Tai lieu on thi TN.THPT 2011

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

1


NỘI DUNG ƠN TẬP THI TỐT NGHIỆP KHỐI 12
Mơn : TỐN (2010-2011)

I/. PHẦN GIẢI TÍCH :
1/. Khảo sát và vẽ đồ thò hsố dạng :
y= a x
3
+ bx
2
+ cx + d ; y = ax
4
+bx
2
+c
y =
ax b
cx d
+
+



2.Các bài toán liên quan :
- Sự tương giao của hai đồ thò

- Ba dạng tiếp tuyến
- Biện luận theo m số nghiệm pt bằng đồ thò
- Tìm các điểm trên (c ) có toạ độ là các số nguyên
- Tìm m để hàm số có cđ và ct
- Tìm m để hàm số đạt cực trò thoả đk cho trước
- Tìm m để (
1
c
) và (
2
c
) txúc nhau
- Tìm GTLN và GTNN (trên 1 khoảng hoặc 1 đoạn )
- Tìm m để pt có n nghiệm
3/.Nguyên hàm và tích phân :
- Tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp
- Tính tích phân bằng p
2
đổi biến số và pp tích phân từng phần
- Ứng dụng của tích phân : tính diện tích hình phẳng , thể tích vật thể tròn xoay
4.Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và logarit :
- Giải phương trình mũ , bất phương trình mũ và logarit.
- Giải hệ phương trình mũ và logarit .
5. Số phức :
- Môđun của số phức , các phép toán trên số phức.
- Căn bậc hai của số phức
- Phương trình bậc hai với hệ số phức .
- Dạng lượng giác của số phức .
II /. PHẦN HÌNH HỌC :
1/.Hình học không gian tổng hợp :

- Tính thể tích khối lăng trụ , khối chóp.
- Tính thể tích khối trụ , khối nón , khối cầu.
- Tính diện tích xung quanh của hình nón , hình trụ , diện tích mặt cầu .
2/. Phương pháp toạ độ trong không gian :
a/.Các bài toán về điểm và vectơ :
· Tìm toạ độ 1 điểm thoả điều kiện cho trước , trọng tâm tam giác , giao điểm của đường
thẳng và mặt phẳng , giao điểm của hai đường thẳng , hình chiếu của 1 điểm trên đường
thẳng , mặt phẳng , tìm điểm đối xứng với 1 điểm qua đường thẳng , mặt phẳng cho trước ,
tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu .
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

2

· Chứng minh hai vectơ cùng phương hoặc không cùng phương , 2 vectơ vuông góc , 3 vectơ
đồng phẳng hoặc không đồng phẳng, tính góc giữa hai vectơ , diện tích tam giác , thể tích tứ
diện , chiều cao tứ diện , đường cao tam giác
b/.Các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng :
- Lập pt mặt phẳng :qua 3 điểm , mặt phẳng theo đoạn chắn , qua 1 điểm song song với mặt
phẳng , qua 1 điểm
^
với đường thẳng , qua 1 điểm song song với hai đường thẳng , qua hai
điểm và
^
với mặt phẳng , qua 1 điểm và chứa một đường thẳng cho trước , chứa 1 đt a và
song song với 1 đt b.
- Lập pt đường thẳng : Qua 2 điểm , qua 1 điểm và song song với đt , qua 1 điểm và song
song với 2 mp cắt nhau , qua 1 điểm và vuông góc với 1 mp , pt hình chiếu vuông góc của đt
trên mp , qua 1 điểm và vuông góc với 2 đt , qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng , qua 1 điểm

vuông góc với đt thứ nhất và cắt đt thứ hai.
- Vò trí tương đối của 2 đt , đt và mp.
c/. Khoảng cách :
- Từ 1 điểm đến 1 mp , 1 điểm đến 1 đt , giữa 2 đt.
d/. Mặt cầu:
- Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước.
- Lập pt mặt cầu : Có đường kính AB , có tâm I và tiếp xúc với mp , có tâm I và đi qua 1 điểm
M , qua 4 điểm không đồng phẳng ( ngoại tiếp tứ diện).
- Lập pt mặt phẳng : Tiếp xúc với mặt cầu tại 1 điểm M thuộc mặt cầu , chứa 1 đường thẳng
và tiếp xúc với mặt cầu , song song với mp cho trước và tiếp xúc với mặt cầu.
e/. Góc :
- Góc giữa 2 vectơ
- góc trong của tam giác
- góc giữa 2 đường thẳng
- góc giữa 2 đường thẳng
- góc giữa đường thẳng và mặt phẳng




PHẦN I : GIA ÛI TÍCH

W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.

Bài 1: cho hàm số y =2x
3
– 3x
2

1/Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) hàm số

2/Tìm k để phương trình : 2x
3
– k= 3x
2
+1 có 3 nghiệm phân biệt
Đáp số :( - 2 < k < -1)
3/Viết phương trình các tiếp tuyến của ( c ) biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ
Đáp số :
0
9
8
y
y x
=
é
ê
ê
= -
ë

Bài 2: Cho hàm số y= x
4
+kx
2
-k -1 ( 1)
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

3

1/ Khảo sát và vẽ đồ thò ( c ) hàm số khi k = -1
2/ Viết phương trìh tiếp tuyến vơi ( c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y=
2
x
- 1. Đáp số : y= -2x-2
3/. Xác đònh k để hàm số ( 1 ) đạt cực đại tại x = -2.
Bài 3: Cho hàm số y= (x-1)
2
( 4 - x )
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò (c ) của hàm số
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) tại điểm uốn của (c ) . Đáp số : y = 3x - 4
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) qua A( 4 , 0 ) . Đáp số : y = 0 và y = -9x + 36
Bài 4: Cho hàm số y=
1
2
x
4
– ax
2
+b
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò ( c) của hàm số khi a =1 , b = -
3
2

2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (c ) tại giao điểm của ( c ) với ox
Đáp số : 12x34y = . và 12x34y -= .
Bài 5: a/ Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số y=
1

2
x
4
-3x
2
+
3
2

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại các điểm uốn .
Đáp số : y = 4x+3 và y = -4x +3
c/ Tìm các tiếp tuyến của (C ) đi qua diểm A ( 0,
3
2
)
Đáp số : y = 0 ; y =
2
3
x22 +± .
Bài 6: Cho hàm số y = x
3
+3x
2
+mx +m -2 có đồ thò (Cm )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò ( C) của hàm số khi m= 3
2/ Gọi A là giao điểm của ( C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C ) tại A.
3/ Tìm m để (Cm )cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số y= 2
2
x

m
3
x
2
2
3
-+ có đồ thò ( Cm )
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò( C ) của hàm số với m= -1
2/ Xác đònh m để ( C
m
) đạt cực tiểu tại x = -1.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y= -
5
2 2
x
+
. Đáp số : y =
6
19
x2 - và y =
3
4
x2 +
Bài 8 :1/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số y= -
1
3
x
3
– 2x

