Tài liệu ôn thi thpt nam 2011

T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Đại số
CHủ đề 1: Căn thức - rút gọn biểu thức
I. căn thức:
Kiến thức cơ bản:
1. Điều kiện tồn tại :
A
Có nghĩa

0A
2. Hằng đẳng thức:
AA =
2
3. Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phơng:
BABA =

)0;0( BA
4. Liên hệ giữa phép chia và phép khai phơng:
B
A
B
A
=

)0;0( > BA
5. Đa thừa số ra ngoài căn:

2
BABA =

)0( B

6. Đa thừa số vào trong căn:
BABA .
2
=

)0;0( BA

BABA .
2
=

)0;0( < BA
7. Khử căn thức ở mẫu:
B
BA
B
A .
=

)0( >B
8. Trục căn thức ở mẫu:
BA
BAC
BA
C

=

)(
Bài tập:

Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau đây xác định:
1)
32 + x
2)
2
2
x
3)
3
4
+x
4)
6
5
2
+

x
5)
43 +x
6)
2
1 x+
7)
x21
3

8)
53
3

+

x
Rỳt gn biu thc
Bài1
1)
483512 +
2)
4532055 +
3)
18584322 +
4)
485274123 +
5)
277512 +
6)
16227182 +
7)
54452203 +
8)
222)22( +
9)
15
1
15
1
+


10)

25
1
25
1
+
+

11)
234
2
234
2
+


12)
21
22
+
+
13)
877)714228( ++
14)
286)2314(
2
+
15)
120)56(
2

16)
24362)2332(
2
++
17)
22
)32()21( ++
18)
22
)13()23( +
19)
22
)25()35( +
20)
)319)(319( +
21)
)2()12(4
2
+ xxx
22)
57
57
57
57
+

+

+
23)

)2()44(2
222
yxyxyxyx
++
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
1
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Bài2:
1)
( ) ( )
22
2323
++
2)
( ) ( )
22
3232
+
3)
( )
( )
2
2
3535 ++
4)
1528 +
-
1528
5)
(

)
625 +
+
1528
6)
83
5
223
5
324324
+


++
Gii phng trỡnh:
1)
512 =x
2)
35 =x
3)
21)1(9 =x
4)
0502 =x
5)
0123
2
=x
6)
9)3(
2

=x
7)
6144
2
=++ xx
8)
3)12(
2
=x
9)
64
2
=x
10)
06)1(4
2
= x
11)
21
3
=+x
12)
223
3
= x
II. các bài toán rút gọn:
A.các b ớc thực hiên :
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu đợc)
Tìm ĐKXĐ của biểu thức: là tìm TXĐ của từng phân thức rồi kết luận lại.
Quy đồng, gồm các bớc:

+ Chọn mẫu chung : là tích các nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng.
+ Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung.
Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.
Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.
Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên).
Rút gọn.
B.Bài tập luyện tập:
Bi 1 Cho biu thc : A =
2
1
x x x
x x x



vi ( x >0 v x 1)
1) Rỳt gn biu thc A.
2) Tớnh giỏ tr ca biu thc A ti
3 2 2x = +
Bi 2. Cho biu thc : P =
4 4 4
2 2
a a a
a a
+ +
+
+
( Vi a

0 ; a

4 )
1) Rỳt gn biu thc P.
2) Tỡm giỏ tr ca a sao cho P = a + 1.
Bi 3: Cho biu thc A =
1 2
1 1
x x x x
x x
+ +
+
+
1/.t iu kin biu thc A cú ngha
2/.Rỳt gn biu thc A
3/.Vi giỏ tr no ca x thỡ A< -1
Bài 4: Cho biu thc A =
(1 )(1 )
1 1
x x x x
x x
+
+
+
( Vi
0; 1x x
)
a) Rỳt gn A
b) Tỡm x A = - 1
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai

2
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Bài 5 : Cho biểu thức : B =
x
x
xx

+
+


1
22
1
22
1

a; Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức B
b; Tính giá trị của B với x =3
c; Tìm giá trị của x để
2
1
=A
Bài 6: Cho biểu thức : P =
x
x
x
x
x
x

+
+
+
+

+
4
52
2
2
2
1
a; Tìm TXĐ
b; Rút gọn P
c; Tìm x để P = 2
Bài 7: Cho biểu thức: Q = (
)
1
2
2
1
(:)
1
1
1

+

+

a
a
a
a
aa
a; Tìm TXĐ rồi rút gọn Q
b; Tìm a để Q dơng
c; Tính giá trị của Biểu thức biết a = 9- 4
5
Bài 8: Cho biểu thức: M =









+

+

112
1
2
a
aa
a
aa
a
a

a/ Tìm ĐKXĐ của M.
b/ Rút gọn M
Tìm giá trị của a để M = - 4
Bài 9 : Cho biểu thức : K =
3x
3x2
x1
x3
3x2x
11x15
+
+


+
+

a. Tìm x để K có nghĩa
b. Rút gọn K
c. Tìm x khi K=
2
1
d. Tìm giá trị lớn nhất của K
Bài 10 : Cho biểu thức: G=
2
1x2x
.
1x2x
2x
1x
2x
2
+








++
+

1. Xác định x để G tồn tại
2. Rút gọn biểu thức G
3. Tính số trị của G khi x = 0,16
4. Tìm gía trị lớn nhất của G
5. Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên
6. Chứng minh rằng : Nếu 0 < x < 1 thì M nhận giá trị dơng
7. Tìm x để G nhận giá trị âm
Bài 11 : Cho biểu thức: P=
2
1x
:
x1
1
1xx
x
1xx
2x










+
++
+

+
Với x 0 ; x 1
a. Rút gọn biểu thức trên
b. Chứng minh rằng P > 0 với mọi x 0 và x 1
Bài 12 : cho biểu thức Q=






+









+


+
+
a
1
1.

a1
1a
a22
1
a22
1
2
2
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
3
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
a. Tìm a dể Q tồn tại
b. Chứng minh rằng : Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 13: Cho biểu thức :
A=
x
x
xxyxy
x
yxy
x


+
+
1
1
.
22
2

2
3
a) Rút gọn A
b) Tìm các số nguyên dơng x để y = 625 và A < 0,2
Bài 14:Xét biểu thức: P=
( )








+
+








+
+

+
+ 4a
5a2

1:
a16
2a4
4a
a
4a
a3
(Với a 0 ; a 16)
1)Rút gọn P 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố

CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc nhất
I. hàm số:
Khái niệm hàm số
* Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng
ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đợc gọi là biến số.
* Hàm số có thể cho bởi công thức hoặc cho bởi bảng.
II. hàm số bậc nhất:
Kiến thức cơ bản:
Định nghĩa:
Hàm số bậc nhất có dạng:
baxy +=
Trong đó a; b là các hệ số
0

a
Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng:
baxy +=
là hàm số bậc nhất là:
0

a
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 m) x - 2 (1)
Tìm các giá trị của m để hàm số (1) là hàm số bậc nhất.
Giải: Hàm số (1) là bậc nhất

3003 mm
Tính chất:
+ TXĐ:
Rx

+ Đồng biến khi
0>a
. Nghịch biến khi
0<a
Ví dụ: Cho hàm số: y = (3 m) x - 2 (2)
Tìm các giá trị của m để hàm số (2):
+ Đồng biến trên R
+ Nghịch biến trên R
Giải: + Hàm số (1) Đồng biến

3003
<>
mm
+ Hàm số (1) Nghịch biến

3003 >< mm
Đồ thị:
+ Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc nhất là đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ
bằng b.
cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

a
b

.
+ Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b:
Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b
Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + 1
Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + 1
Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + 1
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
4
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Điều kiện để hai đờng thẳng: (d
1
): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,
:
+ Cắt nhau: (d
1
) cắt (d
2
)
,

aa
.
*/. Để hai đờng thẳng cắt nhau trên trục tung thì cân thêm điều kiện
'
bb =
.
*/. Để hai đờng thẳng vuông góc với nhau thì :
.1.
'
=aa
+ Song song với nhau: (d
1
) // (d
2
)
',
; bbaa =
.
+ Trùng nhau: (d
1
)

