Giai tich to hop

CHUYÊN ĐỀ 6: Đại số tổ hợp.
1. Quy tắc cộng:
Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y, và nếu cách chọn đối
tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào, thì có (m + n) cách chọn một
trong các đối tượng đã cho.
2. Quy tắc nhân:
Nếu có m
1
cách chọn đối tượng x
1
, sau đó với mỗi cách chọn x
1
có m
2
cách chọn đối
tượng x
2
, sau đó với mỗi cách chọn x
1
, x
2
như thế có m
3
cách chọn đối tượng x
3
,…, cuối
cùng với mỗi cách chọn x
1
, x
2
, x

3
,…, x
n-1
như thế có m
n
cách chọn đối tượng x
n
, thì có tất
cả m
1
.m
2
…m
n
cách chọn dãy x
1
, x
2
,…, x
n
.
* Cách phát biểu ngắn gọn quy tắc nhân:
Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, bước 1 có m
1
cách,
bước 2 có m
2
cách,…, bước n có m
n
cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m

1
.m
2
…
m
n
cách khác nhau.
3. Hoán vò:
3.1. Đònh nghóa:
Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập
hợp A được gọi là một hoán vò của n phần tử đó.
3.2. Số hoán vò của n phần tử:
Số hoán vò của n phần tử được cho bởi công thức:
P
n
= n! = n.(n - 1)…3.2.1.
4. Chỉnh hợp:
4.1. Đònh nghóa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1 k n) phần tử sắp thứ tự của
tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
4.2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử được cho bởi công thức:
))...(( 1kn1nnA
k
n
+−−=
hay
)!(
!
kn

n
A
k
n
−
=
5. Tổ hợp:
5.1. Đònh nghóa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0 k n) phần tử của A được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.
5.2. Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
Số các tổ hợp chập k của n phần tử được cho bởi công thức:
)!(!
!
knk
n
C
k
n
−
=
5.3. Các hệ thức giữa các số
k
n
C
:
5.3.1.
kn
n
k

n
CC
−
=
5.3.2.
k
n
k
1n
1k
1n
CCC
=+
−
−
−
6. Nhò thức Newton:
6.1. Nhò thức Newton:
(a + b)
n
=
0
n
C
a
n
+
1
n
C

a
n - 1
b +…+


k
n
C
a
n - k
b
k
+…+
n
n
C
b
n
.
6.2. Các tính chất:
6.2.1. Số các số hạng của công thức bằng n +1.
6.2.2. Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhj thức ((n
- k) + k = n).
6.2.3. Số hạng tổng quát có dạng:
T
k + 1
=
k
n
C a

n - k
b
k
(k = 0, 1, 2,…, n)
6.2.4. Các hệ số nhò thức cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau vì
kn
n
k
n
CC
−
=
.