2
-3x +1
2/ Tìm các giá trò của m để pt :
1
3
x
3
+2x
2
+3x +m =0 có 3 nghiệm phân biệt
3/ Tìm m để pt :
1
3
x
3
+2x
2
+3x -2 +m
2
= 0 có 1 nghiệm
4/ Viết pttt của ( C ) song song với đường thẳng y= -3x
Bài9 : Cho hàm số y= mx
3
– 3x
1/ Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số khi m = 4
2/ Tìm giao điểm của (C )với đường thẳng
D
: y = -x +2
Bài 10 : Cho hàm số y= x
3

– 3x +1
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

4

1/ Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số
2/ Một đường thẳng d đi qua điểm uốn của (C )và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ giao
điểm của d và (C )
ĐS: ( 0, 1) (2, 3 ) ( -2, -1 )
Bài 11 : Cho hàm số y= -
4 2
1 9
2
4 4
x x
+ +

1/ Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) của hàm số
2/ Vẽ và viết pttt với đồ thò (C ) tại tiếp điểm có hoành độ x= 1
ĐS: y= 3x+1
Bài 12 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y = x
3
-6x
2
+ 9x
2/. Với các giá trò nào của m , đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 13 : 1/. Tìm các hệ số m và n sao cho hàm số : y = -x
3

+ mx + n
đạt cực tiểu tại điểm x = -1 và đồ thò của nó đi qua điểm ( 1 ; 4)
2/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số với các giá trò của m , n tìm được .
Bài 14: 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y = -x
3
+
2
3
x
2
+ 6x -3
2/. CMR phương trình -x
3
+
2
3
x
2
+ 6x -3 = 0 có 3 nghiệm phân biệt , trong đó có
một nghiệm dương nhỏ hơn ½ .
Bài 15 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y = -x
4
+2x
2
+ 2
2/. Dùng đồ thò ( C) , biện luận theo m số nghiệm của pt :
x
4
-2x
2

-2 +m =0
Bài 16: 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y = x
4
+x
2
-3
2/. CMR đường thẳng y = -6x-7 tiếp xúc với đồ thò của hàm số đã cho tại điểm có hoành độ
bằng -1 .
Bài 17 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y =
1
x
2
3x
+
+
-

2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành .
3/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung .
3/. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
(d) : 7x – y +2 =0
Bài 18 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C) của hàm số : y =
1
x
1x2
+
+

2/. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M( -1 ; 3)
ĐS : y =

4
13
x
4
1
+
Bài 19 : Cho hàm số y =
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
x a x a x
-
+ - + + -

1/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi a = 0
2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) . ĐS : y =
11
4
3
x
-

Bài 20 : Cho hàm số y = x
3
+ ax
2
+ bx +1
1/. Tìm a và b để đồ thò của hàm số đi qua 2 điểm A( 1 ; 2) và B( -2 ; -1)
ĐS : a = 1 ; b = -1

2/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số ứng với a và b tìm được .
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

5

Bài 21 : Cho hàm số y = x
4
+ ax
2
+ b
1/. Tìm a và b để hàm số có cực trò bằng
3
2
khi x = 1
ĐS : a = -2 ; b =
5
2

2/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số ứng với a =
1
2
-
và b = 1 .
3/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 .
Bài 22 : Cho hàm số y =
2
2
x

-

1/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2/. Tìm các giao điểm của (C) và đồ thò của hàm số y = x
2
+ 1 . Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) tại mỗi giao điểm .
ĐS : y =
1
1
2
x
+
; y = 2x
Bài 23 : Cho hàm số y =
3 2
1
x
x
-
-

1/. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
2/. Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt.
ĐS :
6 2 5; 6 2 5
0
m m
m
ì

< - - > - +
ï
í
¹
ï
ỵ





W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ

Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=
2
3
1
x
x
+
-
trên [2 ;4 ]
Bài 2: Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y= 2 sinx -
3
4
sin
3
x

1/ Trên đoạn [ 0 ,
p
] 2/ Trên đoạn [ 0 ;
6
p
]
3/ Trên đoạn [ -
2
p
; 0 ] 4/ Trên R
Bài 3 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y =
2 3
1
x
x
+
-
trên đoạn [ -2 ;
0
]
ĐS :miny=
3
-
; maxy =
1
3

Bài 4 : Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số 5x3x2x
3
1

y
23
++-= trên khoảng (1;+
¥
)
ĐS :miny= 5
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

6

Bài 5: Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số 5x3x2x
3
1
y
23
++-= trên đoạn [
2
3
;5]
ĐS :miny=
3
35

Bài 6 : Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
54
2
-

+-
=
x
xx
y trên đoạn [
2
5
;
2
7
]
Bài 7: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số
x
x
y
-
-
=
2
3
2
trên đoạn [
2
5
; 3] :
Bài 8: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
x4xy -+= :
ĐS : maxy= 22 ; miny = -2
Bài 9 : Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số y = 2sin

2
x +2sinx - 1 với
ú
û
ù
ê
ë
é
p
p
Ỵ ;
2
x
:
Bài 10: Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
x
y x e
= - trên [ -1 ; 0 ] :
ĐS : maxy=
1
ln 2
2
- -
; miny = -1 – e
-2

Bài 11 : Tìm giá trò lớn nhất , giá trò nhỏ nhất của hàm số
2
2ln

y x x
= - trên [
1
e
; e
2
] :
ĐS : maxy= e
4
- 4 ; miny = 1


W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y= x
2
- 3x+ 2 , y= x -1, x = 0 , x = 2
ĐS: S= 2
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x.e
x
, x=1 , y=0
ĐS: S= 1
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= sin
2
x +x , y=x ,x=0 , x=
p

ĐS: S=
2
p

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
2
=2x và y= 2x -2
ĐS : S=
9
4

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y =
2
2 10 12
2
x x
x
- -
+

và đường thẳng y=0
ĐS: S= 63 -16 ln 8
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y
2
= 2x +1 và y= x-1
ĐS: 16/ 3
Bài 7 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
3 1
, 0, 1, 0
1
+ +
= = = =

+
x x
y x x y
x

Bài 8 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh
Oy
của hình giới hạn
bởi Parabol
( )
2
: ; 2; 4
2
x
P y y y
= = =
và trục
Oy

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

7

Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi y=
1
1
x
x

-
+
, các trục toạ độ
quay quanh trục 0x
ĐS : V=
p
( 3- 4 ln2 )



W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH –BẤT PT – HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LOGARÍT

Bài 1 : Giải các phương trình sau :
1/
2
2
1
3
3
-
=
x x
ĐS : x =1
2/ 5
x
+ 5
x + 1
+ 5
x+2

= 3
x
+ 3
x+3
– 3
x+1
ĐS : x =
5
3
25
log
31

3/. 3
2x+2
– 28.3
x
+ 2 = 0 ĐS : x =1 ; x = -2
4/. log
2
x + log
4
(2x) = 1 ĐS :
3
2
=x
5/.
2
1 2
2

log 3log 1 0
- + =
x x ĐS : x = 2 ; x = 4
6/. 3
x
+2.3
1 – x
-5 = 0 ĐS : x = 1 ; x = log
3
2
7/.
2
3 9
2log 14log 3 0
- + =
x x ĐS :
3; 27
= =
x x
8/.
1
1
3 7
7 3
-
+
ỉ ư ỉ ư
=
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

x
x
x
ĐS :
1 2
= - ±x
9/.
(
)
2
3
2 1 2 1
-
- = +
x x
ĐS :
3 5
2
±
=x
10/.
x x x
(7 5 2) ( 2 5)(3 2 2) 3(1 2) 1 2 0.
+ + - + + + + - =
ĐS: x = -2; 0; 1.
11/.
x x
(2 3) (7 4 3)(2 3) 4(2 3)
+ + + - = + ĐS:
x 0; 2.

