Ôn tập cuối năm Toán 9 và một số đề thi vào 10

Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
Phần I : Đại số
Chuyên đề 1: Căn Thức rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức
A. Kiến thức cần nhớ:
- Cách đặt ĐKXĐ của một biểu thức
- Cách quy đồng khử mẫu hai hay nhiều phân thức
B. Bài tập
Rút gọn Các căn thức sau:
Bài 1. Tìm giá trị các biểu thức sau bằng cách biến đổi, rút gọn thích hợp:
a,
9
196
49
16
81
25
b,
81
34
2.
25
14
2.
16
1
3
c.
567
3,34.640
d,
22

511.8106,21
Bài 2. Phân tích các biểu thức sau thành các luỹ thừa bậc hai:
a, 8+2
15
; b, 10-2
21
; c, 12-
140

d, 5 +
24
; e, 14+6
5
; g, 8-
28
Bài 3. Phân tích thành thừa số các biểu thức sau:
a, 1 +
1553 ++
b,
21151410 +++
c,
6141535 +

d, 3 +
8318 ++
e, xy +y
1xx ++
g, 3+
x
+9 -x

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a, (
10238 +
)(
4,032
)
b, ( 0,2
3.)10(
2

+ 2
2
)53(
c, (
714228 +
).
7
+ 7
8
d, ( 15
+50
5
4503200
) :
10
e, 2
422
)1(5)3(2)32( +
g, (
6:)

3
216
28
632



h,
57
1
:)
31
515
21
714
(


+


i,
1027
1528625
+
++
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau: a,
ba
ba
1

:
ab
abba
=

+
( a, b > 0 và a

b )
b, ( 1+
a1)
1a
aa
1)(
1a
aa
=



+
(a > 0 và a

1);c, (
a
a1
aa1
+

)(
a1
a1


)
2
=1 (a > 0 và a

1)
d,
a
bab2a
ba
.
b
ba
22
42
2
=
++
+
(a+b>0, b

0)
Bài 6. Rút gọn rồi tính giá trị của các biểu thức sau:
a,
2
a4a129a9 ++

với a = -9 ; b, 1 +
4m4m
2m
m3
2
+

với m<2
c,
a4a25a101
2
+
với a=
2
; d, 4x-
1x6x9
2
++
với x=-
3
e, 6x
2
-x
6
+1 với x =
2
3
3
2
+

Bi 7:Rút gọn Các biểu thức sau:
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
42
44
2

+
=
x
xx
A

144
1
:
21
1
14
5
21
2
1
22
++

+
=
xx
x
x
x
x
x
B
xy
y
yx
yx
yx
yx
C


+



+
=
2

2222

xxxxx
D

+








+










+
+

=
1

1
1
1
1
1
:
1
1
1
1









+
+

=
1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
E

a
x
xa
a
x
xa
F 22
22
+
+
+
+
=

Gợi ý:

Khi làm các bài toán này cần:
- Đặt ĐKXĐ?
- Quy đồng khử mẫu, rồi làm gọn kết quả thu đợc
1
2
2
1
2
2
khix
A
khix




=


<


2
1 2
B
x
=

2 y
C

x y
=

1
D
x
=
1x
E
x

=
Một số loại toán thờng kèm theo bài toán rút gọn
I.Tính toán một biểu thức đại số
Ph ơng pháp :
Để tính giá trị của biểu thức P(x), biết x=a, ta cần:
+Rút gọn biểu thức P(x).
+ Thay x=a vào biểu thức vừa rút gọn
*Ví dụ:
xx
xxx
A
32
96
2
2

++
=
Tính giá trị của A biết

18=x
.
22
1
22
1


+
=
aa
B
Tính giá trị của B biết(a-6)(a-3)= 0
4
5
:
2
3
2
2
22








+

+
=
xxx
x
x
x
x
C
Tính giá trị của C biết 2x
2
+3x =0
12
12
:
1
1
.
1
1
1
2
2
3
++
+

+
++

+

=
xx
x
x
xx
x
x
x
D
Tính giá trị của D biết x=
2007
2005
( )
9
961
2
2

++
=

x
xxx
E
Tính E biết
16=x
4
4ã2
2
2


=
xx
xa
F
Tính F biết x=
a
a
+
1
.

