Toán nâng cao lớp 5

KIẾN THỨC CƠ BẢN
PHÉP CỘNG
Trong phép cộng, số đứng trước dấu cộng gọi là số hạng, số đứng sau dấu
cộng gọi là số hạng. Kết quả của phép cộng gọi là tổng.
 Muốn tìm số hạng chưa biết, ta lấy tổng trừ đi số hạng đã biết.
* Các tính chất của phép cộng a + b = b + a
 (a + b) + c = a + (b + c)
 0 + a = a + 0 = a
 (a + n) + (b – n) = a + b
 (a – n) + (b – n) = a + b - n x 2
 (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2
 Nếu một số hạng được gấp lên n lần, đồng thời các số hạng còn lại được
giữ nguyên thì tổng đó được tăng lên một số đúng bằng (n – 1) lần số hạng được gấp
lên đó.
 Nếu một số hạng bị giảm đi n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ
nguyên thì tổng đó bị giảm đi một số đúng bằng (n – 1 ) số hạng bị giảm đi đó.
 Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là lẻ thì tổng đó là một số lẻ.
 Trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là chẵn thì tổng đó là một số
chẵn.
 Tổng của các số chẵn là một số chẵn.
 Tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.
 Tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ.
PHÉP TRỪ
Trong phép trừ, số đứng trước dấu trừ gọi là số bị trừ, số đứng sau dấu trừ gọi
là số trừ . Kết quả của phép trừ gọi là hiệu.
 Muốn tìm số bị trừ, ta lấy hiệu cộng với số trừ.
 Muốn tìm số trừ, ta lấy số bị trừ trừ đi hiệu.
 a – (b + c) = (a – c) – b = (a – b) – c
 Nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu của chúng
không đổi.
Trang : 1

 Nếu số bị trừ được gấp lên n lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu được tăng
thêm một số đúng bằng (n – 1) lần số bị trừ. (n > 1).
 Nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ được gấp lên n lần thì hiệu bị giảm đi (n –
1) lần số trừ. (n > 1).
 Nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n
đơn vị.
 Nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n đơn vị.
PHÉP NHÂN
Trong phép nhân, số đứng trước dấu nhân gọi là thừa số, số đứng sau dấu
nhân gọi là thừa số. Kết quả của phép nhân gọi là tích.
 Muốn tìm thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.
* Các tính chất của phép nhân
 a x b = b x a
 a x (b x c) = (a x b) x c
 a x 0 = 0 x a = 0
 a x 1 = 1 x a = a
 a x (b + c) = a x b + a x c
 a x (b – c) = a x b – a x c
 Trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa
số khác bị giảm đi n lần thì tích không thay đổi.
 Trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ
nguyên thì tích được gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa số bị
giảm đi n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị giảm đi n lần. (n > 0)
 Trong một tích, nếu một thừa số được gấp lên n lần, đồng thời một thừa số
được gấp lên m lần thì tích được gấp lên (m x n) lần. Ngược lại nếu trong một tích
một thừa số bị giảm đi m lần, một thừa số bị giảm đi n lần thì tích bị giảm đi (m x n)
lần. (m và n khác 0)
 Trong một tích, nếu một thừa số được tăng thêm a đơn vị, các thừa số còn
lại giữ nguyên thì tích được tăng thêm a lần tích các thừa số còn lại.
 Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó chẵn.

 Trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số tròn chục hoặc ít nhất một thừa
số có tận cùng là 5 và có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0.
Trang : 2
 Trong một tích các thừa số đều lẻ và có ít nhất một thừa số có tận cùng là 5
thì tích có tận cùng là 5.
PHÉP CHIA
Trong phép chia, số đứng trước dấu chia gọi là số bị chia, số đứng sau dấu
chia gọi là số chia. Kết quả của phép chia gọi là thương.
 Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia.
 Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia chia cho thương
 a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0)
 0 : a = 0 (a > 0)
 a : c – b : c = ( a – b) : c (c > 0)
 a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0)
 Trong phép chia, nếu số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời
số chia giữ nguyên thì thương cũng tăng lên (giảm đi) n lần.
 Trong một phép chia, nếu tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia
giữ nguyên thì thương giảm đi n lần và ngược lại.
 Trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng gấp (giảm) n
lần
 (n > 0) thì thương không thay đổi.
 Trong một phép chia có dư, nếu số bị chia và số chia cùng được gấp (giảm)
n lần (n > 0) thì số dư cũng được gấp (giảm ) n lần.
TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
 Biểu thức không có dấu ngoặc đơn chỉ có phép cộng và phép trừ (hoặc chỉ
có phép nhân và phép chia) thì ta thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.
Ví dụ: 542 + 123 – 79 482 x 2 : 4
= 665 – 79 = 964 : 4
= 586 = 241
 Biểu thức không có dấu ngoặc đơn, có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia

thì ta thực hiện các phép tính nhân, chia trước rồi thực hiện các phép tính cộng trừ
sau.
Ví dụ: 27 : 3 – 4 x 2
= 9 – 8 = 1
Trang : 3
 Biểu thức có dấu ngoặc đơn thì ta thực hiện các phép tính trong ngoặc đơn
trước, các phép tính ngoài dấu ngoặc đơn sau
Ví dụ: 25 x (63 : 3 + 24 x 5)
= 25 x (21 + 120)
=25 x 141
=3525.
HÌNH HỌC
1 – Hình vuông : Hình vuông có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau.
A B
D C
• Muốn tính chu vi hình vuông ta lấy độ dài một cạnh nhân với 4.
• Muốn tính diện tích hình vuông ta lấy độ dài một cạnh nhân với chính nó.
2 – Hình chữ nhật : Hình chữ nhật có 4 góc vuông, có hai cạnh dài bằng nhau và
hai cạnh ngắn bằng nhau.
A B
D C
• Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta lấy chiều dài cộng với chiều rộng( cùng
đơn vị đo) rồi nhân với 2.
• Muốn tính diện tích hình chữ nhật ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng( cùng
đơn vị đo).
3 – Hình bình hành : Hình bình hành có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng
nhau
A B

D C

• Diện tích hình bình hành bằng độ dài đáy nhân với chiều cao(cùng ĐV đo)
Trang : 4
4 – Hình thoi : Hình thoi có hai cặp cạnh đối diện song song và 4 cạnh bằng nhau.
B
A C
D
• Diện tích hình thoi bằng tích độ dài hai đường chéo chia cho 2 (cùng
một đơn vị đo)
BẢNG ĐƠN VỊ ĐO KHỐI LƯỢNG
Trong Toán học có rất nhiều đơn vị đo khối lượng . Ở cấp Tiểu học chúng ta biết
đến 7 đơn vị đo sau :
Kilôgam - Kí hiệu viết : kg - Đọc là : ki – lô - gam.
Đây là đơn vị trung tâm ( người ta hay dùng ) . Có 3 đơn vị lớn hơn ki – lô - gam
và 3 đơn vị bé hơn ki - lô - gam.
* Ba đơn vị lớn hơn ki – lô - gam
• Tấn - Kí hiệu viết : Tấn - Đọc là : Tấn.
• Tạ - Kí hiệu viết : Tạ - Đọc là : Tạ.
• Yến - Kí hiệu viết : Yến - Đọc là : Yến.
* Ba đơn vị bé hơn ki – lô - gam.
• Hectôgam - Kí hiệu viết : hg - Đọc là : Héc – tô – gam .
• Đềcagam - Kí hiệu viết : dag - Đọc là : Đề – ca – gam .
• Gam - Kí hiệu viết : g - Đọc là : Gam .
THỨ TỰ TRONG BẢNG
Kí hiệu viết : Tấn - Đọc là : Tấn.
Kí hiệu viết : Tạ - Đọc là : Tạ.
Kí hiệu viết : Yến - Đọc là : Yến.
Kí hiệu viết : kg - Đọc là : Ki – lô - gam.
Kí hiệu viết : hg - Đọc là : Héc – tô – gam .
Trang : 5
Kí hiệu viết : dag - Đọc là : Đề – ca – gam .

Kí hiệu viết : g - Đọc là : Gam
• Đơn vị đứng trên liền nhau lớn hơn 10 lần đơn vị đứng dưới.
Đọc là : Đơn vị lớn gấp mười lần đơn vị bé.
1 Tấn = 1000 kg (Đọc là : Một tấn bằng một ngàn Ki – lô – gam ).
1 Tạ = 100 kg (Đọc là : Một tạ bằng một trăm Ki – lô – gam ).
1 Yến = 10 kg (Đọc là : Một yến bằng mười Ki – lô – gam ).
1 kg = 10 hg (Đọc là : Một Ki – lô - gam bằng mười Héc – tô – gam)
1 kg = 100 dag (Đọc là : Một Ki – lô - gam bằng một trăm Đề – ca – gam)
1 kg = 1000 g (Đọc là : Một Ki – lô - gam bằng một ngàn gam ).
DẤU HIỆU CHIA HẾT
 Những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2.
 Những số có tân cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.
 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
 Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
 Các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25
 Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
 Các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho
125.
 a chia hết cho m, b cũng chia hết cho m (m > 0) thì tổng a + b và hiệu a – b (a
> b) cũng chia hết cho m.
Trang : 6
 Cho một tổng có một số hạng chia cho m dư r (m > 0), các số hạng còn lại
chia hết cho m thì tổng chia cho m cũng dư r.
 a chia cho m dư r, b chia cho m dư r thì (a – b) chia hết cho m ( m > 0).
 Trong một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m (m
>0).
 Nếu a chia hết cho m đồng thời a cũng chia hết cho n (m, n > 0). Đồng thời m
và n chỉ
cùng chia hết cho 1 thì a chia hết cho tích m x n.