=

12/ 125
x
+ 50
x
= 2
3x+1
13/. 4
x
– 2. 6
x
= 3. 9
x
14/. 25
x
+ 10
x
= 2
2x+1
15/.
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
- + + =

16/. 8

x
+ 18
x
= 2. 27
x
Bài 2: Giải bất phương trình :
1/. 2
2x+6
+ 2
x+7
– 17 > 0 5/.
2 1
1
1 1
3. 12
3 3
x x
+
ỉ ư ỉ ư
+ >
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

2/.
1
1 1
3 5 3 1
x x +
<
+ -

6/. log
x
[ log
3
( 3
x
-9) ] < 1
3/. 2. 2
x
+ 3. 3
x
> 6
x
– 1 7/.
2
0,5 0,5
log log 2 0
+ - £
x x

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

8

4/.
1
2 2 1
0

2 1
x x
x
-
- +
£
-
8/.
2
0,3 6
log log 0
4
+
<
+
x x
x

Bài 3: Giải hệ phương trình :
1/.
9 3
2 .8 2 2
1 1 1
log log (9 )
2 2
-
ì
=
ï
í

+ =
ï
ỵ
x y
y
x
2/.
( )
5
3 .2 1152
log 2
-
ì
=
ï
í
+ =
ï
ỵ
x y
x y

3/.
( ) ( )
log log
log4 log3
3 4
4 3
ì
=

ï
í
=
ï
ỵ
x y
x y



W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 5 : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN.

Bài 1 : cho f(x) = sin
2
x , tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(
p
) = 0
Đáp số : F(x) =
1 1
sin 2
2 4 2
x x
p
- -

Bài 2 : chứng minh F(x) = ln
2
1
x x c
+ + +

là nguyên hàm của f(x)=
2
1
1
x
+

Hướng dẫn : Chứng minh : F
/
(x) = f(x)
Bài 3: Tính các tích phân sau :
1/.
2
2 3
1
2.
x x dx
+
ò
; Đáp số :
2
(10 10 3 3)
9
- 2/.
2
2
1
1
xdx
x

+
ò
; Đáp số :
5 2
-
3/.
1
3
2
0
1
x dx
x
+
ò
; Đáp số :
2 2
3
-
4/.
1
3
0
1 .
x x dx
-
ò
; Đáp số : 9/28
5/.
1

2 2
0
1 .
x x dx
-
ò
Đáp số
16
p

Bài 4: Tính các tích phân sau :
1/.
2
0
cos 2
xdx
p
ò
; Đáp số :
2
p
2/.
2
0
sin 3
xdx
p
ò
; Đáp số :
2

p

3/.
4
0
sin
xdx
p
ò
; Đáp số :
3
8
p
4/.
2
5
0
cos
xdx
p
ò
; Đáp số :8/15
5/.
2
6 3
0
cos .sin
x xdx
p
ò

; Đáp số :2/63 6/.
2
2
0
sin 2
1 cos
xdx
x
p
+
ò
; Đáp số :ln2
7/.
4
0
cos2
1 sin2
xdx
x
p
+
ò
; Đáp số :
2 1
-

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

9

Bài 5: Tính các tích phân sau :
1/.
2
sin
0
.cos
x
e xdx
p
ò
; Đáp số :e-1 2/.
3
1
2
0
.
x
e x dx
-
ò
; Đáp số :
1 1
3 3
e
-


3/.

4
1
x
e
dx
x
ò
; Đáp số :2e
2
– 2e 4/.
4
ln
2
1
2 1
x
e
dx
x +
ò
; Đáp số :
1
ln11
4

5/.
1
3
0
( 2)

x
x e dx
+
ò
; Đáp số :
3
8 5
9 9
e
-

Bài 6: Tính các tích phân sau :
1/.
2
0
(2 1)cos2
x xdx
p
-
ò
; Đáp số :-1 2/.
2
0
2 .sin .cos
x x xdx
p
ò
; Đáp số :
4
p

3/.
2
0
sin
x xdx
p
ò
; Đáp số :
2
4
p
-
4/.
1
0
ln( 1)
x dx
+
ò
; Đáp số :2ln2-1
5/.
2
1
( 1)ln
e
x x xdx
- +
ò
; Đáp số :

3 2
2 31
9 4 36
e e
- + 6/.
2
2
1
ln
x
dx
x
ò
; Đáp số :
1 1
ln2
2 2
-
7/.
2
2
0
.cos
x xdx
p
ò
; Đáp số :
2
1
16 4

p
-
8/.
0
sin3 .cos
x xdx
p
ò
; Đáp số :0
9/.
2
2
0
( sin )cos
x x xdx
p
+
ò
; Đáp số :
2
2 3
p
-
10/.
2
2 2
0
sin 2
(1 cos )
xdx

x
p
+
ò
; Đáp số :1/2




W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 6: SỐ PHỨC

Bài 1: Cho các số phức z
1
= 1 + i ; z
2
= 1 -2i .Hãy tính các số phức và tìm mun của chúng :
1/.
2
1
z
2/. z
1
z
2
3/. 2z
1
– z
2

4/.

1 2
z z
5/.
2
1
z
z
6/.
7
1
z

Bài 2 : Tính :
1/.
(
)
2
2
( 3 ) 3
i i
+ - -
2/.
(
)
2
2
( 3 ) 3
i i
+ + -

3/.
(
)
3
3
( 3 ) 3
i i
+ - -
4/.
2
2
( 3 )
( 3 )
i
i
+
-

*Bài 3 : Tìm căn bậc hai của mỗi số phức : - 8 + 6i ; 3 + 4i ;
1 2 2
i
-
Bài 4 : Giải phương trình :
1/. x
2
– 3x + 3 + i = 0. Đáp số : x = 1 +i ; x = 2 - i
*2/. x
2
– (3 + i )x + 2 + 6i = 0. Đáp số : x = 2i ; x = 3 - i
*3/. x

2
+ ix + 2i -4 = 0. Đáp số : x = -2 ; x = 2 - i
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

10

4/. x
2
- 4x + 8 = 0. Đáp số : x = 2 ± 2i
*5/. x
2
+
3
i
x -1 +
3
i
= 0. Đáp số : x = -1 ; x = 1 -
3
i

Bài 5 : Tìm các số thực x , y thỏa mãn đẳng thức :
x( 3 + 5i ) + y( 1 -2i)
3
= 9 + 14i
Đáp số : x =
172
61

và y =
3
61
-

*Bài 6 : Viết dạng lượng giác của số phức :
1/. 3i 2/.
3
+ i 3/. 2- 2i 4/. 1 -
3
i