(d
2
)
',
; bbaa ==
.
Ví dụ: Cho hai hàm số bậc nhất: y = (3 m) x + 2 (d
1

)
V y = 2 x m (d
2
)
a/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số song song với nhau.
b/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau
c/ Tìm giá trị của m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Giải:
a/ (d
1
)//(d
2
)

{
1
2
1
2
23
=




=

=
m
m
m
m
m
b/ (d
1
) cắt (d
2
)

123

mm
c/ (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm trên trục tung

22 == mm
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b là a.
+ Cách tính góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là dựa vào tỉ số lợng giác
atg
=

Trờng hợp: a > 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc nhọn.
Trờng hợp: a < 0 thì góc tạo bởi đờng thẳng với trục Ox là góc tù (

0
180
)
Ví dụ 1: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox
Giải:
Ta có:
.63632
00
===

TgTg
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = 2x + 1 với trục Ox là:
.63
0
=

Ví dụ 2: Tính góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox.
Ta có:
.11763)180(632)180(
00000
====

TgTg
Vậy góc tạo bởi đờng thẳng y = - 2x + 1 với trục Ox là:
.117
0
=

Các dạng bài tập th ờng gặp:
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
5
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
-Dng 3: Tớnh gúc

to bi ng thng y = ax + b v trc Ox
Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị:
Ph ơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b. Điểm M (x
1
; y
1
) có thuộc đồ thị không?
Thay giá trị của x
1
vào hàm số; tính đợc y
0
. Nếu y
0
= y
1
thì điểm M thuộc đồ thị. Nếu y
0

y
1
thì điểm M không
thuộc đồ thị.
-Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng:

Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b đi qua điểm P (x
0
; y
0
) và điểm Q(x
1
; y
1
).
Ph ơng pháp: + Thay x
0
; y
0
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
0
= ax
0
+ b (1)
+ Thay x
1
; y
1
vào y = ax + b ta đợc phơng trình y
1
= ax
1
+ b (2)
+ Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị của a và b.
+ Thay giá trị của a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm.
-Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm cố định hoặc chứng minh đồng quy:

Ví dụ: Cho các đờng thẳng :
(d
1
) : y = (m
2
-1) x + m
2
-5 ( Với m

1; m

-1 )
(d
2
) : y = x +1
(d
3
) : y = -x +3
a) C/m rằng khi m thay đổi thì d
1
luôn đi qua 1điểm cố định .
b) C/m rằng khi d
1
//d
3
thì d
1
vuông góc d
2

c) Xác định m để 3 đờng thẳng d
1
;d
2
;d
3
đồng qui
Giải:
a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d
1
đi qua là A(x
0
; y
0
) thay vào PT (d
1
) ta có :
y
0
= (m
2
-1 ) x
0
+m
2
-5 Với mọi m
=> m
2
(x
0

+1) -(x
0
+y
0
+5) =0 với mọi m ; Điều này chỉ xảy ra khi :
x
0
+ 1 =0
x
0
+y
0
+5 = 0 suy ra : x
0
=-1
Y
0
= - 4
Vậy điểm cố định là A (-1; - 4)
b) +Ta tìm giao điểm B của (d
2
) và (d
3
)

:
Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1
Thay vào y = x +1 = 1 +1 =2 Vậy B (1;2)
Để 3 đờng thẳng đồng qui thì (d
1

)

phải đi qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = 2 vào pt (d
1
) ta có:
2 = (m
2
-1) .1 + m
2
-5
m
2
= 4 => m = 2 và m = -2
Vậy với m = 2 hoặc m = - 2 thì 3 đờng thẳng trên đồng qui.
Bài tập:
Bi 1: Cho hai ng thng (d
1
): y = ( 2 + m )x + 1 v (d
2
): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tỡm m (d
1
) v (d
2
)

ct nhau .
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
- Dng1: Xỏc dnh cỏc giỏ tr ca cỏc h s hm s ng bin, nghch bin, Hai ng thng
song song; ct nhau; trựng nhau.

Phơng pháp: Xem lại các ví dụ ở trên.
-Dng 2: V th hm s y = ax + b
Xem lại các ví dụ ở trên.
Xỏc nh to giao im ca hai ng thng (d
1
): y = ax + b; (d
2
): y = a
,
x + b
,
Ph ơng pháp: Đặt ax + b = a
,
x + b
,
giải phơng trình ta tìm đợc giá trị của x; thay giá trị của x vào (d
1
) hoặc (d
2
)
ta tính đợc giá trị của y. Cặp giá trị của x và y là toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng.
Tớnh chu din tớch ca cỏc hỡnh to bi cỏc ng thng:
Ph ơng pháp: +Dựa vào các tam giác vuông và định lý Py ta go để tính độ dài các đoạn thẳng không biết trực
tiếp đợc. Rồi tính chu vi tam giác bằng cách cộng các cạnh.
+ Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S
6
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
2) Vi m = 1 , v (d
1
) v (d

2
)

trờn cựng mt phng ta Oxy ri tỡm ta giao im ca
hai ng thng (d
1
) v (d
2
)

bng phộp tớnh.
Bi 2: Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s ng bin hay
nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Bi 3: Cho hm s bc nht y = (1- 3m)x + m + 3 i qua N(1;-1) , hm s ng bin hay nghch bin ? Vỡ sao?
Bi 4: Cho hai ng thng y = mx 2 ;(m
)0
v y = (2 - m)x + 4 ;
)2( m
. Tỡm iu kin ca m hai
ng thng trờn:
a) Song song.
b) Ct nhau .
Bi 5: Với giỏ tr no ca m thỡ hai ng thng y = 2x + 3+m v y = 3x + 5- m ct nhau ti mt im trờn trc
tung .Vit phng trỡnh ng thng (d) bit (d) song song vi
(d): y =
x
2
1
v ct trc honh ti im cú honh bng 10.
Bi 6: Vit phng trỡnh ng thng (d), bit (d) song song vi (d) : y = - 2x v i qua im A(2;7).

Bi 7: Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im A(2; - 2) v B(-1;3).
Bi 8: Cho hai ng thng : (d
1
): y =
1
2
2
x +
v (d
2
): y =
2x
+
a/ V (d
1
) v (d
2
) trờn cựng mt h trc ta Oxy.
b/ Gi A v B ln lt l giao im ca (d
1
) v (d
2
) vi trc Ox , C l giao im ca (d
1
) v (d
2
) Tớnh chu vi v
din tớch ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)?
Bi 9: Cho các đờng thẳng (d
1

) : y = 4mx - (m+5) với m

0
(d
2
) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)
a; Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
)
b; Với giá trị nào của m thì (d
1
) cắt (d
2
) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm cố định A ;(d
2
) đi qua điểm cố định B . Tính BA
?
Bi 10: Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?

d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2
CHủ đề 3: hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
I. các kháI niệm:
Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(
0

a
hoặc
)0b
+ Một nghiệm của phơng trình là cặp số x
0
; y
0
thỏa mãn : ax
0
+ by
0
= c
+ Phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c. Nếu
0;0 ba
thì đờng thẳng (d) là đồ thị của
hàm số bậc nhất:
b
c
x
b
a
y +=

.
Hệ hai ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
+ Dạng:



=+
=+
)2.(
)1.(
,,,
cybxa
cbyax
+ Nghiệm của hệ là nghiệm chung của hai phơng trình
+ Nếu hai phơng trình ấy không có nghiệm chung thì ta nói hệ vô nghiệm
+ Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm:
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
7
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
-Phơng trình (1) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d)
-Phơng trình (2) đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d')
*Nếu (d) cắt (d') hệ có nghiệm duy nhất
*Nếu (d) song song với (d') thì hệ vô nghiệm
*Nếu (d) trùng (d') thì hệ vô số nghiệm.
Hệ ph ơng trình t ơng đ ơng:
Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
Ii.ph ơng pháp giảI hệ ph ơng trình:
Giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp thế :
a) Quy tắc thế :
+ Bớc 1: Từ một phơng trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phơng trình thứ hai để