Đáp án:
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
1
khi 3

3
3
(2 3)

x
x
A
khi x
x x

=
<

;
4
2
B
a

=
+
& B=-4/5
( 2) 2
&
5 5
x
C C
x
+
= =
1
1
x
D

x
+
=

1
x -3
3

1- x
khi x < -3
x -3
x
khi
x
E



=
II.Tìm giá trị của biến (ẩn) khi biết giá trị của biểu thức:
Ph ơng pháp :
Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của P(x) =a , ta cần :
+ Rút gọn biểu thức P(x)
+ Giải phơng trình P(x) =a.
Ví dụ :

+

+









=
1
1
1
1
.
2
1
2
2
a
a
a
a

a
a
A
a) Tìm a để A>0 b) Tính giá trị của a để A=0








+











+
+



=

13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
B
Tìm x khi B=6/5








+

+
+=
1
2
1
1
:
1
1
xxxx
x
x
x
x
C
a) Tính C biết x=
324 +
b)Tìm x khi C >1.

+


+






+



+
=
1
2
11
1
:
1
1
1
1
2
x
x
x

xx
x
x
x
D
a) Tính D khi x=
324 +
b)Tìm x để D=-3
E=















+
1
1
1:
1
1

3
x
x
x
x

a) Tính E khi x=
14012 +
b) Tính x khi E >5
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
F
x x x x
+
= +
+ +
a)Rút gọn F b)Tính x để F=1/2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 3 1 4 2 3
1 3
x x x
G
x x

=
+

a)Rút gọn G
c)Tính G khi
223 +=x
b)Tìm x để G >1

Đáp án:
1
; 1
a
A a
a

= <
;a=1
1
; 4;
4
3 1
x x
B x x
x
+
= = =

1 6 3 3
; ; 1 or x < -2
1 3
x x
C C x
x

+ + +
= = >

2
;
1
x
D
x

=
+
2 1
; 0
2
x
E x
x

= < <
;
7 9 5
2 3
x x
F
x x
+
=
+

2 3 2 2 1
; 2 x < -1;G =
1
2 2 1
x
G x or
x
+
= > =
+
+
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
III. Tìm giá trị của biến x biết P(x) thỏa m n điều kiện nào đó ã
Ph ơng pháp :
Trớc hết h y rút gọn giá trị của biểu thức, sau đó căn cứ vào điều kiện nêu ra của bàiã
toán mà lập luận tìm ra lời giải, Chẳng hạn:
Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức là nguyên?
Ta cần đa biểu thức rút gọn về dạng : R(x)= f(x)+
( )
a
g x
sau đó lập luận:

( ) ( ) g(x) R x Z a g x hay M
là ớc của a (a là hằng số)
Ví dụ :
1)
( ) ( )
2
2

4 2 3
6 9
x x x
A
x x

=
+
a) Rút gọn A
b)Tính xZ để AZ?
2)
xxxx
x
B

+
+

+
+
=
2
1
6
5
3
2
2
Rút gọn B, Tính xZ để BZ?
3)

2
2
:
11

+








+
+



=
a
a
aa
aa
aa
aa
C
a)Tìm a để biểu thức C không xác định
b)Rút gọn C
c) Tính aZ để C Z?

4)
11
1
1
1
3


+
+
+

=
x
xx
xxxx
D

a)Rút gọn và tính giá trị của D khi x=5
b)Tìm giá trị nguyên dơng của x để DZ ?
5)E=

+
1
1
1:
1
1
3
x
x
x
x
:
x
x 2+
Tính xZ để E Z?


Đáp án:
4
3
3
A
x
=

;
4 2
1
2 2
x
B
x x

= =

;
2 4 8
2
2 2
a
C
a a

= =
+ +
;
( )
2
1 1D x= +
;
2 4
1
2 2
x

E
x x

= =
+ +
IV. Một số thể loại khác
Bài 1. Chứng minh rằng:
a)
( )
2004200522006.20051
2
=+
b)
2725725
3
3
=+
c)
ab
a
a
b
a
b
abaabb
a
bba
aba 11
1.
2

23223
2
32
2
+
=

















+

+

Bài 2. Cho B=

+

++
+
+


1
1
1
1
1
2
:1
x
x
xx
x
xx
x
a) Rút gọn B
b)CMR : B>3 với mọi x>0 ;x
1

.
Bài 3. Cho C=
632ab
6
632
32
+++


+
+
ba
ab
baab
ba
a) Rút gọn C b) CMR nếu C=
81
81

+
b
b
thì
3M
b
a
.
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
Bài 4. Cho
( )

xxbb
xb
xb
xxbb
xb
xb
D
+
+













=
2
.
a) Rút gọn D b) So sánh D với
D
.
Bài 5. Cho

+











= 1
12
2
41
21
:1
41

4
x
x
x
x
x
xx
E
a) Rút gọn E. b) Tìm x để
2
EE >
. c) Tìm x để
4
1
>E
Bài 6. Cho
ab
ba
bab
b
bab
a
F
+