Ví dụ: 18 chia hết cho 2 và 18 chia hết cho 9 (2 và 9 chỉ cùng chia hết cho 1) nên 18
chia hết cho tích 2 x 9.
 Nếu a chia cho m dư m - 1 (m > 1) thì a + 1 chia hết cho m.
 Nếu a chia cho m dư 1 thì a - 1 chia hết cho m (m > 1).
 Một số a chia hết cho một số x (x ≠ 0) thì tích của số a với một số (hoặc với
một tổng, hiệu, tích, thương) nào đó cũng chia hết cho số x.
 Trong trường hợp tổng 2 số chia hết cho x thi tổng hai số dư phải chia hết cho
x
Trang : 7
TÌM SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
 Muốn tìm số trung bình cộng của nhiều số, ta tính tổng của các số đó rồi
chia tổng đó cho số các số hạng.
Ví dụ 1 : Tìm số trung bình cộng của ba số : 36; 42 và 57
Bài giải :
Số trung bình cộng của ba số : 36; 42 và 57 là :
( 36 + 42 + 57) : 3 = 45.
Đáp số : 45.
Ví dụ 2: Trung bình cộng của ba số là 50 . Tìm số thứ ba biết rằng nó
bằng trung bình cộng của hai số đầu .
Hướng dẫn giải:
Tổng của ba số đó là :
50 x 3 = 150
Theo đầu bài ta có sơ đồ sau :
Tổng của hai số đầu là : | | |
Số thứ ba là: | | 150
Các em giải tiếp bài toán .
Ví dụ 3: Trung bình cộng của ba số là 35 . Tìm ba số đó biết rằng số thứ
nhất gấp đôi số thứ hai, số thứ hai gấp đôi số thứ ba?
Hướng dẫn giải:
Tổng của ba số là :

35 x 3 = 105
Ta có sơ đồ sau :
Số thứ nhất : | | | | |
Số thứ hai : | | | 105
Số thứ ba : | |
Các em giải tiếp bài toán .
Trang : 8
TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA CHÚNG
* Xác định đúng tổng số và hiệu số (đâu là số lớn, đâu là số bé)
?
* Vẽ sơ đồ :
Số lớn :
tổng
Số bé : hiệu
* Cách 1 :
Số lớn = ( Tổng + Hiệu ) : 2 ; Số bé = Số lớn – hiệu hoặc Tổng – số lớn
* Cách 2 :
Số bé = ( Tổng - Hiệu ) : 2 ; Số lớn = Số bé + hiệu hoặc Tổng – số bé
TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG
 Xác định Tổng số và tỉ số ;
 Vẽ sơ đồ .
 Tìm tổng số phần bằng nhau ;
Trang : 9
 Tính giá trị một phần bằng cách lấy Tổng của hai số chia cho tổng số
phần
+ Tìm số thứ nhất :
Lấy giá trị một phần nhân với số phần của số thứ nhất
+ Tìm số thứ hai :
Lấy giá trị một phần nhân với số phần của số thứ hai(hoặc lấy tổng hai số trừ đi số
thứ nhất )

TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG
 Xác định Hiệu số và tỉ số .
 Vẽ sơ đồ .
 Tìm hiệu số phần bằng nhau của hai số .
 Tính giá trị một phần bằng cách lấy Hiệu của hai số chia cho Hiệu số
phần bằng nhau
 Tìm số thứ nhất : Lấy giá trị một phần nhân với số phần của số thứ
nhất.
 Tìm số thứ hai : Lấy giá trị một phần nhân với số phần của số thứ hai.
SỐ VÀ CHỮ SỐ
 Dùng 10 chữ số để viết số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9.
 Có 10 số có 1 chữ số: (Từ số 0 đến số 9)
 Có 90 số có 2 chữ số: (từ số 10 đến số 99)
Trang : 10
 Có 900 số có 3 chữ số: (từ số 100 đến 999)
 Có 9000 số có 4 chữ số: (từ số 1000 đến 9999)……
 Số tự nhiên nhỏ nhất là số 0. Không có số tự nhiên lớn nhất.
 Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị.
 Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 gọi là số chẵn. Hai số chẵn liên tiếp
hơn (kém) nhau 2 đơn vị.
 Các số có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 gọi là số lẻ. Hai số lẻ liên tiếp hơn
(kém) nhau 2 đơn vị.
Sử dụng cấu tạo thập phân của số
 Phân tích làm rõ chữ số
ab
= a x 10 + b
abc
= a x 100 + b x 10 + c
Ví dụ: Cho số có 2 chữ số, nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số
của số đã cho thì bằng chính số đó. Tìm chữ số hàng đơn vị của số đã cho.

