Chuyên đề hàm số toán 9 luyện thi vào lớp 10

Hướng dẫn giải
Chuyên đề: HÀM SỐ
Toán 9
ƠN THI TS10
/~~~~~~*0*~~~~~~
Biên soạn: Nguyễn Long Thạnh
Bài 1. Với giá trị nào của m thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất.
1/ y = (1 – 4m + 4m
2
)x – 3
Hàm số trên là hàm số bậc nhất  1 – 4m + 4m
2

≠
0  m
2
1
≠
2/ y =
1)2(3 +−− xm
Hàm số trên là hàm số bậc nhất 
03 ≠−m
 3 – m > 0  m < 3
3/ y = (1 – m
2
)x
2
+ (m + 1)x – 3
Hàm số trên là hàm số bậc nhất 




≠+
=−
01
01
2
m
m




−≠
±=
1
1
m
m
=> m = 1
4/ y =
4
2
5
−
+
−
x
m
m
Hàm số trên là hàm số bậc nhất 

2
5
+
−
m
m
≠
0 



≠+
≠−
02
05
m
m




−≠+
≠
22
5
m
m
Bài 2. Tìm m để các hàm số bậc nhất trong mỗi trường hợp sau:
1/ y =
( )

1512 +−− xm
nghịch biến trên R.
* Điều kiện
202 ≥⇔≥− mm
* Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi
( )
12 −−m

0
≠

( )
12
≠−−
m

12 ≠−m

12
≠−
m

3
≠
m
* Hàm số trên nghịch biến trên R 
( )
12 −−m

0<


( )
12 <−m

3<m
Vậy để hàm số đã cho nghịch biến trên R thì 3 > m > 2.
2/ y =
( )
23 −− xm
đồng biến trên R.
* Điều kiện: m > 0
* Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi
03 ≠− m

m≠3
 m
9±≠
* Hàm số trên đồng biến trên R 
9303 <⇔>⇔>− mmm
Vậy để hàm số đã cho đồng biến trên R thì 0 < m < 9.
3/ y =
12)2( ++− mxm
khi x =
2
thì y = 1.
* Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi
02 ≠− m

2≠m

* Thay x =
2
; y = 1 vào hàm số đã cho ta được:
1 =
122)2( ++− mm

0222112221122)2( =+−⇔=++−⇔=++− mmmmmm
)22(
2
422
22
2
+−=⇔
−
+
=⇔
−
=⇔ mmm
Bài 3. Cho hàm số y =
( )
3331 +− x
.
1/ Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?
Hàm số đã cho nghịch biến trên R vì a =
( )
31−
< 0
2/ Tình giá trị của y khi x = 1:
Thay x = 1 vào hàm số đã cho ta được:
y =

( )
331.31 +−
=
3331 +−
=
321+
3/ Tính giá trị của x khi y = 3:
Thay y = 3 vào hàm số đã cho ta được:
3 =
( )
3331 +− x
 3 =
( )
3331 +− x
 x = 3
Bài 4. Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b. biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng:
1/ Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2:
* Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên x = 3, y = 0. Thay vào y = ax + b, ta được:
0 = 3a + b => a =
3
b−
* Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên b = 2. Thay vào a =
3
b−
ta tìm được: a =
3
2−

Vậy hàm số cần xác định là y =
3

2−
x + 2
2/ Song song với đường thẳng y =
2
1
x và đi qua điểm B(1 ;2) :
Vì y = ax + b song song đường thẳng y =
2
1
x nên :





≠
=
0
2
1
b
a

Và đi qua điểm B(1 ;2) nên ta thay x = 1 ; y = 2 vào y = ax + b ta được : 2 =
2
1
.1 + b  b =
2
3
Vậy hàm số cần xác định là y =

2
1
x +
2
3
.
Bài 5. Cho hàm số bậc nhất (d) : y = m
2
x + 4 (m
≠
0) và (d’) : y = 25x + m – 1. Với giá trị nào của m thì đồ thị
của hai hàm số (d) và (d’) là hai đường thẳng:
1/ Song song:
(d) // (d’) 



≠−
=
41
25
2
m
m




≠
±=

5
5
m
m
=> m = -5
2/ Trùng nhau:
(d)
≡
(d’) 



=−
=
41
25
2
m
m




=
±=
5
5
m
m
=> m = 5

3/ Cắt nhau:
(d) cắt (d’)  m
2

≠
25  m
≠
±
5
Bài 6. Cho hàm số bậc nhất (d) y = (m – 2)x + 3m + 1. Tìm m để đồ thị của hàm số
1/ Song song với đường thẳng (d’) : y = 3x + 2 :
(d) // (d) 



