Chuyên đề Tích phân luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (643.83 KB, 8 trang )
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Email:
Website:
www.caotu95.blogspot.com
1
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TÍCH PHÂN
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa:
Giả sử y
f(x) liên tục trên khoảng (a, b), khi đó hàm số y
F(x) là một nguyên
hàm của hàm số y
f(x) khi và chỉ khi F
(x)
f(x),
x
(a, b).
Nếu y
F(x) là một nguyên hàm của hàm số y
f(x) thì tập hợp tất cả các
nguyên hàm của hàm số y
f(x) là tập hợp I
F( x) c c R
và tập hợp này
còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định
I f( x)dx F( x) c
2. Vi phân:
2.1
Giả sử y
f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có đạo hàm tại điểm x
(a,b).
Cho x một số gia
x sao cho (x +
x)
(a,b), khi đó ta có:
• Công thức vi phân theo số gia:
dy y x x
df x f x x
• Công thức biến đổi vi phân:
Chọn hàm số y
x
dy = dx = x’.
x =
x
dx =
x.
Vậy ta có:
dy y x x
df x f x x
dy y x dx
df x f x dx
• Nếu hàm số f(x) có vi phân tại điểm x thì ta nói f(x) khả vi tại điểm x.
Do
df x f x x
nên f(x) khả vi tại điểm x
f(x) có đạo hàm tại điểm x
2.2. Tính chất:
Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm x. Khi đó:
2
udv vdu
u
d u v du dv ; d uv udv vdu ; d
v
v
2.3 Vi phân của hàm hợp
Nếu
y f (u )
u g( x)
và f, g khả vi thì
dy f u du f u u x dx
3. Quan hệ giữa đạo hàm
nguyên hàm và vi phân:
f x dx F x c F x f x dF x f x dx
4. Các tính chất của nguyên hàm và tích phân
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
2
4.1.
Nếu f(x) là hàm số có nguyên hàm thì
f x dx f x
;
d f x dx f x dx
4.2.
Nếu F(x) có đạo hàm thì:
d F x F x c
4.3. Phép cộng:
Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
f x g x dx f x dx g x dx
4.4. Phép trừ:
Nếu f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0:
kf x dx k f x dx
,
k
0
4.6. Công thức đổi biến số:
Cho y = f(u) và u = g(x).
Nếu
f x dx F x c
thì
f g x g x dx f u du F u c
5. Nhận xét:
Nếu
f x dx F x c
với F(x) là hàm sơ cấp thì ta nói tích phân
bất định
f x dx
biểu diễn được dưới dạng hữu hạn. Ta có nhận xét:
Nếu một tích phân bất định biểu diễn được dưới dạng hữu hạn thì hàm số dưới
dấu tích phân là hàm sơ cấp và điều ngược lại không đúng, tức là có nhiều hàm số
dưới dấu tích phân là hàm sơ cấp nhưng tích phân bất định không biểu diễn được
dưới dạng hữu hạn mặc dù nó tồn tại. Chẳng hạn các tích phân bất định sau tồn
tại
2
x
dx sinx cos x
e dx; ; sinx dx; dx; dx
lnx x x
nhưng chúng không thể biểu diễn được dưới dạng hữu hạn.
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Email:
Website:
www.caotu95.blogspot.com
3
II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f(x) xác định và bị chặn trên đoạn [a, b]. Xét một phân hoạch
bất
kì của đoạn [a, b], tức là chia đoạn [a, b] thành n phần tuỳ ý bởi các điểm chia:
0 1 n 1 n
a x x x x b
. Trên mỗi đoạn
k 1 k
x ,x
lấy bất kì điểm
1k k k
x ,x
và gọi
1kkk
xx
là độ dài của
1kk
x ,x
. Khi đó:
n
k k 1 1 2 2 n n
k1
f f f f
gọi là tổng tích phân của hàm
f(x) trên đoạn [a, b]. Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch
, số khoảng
chia n và phụ thuộc vào cách chọn điểm
k
.