Bài giải :
Bước 1 (tóm tắt bài toán)
Gọi số có 2 chữ số phải tìm là
ab
(a > 0, a, b < 10)
Theo bài ra ta có
ab
= a + b + a x b
Bước 2: Phân tích số, làm xuất hiện những thành phần giống nhau ở bên trái và
bên phải dấu bằng, rồi đơn giản những thành phần giống nhau đó để có biểu thức đơn
giản nhất.

ab
= a x 10 + b = a + b + a x b
a x 10 = a + a x b (cùng bớt b)
a x 10 = a x (1 + b) (Một số nhân với một tổng)
10 = 1 + b (cùng chia cho a)
Bước 3: Tìm giá trị :
b = 10 – 1
b = 9
Bước 4 : (Thử lại, kết luận, đáp số)
Vậy chữ số hàng đơn vị của số đó là: 9.
Trang : 11
Chữ số hàng chục bằng 1. (vì 19 = 1 + 9 + 1 x 9)
Đáp số: 19.
DÃY SỐ
1. Đối với số tự nhiên liên tiếp :
 Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu là số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là số
lẻ và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn bằng số lượng số lẻ.
 Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn và kết thúc bằng số chẵn thì số

lượng số chẵn nhiều hơn số lượng số lẻ là 1.
 Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc bằng số lẻ thì số lượng
số lẻ nhiều hơn số lượng số chẵn là 1.
2. Một số quy luật của dãy số thường gặp:
 Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng hoặc
trừ một số tự nhiên d.
 Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân hoặc
chia một số tự nhiên q (q > 1).
 Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng liền trước nó.
 Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng các số hạng đứng liền trước nó
cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
 Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của
số hạng ấy.
 Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự của số hạng đứng liền
sau nó.

3. Dãy số cách đều:
 Tính số lượng số hạng của dãy số cách đều:
Số số hạng = (Số hạng cuối – Số hạng đầu) : d + 1 (d là khoảng cách giữa 2 số hạng
liên tiếp)
Ví dụ: Tính số lượng số hạng của dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100.
Trang : 12
Ta thấy:
4 – 1 = 3
7 – 4 = 3
10 – 7 = 3
97 – 94 = 3
100 – 97 = 3
Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3
đơn vị. Nên số lượng số hạng của dãy số đã cho là:

(100 – 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng)
 Tính tổng của dãy số cách đều:
Ví dụ : Tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 là: = 1717.
Vậy:
(Số đầu + Số cuối) x Số lượng số hạng
Tổng =
2
PHÂN SỐ
2. So sánh phân số với 1:
- Nếu tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1.
Ví dụ:
1
4
5
>
(vì tử số 5 > mẫu số 4)
- Nếu tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1.
Ví dụ:
1
4
4
=
(vì tử số 4 = mẫu số 4)
- Nếu tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1.
Ví dụ:
1
4
1
<
(vì tử số 1 < mẫu số 4)

3. Phân số bằng nhau: Nếu nhân hay chia hết cả tử số và mẫu số của một
phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho.
Ví dụ:
18
15
36
35
6
5
=
×
×
=
Ví dụ:
4
3
2:8
2:6
8
6
==
Trang : 13
2
34)1001( x
+
4. Rút gọn phân số:
- Ta chia hết cả tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên lớn
hơn 1 để được một phân số đơn giản hơn và bằng phân số đã cho.
Ví dụ:
3

2
5:15
5:10
15
10
==
5. Muốn quy đồng mẫu số hai phân số, ta có thể làm như sau:
- Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với mẫu số của phân số thứ hai.
- Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với mẫu số của phân số thứ nhất.
Ví dụ: Quy đồng mẫu số của
5
2
và
7
4
Giải.
35
14
75
72
5
2
=
×
×
=
;
35
20
57

54
7
4
=
×
×
=
6. So sánh hai phân số cùng mẫu số: Trong hai phân số cùng mẫu số:
- Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn. Ví dụ:
7
5
7
2
<
(vì tử số 2 < tử số 5)
- Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn. Ví dụ:
5
2
5
3
>
(vì tử số 3 > tử số 2)
- Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
Ví dụ:
9
5
9
5
=
(vì tử số 5 = tử số 5)