≠+
=−
213
32
m
m






≠
=
3

1
5
m
m
2/ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3: Ta có b = 3 => 3m + 1 = 3 => m =
3
2
3/ Đi qua điểm A(-2;
2
1
): Theo đề bài ta có x = -2; y =
2
1
, thay vào (d) ta được:
2
1
= (m – 2)(-2) + 3m + 1  4 – 2m + 3m + 1 =
2
1
 m =
2
9
−
.
Bài 7. Với giá trị nào của m và n thì đồ thị của hai hàm bậc nhất (d): y = mx + n – 1 và (d’) y = (4 + n)x + 3 – n
trùng nhau?
(d)
≡
(d’) 




−=−
+=
nn
nm
31
4




=
=
2
6
n
m
Bài 8. Tìm hai số m và n, biết hai đường thẳng mx + 2y = -1 và my – nx = -5 cắt nhau tại M(3;-2)
Vì 2 đường thẳng ấy cắt nhau tại M nên ta thay M(3;-2) lần lượt vào 2 đường thẳng ta được hệ phương trình:



−=−−
−=−
532
143
nm
m





=
=
1
1
n
m
Bài 9. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-2;-5) và B(1;4):
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (d) đi qua hai điểm A(-2;-5) và B(1;4) nên ta thay lần lượt tọa độ
hai điểm ấy vào (d) ta được hệ phương trình:



=+
−=+−
4
52
ba
ba




−=
−=+−−
ba
bb
4

5)4(2




=
=
3
1
a
b
Vậy phương trình đường thẳng là: y = 3x + 1.
Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng (d
1
): y = 3x + 2; (d
2
): y = x – 4; (d
3
): y = 4x + 5m.
Tìm giá trị của m để ba đường thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
) đồng qui.
Tọa độ điểm của (d
1
) và (d
2

) là nghiệm của hệ:



−=
−=
⇔



+=
=++
⇔



−=
+=
3
7
4
2)4(3
4
23
x
y
yx
yy
xy
xy

Thay x = -3; y = -7 vào (d
3
) ta được: 4.(-3) + 5m = -7  m = 1.
Vậy khi m = 1 thì 3 đường thẳng (d
1
), (d
2
), (d
3
) đồng qui.
Bài 11. Cho (P): y = x
2
và (d): y = -2x + 3.
1/ Vẽ (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ:
* Bảng giá trị:
x -2 -1 0 1 2
(P): y = x
2
4 1 0 1 4
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
2/ Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính:
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): x
2

= -2x + 3  x
2
+ 2x – 3 = 0 (1)
* Phương trình (1) có: a + b + c = 1 + 2 – 3 = 0. Do đó 2 nghiệm của phương trình là: x
1
= 1 và x
2
= -3
+ Thay x
1
= 1 vào (P) ta tìm được y
1
= 1 => Tọa độ giao điểm thứ nhất là (1;1)
+ Thay x
2
= -3 vào (P) ta tìm được y
2
= 9 => Tọa độ giao điểm thứ hai là (-3;9)
Vậy tọa độ các giao điểm của (P) và (d) là (1;1) và (-3;9).
Bài 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P): y =
3
2
x
và đường thẳng (d): y = 2x + m. Với giá trị nào để:
1/ (d) không cắt (P):
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d):
3
2
x
= 2x + m 

3
2
x
– 2x – m = 0  x
2
– 6x – 3m = 0
∆’ = b’
2
– ac = (-3)
2
– 1.(-3m) = 9 + 3m.
(d) không cắt (P)  ∆’ < 0 => 9 + 3m < 0  m < –3.
2/ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt:  ∆’ > 0 => 9 + 3m > 0 => m > –3.
3/ (d) tiếp xúc (P):  ∆’ = 0 => 9 + 3m = 0  m = -3
Bài 13. Cho (P): y =
2
2
x−
và đường thẳng (d): y = mx + n (m
≠
0).
1/ Xác định m và n để (d) đi qua điểm A(-1;4) và tiếp xúc (P).
(d) đi qua A(-1;4) nên ta thay x = -1; y = 4 vào (d) ta được: -m + n = 4
Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d):
2
2
x−
– mx – n = 0  x
2
+ 2mx + 2n = 0 (*)

Vì (d) tiếp xúc (P) nên ∆’ = 0 => (m)
2
– 1.2n = 0  m
2
– 2n = 0
Giải hệ phương trình:



=−
=+−
02nm
4nm
2




=+−
+=
0m)2(4m
m4n
2




=−−
+=
0 2m8m

m4 n
2
(I)
* Giải phương trình m
2
– 2m – 8 = 0 ta tìm được m
1
= 4; m
2
= -2
(I) 



=
+=
4 m
m4 n




=
=
8
4
n
m
Hoặc (I) 