+
+
=

a) Tính F khi a=
324;324 =+ b
b) CMR nếu
5
1
+
+
=
b
a
b
a
thì F có giá trị không đổi.
Bài 7. Cho biểu thức: A
1
= (
x1
1
x1
1
+
+

) : (
x1
1
x1
1
+

) +
x1
1

a) Rút gọn A
1
. b) Tính giá trị của A
1
khi x=7+4
3
.
c) Với giá trị nào của x thì A
1
đạt giá trị nhỏ nhất ?
Bài 8. Cho biểu thức: A
2
=
22
2
)2x()1x2(
4)1x(
++


a) Tìm x để A
2
xác định. b) Rút gọn A
2
. c) Tìm x khi A

2
=5.
Bài 9. Cho biểu thức: A
3
= (
1x
1x
1x
1x
+



+
):(
1x
1
1x
x
1x
2
2
+
+



)
a) Rút gọn A3 b) tìm giá trị của A
3

khi x=
83 +
c) Tìm x khi A3 =
5

Bài 10. Cho biểu : A
4
= (
aa
1aa
aa
1aa
+
+



):
2a
2a

+

a) Với giá trị nào của a thì A
4
không xác định. b) Rút gọn A
4
.
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A
4

có giá trị tự nguyên ?
Bài 11. Cho biểu thức: B
1
=
xx
xx2
1x
x




a) Rút gọn B
1

b) Tính giá trị của B
1
khi x=3+
8
c) Tìm x để B
1
> 0 ? B
1
< 0? B
1
=0
Bài 12. Cho biểu thức: B
2
=
6a2

a3
6a2
3a
+



+
a) Rút gọn B
2
b) Tìm a để B
2
< 1? B
2
> 1?
Bài 13. Cho biểu thức: B
3
= ( 1+
1x
x
+
):(
1xxxx
x2
1x
1
+


)

a) Rút gọn B
3
b) Tìm x để B
3
> 3? c) Tìm x để B
3
=7.
Bài 14. Cho biểu thức: B
4
= (
xx
1
1x
x



):(
1x
2
1x
1

+
+
)
a) Rút gọn B
4
b) Tính giá trị của B
4

khi x=3+2
2
c) Giải phơng trình B
4
=
5
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
Bài 15. Cho biểu thức: B
5
= (
ab
a
ba
a

+
+
):(
ab2ba
aa
ba
a
++

+
)
a) Tìm điều kiện của a để B
5
xác định. b) Rút gọn B
5

.
c) Biết rằng khi a/b = 1/4 thì B5 = 1, tìm giá trị của b.
Bài 16. Cho biểu thức: C
1
=
4x4x4x4x ++
a) Rút gọn C
1
b) Tìm x để C
1
= 4
Bài 17. Cho biểu thức: C
2
=
ab
ba
aab
b
bab
a +


+
+
a) Rút gọn C
2
b) Tính giá trị của C
2
khi a =
324 +

, b =
324
c) Chứng minh rằng nếu a/b = a+1/b+5 thì C
2
có giá trị không đổi
Bài 18. Cho biểu thức: C
3
=
6b3a2ab
ab6
6b3a2ab
b3a2
+++


+
+
a) Chứng minh rằng
0b

thì C
3
có giá trị không phụ thuộc vào b
b) Giải phơng trình C
3
= -2.
c) Tìm a để C
3
< 0? C
3

> 0?
d) Tìm giá trị nguyên của a để C
3
có giá trị nguyên.
e) Chứng minh rằng nếu C
3
= b+81/b-81,
khi đó b/a là một số nguyên chia hết cho 3.
Bài 19. Cho biểu thức: C
4
= (
1x2x
2x
1x
2x
++
+



).
2
1x2x
2
+
a) Xác định x để C
4
tồn tại. b) Rút gọn C
4

c) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì C
4
> 0.
d) Tìm giá trị của C
4
khi x = 0,16.
e) Tìm giá trị lớn nhất của C
4
.
g) Tìm x thuộc Z để C
4
thuộc Z.
Bài 20. Cho biểu thức: C
5
=
3223
3223
yxyyxx
yxyyxx
+
+
a) Rút gọn C
5
.
b) Tính giá trị của C
5
khi x =
3
, y =
2

.
c) Với giá trị nào của x, y thì C
5
= 1.
Bài 21. Cho biểu thức: D
1
= (
x1
1
1xx
x
1xx
2x

+
++
+

+
):
2
1x
a) Rút gọn D
1
.
b) Chứng minh D
1
> 0 với
1x,0x
.