5/. ( 1 +
3
i
)
5
6/. ( 1 –i)
4
7/. 1 - itan
6
p



PHẦN II : HÌNH HỌC
HÌNH HỌC TỔNG HP

W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 7: HÌNH ĐA DIỆN

.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy , cạnh
bên SB bằng a
3
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và SA = b . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
và b.
3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc SAC bằng 45
0
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD.
4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại đỉnh B, cạnh bên SA vng góc
với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a .
5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD.
6. Cho khối hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có thể tích V. Tính thể tích khối tứ diện C’ABC theo V.
7. Trên cạnh CD của tứ diện ABCD lấy điểm M sao cho CD = 3CM. Tính tỉ số thể tích của hai tứ
diện ABMD và ABMC.
8. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30
0
.
a/. Tính thể tích của khối chóp S.ABC
b/. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
c/. Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy ,
cạnh bên SB bằng a
3

a/. Tính thể tích của khối chóp S.ABC

b/. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
10. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B , cạnh bên SA vng góc với
đáy . Biết SA = AB = BC = a .
a/. Tính thể tích của khối chóp S.ABC
b/. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
11. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a , cạnh bên SA vng
góc với đáy và SA = AC . Tính thể tích khối chóp S.ABCD
12. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Gọi I là trung điểm
của cạnh BC .
a/. Chứng minh SA ^ BC
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

11


b/. Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a
13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B , đường thẳng SA vng góc với
mp(ABC) , biết AB = a , BC = a
3
và SA = 3a.
a/. Tính thể tích khối chóp S.ABC
b/. Gọi I là trung điểm của cạnh SC , tính độ dài đọan thẳng BI theo a.
c/. Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp S.ABC


W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 8 : HÌNH TRỤ

Bài 1 : Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
ABC có cạnh bằng a và đường sinh bằng 2a
3
.
ĐS : S
xq
=
2
4
p
a
; V =
3
2 3
3
p
a

Bài 2 : Cho hình lập phương cạnh a . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ ngọai tiếp
hình lập phương .
ĐS : S
xq
=
2
2
p
a ; V =
3
2
p

a

Bài 3 : Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 6cm , một mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ
theo thiết diện (S) có diện tích bằng 48cm
2
.
1/. tính chu vi của thiết diện (S).
2/. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (T).
ĐS : 1/. 28cm 2/. S
xq
=
48
p
(cm
2
) ; V = 96p (cm
2
)
Bài 4 : Cho hình trụ (T) có diện tích đáy S
1
= 4pa
2
và diện tích xung quanh bằng S .
1/. tính thể tích của (T) .
2/. Cho S = 25a
2
, Tính diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T).
ĐS : 1/. aS 2/.
2
25

p
a

Bài 5 : Cho hình trụ (T) có bán kính đáy R = 10cm, một thiết diện song song với trục hình trụ ,
cách trục một khoảng 6cm có diện tích 80cm
2
. Tính thể tích khối trụ (T)
ĐS : V = 500p (cm
3
)
Bài 6 : Cho hình trụ (T) cao 10cm, một mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục một
khoảng 2cm , sinh ra trên đường tròn đáy một cung chắn góc ở tâm 120
0
.
1/. tính diện tích thiết diện
2/. Tính thể tích và diện tích xq của (T).
ĐS : 1/. 40
3
(cm
2
) 2/. V = 160p (cm
3
) ; S
xq
= 80p (cm
2
)
Bài 7 : Cho hình trụ (T) có 2 đáy là 2 đường tròn ( O ) và (O
/
) .Một điểm A thuộc (O) và điểm B

thuộc (O
/
) . Gọi A
/
là hình chiếu của A trên mp chứa đáy (O
/
). Biết AB = a , góc giữa 2 đường
thẳng AB và trục OO
/
là α và góc BO
/
A
/
là 2β .
Tính thể tích và diện tích xq của (T).
ĐS : V =
3 2
2
sin .cos
4sin
p a a
b
a
; S
xq
=
2
sin 2
sin
p a

b
a

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

12

Bài 8 : Cho hình nón có bán kính đáy là R và đường cao bằng 3R ngoại tiếp hình trụ (T) .Tính bán
kính và chiều cao hình trụ (T) sao cho :
1/. (T) có thể tích lớn nhất.
2/. (T) có diện tích xq lớn nhất .
ĐS : 1/. Bán kính là
2
3
R
; chiều cao là R
2/. Bán kính là
2
R
; chiều cao là
3
2
R


W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 9 : HÌNH NÓN

Bài 1 : Cho hình nón có bán kính đáy là R và góc giữa đường sinh và mp chứa đáy hình nón là α .

1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón
2/. Tính diện tích của thiết diện qua trục của hình nón .
ĐS : 1/. V =
3
tan
3
p a
R
; S
xq
=
2
cos
p
a
R

2/. R
2
tanα
Bài 2 : Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng R và thiết diện qua trục của hình nón là tam giác
SAB có góc ASB là 60
0
.
1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón
2/. Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón .
3/. Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp hình nón .
ĐS : 1/. V =
3
3

24
p
R
; S
xq
=
2
2
p
R

2/.
3
3
R
3/.
3
6
R

Bài 3 : Một hình nón có diện tích xq là 20p (cm
2
) và diện tích toàn phần là 36p(cm
2
) . Tính thể tích
khối nón .
ĐS : V =36p (cm
3
)
Bài 4 : Một khối nón có thể tích V=

32 5
3
p
( dm
3
) và bán kính đáy hình nón là 4 (dm) .
1/. Tính diện tích xq của hình nón.
2/. Xác đònh tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón
ĐS : 1/. S
xq
=24p (dm
2
) 2/.
9 5
5



PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 10 : TOẠ ĐỘ VECTƠ, TOẠ ĐỘ ĐIỂM TRONG KHÔNG
GIAN.

Bài 1: Cho
a
r
= ( -2 ,1, 0 ),
b
r
= ( 1, 3,-2 ),

c
r
= (2,4,3 )
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

13

1/ Tìm toạ độ
d
ur
=
1 3
2
2 2
a b c
+ -
r r r

Đáp số :
1 17
( 2, , )
2 2
d = - -
ur

2/ Cm
a
r

,
b
r
không cùng phương
3/ Tìm toạ độ
b
r
/
= ( 2, y
o
, z
o
), biết
b
r
/
cùng phương
b
r

Đáp số :
( )
'
2;6; 4
b
= -
uv

Bài 2: Cho A( 0 -2, 4 ) , B( 5,-1,2 ),
3 4

OC i j k
= - + +
uuuv v v v

1/ Cm: A, B. C không thẳng hàng.
2/ Tìm toạ độ M là giao điểm của đường thẳng BC với (0xy), M chia đoạn BC theo
tỉ số nào?
Đáp số : M( -11,9,0 )
2 2
MB MC k
= ® =
uuur uuuur