đợc một phơng trình mới (chỉ còn 1 ẩn).
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới này để thay thế cho phơng trình thứ hai trong hệ (phơng trình thứ nhất cũng th-
ờng đợc thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có đợc ở bớc 1).
Ví dụ: xét hệ phơng trình:



=+
=
)2.(323
)1.(12
yx
yx
+ Bớc 1: Từ phơng trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có:
.(*)21 yx +=
Thay
.(*)21 yx +=
vào phơng trình (2) ta đợc:
.(**)32)21(3 =++ yy
+ Bớc 2: Thế phơng trình
(**)
vào phơng trình hai của hệ ta có:



=++
+=
32)21(3
21
yy

yx
b) Giải hệ :





=
=




=
+=




=++
+=




=++
+=
0
1
0

21
3263
21
32)21(3
21
y
x
y
yx
yy
yx
yy
yx
Vậy hệ phơng trình có một nghiệm (x = 1; y = 0).
Giải hệ ph ơng trình bằng ph ơng pháp cộng đại số :
a)Quy tắc cộng đại số :
+ Bớc 1: Cộng hay trừ từng vế hai phơng trình của hệ của hệ phơng trình đã cho để đợc một phơng trình mới.
+ Bớc 2: Dùng phơng trình mới ấy thay thế cho một trong hai phơng trình của hệ (và giữ nguyên phơng trình
kia)
L u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ.
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ.
Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để
đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)
bài tập:
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.

=+
=+
538
24
yx
yx






=+
=
42 yx
myx






=
=+
2
623
yx
yx

=+
=
264
132
yx
yx



2 3 5
5 4 1
x y
x y
+ =


=




3 7
2 0
x y

x y
=


+ =





4 2
3 2 4
x y
x y
+ =


+ =




2
2 3 9
x y
x y
=


=

2x 3y 2
4x 6y 2
=


+ =


Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
8
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010





=+
=
311110
7112
yx
yx

=
=+
72
33
yx
yx






=
=+
032
852
yx
yx




=
=+
323
223
yx
yx

=
=+
736
425
yx
yx





=+
=
564
1132
yx
yx




=
=+
32

123
yx
yx





=
=+
6156
252
yx
yx





=
=
346
423
yx
yx
Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phơng trình sau

=++
=++
5)(2)(
4)(3)(2
yxyx
yxyx








=
=+
5
111
5
411
yx
yx

=



=

+

1
1
3
2
2
2
1
1
2
1
yx
yx

Các bài tập tự luyện
Bài 1 Giải các hệ phơng trình sau :
a)



=

=
42
22
yx
yx
b)



=
=+
20510
152
yx
yx
c)



=
=+
432
3
yx
yx
d)



=+

=+
975
432
yx
yx
e)



=++
=+
0386
243
yx
yx
f)







=+
=
8
3
2
4
1

32
y
x
y
x
Bài 2 : Giải các hệ phơng trình sau :
a)







=
=+
8
311
8
511
yx
yx
b)

=

+
=


01
2y
1
x
3
2
2y
2
x
1
c)







=

+
+
=

+
1
2
3
2
20
1
2
1
2
4
yxyx
yxyx
Bài 3 : Cho hệ phơng trình
( )



=
=+
7
53
yx
yxm
a) Giải hệ phơng trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệm
c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm đó.
Bài 4 : Cho hệ phơng trình

=+
=
3
2
ayx
yax
a) Giải hệ phơng trình khi a = 1
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó
c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm
Bài 5 : Cho hệ phơng trình



+=+
=
12
2
ayx
ayax

a) Giải hệ phơng trình khi a = -2
b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a
c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
9
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên.
Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phơng trình:

=
=+
8050)4(
16)4(2
yxm
ymx
(I)
b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1
Bài 7* : Giải phơng trình sau :
a)
558 =++ xx
b)
482
22
=++ xx
CHủ đề 4: hình học

I. hệ thức trong tam giác vuông:
Hệ thức giữa cạnh và đ ờng cao:
+
,2,2
.;. cacbab ==
+
222
cba +=

+

,,2
.cbh =
+
,,
cba +=

+
cbha =
+
,,2
111
cbh
+=
+
,
,
2
2
,
,
2
2
.;
b
c
b
c
c
b
c

b
==
Hệ thức giữa cạnh và góc:
Tỷ số l ợng giác:
D
K
Cotg
K
D
Tg
H
K
Cos
H
D
Sin ==== ;;;
Tính chất của tỷ số l ợng giác:
1/ Nếu
0
90=+

Thì:


SinCos
CosSin
=
=

TgCotg
CotgTg
=
=
2/Với

nhn thỡ 0 < sin

< 1, 0 < cos

< 1
*sin
2


+ cos
2


= 1 *tg

= sin

/cos

*cotg

= cos

/sin

*tg

. cotg

=1
Hệ thức giữa cạnh và góc:
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Sin góc đối:

SinCacSinBab ;. ==

+ Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân Cos góc kề:

CosBacCosCab ;. ==
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Tg góc đối:

TgCbcTgBcb ;. ==
+ Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân Cotg góc kề:
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
10
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010

CotgBbcCotgCcb ;. ==
Bài Tập áp dụng:
Bi 1: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Bit b = 4 cm, c = 3 cm. Gii tam giỏc ABC
Bi 2: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b

= 7, c

= 3. Gii tam giỏc ABC?
Bi 3a: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b = 4, b

= 3.2. Gii tam giỏc ABC?
Bi 3b: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú c = 4, b

= 3.2. Gii tam giỏc ABC?
Bi 4: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH = 4.8, BC =10. Gii tam giỏc ABC?
Bi 5: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, c

= 3. Gii tam giỏc ABC?
Bi 6: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú b = 12, a = 20. Gii tam giỏc ABC?
Bi7: Chotam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, c = 5. Gii tam giỏc ABC?
Bi 8: Cho tam giỏc ABC vuụng cú A = 90
0
, b = 5, B = 40
0.
Gii tam giỏc ABC?
Bi 9: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú a = 15, B = 60
0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 10:Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú AH = 3, C = 40
0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 11: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú c

= 4, B = 55
0
. Gii tam giỏc ABC?
Bi 12: Chotam giỏc ABC vuụng ti A, cú trung tuyn ng vi cnh huyn m

a
= 5, h = 4.
Gii tam giỏc ABC?
Bi13: Chotam giỏc ABC vuụng ti A, trung tuyn ng vi cnh huyn m
a
= 5, mt gúc nhn bng 47
0
. Gii
tam giỏc ABC?
Bi14: Tam giỏc ABC vuụng ti A cú h = 4, Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g
a
= 5.
Gii tam giỏc ABC?
Bi15: Chotam giỏc ABC vuụng ti A cú Đờng phân giác ứng với cạnh huyền g
a
= 5. Gúc C = 30
0
. Gii tam
giỏc ABC?
II. Đ ờng tròn:



.Sự xác định đ

ờng tròn:

Muốn xác định đợc một đờng tròn cần biết:
+ Tâm và bán kính,hoặc
+ Đờng kính( Khi đó tâm là trung điểm của đờng kính; bán kính bằng 1/2 đờng kính) , hoặc

+ Đờng tròn đó đi qua 3 điểm ( Khi đó tâm là giao điểm của hai đờng trung trực của hai đoạn thẳng nối hai
trong ba điểm đó; Bán kính là khoảng cách từ giao điểm đến một trong 3 điểm đó) .