Bài 22. Cho biểu thức: D
2
= (
xy
yx
yx
yx
33


+


):
yx
xy)yx(
2
+
+
a) Xác định x, y để D
2
có nghĩa. b) Rút gọn D
2
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
2
. d) So sánh D
2
và
2

D
.
e) Tính giá trị của D
2
khi x = 1,8 và y = 0,2.
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
Chuyên đề 2: Hàm số bậc nhất y=ax+b
Kiến thức:
Cho hàm số y=ax+b (a0)
- Hàm số đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0
- Nếu toạ độ (x
0
;y
0
) của điểm A thoả m n hàm số y=f(x) thì điểm A thuộc đồ thị hàm số này.ã
- Ngợc lại, nếu điểm A(x
0
;y
0
) nằm trên đồ thị của hàm số y=f(x) thì toạ độ (x
0
;y
0
) của A thoả
m n hàm số y=f(x).ã
- Cho hai đờng thẳng (d
1
): y=ax+b & (d
2
): y= a

1
.x+b
1
(a 0 ; a
1
0)
+ (d
1
) // (d
2
)

a=a
1
& b b
1
+ (d
1
)

(d
2
)

a= a
1
& b= b
1
+ (d
1

) cắt (d
2
)

a a
1
& b b
1
+ (d
1
)

(d
2
)

a.a
1
=-1
Bài tập vận dụng
Bài 1:Cho hàm số y= mx-2m+5.CMR hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi m.
Bài 2: Cho đờng thẳng (d); y=(m-2)x-m+4.CMR (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi m
Bài 3: Cho các đờng thẳng (d
1
): y=mx-2(m+2) (m 0) và
(d
2
): y= (2m-3)x +(m
2
-1) (m 3/2):

a) CMR: (d
1
) & (d
2
) không thể trùng nhau với mọi m.
b) Tìm m để (d
1
) // (d
2
); (d
1
) cắt (d
2
); (d
1
) (d
2
)
Bài 4: CMR: 3 đờng thẳng sau đây đồng quy: (d
1
): y=-3x (d
2
): y=2x+5 (d
3
): y=x+4
Bài 5: Tìm m để ba đờng thẳng sau đồng quy:(d
1
):y=x-4; (d
2
): y= -2x-1;(d

3
): y= mx+2
Bài 6: Tính diện tích giới hạn bởi các đờng thẳng :(d
1
): y=
1
3
x
;(d
2
):y=-3x ;(d
3
): y=-x+4
Bài 7: Cho đờng thẳng (d
1
):y=4mx - (m+5) & (d
2
): y= (3m
2
+1)x+m
2
-4
a) CMR: (d
1
) luôn đi qua điểm A cố định và (d
2
) luôn đi qua điểm B cố định
b) Tính khoảng cách AB. ; c) Tìm m để (d
1
) // (d

2
)
Bài 8. Cho hai hàm số : y = (k + 1 )x + 3 và y = (3-2k)x +1
Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số cắt nhau? Song song với nhau? Hai đờng trên
có thể trùng nhau đợc không ?
Bài 9. Viết phơng trình đờng thẳng :a. Có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm P(
2
5
;
2
1
)
b. Có tung độ gốc bằng -2,5 và đi qua điểm Q(1,5 ; 3,5)
c. Đi qua hai điểmđiểm M(1 ; 2 ) và N (3 ; 6 )
d . Song song với đờng thẳng y = 2x - 3 và đi qua điểm (
3
4
;
3
1
)
Bài 10.Cho 3 đờng thẳng : y=2x+1(d
1
) ; y=-x-2 (d
2
); y=-2x-m (d
3
)
a. Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d
1