=
=
2- m
2 n
x -1 1
(d): y = -2x + 3 5 1
2/ Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) với các giá trị của m và n vừa tìm được ở câu 1:
* Thay m = 4; n = 8 vào (*) ta được: x
2
+ 2.4.x + 2.8 = 0  x
2
+ 8x + 16 = 0
Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x = -4. Tiếp tục thay x = -4 vào (P) ta tìm được y = -8
 Tọa độ tiếp điểm thứ nhất là (-4;-8).
* Thay m = -2; n = 2 vào (*) ta được: x
2
– 4x + 4 = 0.
Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x = 2. Tiếp tục thay x = 2 vào (P) ta được y = -2
 Tọa độ tiếp điểm thứ hai là (2;-2).
Vậy tọa độ các tiếp điểm của (P) và (d) với các giá trị m và n vừa tìm được ở câu 1 là (-4;-8) và (2;-2).
Bài 14. Tìm hệ số a của hàm số (P) y = ax
2
(a
≠
0), biết rằng đồ thị của nó cắt đường thẳng (d) y = -x + 2 tại
điểm có hoành độ bằng 1.
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): ax
2

+ x – 2 = 0 (**)
(P) và (d) cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1 nên x = 1. Ta thay x = 1 vào (**) ta được: a
2
– 1 = 0  a = 1
Bài 15. Chứng minh các đường thẳng (d): y = 3mx – 1 – m luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
Gọi x
0
, y
0
là điểm cố định mà đường thẳng (d): y = 3mx – 1 – m luôn đi qua.
=> y
0
= 3mx
0
– 1 – m với mọi m  3mx
0
– 1 – m – y
0
= 0 với mọi m
 m(3x
0
– 1) = 0 và –(y
0
+ 1) = 0
∀
m => x
0
=
3
1

; y
0
= –1.
Bài 16. Cho hàm số (P): y =
2
1
x
2
1/ Vẽ đồ thị hàm số (P):
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (P) tại hai điểm có hoành độ bằng -2 và 3.

…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
x -4 -2 0 2 4
y =
2
1
x
2
8 2 0 2 8
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
Bài 17.
1/ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x + 4 (d)
…………………………………………………………………………………………………………………

.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
2/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) y = 6x
2
bằng phép tính:
* Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): 2x + 4 = 6x
2
 6x
2
– 2x – 4 = 0
Giải phương trình bậc hai trên ta tìm được x
1
= 1 và x
2
=
3
2

−
.
+ Thay x
1
= 1 vào (P) ta tìm được y
1
= 6 => Tọa độ giao điểm thứ nhất là (1;6)
+ Thay x
2
=
3
2
−
vào (P) ta tìm được y
2
=
3
8
=> Tọa độ giao điểm thứ hai là (
3
2
−
;
3
8
)
Vậy tọa độ các tiếp điểm của (P) và (d) là (1;6) và (
3
2
−

;
3
8
).
3/ Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b (d’), biết rằng đồ thị song song với đường thẳng (d) và đi qua
Q(3;4).
Vì (d) // (d’) nên



≠
=
4
2
b
a
Và đi qua Q(3;4) nên ta thay x = 3; y = 4 vào (d’) ta được: 3.2 + b = 4  b = -2.
Vậy hàm số cần xác định là y = 2x – 2.
Bài 18.
1/ Viết phương trình đường thẳng (e) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 và cắt trục tung tại điểm
có tung độ bằng 5.
* Do đường thẳng (e) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 nên x = 5; y = 0.
* Ta thay x = 5; y = 0 vào y = ax + b ta được: 5a + b = 0
* Do đường thẳng (e) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên b = 5. Ta thay vào 5a + b = 0 ta được: a = -1.
x 0 1
y = 2x + 4 4 6
Vậy phương trình đường thẳng cần xác định là y = -x + 5.
2/ Tìm m và n để đường thẳng (f): y = (m + 1)x + n – 3 (m
≠
-1) song song với đường thẳng y = -2x + 4 (d).

(f) // (d) 



≠
−=
⇔



≠−
−=+
7
3
43
21
n
m
n
m
Bài 19. Cho (P): y =
2
1
x
2
và (d
1
): y = 2mx – 1 – m (m
≠
0).

1/ Với m = -2, vẽ (P) và (d
1
) trên cùng mặt phẳng tọa độ:
Thay m = -2 vào (d
1
) ta được: y = -4x – 3.
2/ Tìm m để đường thẳng (d
1
), (d
2
): y = 2x – 1, (d
3
): y = x đồng qui.
Tọa độ giao điểm của (d
3
) và (d
2
) là nghiệm của hệ:



=
=
⇔



−=
=
⇔




−=
=
1
1
1212 x
y
xx
xy
xy
xy
Thay x = 1; y = 1 vào (d
1
) ta được: 1 = 2.m.1 – 1 – m  m = 2.
Vậy khi m = 2 thì (d
1
), (d
2
), (d
3
0 đồng qui.
Bài 20.
1/ Trên cùng hệ trục tọa độ Oxy, vẽ đồ thị các hàm số: y =
2
1
x
2
và y = 2x + 1.

2/ Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp xúc với (P): y =
2
1
x
2
:
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
…………………………………………………………………………………………………………………
.
x -4 -2 0 2 4
y =
2
1
x
2
8 2 0 2 8
x -1 0
y = -4x – 3 1 -3
x -4 -2 0 2 4
y =
2
1
x

2
8 2 0 2 8
x 0 1
y = 2x + 1 1 3