7. So sánh hai phân số khác mẫu số:
- Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân
số đó rồi so sánh các tử số của chúng.
Ví dụ: So sánh hai phân số
4
3
và
7
5
Giải.
28
21
74
73
4
3
=
×
×
=
;
28
20
47
45
7
5
=
×
×

=
Vì
28
20
28
21
>
nên
4
3
>
7
5
8. So sánh hai phân số cùng tử số:
- Trong hai phân số có tử số bằng nhau, phân số nào có mẫu số bé hơn thì
phân số đó lớn hơn. Ví dụ:
7
4
5
4
>
9. Phép cộng hai phân số:
- Muốn cộng hai phân số cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và giữ
nguyên mẫu số.
Trang : 14
- Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số, rồi cộng hai phân
số đã quy đồng mẫu số. Ví dụ:
8
5
8

23
8
2
8
3
=
+
=+
Ví dụ:
35
34
35
20
35
14
7
4
5
2
=+=+
10. Phép trừ hai phân số:
- Muốn trừ hai phân số cùng mẫu số, ta trừ hai tử số với nhau và giữ nguyên
mẫu số.
- Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số, rồi trừ hai phân số
đã quy đồng mẫu số. Ví dụ:
3
1
6
2
6

35
6
3
6
5
==
−
=−
Ví dụ:
15
2
15
10
15
12
3
2
5
4
=−=−
11. Phép nhân hai phân số:
- Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.
Ví dụ:
63
10
97
52
9
5
7

2
=
×
×
=×
Ví dụ:
7
6
17
32
1
3
7
2
3
7
2
=
×
×
=×=×
12. Phép chia hai phân số:
- Muốn chia một phân số cho một phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với
phân số thứ hai đảo ngược.
Ví dụ:
15
32
3
8
5

4
8
3
:
5
4
=×=
Ví dụ:
8
3
2
1
4
3
1
2
:
4
3
2:
4
3
=×==
13. Tìm giá trị phân số của một số cho trước:
Muốn tìm giá trị phân số của một số cho trước, ta nhân số cho trước với phân số
đó.
Ví dụ: Tìm
3
2
của 45. Ví dụ: Tìm

3
2
của
5
4
.
Giải.
3
2
của 45 là:
30
3
2
45 =×
Giải.
3
2
của
5
4
là:
15
8
3
2
5
4
=×
.
Trang : 15

ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN
Hai đại lượng gọi là tỉ lệ thuận với nhau khi đai lượng này tăng ( hay giảm )
bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng tăng ( hay giảm ) bấy nhiêu lần.
- Muốn giải loại toán này ta cần thực hiện qua hai bước :
1- Xác định hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau
2- Dùng phương pháp rút về đơn vị hoặc phương pháp dùng tỉ số để giải bài toán
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH
Hai đại lượng gọi là tỉ lệ nghịch với nhau khi đai lượng này tăng ( hay giảm )
bao nhiêu lần thì đại lượng kia cũng giảm ( hay tăng ) bấy nhiêu lần.
- Muốn giải loại toán này ta cần thực hiện qua hai bước :
1- Xác định hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau
2- Dùng phương pháp rút về đơn vị hoặc phương pháp dùng tỉ số để giải
Trang : 16
TOÁN NÂNG CAO LỚP 5
ĐỀ SỐ 1
§Nâng cao1.1: Có 87 lít dầu đựng trong hai thùng. Nếu đổ 10 lít dầu từ thùng I sang
thùng II thì lúc đó thùng II sẽ nhiều hơn thùng I là 3 lít dầu. Hỏi lúc đầu mỗi thùng
chứa bao nhiêu lít dầu ?
§Nâng cao1.2 : Mẹ hơn con 26 tuổi. Sau hai năm nữa thì tổng số tuổi của hai
mẹ con là 50 tuổi. Tính tuổi của mỗi người hiện nay.
§Nâng cao1.3: Tổng của hai số lẽ bằng 84. Tìm hai số đó, biết rằng giữa chúng
có 7 số chẵn liên tiếp.
Trang : 17
§Nâng cao1.4: Tổng của hai số bằng 536. Tìm hai số đó, biết rằng số bé có hai
chữ số, nếu viết thêm chữ số 4 vào bên trái số bé thì được số lớn.
§Nâng cao1.5: Cho một số có hai chữ số, tổng của hai chữ số bằng 15. Tìm số
đó, biết rằng nếu đổi chỗ các chữ số của số đã cho thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
§Nâng cao1.6: Tìm một số biết rằng lấy số đó trừ đi 3 , rồi nhân với 5 rồi cộng
với 7 thì được 13.
§Nâng cao1.7: Trung bình cộng của 2 số bằng 25 . Hiệu của 2 số đó là 8 . Tìm