3/ Tìm toạ độ D , biết
CD
uuur
= ( 1,-2, -4 )
Đáp số : D ( -2,2,-3 )
4/ Tìm toạ độ A
/
đối xứng với A qua B
Đáp số : A
/
( 10,0, 0 )
5/ Tìm toạ độ E để ABED là hình bình hành
Đáp số : E( 2,5,-1 )
Bài 3 :Cho M( x, y, z ), tìm toạ độ các điểm:
1/ M
1
, M

2
, M
3
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên mp ( 0xy ) ,( 0yz) ,( 0xz )
Đáp số : M
1
( x, y, o) , M
2
( o, y, z ) , M
3
( x, o, z )
2/ M
/
1
, M
/
2
, M
/
3
lần lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy, Oz
Đáp số : M
/
1
( x,o,o ), M
/
2
( o,y,o ),M
/
3

( o,o,z )
3/ A, B, C lần lượt đối xứng với M qua ox, oy, oz
Đáp số : A( x,-y, –z ), B( -x, y,-z ), C( -x,-y,z )
4/ D, E, F. lần lượt đối xứng với M qua mp ( oxy ), ( oyz ), ( oxz )
Đáp số : D( x, y, -z ), E (-x , y, z ), F ( x, -y, z )
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật OABC . O
/
A
/
B
/
C
/
biết A( 2, 0, 0 ), C( 0 ,3, 0 ) ,
0
/
( 0,0,4) .Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật
Hướng dẫn:
(2,3,0)
OB OA OC B= + Þ
uuur uuur uuur
( vẽ hình )
/ / /
(2,0,4)
OA OA OO A= + ®
uuuur uuuur
uuur
, tương tự B
/
( 2,3,4 ) , C

/
( 0,3,4 )



W W W .MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 11: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG


1/.
0
n
¹
v v
là vtpt của (P)
( )
n P
« ^
v

- Chú ý : Nếu
0, 0
a b
¹ ¹
v v v v
;
;
a b
v v
không cùng phương và
;

a b
v v
có giá song song
hay nằm trong mp(P) thì (P) có vtpt
,
n a b
é ù
=
ë û
v v v

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

14

2/. Phương trình tổng quát mp(P) : Ax+By+Cz+D = 0
®
vtpt
(
)
, ,
n A B C
=
v

3/. Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M( x
0
; y

0
; z
0
) và có vectơ pháp tuyến
(
)
, ,
n A B C
=
v
:
A(x – x
0
) + B(y – y
0
) + C(z – z
0
) = 0
4/. Nếu mp(P) // mp(Q) thì vtpt của (P) cũng là vtpt của (Q)
5/. Nếu mp(P)
^
mp(Q) thì vtpt của (P) song song hay chứa trong mp (Q) và ngược
lại.
6/. Phương trình mp(Oxy) : z = 0
Phương trình mp(Oxz) : y = 0
Phương trình mp(Oyz) : x = 0
7/. Phương trình mp(P) qua A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) :
1
x y z
a b c

+ + =

Với A, B, C đều khác với gốc O.


BÀI TẬP
Bài 1: Cho A(3,-2,-2) , B(3,2,0) , C(0,2,1) , D( -1,1,2)
1/. Viết phương trình mp(BCD) . Suy ra ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Đáp số : (BCD) :x + 2y + 3z -7 = 0
2/. Viết ptmp
(
)
a
qua A và
(
)
a
// (BCD).
Đáp số :x + 2y + 3z + 7= 0
3/. Viết pt mp
(
)
b
qua A và
(
)
b
vuông góc với BC
Đáp số : -3x + z + 11= 0
Bài 2: Cho A(5,1,3) , B(1,6,2) ,C(5,0,4) , D(4,0,6)

1/. Viết pt mp
(
)
a
qua A , B và
(
)
a
// CD.
Đáp số :10x+9y+5z-74=0
2/. Viết ptmp trung trực
(
)
b
của CD , tìm toạ độ giao điểm E của
(
)
b
với Ox.
Đáp số :-2x+4z-11=0 ; E(-11/2 , 0 ,0)
3/. Viết ptmp
(
)
g
qua A và
(
)
g
// (Oxy)
Đáp số :Z – 3= 0

Bài 3: Cho A(4,-1,1) , B(3,1,-1)
1/. Viết phương trình mp
(
)
a
qua A và
(
)
a
chứa trục Oy.
Đáp số : x-4z=0
2/. Viết ptmp
(
)
b
qua A và
(
)
b
vuông góc với trục Oy.
Đáp số : y+1=0
3/. Viết ptmp
(
)
g
qua A ,
(
)
g
// Oy ,

(
)
g
^
(
)
a

Đáp số : 4x+z-17=0
4/. Viết pt mp (P) qua B , (P)
^
(
)
a
, (P)
^
(Oxz)
Đáp số : 4x+z-11=0
Bài 4: Cho A(-1,6,0) , B(3,0,-8) , C(2,-3,0)
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

15

1/. Viết ptmp
(
)
a
qua A , B ,C.

Đáp số : 12x+4y+3z-12=0
2/.
(
)
a
cắt Ox , Oy , Oz lần lượt tại M , N, P . Tính thể tích khối chóp OMNP . Viết ptmp
(MNP).
Đáp số : V= 2 ; (MNP) : 12x+4y+3z-12=0
Bài 5 : Lập phương trình mp qua G( 2 ; -1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B ,C sao cho G
là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 6 : Lập phương trình mp qua H( 1 ; -1 ; -3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B ,C sao cho
H là trực tâm của tam giác ABC.










WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT
PHẲNG

· Tóm tắt lý thuyết :
1/. Cho 2 mp :
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0

: 0
A x B y C z D
A x B y C z D
a
a
+ + + =
+ + + =

·
1
a
cắt
2
a
«
A
1
: B
1
: C
1
≠ A
2
: B
2
: C
2

·
1 1 1 1

1 2
2 2 2 2
//
A B C D
A B C D
a a
« = = ¹
·
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
A B C D
A B C D
a a
º « = = =
Bài 1: xác đònh n và m để các cặp mp sau song song nhau :
1/. Cho
(
)
a
: 2x + ny + 3z -5 =0

(
)
b
: mx -6y -6z +2 =0
Đáp số : m =4 , n =3
2/. Cho
(
)

a
: 3x - y + nz -9 =0

(
)
b
: 2x +my +2z -3 =0
Đáp số : m = -2/3 ; n = 3
Bài 2: Cho 2 mp :
1
2
: 2 3 1 0
: 5 0
x y z
x y z
a
a
- + + =
+ - + =

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

16

1/. Viết pt mp (P) qua giao tuyến của
1 2
;
a a

và (P)
3
:3 1 0
x y
a
^ - + =

Đáp số : -3x-9y+13z-33=0
2/. Viết pt mp (Q) qua giao tuyến của
1 2
;
a a
và (Q) song song với đường thẳng
AB với A(-1,2,0) và B(0,-2,-4).
Đáp số : 8x+5y-3z+31=0



WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 13: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Tóm tắt lý thuyết
Cách lập phương trình đường thẳng d:
Tìm 1 điểm M (x
0
; y
0
; z
0
) thuộc d và vectơ chỉ phương
(

)
; ;
u a b c
=
v
của d.
Khi đó phương trình của d có một trong 2 dạng sau :
· Pt tham số :
o
o
o
x x a t
y y bt
z z ct
= +
ì
ï
= +
í
ï
= +
ỵ
(1)
· Pt chính tắc :
o o o
x x y y z z
a b c
- - -
= =
(2) VỚI a , b , c đều khác 0

- Ghi nhớ : d
( )
a
^
®
vtcp của d là vtpt của
( )
a
; vtpt của
( )
a
là vtcp của d.