Nếu tồn tại
k
n
kk
Max 0
k1
lim f
(là một số xác định) thì giới hạn này gọi là tích
phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b] và kí hiệu là:
b
a
f x dx
Khi đó hàm số y
f(x) được gọi là khả tích trên đoạn [a, b]
2. Điều kiện khả tích:
Các hàm liên tục trên [a, b], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,
b] và các hàm đơn điệu bị chặn trên [a, b] đều khả tích trên [a, b].
3. Ý nghĩa hình học:
Nếu f(x) > 0 trên đoạn [a, b] thì
b
a
f x dx
là diện tích của hình thang cong giới
hạn bởi các đường: y
f(x), x
a, x
b, y
0
O
y
x
0
a=x
1
1
x
2
x
2
k-1
x x
k
x
n
x
n-1
=b
k-1
k n-1
n
C
1
2
C
3
C
k-1
N
k
N
n-1
C
n
C
n
N
N
1
C
k
B
1
2
B
B
k
B
n
B
k+1
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
4
4. Các định lý, tính chất và công thức của tích phân xác định:
4.1. Định lý 1:
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn [a, b]
4.2. Định lý 2:
Nếu f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(x)
g(x),
x
[a, b]
thì
bb
aa
f x dx g x dx
. Dấu bằng xảy ra
f(x)
g(x),
x
[a, b]
4.3. Công thức Newton - Leipnitz:
Nếu
f x dx F x c
thì
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
4.4. Phép cộng:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép trừ:
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0:
bb
aa
kf x dx k f x dx
,
k
0
4.7. Công thức đảo cận tích phân:
ba
ab
f x dx f x dx
;
a
a
f x dx 0
4.8. Công thức tách cận tích phân:
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
4.9. Công thức đổi biến số:
Cho y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và hàm x
(t) khả vi, liên tục trên đoạn
[m, M] và
t m,M t m,M
Min t a; Max t b
;
m a; M b
.
Khi đó ta có:
bM
am
f x dx f t t dt
4.10. Công thức tích phân từng phần:
Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi, liên tục trên [a, b], khi đó:
bb
b
a
aa
u x v x dx u x v x v x u x dx
Iii. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Email:
Website:
www.caotu95.blogspot.com
5
1
1
1
1
ax b
ax b dx c,
a
1
cos ax b dx sin ax b
a
c
1dx
ln ax b c
ax b a
c
1
sin ax b dx cos ax b c
a
1
ax b ax b
e dx e c
a
1
tg ax b dx ln cos ax b c
a
1
ax b ax b
m dx m c
alnm
1
cotg ax b dx ln sin ax b c
a
22
1dx x
arctg c
aa
ax
2
1dx
cotg ax b c
a
sin ax b
22
1
2
dx a x
ln c
a a x
ax
2
1dx
tg ax b c
a
cos ax b
22
22
dx
ln x x a c
xa
22
xx
arcsin dx xarcsin a x c
aa
22
dx x
arcsin c
a
ax
22
xx
arccos dx xarccos a x c
aa
22
1dx x
arccos c
aa
x x a
22
2
x x a
arctg dx xarctg ln a x c
aa
22
22
1dx a x a
ln c
ax
x x a
22
2
x x a
arccotg dx xarccotg ln a x c
aa
b
ln ax b dx x ln ax b x c
a
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a
2 2 2
22
22
x a x a x
a x dx arcsin c
a
1
2
dx ax b
ln tg c
sin ax b a
22
ax
ax
e asinbx bcosbx
e sinbxdx c
ab
22
ax
ax
e acosbx bsinbx
e cosbxdx c
ab
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
6
IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải
chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh
bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm
1. Ví dụ 1:
Chứng minh:
22
dx 1 x a
ln c
2a x a
xa
;
22
dx 1 a x
ln c
2a a x
ax
Chứng minh:
22
dx 1 1 1 1 dx dx 1 x a
dx ln c
2a x a x a 2a x a x a 2a x a
xa
22
dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x
dx ln c
2a a x a x 2a a x a x 2a a x
ax
2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
22
22
dx
ln x x a
xa
c
Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có:
22
22
22
1 x a
ln x x a c
x x a
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 x 1 x x a 1
1
x x a x a x x a x a x a
3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
22
dx 1
uc
a
ax
(với
x
tgu
a
)
Đặt
x
tgu
a
,
u,
22
22
22
d a tgu
dx 1 1
du u c
aa
ax
a 1 tg u
4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
22
dx
uc
ax
(với
x
sin u
a
, a > 0)
Đặt
x
sin u
a
,u
,
22
22
22
dx d asinu
du u c
ax
a 1 sin u
Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm
22
dx 1 x
arctg c
aa
ax
và
22
dx x
arcsin c
a
ax
(a > 0) nhưng sau đó không giống
bất cứ nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược
arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này.
V. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
V.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN:
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Email:
Website:
www.caotu95.blogspot.com
7
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:
1
n
n
xx
;
mm
n
nk
mm
n nk
x x ; x x
1
n
n
n
n
11
x ; x
x
x
;
m
n
n
m
1
x
x
;
m
nk
n
k
m
1
x
x
2. Biến đổi vi phân:
dx
d(x ± 1)
d(x ± 2)
…
d(x ± p)
adx
d(ax ± 1)
d(ax ± 2)
…
d(ax ± p)
xp
1
x 1 x 2
dx d d d
a a a
a
V.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ
1.
3
dx
1
x
x
3
2
1 1 1
dx 1 dx
11
x
xx
xx
2 3 2
1
11
1 dx ln 1
1 3 2
dx
x x x x x x c
x
2.
1
4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx
4
x x x x
3 5 3
1
2 2 2 2
1 1 2 2
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7
16 16 5 3
x x d x x x c
3.
17
22
2
d2
d1
25
2
25
x
x
I
x
x
1 10
arctg
5
10
xc
4.
x
dx 1 2 1 1 1 1 2
2 ln
ln2 5ln2 5ln2
2 + 5 2 2 5 2 5
2 2 5
xx
x
x x x
xx
d
dc
5.
5
3 2 3
cos
cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx
1 sin
x
dx x x dx x x x x
x
34
23
sin cos
1 sin sin cos cos sin
34
xx
x d x xd x x c
V.3
. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
1
x 1 x 2 x 3 x 4
J dx
xx
;
2
7x 3
J dx
2x 5
;
2
3
3x 7x 5
J dx
x2
3 2 2 2
4 5 6
10
2x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9
J dx ;J dx ; J dx
x 1 2x 1
x1
Biên soạn: Cao Văn Tú Trường:ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
8
3 2 3 2
78
15 30
x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4
J dx ; J dx
x 2 x 1
dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ
33
2
11
152
10
3100
9
2
4
3
2 4 5
5
9
12 13 14
4
7
x 3x 5
J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx
2x 1
93
15 16 17
4 2 2
10
5
x x x
J dx ; J dx ; J dx
x x 1 x x 1
2 3x
18 19 20
2 2 2 2
dx dx dx
J ; J ; J
x 2 x 5
x 2 x 6 x 2 x 3
21 22 23
2 2 2 2 2 2
xdx dx dx
J ; J ; J
x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3
ln2 ln2 ln2 ln2
2x x
x
24 25 26 27
x
xx
1 0 0 0
dx e dx 1 e
J ; J ; J e 1dx ; J dx
1e
e 1 e 1
22
xx
1 1 1 1
x
28 29 30 31
x 2x 2x x 3x
0 0 0 0
1 e dx 1 e
e dx dx
J ; J ; J ; J dx
1 e 1 e e e e
ln2 ln4 1 e
3x
32 33 34 35
x 3 x x x
0 0 0 1
dx dx e dx 1 lnx
J ; J ; J ; J dx
x
e e 4e 1 e
3 1 1
6
5 2 5 3 3 2
36 37 38
0 0 0
J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx
2
x
1 1 1 1
2x x
39 40 41 42
x x x x
0 0 0 0
2 1 dx
dx dx
J ; J ; J ; J e 1 e dx
4 3 4 2 4
Biên soạn: Cao Văn Tú
Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên
Email:
Website:
www.caotu95.blogspot.com