2 số đó.
§Nâng cao1.8: Ba người trong 5 giờ thì đốn xong một ruộng mía .Hỏi với 5
người thì đốn
xong ruộng mía đó trong bao lâu ?
§Nâng cao1.9: Tổng hai số hai số liên tiếp bằng 75. Tìm hai số đó.
TOÁN NÂNG CAO LỚP 5
ĐỀ SỐ 2
§Nâng cao 2.1: Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 12. Nếu thay
đổi thứ tự hai
chữ số ấy thì số đó giảm đi 18 đơn vị. Hãy tìm số đó.
Trang : 18
§Nâng cao 2.2: Anh hơn em 5 tuổi. Biết rằng 5 năm nữa thì tổng số tuổi của
hai anh em là 25. Tính số tuổi hiện nay của mỗi người.
§Nâng cao 2.3: Cả hai thùng chứa được 398 lít dầu. Nếu đổ 50 lít dầu từ thùng
thứ nhất sang
thùng thứ hai thì lúc đó thùng thứ hai sẽ chứa nhiều hơn thùng thứ nhất 16 lít. Hỏi số
lít dầu lúc đầu của mỗi thùng ?
§Nâng cao 2.4: Số trung bình cộng của hai số bằng 350. Biết một trong hai số
đó bằng 305.
Tìm số còn lại.
§Nâng cao 2.5: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số
đó bằng 9 và nếu đổi chỗ hai chữ số của số đó cho nhau ta được số mới hơn số cũ 63
đơn vị.
§Nâng cao 2.6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số
đó bằng 11 và nếu đổi chỗ hai chữ số của số đó cho nhau ta được số mới hơn số cũ 27
đơn vị.
§Nâng cao 2.7: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số
đó bằng 8 và nếu đổi chỗ hai chữ số của số đó cho nhau ta được số mới hơn số cũ 18
đơn vị.
§Nâng cao 2.8: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số

đó bằng 15 và nếu đổi chỗ hai chữ số của số đó cho nhau ta được số mới hơn số cũ 27
đơn vị.
Trang : 19
§Nâng cao 2.9: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số
đó bằng 17 và nếu đổi chỗ hai chữ số của số đó cho nhau ta được số mới hơn số cũ 9
đơn vị.
TOÁN NÂNG CAO LỚP 5
ĐỀ SỐ 3
§Nâng cao 3.1: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng nếu chuyển chữ số 9
tận cùng của số đó lên đầu thì được một số mới gấp 3 lần số cũ và thêm 2158 đơn vị.
§Nâng cao 3.2: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng nếu chuyển chữ số 7
tận cùng của số đó lên đầu thì được một số mới gấp 6 lần số cũ và thêm 291 đơn vị.
§Nâng cao 3.3:Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng nếu chuyển chữ số 8 tận
cùng của số đó lên đầu thì được một số mới gấp 7 lần số cũ và thêm 78 đơn vị.
§Nâng cao 3.4: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số biết rằng nếu chuyển chữ số 6
tận cùng của số đó lên đầu thì được một số mới gấp 5 lần số cũ và thêm 335 đơn vị.
§Nâng cao 3.5: Cho một phép trừ, biết tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bằng
1908. Tìm số bị trừ và số trừ, biết rằng số trừ lớn hơn hiệu là 180.
§Nâng cao 3.6: Cho hai số đều có hai chữ số, tổng của hai số đó bằng 68. Nếu
ghép số bé vào bên phải số lớn, rồi lại ghép số bé vào bên trái số lớn thì được hai số
mới có bốn chữ số, hiệu của hai số này bằng 2178. Tìm hai số đã cho.
Trang : 20
§Nâng cao 3.7: Ba khối lớp quyên góp được 2500 quyển vở. Tổng số vở của
khối Ba và Bốn nhiều hơn số vở của khối Năm là 800 quyển. Số vở của khối Ba ít
hơn khối Bốn là 10 quyển. Hỏi mỗi khối đã quyên góp được bao nhiêu quyển vở ?.
§Nâng cao 3.8: Tìm hai số có tổng bằng 979. Biết rằng nếu viết thêm chữ số 0
vào bên phải số bé thì được số lớn.
§Nâng cao 3.9: Hai mẹ con Duyên năm nay có tổng số tuổi của là 45 . Tìm số
tuổi của mỗi người, biết rằng nếu đem tuổi mẹ Duyên chia cho tuổi Duyên thì được
thương là 3 số dư bằng 1.