BÀI TẬP
Bài 1: Viết phương trình tham số , pt chính tắc (nếu có ) của d biết :
1/. d qua M (2,3,-1) và d vuông góc với mp
a
: -x-y+5z+7=0
2/. d qua N(-2,5,0) và d// d
/
:
6
3
7 4
x
y t
z t
=
ì

ï
= +
í
ï
= +
ỵ

3/. d qua A(1,2,-7) và B(1,2,4)
Bài 2: Viết phương trình tham số , pt chính tắc (nếu có ) của đt d là giao tuyến của 2 mp :
(
)
( )
: 2 0
:2 1 0
P x y z
Q x y z
+ - =
- + + =

Bài 4:
1/. Viết pt mp(
a
) qua A(0,1,-1) và (
a
)
1 2
: 3
2
x t
d y t

z t
= -
ì
ï
^ =
í
ï
= - +
ỵ

2/. Tìm toạ độ giao điểm M của (
a
) với trục Ox.
3/. Viết pt tham số của giao tuyến d
/
của (
a
) với (Oxy).


Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

17

WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 14: TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M TRÊN
MP
a
, TRÊN d.

TÌM M
/
ĐỐI XỨNG VỚI M QUA
a
, QUA d.

1/ Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M trên
a
và toạ độ M’đối xứng M qua
a
:
· Viết pt đt d qua M , d
^
a
Þ
d qua M có véc tơ chỉ phương
n
a
uuv

Þ
pttsố của d
· H = d
a
Ç

Þ
tọa độ H
· M
/

đối

xứng M qua
a
Þ
H là trung điểm M M
/

Þ
toạ độ M
/

2/ Tìm toạ độ hchiếu
^
H của M trên đt d và tìm M
/
đối xứng M qua đt d :
+ Viết ptmp
a
qua M ,
d
a
^

+ H =
d
a
Ç Þ
tọa độ của H
+ M

/
đxứng M qua d
Þ
H là trung điểm MM
/

Þ
tđộ M
/


Bài 1: Tìm toạ độ hchiếu vuông góc H của M( 2, -3, 1 )trên mp(α) : -x+ 2y +z+ 1= 0 .
Tìm toạ độ M
/
đxứng M qua (
a
)
Đáp số : H (1, -1 , 2 ) ; M
/
( 0, 1, 3)
Bài 2: Tìm toạ độ M
/
đxứng với M( 2, -1, 3) qua đt d :
2
1 2
1
x t
y t
z
=

ì
ï
= - +
í
ï
=
ỵ

Đáp số : M
/
(4,-3,5)



WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 15: LẬP PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC d
/

CỦA d
TRÊN MP (P)

*Phương pháp :
Cách 1 :
- Tìm 2 điểm A và B thuộc d
- Tìm A
/
và B
/
lần lượt là hình chiếu của A và B trên mp(P)
- Lập pt đường thẳng A
/

B
/
chính là đường thẳng d
/

Cách 2 :
- Lập pt mp (Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
- Vì d
/
= (P) Ç (Q) nên ta lập được pt của d
/


Bài 1: Viết pt hình chiếu vuông góc d’ của đt d :
1
1 2
3
x t
y t
z t
= +
ì
ï
= - +
í
ï
=
ỵ
trên mp
a

: x+y+2z-5=0
Bài 2 : Viết pt hình chiếu vuông góc d
/
của d :
1 2
1 2 3
x y z
- +
= =
-
trên mp
a
:x-y+z+10=0

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

18




WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 16: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG d VÀ
d
/


Phương pháp :
+ d có vtcp

u
v
và đi qua điểm M
+ d
/
có vtcp
/
u
uuv
và đi qua điểm M
/

+ Tính
/
MM
uuuuuv

a/. d và d
/
trùng nhau Û
u
v
,
/
u
uuv
và
/
MM
uuuuuv

b/. d // d
/
Û
ì
ï
í
ï
ỵ
uuv
r
uuuuur
r
/
/
u và u cùng phương
u và MM không cùng phương

c/. d cắt d
/
Û
ì
ï
í
é ù
=
ï
ë û
ỵ
uuv

r
uur uuuuur
r
/
/ /
u và u không cùng phương
u,u . MM 0

d/. d và d
/
chéo nhau Û
é ù
¹
ë û
uur uuuuur
r
/ /
u,u . MM 0

* Chú ý :
/ /
d d u u
^ Û ^
uuv
v


Bài 1: Xét vò trí tương đối của 2 đt :
d
1

:
1
2 3
3 4
x t
y t
z t
= +
ì
ï
= - -
í
ï
= +
ỵ
d
2
:
x t
y 3 3t
z 7 4t
=
ì
ï
= - -
í
ï
= +
ỵ

Đáp số : d
1
// d
2

Bài 2: Xét vò trí tương đối của 2 đt :
d
1
:
1 2
x t
y t
z t
=
ì
ï
= - +
í
ï
=
ỵ
d
2
:
1
1 2 3
x y z
-
= =
-

Đáp số : d
1
chéo d
2

Bài 3: Xét vò trí tương đối của 2 đt :
d
1
:
4
1 1 2
x y z
+
= =
- -
d
2
:
1 2
3 1 1
x y z
- -
= =
- -

Đáp số : d
1
chéo d
2

Bài 4: cho 2 đt d
1
:
7 3
2 2
1 2
x t
y t
z t
= +
ì
ï
= +
í
ï
= -
ỵ
d
2
:
1 2 5
2 3 4
x y z
- + -
= =
-

a/. Tìm toạ độ giao điểm của d
1

và d
2
. Đáp số : A(1,-2,5)
b/. Viết pt mp (P) chứa d
1
và d
2
. Đáp số : (P) : 2x-16y-13z+31=0
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

19

Bài 5 : Xét vò trí tương đối của 2 đt : d
1
:
1
2
1
x t
y t
z t
= -
ì
ï
= +
í
ï
= - +

ỵ
d
2
:
/
/
/
2 2
3 2
2
x t
y t
z t
ì
= -
ï
= +
í
ï
=
ỵ

Đáp số : d
1
// d
2

Bài 6: Tìm toạ độ giao điểm của 2 đt d
1
:

3 2
2 3
6 4
x t
y t
z t
= - +
ì
ï
= - +
í
ï
= +
ỵ
và d
2
:
ï
ỵ
ï
í
ì
+=
=
+=
/
/
/
t20z
t41y

t5x

Đáp số : A(3,7,18)



WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 17: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG d VÀ
MẶT PHẲNG
a



