ – Dự Bò 6 – Năm 2002
Gọi a
1

, a
2
, , a
11
là các số hạng trong khai triển sau:
( ) ( )
11
9
2
10
1
11
10
2.1 axaxaxxx ++++=++
. Hãy tính hệ số a
5
ĐS:
6722
4
10
5
105
=+=
CCa
Bài tập29: ĐH, CĐ – Khối A – Năm 2003
Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhò thức Niutơn của
n
x

x






+
5
3
1
,
biết rằng
( )
37
3
1
4
+=−
+
+
+
nCC
n
n
n
n
(n là số nguyên dương, x > 0,
k
n

C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS:
495
4
12
=C
Bài tập30: ĐH, CĐ – Khối A – Dự Bò 1 – Năm 2003
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau.
Trang 11
ĐS: 952
Bài tập31: ĐH, CĐ – Khối A – Dự Bò 2 – Năm 2003
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6
chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
ĐS: 192 số
Bài tập32: ĐH, CĐ – Khối B – Năm 2003
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng
n
n
n
nnn
C
n
CCC
1
12

3
12
2

12
1
2
3
1
2
0
+
−
++
−
+
−
+
+
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Bài tập33: ĐH, CĐ – Khối B – Dự Bò 1 – Năm 2003
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6
chữ số và thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó
tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vò?
ĐS: 108 số
Bài tập34: ĐH, CĐ – Khối B – Dự Bò 2 – Năm 2003
Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em, trong đó số học
sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách như vậy.
ĐS: 462 cách
Bài tập35: ĐH, CĐ – Khối D – Năm 2003

Với n là số nguyên dương, gọi a
3n-3
là hệ số của x
3n-3
trong khai triển thành đa thức
của
( )
( )
n
n
xx 21
2
++
. Tìm n để a
3n-3
= 26n.
ĐS: n =5
Bài tập36: ĐH, CĐ – Khối D – Dự Bò 1 – Năm 2003
Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà
mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau.
Trang 12
ĐS: 90720
Bài tập37: ĐH, CĐ – Khối D – Dự Bò 2 – Năm 2003
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:
1002
333222
=++
−− n
nnnn
n

nn
CCCCCC
Trong đó
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử
ĐS: n = 4
Bài tập38: CĐSP – Khối A – Năm 2002
Tìm số giao điểm tối đa của:
1. 10 đường thẳng phân biệt
2. 6 đường tròn phân biệt
3. số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng và 6 đường tròn.
ĐS: 1. 45 điểm ; 2. 30 điểm ; 3. 120 điểm
Bài tập39: CĐSP – Khối A – Dự Bò – Năm 2002
Cho đa giác lồi n cạnh. Xác đònh n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh.
ĐS: n = 7
Bài tập40: CĐSP TD TW II – Năm 2002
Cho các chữ số : 0, 1, 2, 3, 4. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác
nhau được thành lập từ các chữ số trên.
ĐS: 60 (số)
Bài tập41: CĐXD số 3 – Năm 2002
1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có:
n
nnnn
n
nnnn
CCCCCCCC
2
2

4
2
2
2
0
2
12
2
5
2
3
2
1
2
++++=++++
−
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và
nhỏ hơn 245.
ĐS: 20 (số)
Bài tập42: CĐSP Quảng Ngãi – Năm 2002
Trang 13
Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau.
ĐS: 54 số lẻ
Bài tập43: CĐSP Bến Tre – Khối A – Năm 2002
1. Giải phương trình:
xxCCC
xxx
14966
2321
−=++

2. Chứng minh rằng:
1919
20
17
20
5
20
3
20
1
20
2 =+++++ CCCCC
ĐS: x = 7
Bài tập44: CĐ Khối A, D – Năm 2003
Chứng minh rằng :
1 32
1321
−=++++
+nn
PnPPPP
Trong đó n là số nguyên dương và P
n
là số hoán vò của n phần tử.
Bài tập45: CĐGT II – Dự Bò – Năm 2003
Tính tổng:
( )
n
n
n
nnnn

CCCCCS .1 432
1
4321
−
−++−+−=
Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử
ĐS: S = 0
Bài tập46: CĐGT III – Năm 2003
Tính tổng:
n
nnnn
C
n
CCCS
1
1

3
1
2
1
210
+
++++=
biết rằng n là số nguyên dương thỏa
mãn điều kiện:

79
21
=++
−− n
n
n
n
n
n
CCC

(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
ĐS:
12,
13
12
13
=
−
= nS
Bài tập47: CĐ Tài Chính Kế Toán IV – Năm 2003
Chứng minh rằng:
k
n
k
n

k
n
k
n
CCCCCCC =++
−
−
−
−−
2
2
2
2
1
2
1
22
0
2
(n ≥ k+2 ; và là các số nguyên dương,
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Bài tập48: CĐ Tài Chính Kế Toán IV – Dự Bò – Năm 2003
Giải bất phương trình:
( )
720 !
32
3

≤
n
n
n
n
n
n
CCCn
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Trang 14
ĐS:



∈
≤≤
Zn
n 20
Bài tập49: CĐ Công Nghiệp Hà Nội – Năm 2003
Cho đa thức:
( ) ( )
2003
1516 −= xxP
, khai triển đa thức đó dưới dạng
( )
2003