§Nâng cao 3.10: Khi thực hiện phép chia cho hai số tự nhiên thì được thương
là 4 dư 99 . Tổng của số bị chia , số chia là 734 . Hãy tìm số bị chia và số chia trong
phép chia này.
TOÁN NÂNG CAO LỚP 5
ĐỀ SỐ 4
§Nâng cao 4.1: Hai bao gạo có tổng cộng 147 kg. Biết
1
3
số kilôgam gạo ở bao
thứ nhất thì bằng
1
4
số kilôgam gạo ở bao thứ hai. Hỏi mỗi bao có bao nhiêu
kilôgam ?
§Nâng cao 4.2: Hai bạn Nguyên và Yến có tất cả 162 000 đồng. Biết
1
2
số tiền
của bạn Nguyên thì bằng
1
7
số tiền của bạn Yến. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu đồng ?
§Nâng cao 4.3: Bạn Huy có tổng cộng 128 viên bi. Biết
3
7
số bi màu xanh
bằng
1
3

số bi màu đỏ .Hỏi bạn Huy có bao nhiêu viên bi màu xanh ? Bao nhiêu viên
bi màu đỏ ?
Trang : 21
§Nâng cao 4.4: Nhà bạn Tâm nuôi 150 con vừa gà vừa vịt. Biết
3
4
số gà thì
bằng
1
2
số vịt. Hỏi nhà bạn Tâm nuôi bao nhiêu con gà ? Nuôi bao nhiêu con vịt ?
§Nâng cao 4.5: Tìm hai số có hiệu bằng 56 , biết rằng nếu thêm vào số lớn 4
đơn vị thì số lớn
sẽ gấp 5 lần số bé.
§Nâng cao 4.6: Tìm hai số có hiệu bằng 123 , biết rằng nếu thêm vào số lớn
27 đơn vị thì số
bé sẽ bằng
2
7
số lớn.
§Nâng cao 4.7: Khi thực hiện phép chia cho hai số tự nhiên thì được thương là 5 dư
78 . Tổng của số bị chia , số chia là 1362 . Hãy tìm số bị chia và số chia trong phép
chia này.
§Nâng cao 4.8: Khi thực hiện phép chia cho hai số tự nhiên thì được thương là 7 dư
87 .Tổng của số bị chia , số chia là 1119 . Hãy tìm số bị chia và số chia trong phép
chia này.
§Nâng cao 4.9: Khi thực hiện phép chia cho hai số tự nhiên thì được thương là 2 dư
97. Tổng của số bị chia , số chia , thương là 393 . Hãy tìm số bị chia và số chia trong
phép chia này.
TOÁN NÂNG CAO LỚP 5

ĐỀ SỐ 5
§Nâng cao 5.1: Khi thực hiện phép chia cho hai số tự nhiên thì được thương là 6 dư
5. Tổng của số bị chia, số chia, thương , và số dư là 969. Hãy tìm số bị chia và số chia
trong phép chia này.
Trang : 22
§Nâng cao 5.2: Cô giáo đã chia 135 quyển vở cho một số học sinh lớp 1 và lớp 2.
Mỗi em lớp 1 được 2 quyển. Mỗi em lớp 2 được 1 quyển vở. Số học sinh lớp 1 gấp
đôi số học sinh lớp 2. Hỏi số học sinh lớp 1 có bao nhiêu em.
§Nâng cao 5.3: Có hai tấm vải .Nếu lấy số đo độ dài tấm vải thứ nhất chia cho số đo
độ dài tấm vải thứ hai thì được 3 dư 7 ,và tấm vải thứ nhất dài hơn tấm vải thứ hai là
25 m .Hỏi mỗi tấm vải dài bao nhiêu mét ?
§Nâng cao 5.4: Mẹ hơn con 24 tuổi . Tính tuổi hiện nay của mỗi người . Biết rằng ba
năm nữa tuổi con sẽ bằng
1
4
tuổi mẹ.
§Nâng cao 5.5: Số học sinh của trường Phổ Thuận 2 bằng
1
3
số học sinh của
trường Phổ Thuận 1 và số học sinh của trường Phổ Thuận 1 đông hơn số học sinh
trường Phổ Thuận 2 là 836 học sinh .Tính số học sinh của mỗi trường.
§Nâng cao 5.6: Cho phân số
234
369
. Hỏi cùng phải bớt ở tử số và mẫu số bao nhiêu
đơn vị để được phân số mới và rút gọn phân số mới đó ta được phân số
5
8
.