Tính chất đối xứng:

+ Đờng tròn có tâm đối xứng là tâm của đờng tròn.
+ Bất kì đờng kính vào cũng là một trục đối xứng của đờng tròn.



Các mối quan hệ:

1. Quan hệ giữa đ ờng kính và dây:
+ Đờng kính (hoặc bán kính)

Dây

Đi qua trung điểm của dây ấy.
2. Quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:
+ Hai dây bằng nhau

Chúng cách đều tâm.
+ Dây lớn hơn

Dây gần tâm hơn.

Vị trí t

ơng đối của đ

ờng thẳng với đ

ờng tròn:

+ Đờng thẳng không cắt đờng tròn

Không có điểm chung

d > R (dlà khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng;
R là bán kính của đờng tròn)
+ Đờng thẳng cắt đờng tròn

Có 1 điểm chung

d < R.
+ Đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn

Có 2 điểm chung

d = R.



Tiếp tuyến của đ

ờng tròn:

1. Định nghĩa: Tiếp tuyến của đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn đó

2. Tính chất: Tiếp tuyến của đờng tròn thì vuông góc với bán kính tại đầu mút của bán kính (tiếp điểm)
3.Dấu hiệu nhhận biết tiếp tuyến: Đờng thẳng vuông góc tại đầu mút của bán kính của một đờng tròn là tiếp
tuyến của đờng tròn đó.
Bài Tập tổng hợp học kỳ I:
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
11
Tổ tốn khu ba tổng huyện n dũng: 2009_2010
Bµi 1 Cho tam gi¸c ABC (AB = AC ) kỴ ®êng cao AH c¾t ®êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c t¹i D
a/ Chứng minh: AD lµ ®êng kÝnh
b/ TÝnh gãc ACD
c/ BiÕt AC = AB = 20 cm , BC =24 cm tÝnh b¸n kÝnh cđa ®êng trßn t©m (O)
Bµi 2 Cho ( O) vµ A lµ ®iĨm n»m bªn ngoµi ®êng trßn . KỴ c¸c tiÕp tun AB ; AC víi ®êng trßn
( B , C lµ tiÕp ®iĨm )
a/ Chøng minh: OA
⊥
BC
b/VÏ ®êng kÝnh CD chøng minh: BD// AO
c/TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cđa tam gi¸c ABC biÕt OB =2cm ; OC = 4 cm?
Bµi 3: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB . Qua C thc nưa ®êng trßn kỴ tiÕp tun d víi ®êng trßn . G äi E , F lÇn
lỵt lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ A , B ®Õn d vµ H lµ ch©n ®êng vu«ng gãc kỴ tõ C ®Õn AB. Chứng minh:
a/ CE = CF
b/ AC lµ ph©n gi¸c cđa gãc BAE
c/ CH
2
= BF . AE
Bµi 4: Cho ®êng trßn ®êng kÝnh AB vÏ c¸c tiÕp tun A x; By tõ M trªn ®êng trßn ( M kh¸c A, B) vÏ tiÕp tun
thø 3 nã c¾t Ax ë C c¾t B y ë D gäi N lµ giao ®iĨm cđa BC Vµ AO .CMR
a/
CN NB
AC BD

=
b/ MN
⊥
AB
c/ gãc COD = 90º
Bµi 5 : Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M.
BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
a)CMR: NE
⊥
AB
b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M .CMR: FA là tiếp tuyến của (O).
c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đtròn (B;BA).
d/ Chứng minh : BM.BF = BF
2
– FN
2
Bài 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, M là một điểm tuỳ ý trên nửa đường tròn
( M ≠ A; B).Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn.Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba lần lượt cắt Ax
và By tại C và D.
a) Chứng minh: CD = AC + BD và góc COD = 90
0
b) Chứng minh: AC.BD = R
2
c) OC cắt AM tại E, OD cắt BM tại F. Chứng minh EF = R.
d) Tìm vò trí của M để CD có độ dài nhỏ nhất.
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt 2 tiếp tuyến (d) và (d’) với đường
tròn (O). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và cắt đường thẳng (d’) ở P. Từ O vẽ một tia
vuông góc với MP và cắt đường thẳng (d’) ở N.
a/ Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân.
b/ Hạ OI vuông góc với MN. Chứng minh OI = R và MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c/ Chứng minh AM.BN = R
2
d/ Tìm vò trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất. Vẽ hình minh hoạ.
Bài 8: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ một điểm M trên nửa đường tròn ta vẽ tiếp
tuyến xy. Vẽ AD và BC vuông góc với xy.
a/ Chứng minh rằng MC = MD.
b/ Chứng mihn AD + BC có giá trò không đổi khi điểm M chuyển động trên nửa đường tròn.
S¸ch vë h«m nay cc sèng ngµy mai
12
Tổ toán khu ba tổng huyện yên dũng: 2009_2010
S¸ch vë h«m nay cuéc sèng ngµy mai
13
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Các dạng toán về phơng trình bậc hai
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
14
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
bài mẫu: Giải các phơng trình sau bằng cách điền tiếp vào chỗ ( )
1) Giải phơng trình: 3x
2
-27x = 0 3x(x-) = 0 3x= 0 (1) hoặc (2)
Giải(1) x=
Giải(2) x=
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm
2) Giải các phơng trình: 5x
2
- 45 = 0 x
2
- = 0 x
2

= 9 x
1,2
=
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm
3)Giải phơng trình: 2x
2
-2007x +2005= 0
(a= ;b= ;c=)
Ta có:a+b+c== 0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm ;
??:Em hãy đề xuất một bài toán tơng tự rồi cùng nhóm bạn của mình cùng giải Xem ai nhanh
hơn,trình bày ngắn gọn chính xác.
4) Giải phơng trình: 2x
2
+7x -5= 0
(a= ;b= ;c=)
Ta có: =.= >0
Vậy phơng trình đã cho có.nghiệm . ;
5) Giải phơng trình: x
4
- 7x
2
+10 = 0(*)
Đặt x
2
= y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y
2
- 7y +10 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.= >0

=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y
1
== ; y
2
==
Với y
1
=; y
2
=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x
2
= y
Nên y
1
==> x
2
= <=>
y
2
==> x
2
= <=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;
6) Giải phơng trình:
06x5x =+
(*)
Đặt
x

= y (y0)
Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y
2
+5y -6 = 0 (1)
Giải(1) ta có: =.= >0
=>Phơng trình(1) có hai nghiệm y
1
== ; y
2
==
Với y
1
=;. thoả mãn điều kiện của bài toán => y
1
=(loại)
y
2
=thoả mãn điều kiện của bài toán
Mà x
2
= y
Nên y
2
==>
x
= <=>
Vậy Phơng trình (*)có nghiệm.;.;.;
Bài 1 : Giải các phơng trình
a) 2x
2

- 50 = 0 c)54x
2
= 27x e)y+
y
-6=0
b)
2
4
53
2
2
=
+
x
x
d) y+
y
=0 f)y-5
y
+4=0
Bài 2: Giải các phơng trình
a) 3x
2
-17x - 20 = 0
b) 2x
2
- 2007x + 2005 = 0
c) x
2
+ x + 1 = 0

d) x
2
- 4x + 4= 0
e) x
2
+ 3x - 1 = 0
f) x
2
- x +
22
= 0
Bài 3 : Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp ẩn phụ
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
15
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
1) x
4
- 5x
2
- 6 = 0
2) x
4
+ 7x
2
- 8 = 0
3) x
4
+ 9x
2
+ 2 = 0

4)
1
1
2
1
2
2
+
+=

x
x
x
5)
2
1
1
=
+
+
+
x
x
x
x
6)
( ) ( )
03222
2
2

2
=++ xxxx
7)
( )
( )
0845yy8y5y
2
2
=++
8)
( )
6555
22
=
yy
9)
0224
22
=++
xx
bài mẫu: Tìm giá trị của m để phơng trình: 5x
2
+ mx - m
2
-12 = 0 (1)
có một nghiệm bằng 2.Tìm nghiệm còn lại
Giải: Để phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2 thì:
5.2