1/. Cách 1: d có vtcp
a
v
,
a
có vtpt
n
v

a/. Nếu
a
v
.
n
v
¹
0
®

d cắt
a

b/. Nếu
a
v
.
n
v
=0
®
d//
a
hay d
Ì
a

Tìm M
Ỵ
d:
//
M d
M d
a a
a a
Ï ®
é
ê
Ỵ ® Ì
ë

2/. Cách 2: Giải hệ pt của d và
a

§ Hệ có 1 nghiệm
Û
d cắt
a

§ Hệ vô nghiệm
Û
d //
a

§ Hệ vô số nghiệm
Û
d
Ì
a


Bài 1: Xét vò trí tương đối của đt d :

1
3 2
2
x t
y t
z t
= - +

ì
ï
= -
í
ï
= - +
ỵ

Và mp
a
: x+2y+3z+3=0
Đáp số : d//
a

Bài 2: Cho đt d :
1
2 (2 1)
3 2
x mt
y m t
z t
= +
ì
ï
= - + -
í
ï
= - +
ỵ
và mp

a
:x+3y-2z-5=0
a/. Tìm m để d cắt
a
. Đáp số : m
¹
1
b/. Tìm m để d//
a
. Đáp số : m=1
c/. Tìm m để d vuông góc với
a
. Đáp số : m= -1
Bài 3: Xét vò trí tương đối của đt d :
1 2
2 1 3
x y z
- +
= =
-
với mp
a
: 2x+y+z-1=0
Đáp số : d cắt
a
tại A(2,1/2,-7/2)
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

20

Bài 4: Xét vò trí tương đối của đt d :
2 2
x t
y t
z t
=
ì
ï
= - +
í
ï
= -
ỵ
với mp
a
: 2x+y+z-1=0
Đáp số : d cắt
a
tại A(1, 0,-1)
Bài 5: Xét vò trí tương đối của đt d :
1
4
1
x t
y t
z t
= -
ì

ï
= -
í
ï
= - +
ỵ
với mp
a
: 5x-y+4z+3=0
Đáp số : d
Ì
a




WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 18: KHOẢNG CÁCH

1/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến mp
a
:
( )
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
a
+ + +

=
+ +

2/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến đt
D
:
·
D
qua M
0
và có vtcp
u
v

( )
0
u,M M
d M,
u
é ù
ë û
D =
v uuuuuv
v

3/. Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau :
·
1
D
qua M

1
và có vtcp
1
u
uuv

·
2
D
qua M
2
và có vtcp
2
u
uuv

( )
1 2 1 2
1 2
1 2
u , u .M M
d ,
u , u
é ù
ë û
D D =
é ù
ë û
uuv uuv uuuuuuv
uuv uuv

*Chú ý:
Khoảng cách giữa 2 mp song song = Khoảng cách từ 1 điểm trên mp thứ nhất đến mp
thứ hai.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song = Khoảng cách từ 1 điểm trên đt thứ nhất
đến đt thứ hai.
Khoảng cách giữa 1 đường thẳng song song với 1 mp = Khoảng cách từ 1 điểm trên
đt đến mp.

Bài 1: Cho A(1,1,3) , B(-1,3,2) C(-1,2,3) . Viết pt mp
a
qua 3 điểm A, B, C .Tính diện
tích tam giác ABC , thể tích khối tứ diện OABC.
Đáp số :
a
: x+2y+2z-9=0 ; dt(ABC)=
3
2
; V
OABC
=
3
2

Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M (1,2,-1) đến đt
D
:
1 2 2
2 1 2
x y z

- + -
= =
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

21

Đáp số :
221
3

Bài 3: Cho 2 đt chéo nhau :
1
D
:
2 2
1
3 2
x t
y t
z t
= +
ì
ï
= +
í
ï
= -
ỵ

2
D
:
1 2
1 2
x t
y t
z t
= +
ì
ï
= -
í
ï
=
ỵ

Tính khoảng cách giữa
1
D
và
2
D
. Đáp số : 7/3
Bài 4: Cho 2 đt
1
D
:
1 7 3

2 1 4
x y z
- - -
= = và
2
D
:
ï
ỵ
ï
í
ì
-=
+=
+-=
t2z
t22y
t1x

Chứng minh
1
D
chéo
2
D
. Tính khoảng cách giữa
1
D
và
2

D
.
Đáp số :
5
14



WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 19 : GÓC

1/. Góc giữa 2 vectơ :
( )
1 2
1 2
1 2
.
cos ,
.
u u
u u
u u
=
uv uuv
ur uur
uv uuv

1/. Tìm góc
j
giữa 2 đt
1

D
và
2
D
:
· Tìm 2 vtcp
1
u
uuv
và
2
u
uuv
của
1
D
và
2
D
.
·
1 2
1 2
.
cos
.
u u
u u
j
=

uv uuv
uv uuv

2/. Tìm góc
j
giữa 2 mp
a
và
b
:
· Tìm 2 vtpt :
1
n
uv
và
2
n
uuv
của
a
và
b

·
1 2
1 2
.
cos
.
n n

n n
j
=
uv uuv
uv uuv

· Chú ý :
1 2
n n
a b
^ Û ^
uv uuv

3/. Tìm góc
j
giữa đường thẳng d và mp
a
:
· Tìm vtcp
u
v
của d.
· Tìm vtpt
n
v
của
a

·
u.n

sin
u . n
j
=
v uuv
v uuv


Bài 1: Tính góc
j
giữa đt d :
1 1 3
1 1
2
x y z
- + -
= =
-
và trục Ox. Đáp số :
j
=45
0

Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

22

Bài 2: Tính góc

j
giữa đt d :
x t
y 1 2t
z 2 t
=
ì
ï
= +
í
ï
= +
ỵ
và mp
a
:
2 1 0
x y z
+ - - =

Đáp số :
j
=30
0

Bài 3: Tính góc
j
giữa 2 mp:
a
: 3y-z-9=0 ;

b
: 2y+z+1=0
Đáp số :
j
=45
0


Bài 4: Tìm m để góc giữa 2 đt sau bằng 60
0
:
1
D
:
4 2
1 1
2
x y z
+ +
= =
-
và
2
D
:
3
1 2
1
x t
y t

z mt
= +
ì
ï
= +
í
ï
= - +
ỵ
Đáp số : m = -1

WWW.MATHVN.COM - WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 20: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.