§Nâng cao 5.7: Tìm hai số , biết số lớn có 3 chữ số , có chữ số hàng trăm là 4 và gấp
9 lần số bé , nếu xóa đi chữ số hàng trăm của số lớn thì được số bé .
§Nâng cao 5.8: Tìm hai số có hiệu bằng 93 , biết rằng nếu thêm vào số bé 12 đơn vị
thì số lớn
sẽ bằng
5
2
số bé .
§Nâng cao 5.9: Cho phân số
67
109
. Tìm số tự nhiên M sao cho khi cùng thêm M vào
tử số và mẫu số ta được phân số mới có giá trị bằng
5
8
.
TOÁN NÂNG CAO LỚP 5
ĐỀ SỐ 6
Trang : 23
§Nâng cao 6.1: Cha hơn con 36 tuổi . Tính tuổi cha và tuổi con hiện nay , biết
rằng 5 năm trước đây , tuổi con bằng
1
5
tuổi cha .
§Nâng cao 6.2: Mẹ hơn con 21 tuổi . Tính tuổi mẹ và tuổi con hiện nay , biết rằng 4
năm trước đây , tuổi con bằng
2
5
tuổi mẹ .
§Nâng cao 6.3: Khi thực hiện phép chia cho hai số tự nhiên thì được thương là 4 dư

56. Tổng của số bị chia , số chia , thương , và số dư là 1286 . Hãy tìm số bị chia và
số chia trong phép chia này .
§Nâng cao 6.4: Khi thực hiện phép chia cho hai số tự nhiên thì được thương là 3 dư
145. Tổng của số bị chia , số chia , thương , và số dư là 1081. Hãy tìm số bị chia và
số chia trong phép chia này .
§Nâng cao 6.5: Khải và Linh có 33 viên bi . Biết rằng
1
3
số bi của Khải thì bằng
2
5
số bi của Linh . Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi ?

§Nâng cao 6.6: Năm nay, hai mẹ con Huy có tổng số tuổi là 47. Biết
1
5
tuổi
của mẹ Huy nhiều hơn
1
2
số tuổi của Huy là 1 tuổi. Hỏi năm nay mẹ Huy bao nhiêu
tuổi ? Huy bao nhiêu tuổi ?
§Nâng cao 6.7: Trong một hồ cá nhà cô Khanh có 1751 con vừa cá trê vừa cá lóc.
Biết
1
4
số cá lóc nhiều hơn
1
5
số cá trê 116 con. Hỏi trong hồ cô Khanh nuôi bao

nhiêu con cá trê ? Bao nhiêu con cá lóc ?
§Nâng cao 6.8: Tính X
a) 46872 : (X : 24 ) = 217.
b) 1112 : (2502 : X ) = 4.
§Nâng cao 6.9: Tính Y
a) Y + 5 x Y + 7 x Y + 12 x Y = 675.
b) 4 x Y + Y + 2 x Y = Y x 5 + 978.
TOÁN NÂNG CAO LỚP 5
Trang : 24
ĐỀ SỐ 7
§Nâng cao 7.1: Tính giá trị của biểu thức :
a) 102 x 6 – (343 : 7 + 287) b) (456 + 146 x 4 – 388) : 4
c) 225 x (129 – 125) : 5 d) (214 + 497): 3 – 146.
§Nâng cao 7.2: Tính giá trị biểu thức sau bằng cách hợp lí :
a) 54 x 113 + 45 x 113 + 113
b) 117 x (36 + 62) – 17 x (62 + 36).
§Nâng cao 7.3: Tính giá trị của biểu thức M biết
M = b : (119 x a + 2005) + (119 : a – b x 2005) với a = 119 , b =
0.
§Nâng cao 7.4: Tính nhanh giá trị của biểu thức :
9 x 5 + 11 x 5 – 4 x 10
§Nâng cao 7.5: Tính X
a) 420 : (X : 39) = 105.
b) 200 – 18 : (124 : X – 1) – 28 = 166.
§Nâng cao 7.6: Tính giá trị của X
a) X = 1 : 1 + 0 : 2010 + 2010 : 1.
b) 138 – (X x 5) = 38
§Nâng cao 7.7: Tìm X
a) 429 : (X + 31) = 11 b) 25 x X – 17 x X = 72
c) 1245 : X + 64 : X – 35 : X + 26 : X = 100 d) (X : 10) + 37 = 60.

§Nâng cao 7.8: Lớp 5A và lớp 5B trồng được 78 cây .Biết rằng nếu lớp 5A trồng
thêm được 3 cây nữa thì sẽ trồng gấp đôi lớp 5B. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu
cây ?
Trang : 25