2
+m.2 -m
2
-12=0
8+m.2 -m
2
=0
m
2
-2m - 8 = 0(*)
Giải (*)Ta có: '= = > 0 =>
'
=
=> phơng trình (*) có hai nghiệm m
1
== ; m
2
==
+)Với m
1
= phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2.
lúc đó theo Vi-et ta có: x
1
+x
2
=-
5
m

.
Mà x
1
=2 ; m
1
= Nên 2 + x
2
=-
5
4
x
2
=.=
+)Với m
2
= phơng trình(1) có một nghiệm x
1
=2.
lúc đó theo Vi-et ta có: x
1
+x
2
=-
5
m
.
Mà x
1
=2 ; m
2

= Nên 2 + x
2
= x
2
=.=
Vậy

Bài 4 : Với giá trị của b thì các phơng trình
a) 2x
2
+ bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5. Tìm nghiệm còn lại
b) b
2
x
2
- 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7 . Tìm nghiệm còn lại
c) (b-1)x
2
+ (b+1)
2
.x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
Bài 5 : Cho các phơng trình ẩn x. Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép:
a) x
2
+ 5x + k = 0 c) x
2
- (2k+3) + 4k + 2 = 0
b) x
2
+ kx + 2 = 0 d) (k-1) x

2
+ kx + 1 = 0
Bài 6 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 vô nghiệm.
Bài 7 : Xác định k để các phơng trình ở bài 5 có hai nghiệm phân biệt
bài mẫu: Chứng minh rằng phơng trình: (m-3)x
2
+ m x +1= 0
có nghiệm với mọi giá trị của m
Giải: phơng trình: (m-3)x
2
+ m x +1= 0(*)
( a=.; b=; c=)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0 m = lúc đó phơng trình(*) trở thành:
3x+1=0 x=
=> m = thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.(1)
+) Xét a 0 hay m - 3 0 m
Ta có: === m
2
- 4m + 12
= m
2
- 2(.).m +( )
2
- +12 = ( - .)
2
+.
Nhận thấy: ( m - .)
2
0 Với mọi m 3 ( m - .)
2

+ 8 .>0 Với mọi m 3
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
16
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Hay >0 Với mọi m 3 => phơng trình(*) có hai nghiệm Với mọi m 3 (2)
Từ (1) ;(2) => phơng trình(*) có nghiệm Với mọi m
Chú ý:Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta cần xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 8 : Chứng minh rằng các phơng trình sau có nghiệm với mọi giá trị của m.
a)x
2
+(m+1)x+m=0 b) x
2
-mx + m - 4 = 0
c) -3x
2
+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) x
2
+ 4x - m
2
+ 4m - 9 = 0
e) (m+1)x
2
+ x - m = 0
bài mẫu:Tìm m để phơng trình bậc hai: x
2
+(3m+59)x - 5m + 30 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Giải: phơng trình bậc hai: x
2
+(3m+59)x - 5m + 30 = 0 (1)
Để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a.c < 0 Hay 1.(30-5m) < 0

30-5m < 0 .<=> m > 6
Vậy m.
Chú ý:Trong dạng toán này Với những phơng trình có chứa tham số ở hệ số a ta
không phải xét hai trờng hợp a=0 và a 0
Bài 9: Tìm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu.
a) x
2
+ 2x + m - 1 = 0 b) x
2
+ mx + 7 = 0
c)-3x
2
+ 2(m-2)x+ 2m + 5 = 0 d) 3x
2
- 2(2m+1)x+ m
2
-2 5 = 0 e) (m
2
+ 4 m
+4)x
2
+ mx - 1 = 0
Bài 10 : Cho phơng trình : (m+3)x
2
- m(m+5)x + 2m
2
= 0 (1)
a) Giải phơng trình khi m = 5
b) Chứng minh rằng : x = m là một nghiệm của phơng trình (1)
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép

bài mẫu: Giải và biện luận phơng trình: (m-3)x
2
+ 2(m-2) x +m = 0 (ẩn x , tham số m)
Giải: phơng trình: (m-3)x
2
+ 2(m-2)x +m = 0(*)
( a=.; b=; c=)
+) Xét a= 0 hay m - 3 = 0 m = lúc đó phơng trình(*) trở thành:
.x+1=0 x=
=> m = thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.
+) Xét a 0 hay m - 3 0 m
Ta có: '== = -m +4
-Khi '>0 hay -m+4 >0 m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc
lúc đó phơng trình(*) có hai nghiệm phân biệt x
1
=
3m
m4)2m(

+
;.
-Khi '=0 hay -m+4 =0 m= 4
lúc đó phơng trình(*) có nghiệm kép x
1
=.=
3m
)2m(


=2 (do m= 4)

-Khi '>0 hay -m+4 <0 . kết hợp vơí điều kiện ta đợc.
lúc đó phơng trình(*) vô nghiệm
Vậy m = thì phơng trình(*) có một nghiệm x=.





Bài 11 : Cho phơng trình ẩn x: mx
2
- 2(m-2) x + m - 3 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại
c) Giải và biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
17
m <4
m3
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Bài 12 : Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là
a) 3 và 5 b) 3-
5
và 3 +
5
c) 3-
2
và 3 +
2
d)
223

1

và
223
1
+
e)
ba
+
1
và
ba

1
với a b
bài mẫu: Lập phơng trình ẩn x có hai nghiệm là: 1-
5
và 1 +
5
Giải: Đặt x
1
=3-
5
và x
2
= 3 +
5
Ta có: x
1
+x

2
=+= 6
x
1
.x
2
=(.).( )=.= 4
áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình: .= 0
Vậy phơng trình cần lập là:
Bài 13 : Cho phơng trình : x
2
+ 5x - b = 0 có hai nghiệm x
1
; x
2

Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn :
y
1
= x
1
2

+ 1 và y
2
= x
2
2
+ 1
Bài 14:Cho phơng trình : x
2
- 2010
2005
x +1 = 0
Có 2 nghiệm x
1
và x
2
.Lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn :
y
2
= x
1
2
+ 1 và y
1
= x
2
2

+ 1
Bài 15: Giải hệ phơng trình :
a)



=
=+
35y.x
5yx
b)



=
=
60y.x
11yx
c)



=
=+
12y.x
25yx
22
bài mẫu: Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của phơng trình
a) 5x
2

- 7x - 1 = 0
Giải: có : a.c = .=-5 < 0 => phơng trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu
b) 5x
2
- 7x + 2 = 0
Giải: phơng trình: 5x
2
- 7x+2 = 0
(a= ; b=.; c=.)
Ta có : =.= 9 > 0
áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
.





=
=
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu dơng
c) x
2
+ 11x + 5 = 0
Giải: phơng trình: x
2
+11x+5 = 0
(a= ; b=.; c=.)
Ta có : =.= . > 0
áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
.