2003
2
210
xaxaxaaxP ++++=
. Tính tổng:
2003210
aaaaS ++++=
ĐS: S = 1
Bài tập50: CĐ Khí Tượng Thủy Văn – Khối A – Năm 2003
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức:
nCA
nn
162
23
=+
(
3
n
A
là chỉnh hợp chập 3,
2
n
C
là số tổ hợp chập 2 của n phần tử)
ĐS: n = 5
Bài tập51: CĐ Nông Lâm – Năm 2003
Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển nhò thức Niutơn của
15
3
2

3
1






+ x
ĐS:
15
10
10
3
2
.3003=a
Bài tập52: CĐSP Tây Ninh – Năm 2003
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết
cho 5; mỗi số có 5 chữ số phân biệt.
ĐS: 1560 (con số)
Bài tập53: CĐ Cộng Đồng Tiền Giang – Năm 2003
Hãy khai triển nhò thức Niutơn của
( )
n
x
2
1 −
, với n là số nguyên dương. Từ đó chứng
minh rằng:
( )

n
nnn
n
nnn
nCCCCnCC
2
2
4
2
2
2
12
2
3
2
1
2
2 4212 31 +++=−+++
−
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Bài tập54: Tính
( )
∫
−
1
0

2
1 dxx
n
(n là số nguyên dương)
Từ kết quả đó chứng tỏ rằng:
Trang 15
( )
( )
( )
12 5.3.1
222 6.4.2
12
1

753
1
321
+
−
=
+
−
++−+−
n
nn
n
CCCC
n
n
n

nnn
Trong đó:
( )
!!
!
mnm
n
C
m
n
−
=

Bài tập55: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5
chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên phải khác 0.
ĐS: 1260 số
Bài tập56: Có bao nhiêu số tự nhiên có đúng 2004 chữ số mà tổng các chữ số bằng 4.
Bài tập57: Trong khai triển
21
3
3








+

a
b
b
a
. Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau.
Bài tập58: Tính tổng:
2002
2003
4
2003
2
2003
0
2003
2003
1

5
1
3
1
CCCCS ++++=
Bài tập59: ĐH – Bộ Quốc Phòng – Khối A – Năm 2002
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau,
biết rằng các chữ số này chia hết cho 3.
Bài tập60: ĐH – Bộ Quốc Phòng – Khối D – Năm 2002
Đa thức
( )
( )
10

2
1 xxxP ++=
được viết lại dưới dạng:
( )
20
2010
xaxaaxP +++=
. Tìm hệ
số a
4
của x
4
.
Bài tập61: ĐH, CĐ – Khối A – Năm 2004
Tìm hệ số x
8
trong khai triển thành đa thức của
( )
[ ]
8
2
11 xx −+
Trang 16
Bài tập62: ĐH, CĐ – Khối B – Năm 2004
Trong một nôn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu
hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,
mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu
hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
Bài tập63: ĐH, CĐ – Khối D – Năm 2004
Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức Niutơn của

7
4
3
1








+
x
x
với x > 0
Bài tập64: Để viết số đăng ký xe hơi người ta dùng 3 chữ cái ( có 30 chữ cái được dùng ) và 4
chữ số ( có 10 chữ số được dùng ). Hỏi tối đa có bao nhiêu xe hơi đăng ký.
Đs:
.
3 4
30 10
Bài tập65: Có m cuốn sách bìa đen và n cuốn sách bìa xanh, các cuốn sách này khác nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách đó lên giá sách sao cho các sách bìa đen được
xếp cạnh nhau.
ĐS: (n + 1)!.m!
Bài tập66: Trong một buổi họp mặt có 5 nam sinh và 5 nữ sinh. Có bao nhiêu cách sắp xếp
chỗ ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có hai nam sinh hay hai nữ sinh nào ngồi cạnh
nhau.
ĐS: 2.5!.5!

Bài tập67: Trong một hội nhgò về y khoa có 40 bác só tham dự. Người ta muốn thành lập một
nhóm bác só để thực hành một ca phẫu thuật. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập một nhóm có:
1. Một bác só chính và một phụ tá.
2. Một bác só chính và 4 phụ tá.
ĐS: 1.
A
2
40
; 2.
C C
1 4
40 39
Trang 17
Bài tập68: Một tàu điện có ba toa tàu dừng lại tại một ga. Ở sân ga có 15 hành khách đợi tàu.
Hỏi khi tàu đến, có mấy cách lên tàu của 15 hành khách đó, sao toa đầu có 6 người, toa thứ hai
có 7 người.
ĐS:
!
! ! !
15
6 7 2
Bài tập69: Tổ một có 7 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Thầy chủ nhiệm chọn một nhóm gồm
6 học sinh để dự thi nấu ăn sao cho trong nhóm có không ít hơn hai nữ. Hỏi thầy có bao nhiêu
cách chọn.
ĐS:
C C C C C C+ + =
2 4 3 3 4 2
4 7 4 7 4 7
371
Bài tập70: Cho một tam giác, trên một cạnh của tam giác ta lấy n điểm, trên cạnh kia ta lấy m

điểm và trên cạnh còn lại ta lấy k điểm. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các điểm được
chọn?
Bài tập71: Được biết một con cá sấu có không quá 68 cái răng. Chứng minh rằng trong số 1 +
16
17
con cá sấu phải có ít nhất hai con coa cùng bộ răng.
Bài tập72: Có bao nhiêu cách phân phối 15 phần thưởng cho 3 học sinh giỏi sao cho học sinh
thứ nhất có 2 phần thưởng, học sinh thứ hai có 3 phần thưởng và học sinh thứ tư có 10 phần
thưởng.
Đs:
!
! ! !
15
2 3 10
Trang 18