1/. Phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R :
· ( x –a )
2
+ (y-b)
2
+( z-c)
2
= R
2
(1)
· x
2
+y
2
+z
2

+2ax + 2by + 2cz +d = 0 (2)
Với :
2 2 2
R a b c d
= + + -

Tâm I ( -a ; -b ; -c )
2/. Vò trí tương đối giữa mc(S) và mp
a
:
· Cho (S) : ( x –a )
2
+ (y-b)
2
+( z-c)
2
= R
2

có tâm I và bán kính R.
mp
a
: Ax+By+Cz+D=0
a/.
(
)
,d I R
a
> Û
mp

a
không có điểm chung với (S)
b/.
(
)
,d I R
a
= Û
mp
a
tiếp xúc với (S) (
a
là tiếp diện )
c/.
(
)
,d I R
a
< Û
mp
a
cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có pt :
2 2 2 2
Ax+By+Cz+D=0
( x -a ) + (y-b) +( z-c) = R
ì
í
ỵ

3/. Một số dạng toán về mặt cầu:

a/. Viết pt mc (S) tâm I và tiếp xúc với mp
a
, tìm toạ độ tiếp điểm H của
a
và (S):
· R = d (I ,
a
)
®
pt (1)
· H=
D
I
a
với
D
qua I và
a
D ^

b/.Mặt cầu có đường kính AB
Þ
tâm I là trung điểm của AB,R=
1
(1)
2
AB pt
Þ
c/. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( hay mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D không đồng
phẳng ) :

· Thế toạ độ A,B,C,D vào pt(1) hay pt(2)
, ,
A B C
Þ
hoặc a , b ,c
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

23

d/.Mặt phẳng
a
tiếp xúc (S) tại A
Ỵ
(S) (tiếp diện
a
)
+ (S) có tâm I,
a
qua A có vtpt
IA
uur

Þ
pt (
a
)
e/. Cách tìm toạ độ tâm I
/

, bán kính R
/
của đường tròn giao tuyến của mp
a

và (S) :
§ (S) có tâm I , bán kính R ,
a
có vtpt
n
v

§
( )
2
/ 2
,R R d I
a
= -
é ù
ë û

§ Đường thẳng
D
qua I ,
D

^
a

®
pt tham số
D
.
§ I
/
=
a
D Ç

®
Toạ độ I
/


Bài 1: Cho A(1,-1,2) , B(1,3,2) , C(4,3,2) , D(4,-1,2)
1/. Chứng minh : A,B,C,D đồng phẳng .
2/. Gọi A
/
là hình chiếu vuông góc của A trên mp(Oxy) , Viết pt mặt cầu (S) qua A
/
,B,C,D
Đáp số : A
/
(1,-1,0) ; ptmc(S) : x
2
+y
2
+z
2

-5x -2y -2z +1 = 0
3/. Viết pt tiếp diện của (S) tại A
/
.
Đáp số :
a
: 3x+4y+2z+1=0
Bài 2: Cho 4 điểm : A,B,C,D biết A(2,4,-1) , 4
OB i j k
= + -
uuuv v v v
, C(2,4,3) , 2 2
OD i j k
= + -
uuuv uuv v v

1/. Chứng minh :
; ;
AB AC AC AD AD AB
^ ^ ^
. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Đáp số : V= 4/3
2/. Viết pt tham số của đường vuông góc chung
D
của 2 đt AB và CD . Tính góc
j
giữa
D

và (ABD).

Đáp số :
(
)
, 0, 4,2
a AB CD
D
é ù
= = -
ë û
uuv uuuv uuuv
;
1
sin
5
j
=
3/. Viết pt mc (S) qua A , B, C, D . Viết pt tiếp diện
a
của (S) song song với (ABD)
Đáp số : (S) : x
2
+y
2
+z
2
-3x -6y -2z +7 = 0 ;
a
1
: z +
21

1
2
-
=0 ;
a
2
: z -
21
1
2
-
=0
Bài 3: Cho mp
a
: x+y+z-1=0 và đt d :
1
1 1 1
x y z
-
= =
-

1/. Tính thể tích khối tứ diện ABCD với A,B,C là giao điểm của
a
với Ox ,Oy ,Oz và D =
d
(
)
Oxy
Ç

Đáp số : V = 1/6
2/. Viết pt mc (S) qua A,B,C,D , tìm toạ độ tâm I
/
và bán kính R
/
của đường tròn giao tuyến
của (S) với mp (ACD).
Đáp số : (S) : x
2
+y
2
+z
2
-x -y -z = 0 ; I
/

/
1 1 1 3
, , ;
2 2 2 2
R
ỉ ư
=
ç ÷
è ø

Bài 4: cho A(3,-2,-2) và mp
a
: x+2y+3z-7 = 0
1/. Viết pt mc (S) tâm A và tiếp xúc với

a
, tìm toạ độ tiếp điểm H của (S) và
a
.
Đáp số : (S) : (x-3)
2
+(y+2)
2
+(z+2)
2
= 14 ; H(4,0,1)
2/. Xét vò trí tương đối của (S) với mp(Oyz) .
Đáp số : (S) cắt mp(Oyz)
Bài 5: Cho mp
a
: 2x-2y-z+9=0 và mc(S) : x
2
+y
2
+z
2
-6x +4y -2z-86 = 0
1/. Tìm toạ độ tâm I , tính bán kính R của (S) .
Đáp số : I(3,-2,1) ; R = 10
Ôn tập TN THPT Môn Toán www.MATHVN.com NH 2010-2011

www.mathvn.com

24

2/. Chứng minh
a
cắt (S) , viết pt đường tròn giao tuyến (C) của
a
và (S).Tìm toạ độ tâm I
/

, bán kính R
/
của ( C ) .
Đáp số : R
/
=8 ; I
/
(-1,2,3)
Bài 6: Cho mc(S) : (x-5)
2
+(y+1)
2
+(z+13)
2
= 77 và 2 đt
d
1
:
5 4 13
2 3 2
x y z
+ - -
= =

-
d
2
:
1 3
1 2
4
x t
y t
z
= +
ì
ï
= - -
í
ï
=
ỵ

Viết pt mp
a
tiếp xúc với (S) và
a
song song với d
1
và d
2
.
Đáp số :
4 6 5 128 0

4 6 5 26 0
x y z
x y z
+ + + =
+ + - =



*WWW.MATHVN.COM - WWW.MATHVN.COM - VẤN ĐỀ 21: CÁCH VIẾT PT ĐƯỜNG
VUÔNG GÓC CHUNG d
CỦA 2 ĐƯỜNG CHÉO NHAU d
1
, d
2



d
1
có vtcp
r
a
,d
2
có vtcp
r
b

· Lấy điếm A Ỵ d
1

Þ tọa độ điểm A theo t
1

· Lấy điếm B Ỵ d
2
Þ tọa độ điểm B theo t
2

· AB là đường vuông góc chung Û
. 0
. 0
ì ì
^ =
ï ï
Û
í í
^ =
ï ï
ỵ ỵ
uuur r uuur r
uuur r uuur r
AB a AB a
AB b AB b

· Giải hệ trên ta tìm được t
1
và t
2
Þ tọa độ A và B
· Viết phương trình đường thẳng AB.

Bài 1: Cho 2 đường thẳng : d
1
:
3
1 2
2 2
x t
y t
z t
= -
ì
ï
= +
í
ï
= - +
ỵ
và d
2
:
2 4 1
3 1 2
x y z
- - -
= =
- -

Viết pt đường vuông góc chung của d
1
và d

2
.
Bài 2: Cho 2 đường thẳng : d
1
:
1 2
x t
y t
z t
=
ì
ï
= - +
í
ï
=
ỵ
và d
2
:
1 2
3
=
ì
ï
= -
í
ï
=
ỵ

x t
y t
z t

1/. Chứng minh :
1 2
d d
^
và d
1
chéo d
2
.
2/. Viết pt đường vuông góc chung của d
1
và d
2
.