=
=
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm
d) 5x
2
+ x + 2 = 0
Giải: phơng trình: 5x
2
+ x +2 = 0
(a= ; b=.; c=.)
Ta có : =.= < 0
=> phơng trình vô nghiệm
Bài 16 : Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) của
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
18
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
các phơng trình sau :
1) 3x
2
+ 5x - 1 = 0 3) 5x
2
- 14x + 1 = 0
2) 7x
2
-3x + 1= 0 4) 2x

2
- 4x - 3 = 0
5) 4x
2
- 3x +2 = 0 6) x
2
+5x +1 = 0
bài mẫu: Cho phơng trình : x
2
- 2x + m-3 = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình có
hai nghiệm cùng dấu dơng ?
Giải : phơng trình : x
2
- 2x + m-3 = 0 (*)
(a= ; b=.; c=.)
Để phơng trình(*)có hai nghiệm cùng dấu dơng thì:
.
0x.x
0xx
0'
21
21





>
>+
>

hay
.
.
)3 (
)2 (
)1 (






Giải(1): 4-m > 0 .<=>
Giải(2): 2 > 0 luôn đúng
Giải(3): . > 0 .<=>
Kết hợp ba điều kiện trên ta đợc:
Vậy m
Bài 17 : Cho phơng trình : x
2
- 2x + m = 0 (m là tham số ) tìm m để phơng trình
1) có 2 nghiệm trái dấu
2) có 2 nghiệm cùng dấu
3) Có ít nhất 1 nghiệm dơng
4) Có 2 nghiệm cùng dấu dơng
5) Có 2 nghiệm cùng âm
Bài 18 : Tìm giá trị của m để phơng trình:
a) x
2
- 2mx + (m-1)
2

= 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng dơng
b) 2x
2
- 2(m+1) x + m = 0 Có 2 nghiệm phân biệt cùng âm
c) x
2
- 2x + 2m -30 = 0 Có 2 nghiệm trái dấu.
Bài 19 : Cho phơng trình : 5x
2
- 6x - 8 = 0
Không giải ph ơng trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau(x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình)
1) S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2

2) A = x
1
2
+ x
2
2

; B =
21
x
1
x
1
+
; C =
1
2
2
1
x
x
x
x
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
E = x
1
(1-x
2
) + x
2
(1-x

1
) ; F = x
1
3
- x
2
3
Bài 20 : Cho phơng trình : x
2
- 8x + n = 0 (1) n là tham số
a) Giải phơng trình với n = 1
b) Tìm điều kiện của n để phơng trình (1) có nghiệm
c) Gọi x
1
; x
2
là nghiệm của phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả mãn
1) x
1
- x
2
= 2 ; 3) 2x
1
+ 3x
2
= 36
2) x
1
= 3x
2

; 4) x
1
2
+ x
2
2
= 50
Bài 21 : Cho phơng trình : 3x
2
- 4x + m = 0
Tìm để phơng trình có nghiệm x
1
; x
2

thỏa mãn
a) Nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia
b) Hiệu hai nghiệm bằng 1
Bài 22 : Cho phơng trình x
2
- 2(m-2)x - 6m = 0 (ẩn x)
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
= 5, tìm nghiệm còn lại
c) Chứng minh rằng phơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
d) Gọi x
1
; x
2

là nghiệm của phơng trình. Hãy tính A = x
1
2
+ x
1
2
theo m
từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của A.
bài mẫu: dạng toán về tìm giá trị lớn, nhất nhỏ nhất của một biểu thức nghiệm
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
19
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Ví dụ 1: Cho phơng trình x
2
+ 2(m-3)x + 2m -15= 0 (1) (ẩn x)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Hãy m để biểu thức A= x
2
1
x
2

+ x
2
2
x
1
đạt giá trị Lớn nhất tìm giá trị Lớn nhất đó
Giải: a) phơng trình: x
2

+ 2(m-3)x + 2m -15= 0 (ẩn x)
(a= ;b==>b'=;c=.)
Ta có : '=
= m
2
-8m+24
= m
2
-2m( )+(.)
2
-+24
=( )
2
+
Nhận thấy: ( )
2
0 với mọi giá trị của m
=> ( )
2
+ > 0 với mọi giá trị của m
Hay '> 0 với mọi giá trị của m => phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Theo a) phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m
áp dụng hệ thức Vi-et ta có:
.





=

=
(I)
Lại có: A= x
2
1
x
2

+ x
2
2
x
1
= x
1
x
2

(+)
Thay (I)vào A ta đợc :
A= -2(m-3)( )
=. = - 4m
2
+ 42m - 90
-A = 4m
2
- 42m - 90
= (2m)
2
-2.2m( )+(.)

2
-- 90
=(-)
2
-
Nhận thấy: ( )
2
0 với mọi giá trị của m
<=> ( )
2
- với mọi giá trị của m
Hay -4A với mọi giá trị của m A với mọi giá trị của m
Dấu "=" xảy ra khi =0 m=
Vậy giá trị
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
- 2(3m+1)x + 9m
2
-17= 0 (1) (ẩn x)
Hãy m để biểu thức A= x
1
+ x
2

đạt giá trị nhỏ nhất tìm giá trị nhỏ nhất đó(x
1
, x
2

là nghiệm của phơng

trình (1) )
Giải: phơng trình x
2
- 2(3m+1)x + 9m
2
-17= 0 (1) (ẩn x)
(a= ;b==>b'=;c=.)
Ta có : '=
= 6m+18
Để hpơng trình (1)có nghiệm thì ' 0 hay m
Lúc đó theo Vi-et ta có: A= x
1
+ x
2

=
mà m .=> 6m. 6m+ Hay A.
Dấu "=" xảy ra khi m =
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là khi m=
Bạn hãy tự phân chia các bớc của bài toán tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất một biểu thức nghiệm của ph ơng
trình bậc hai
Bài 23 : Cho phơng trình x
2
+ (m+1)x + m = 0 (ẩn x)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m
b) Hãy tính x
2
1
x
2

+ x
2
2
x
1
theo m
c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :E = x
2
1
x
2

+ x
2
2
x
1
d) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia.
Bài 24 : Cho phơng trình: x
2
+ mx + m - 2 = 0 (1) (ẩn x)
a) Chứng minh rằng Phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
20
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2(x
2
1

+ x
2
2
) - x
1
(x
1
-x
2
)- x
2
(x
2
+x
1
)
Bài 25 : Cho phơng trình: x
2
- (k+1)x + k = 0 (1) ẩn x tham số k
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi k
b) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1) Tính biểu thức
A = x
2
1
x
2

+ x
2
2
x
1
+2007 theo m. Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 26 Cho phơng trình: : x
2
+ 2mx + m
2
+ 4m + 8 = 0 (1) (ẩn x)
a)Tìm giá trị của m để phơng trình (1)có nghiệm
b)Tìm giá trị nhỏ nhất của :A=x
1
+x
2
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của :B=x
1
+x
2
+x
1
.x
2
+2007
Bài 27 *: Cho phơng trình: x
2
- (m+1)x + m
2

-2m + 2 = 0 (ẩn x)
a) Tìm giá trị của m để phơng trình vô nghiệm
b) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép. Tính nghiệm đó
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt. Viết nghiệm đó theo m
d) Tìm m để A = x
2
1
+ x
2
2
đạt giá trị lớn nhất
e) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức B = x
1
+ x
2
Bài 28 : Cho phơng trình : 2x
2
+ 2(m+1)x + m
2
+ 4m + 3 = 0 (ẩn x)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
b) Tìm giá trị lớn nhất của A = x
1
x
2
- 2x
1

- 2x
2

Bài 29 : Cho phơng trình: x
2
- (k-3)x + 2k + 1 = 0 (1) (ẩn x)
a) Với giá trị nào của k thì phơng trình (1) có 2 nghiệm
b) Với điều kiện phơng trình (1) có nghiệm hãy tính P = x
1
+ x
2
; S = x
1
. x
2
c) Viết hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
độc lập với k
Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2
độc lập với m của mỗi phơng trình sau
a) x
2
- (2m+5)x + m + 3 = 0 b) x
2
-2(m-3)x - 2(m-1) = 0

c) x
2
+ (m-1) x+ m
2
+ 5m = 0 d) (m-1)x
2
- 2mx + m + 1 = 0
Bài 31 : Cho phơng trình: x
2
- (2m-1)x+ m
2
- m - 2 = 0 (1) (m là tham số)
a) Tính để chứng tỏ phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt . Tìm 2 nghiệm đó
b) Tính A = 2x
1
x
2
+ x
1
+ x
2
theo m
c) Tìm m để A 3
Bài 32 : Cho hai phơng trình : x
2
- 7x + 6 = 0
x
2
+ (m+1)x + 24 = 0
Xác định m để hai phơng trình trên có nghiệm chung

Bài 33 : Cho hai phơng trình : x
2
+ x + m = 0 và x
2
+ mx + 1 = 0
a)Với giá trị nào của m thì hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó.
b) Với giá trị nào của m thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
2x
2
- (3m+2) x + 12 = 0
4x
2
- (9m-2)x + 36 = 0
Bài 35 : Xác định m và n để hai phơng trình sau tơng đơng
x
2
+(3m+2n)x - 4 = 0
x
2
+ (2m-3n)x + 2n = 0
Bài 36 : Cho hai phơng trình x
2
+ p
1
x + q
1
= 0 và x
2
+ p

2
x + q
2
= 0
Biết rằng: p
1
p
2
= 2(q
1
+ q
2
) . CMR: ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm.
Bài 37 : Chứng minh rằng hai phơng trình
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
và a
1
x
2
+ b
1
x + c
1
= 0 (2)
Có ít nhất một nghiệm chung thì (ac
1
- a
1

c)
2
= (ab
1
- a
1
b) (bc
1
-b
1
c)
Một số bài toán tổng hợp về phơng trình bậc hai
Bài 38: Cho phơng trình: x
2
- 2(m+1) x +m-4 = 0 (1)
a)Giải phơng trình khi m=1
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
21
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
b)CMR phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c)Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình(1).CMR A= x
1
(1-x
2
)+ x
2

(1-x
1
) không phụ thuộc vào m.
d)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x
1
2
+x
2
2
Bài 39: Cho phơng trình: x
2
- (k+1) x +k = 0 (1)
a)Giải phơng trình khi k = 2004
b)CMR phơng trình luôn có nghiệm
c)Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình .Tính B= x
1
2
+ x
2
2
- 16 x
1
.x
2
theo k.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của B.

d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
=5
e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép .Tìm nghiệm đó
Bài 40:Cho phơng trình: x
2
- (a-1) x - a
2
+a - 2 = 0 (1)
1) CMR phơng trình (1)luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi a.
2)Gọi x
1
,x
2
là nghiệm của phơng trình .Tính S= x
1
2
+ x
2
2
theo a.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của S.
3)lập hệ thức liên hệ giữa x
1
,x
2

độc lập với a.
4)Tìm a để nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
1
x
1
+
2
x
1
nhận giá trị dơng
Bài 41:Cho phơng trình ẩn x : (m+1)x
2
+ 5 x +m
2
- 1= 0
a) Giải phơng trình với m =-1
b)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
c)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu trong đó có một nghiệm bằng 4.
Bài 42:Cho phơng trình ẩn x : (a+1)x
2
- 2(a-1) x - a - 3 = 0 (1)
1.Giải phơng trình khi a=1
2. CMR phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi a khác -1.
3. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
4. Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu và nghiệm nọ gấp đôi nghiệm kia.
5.Tìm a để phơng trình có 2 nghiệm x

1
,x
2
thoả mãn một nghiệm lớn hơn 1 và
nghiệm kia nhỏ hơn 1.
Bài 43:Cho phơng trình ẩn x : x
2
+ p x +q = 0(1)
a)Không giải phơng trình tính theo p,q biểu thức
A=
2
2
2
1
)3x2(2
1
)3x2(2
1
+
+
+
theo p ,q
b)Tìm p,q để phơng trình có hai nghiệm là 1 và 2
c)lập 1 phơng trình bậc hai có nghiệm là
1x
1x
1
1

+

và
1x
1x
2
2

+
d)Giả sử p+q = 1 .CMR phơng trình (1)và phơng trình ở câu (c) có nghiệm chung .
e)CMR nếu phơng trình (1) và phơng trình: x
2
+ n x +m = 0 có nghiệm chung thì
(n+p)
2
+(m- p)(mq-np) = 0.
Bài 44: Cho phơng trình ẩn x: x
2
+ 2m x +2m-1 = 0 (1)
1)CMR phơng trình (1)luôn có nghiệm với mọi m
2)Giả sử x
1
,x
2
là các nghiệm của phơng trình (1)
a.Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
,x
2
là độc lập với m.
b. Tìm m để x
1

- x
2
=6.
c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A== x
1
2
x
2
+ x
2
2
x
1
3)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm lớn hơn 3.
4)Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm nhỏ hơn 1.
5)Tìm m để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1<x<3
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
22
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Chuyên đề :
giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình và phơng trình
dạng toán chuyển động.
Bài 1 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến
chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đờng AB và thời gian dự
định lúc đầu
Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm cách nhau 3,6 km và khởi hành cùng một lúc, đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ở
vị trí cách một trong hai địa điểm khởi hành 2 km. Nếu vận tốc không đổi nhng ngời đi chậm xuất phát trớc ng-
ời kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc ở mỗi ngời.
Bài 3 : Quãng đờng AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B ô tô thứ nhất chạy nhanh
hơn ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Bài 4 : một xe gắn máy đi từ A đến B cách nhau 90 km. Vì có việc gấp phải đến B trớc dự định là 45 phút nên
ngời ấy phải tăng vận tốc mỗi giờ là 10 km. Hãy tính vận tốc dự định của ngời đó.
Bài 5 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 24 km/h. Lúc từ B về A, ngời đó có công việc bận cần đi
theo con đờng khác dễ đi nhng dài hơn lúc đi là 5 km. Do vận tốc lúc về là 30 km/h. Lên thời gian về ít hơn thời
gian đi là 40 phút. Tính quãng đờng lúc đi.
Bài 6 : một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km sau đó 1h30 một ngời đi xe máy cũng đi từ A đến B
và đến B sớm hơn ngời đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe. Biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận
tốc xe đạp.
Bài 7 : Hai ngời cùng khởi hành lúc 7 giờ từ hai tỉnh A và B cách nhau 44 km và đi ngợc chiều nhau họ gặp
nhau lúc 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của mỗi ngời. biết rằng vận tốc ngời đi từ A hơn vận tốc ngời đi từ B là 3
km/h.
Bài 8 : Từ hai địa điểm cách nhau 126 km. Có một ngời đi bộ và một ngời đi ô tô cùng khởi hành lúc 6 giờ 30
phút. Nếu đi ngợc chiều nhau họ sẽ gặp nhau lúc 10 giờ, nếu đi cùng chiều(ô tô đi về phía ngời đi bộ) thì ô tô
đuổi kịp ngời đi bộ lúc 11 giờ. Tính vận tốc ngời đi bộ và của ô tô.
Bài 9 : Hai tỉnh A và B cách nhau 150 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi ngợc chiều nhau, gặp nhau ở C
cách A 90 km. Nếu vận tốc vẫn không đổi nhng ô tô đi từ B đi trớc ô tô đi từ A 50 phút thì hai xe gặp nhau ở
chính giữa quãng đờng. Tính vận tốc của mỗi ô tô.
Bài 10 : Một ô tô dự định đi 120 km trong một thời gian dự định trên nửa quãng đờng đầu. Ô tô đi với vận tốc
dự định. Xong do xe bị hỏng lên phải nghỉ 3 phút để sửa. Để đến nơi đúng giờ. xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h
trên nửa quãng đờng còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên quãng đờng.
Bài 11 : Một ô tô đi dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian dự định sau khi đợc 1 giờ. Ô
tô bị chặn bởi một xe lửa 10 phút, do đó để đến B đúng giờ, xe phải tăng vận tốc 6 km/ giờ. Tính vận tốc ô tô lúc
đầu.
Bài 12 : Một quãng đờng AB gồm 1 đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5 km. Một ngời đi từ A đến B
hết 40 phút, còn đi từ B đến A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về. vận tốc xuống dốc
đi bằng vận tốc xuống dốc về). Tính vận tốc xuống dốc và vận tốc lên dốc.
Bài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi
AB là 4 giờ 20, thời gian về BA là 4 giờ. Tính quãng đờng AC, CB. Biết vận tốc xuống dốc là 15 km/h, vận tốc
lên dốc là 10 km/h (Vận tốc lên dốc lúc đi bằng vận tốc lên dốc lúc về, vận tốc xuống dốc lúc đi bằng vận tốc
xuống dốc lúc về).

Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
23
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
Bài 14 : Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A sau 5 giờ 20 phút một ca nô chạy từ bến A đuổi theo
và gặp thuyền cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền. Biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền là 12 km một
giờ.
Bài 15 : Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km, rồi ngợc về 36 km. Biết thời gian xuôi nhiều hơn thời gian
ngợc dòng là 2 giờ, vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc ngợc dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc của ca nô lúc xuôi
dòng và lúc ngợc dòng.
Bài 16 : Một ca nô đi từ A đến B với thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3 km/h thì đến sớm 2 giờ, nếu
ca nô giảm vận tốc 3 km/h thì đến chậm 3 giờ. Tính thời gian dự định và vận tốc dự định.
Bài 17 : Một ca nô xuôi trên một khúc sông từ A đến B dài 80 km và trở về từ B đến A tính vận tốc thực cuả ca
nô. Biết tổng thời gian ca nô xuôi và ngợc hết 8 giờ 20 phút và vận tốc của dòng nớc là 4 km/h.
Bài 18 : Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 7 giờ, xuôi dòng 180 km, ngợc dòng 63 km. Một lần khác
ca nô cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km, ngợc dòng 84 km. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của
dòng nớc.
Bài 19 : Trên một khúc sông một ca nô xuôi dòng hết 4 giờ và chạy ngợc dòng hết 5 giờ. Biết vận tốc của
dòng nớc là 2 km/h. Tính chiều dài khúc sông và vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng.
Bài 20 : Hai ca nô khởi hành cùng một lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với
vận tốc 24 km/h. Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó chạy tiếp. Tính chiều dài khúc sông, biết hai cô
nô đến nơi cùng một lúc.
Bài 21 : Hai ca nô khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút 2
ca nô gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô. Biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngợc dòng
là 9 km/h. Và vận tốc dòng nớc là 3 km/h
Bài 22 : Hai bến sông A, B cách nhau 40 km, cùng một lúc với ca nô xuôi từ bến A có một chiếc bè trôi từ bến
A với vận tốc 3 km/h sau khi đến B ca nô trở bến A ngay và gặp bè trôi
đợc 8 km. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết vận tốc riêng của ca nô không đổi.
Bài 23. Một ôtô đi từ A và cần tới B lúc 10 giờ khi còn cách B 40 km.
Ngời lái xe thấy rằng nếu giữ nguyên vận tốc đang đi thì đến B lúc 10 giờ 10 phút. Ngời đó đã tăng vận
tốc thêm 10 kkm/h do đó đến B lúc 10 giờ kém 10 phút . Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.

Bài 24. Một ôtô đi từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc về vận tốc tăng 10km/h . Do đó thời gian về
ít hơn thôừi gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Bài 25. Một ca nô đi xuôi dòng 44 km rồi ngợc dòng trở lại 27 kmhết 3 giờ 30 phút . Biết vận tốc thực của ca
nô là 20 km/h. Tính vận tốc dòng nớc.
Bài 26. Hai ngời cùng đi quãng đờng AB dài 450 km và cùng khởi hành một lúc . Vận tốc ngời thứ nhất ít hơn
vận tốc của ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ nhất đến B sau ngời thứ hai là 4 giờ . Tính vận tốc và thời gian
đi quang đờng AB của mỗi ngời.
Bài 27 . Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định . Khi từ B về A ngời ấy đi
vòng con đờng khác dài hơn con đờng cũ 29 km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 km/h . Tính vận tốc
lúc đi .Biết rằng thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút.
Bài 28.Hai ngời đi xe đạp xuất phát cùng một từ A đến B . Vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên họ đến B
sớm muộn hơn nhau 30 phút . tính vận tốc mỗi ngời , biết rằng quãng đờng AB dài 30 km. Sử dụng tính chất.
Bài 29 . Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B , cùng một lúc đó có một ngời đi bộ từ bến A dọc theo bờ sông h-
ớng đến B. Sau khi đi dợc 24km ca nô quay lại và gặp ngời đó tại một địa điểm cách bến A 8km . Tính vận tốc
của ca nô khi nớc yên lặng , biết rằng vận tốc của ngời đi bộ và vận tốc dòng nớc đều bằng 4km/h.
II. Dạng toán chung - riêng
Bài 1 : Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm xong trong 12 ngày, họ cùng làm với
nhau đợc 8 ngày thì đội 1 đợc điều động làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
24
T toỏn khu ba tng huyn yờn dng: 2009_2010
gấp đôi lên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao ngày xong
công việc trên (với năng suất bình thờng).
Bài 2 : An và Bình cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 20 phút thì xong. Nếu An làm trong 5 giờ và
Bình làm trong 6 giờ thì cả hai ngời làm đợc
4
3
công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình làm công việc đó thì
trong mấy giờ xong.
Bài 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 1 giờ 20 thì bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và

vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì đầy
15
2
bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì bao nhiêu lâu mới đầy bể.
Bài 4 : Hai vòi nớc nếu cùng chảy thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 10 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu
vòi thứ hai chảy một mình thì trong bao lâu đầy bể.
Bài 5 : Hai lớp 9A và 9B cùng tu sửa khu vờng thực nghiệm của nhà trờng trong 4 ngày xong. Nếu mỗi lớp tu
sửa một mình muốn hành thành công việc ấy thì lớp 9A cần ít thời gian hơn lớp 9B là 6 ngày. Hỏi mỗi lớp làm
một mình thì trong bao lâu hoàn thành công việc.
Bài 6 : Hai tổ sản xuất nhận chung một công việc.Nếu làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành
3
2
công việc . Nếu
để mỗi tổ làm riêng thì tổ 1 làm xong công việc trớc tổ 2 là 5 giờ. Hỏi mỗi tổ làm một mình thì trong bao lâu
xong công việc.
Bài 7 : Hai tổ cùng đợc giao làm một việc. Nếu cùng làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ. Nếu tổ 1 làm
trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi tổ cần làm trong bao
lâu mới hoàn thành công việc.
Bài 8: Hai ngời làm chung một công việc thì xong trong 5 giờ 50. Sau khi làm đợc 5 giờ. Ngời thứ nhất phải
điều đi làm việc khác, nên ngời kia làm tiếp 2 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu làm một mình mỗi ngời làm
trong bao lâu thì xong.
Bài 9 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc, nếu làm riêng mỗi ngời nửa công việc thì tổng cộng số giờ làm
việc là 12h30. Nếu hai ngời làm chung thì hai ngời chỉ làm trong 6 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi ngời làm
riêng thì mất bao lâu xong việc.
Bài 10 : Hai vòi nớc cùng chảy vào 1 bể thì sau
5
4
4
giờ đẩy bể, môĩ giờ lợng nớc của vòi 1 chảy bằng
2

1
1
l-
ợng nớc ở vòi 2. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể.
Bài 11 : Hai ngời thợ dự định cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 thì xong nhng trong thực tế ngời
1 làm trong 5 giờ và ngời 2 tăng năng xuất lên gấp đôi và làm trong 3 giờ thì cả hai ngời chỉ làm đợc
4
3
công
việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong bao lâu xong công việc.
Bài 12 : Hai ngời thợ cùng làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ, ngời
thứ hai làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm công việc đó một mình thì trong bao lâu
xong công việc.
II. tăng năng xuất :
Bài 1 : Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ do 3 công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi ngời còn lại
phải làm thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân của tổ lúc đầu (năng suất mỗi ngời nh nhau).
Sách vở hôm nay cuộc sống ngày mai
25