) & (d
2
)
b. Xác định m để 3 đờng thẳng đã cho đồng quy
Bài 11. a. Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng hệ trục toạ độ :y=2x (1);y=0,3x (2); y=-x+6 (3)
b. Gọi các giao điểm của đờng thẳng có phơng trình (3) với các đờng thẳng (1), (2) thứ tự là
A,B: tìm toạ độ của các điểm A,B
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
c.Tính các góc của tam giác OAB
Chuyên đề 3:Phơng trình và hệ phơng trình bậc nhất
Bất phơng trình
I.Ph ơng trình bậc nhất 1 ẩn số
Ph ơng pháp : ax+b=0

ax=-b

x=-b/a
Nếu phơng trình không có dạng tổng quát thì cần biến đổi đa
về dạng tổng quát rồi tính
* Ví dụ:
Bài 1:Giải các phơng trình:
a)
( ) ( )( )
223
2
+=+ xxx
b)
( )( ) ( )( ) ( )( )
4
12

12
52
3
51 +
=
++

++ xxxxxx
c)
0
22
3
1
12
22
1
2
=
+
+
++
+

x
xx
x
x
* Ph ơng trình dạng
)()( xgxf =
(1)

Sơ đồ giải:
[ ]
2
( ) 0(2)
( ) ( )
( ) ( ) (3)
g x
f x g x
f x g x



=

=


Giải (3) rồi đối chiếu với điều kiện(2) để loại nghiệm không thích hợp,
nghiệm thích hợp là nghiệm của phơng trình đ cho.ã
Ví dụ :
Bài 2:Giải phơng trình: a)
783 =x
b)
xxx =+ 21
2
c)
( )
2
2 3 3 1x x =
* Ph ơng trình dạng

)()()( xhxgxf =+
Sơ đồ giải:- Đặt đk có nghĩa của phơng trình
0)(
0)(
0)(



xh
xg
xf
- Bình phơng 2 vế , rút gọn đa về dạng(1)
ví dụ:
Bài 3:Giải phơng trình:
a)
xx =+ 15
b)
xx =+ 11
c)
22 10 2x x =
d)
3 1 1 2x x+ =
Bài 4:Giải phơng trình
a)
5 1x x = +
b)
3 1 10 1 5x x+ + =
* Ph ơng trình dạng
( ) ( ) ( )f x g x h x+ =
Sơ đồ giải:

Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
- Đặt đk có nghĩa của phơng trình
f (x) 0
g(x) 0
h(x) 0








-Bình phơng hai vế(có thể chuyển vế hợp lí rồi bình phơng) sau đó cần phải
đối chiếu nghiệm vừa tìm đợc với điều kiện!
ví dụ:
Bài 5:Giải phơng trình a)
5 3 2 7x x x+ + + = +
b)
1 7 12x x x+ =
IV. Bất ph ơng trình
*Dạng 1: Bất phơng trình bậc nhất hai ẩn a.x+b>0 hoặc a.x+b<0
+ Phơng pháp: ax+b>0

ax>-b

x>-b/a nếu a>0
x<-b/a nếu a<0
+ Ví dụ:
Bài 6: Cho phơng trình:

32
16
3
1
52
xxx
x +

<


a. Giải bất phơng trình b) Tìm nghiệm nguyên âm của bất phơng trình.
Dạng 2: BPT phân thức
B
A
>0 ,BPT tíchA.B>0
*Cách giải: Mỗi bất phơng trình tơng đơng với 2 hệ bpt :
0
0
0
0
A
B
A
B
<



<

>



>



*ví dụ:
Bài 6: Giải các phơng trình sau:
1)2x(3x-5) <0 2)
1
1
2
2
>
++

xx
xx
3)(x-1)
2
-4 <0
*Dạng 3:
( )
( )
( )

f x a
f x a
f x a
=

=

=

Bài 7: Giải phơng trình:
14 += xx
*Dạng 4:
( )
( )
( )
f x a
f x a
f x a
>

>

<

hoặc
axfaaxf <<< )()(
Bài 8: Giải phơng trình:
1
2
4

2
2

++

xx
xx
V.Hệ ph ơng trình
* Phơng pháp:
*ví dụ: Cho hệ phơng trình
3 2
9 6 1
x my
x y
=


=

(1)
a) Giải (1) khi m=
2
1

b)Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
c) Tìm m để (1) có vô nghiệm d) Tìm m để (1) có nghiệm
0
0
x

y
>


<

Bài tâp
Bài 1.Giải các phơng trình và bất phơng trình sau:
a)
25
20
5
5
5
5
2

=
+



+
x
x
x
x
x
b)
( )

( )
1
2
7
1
4
12
2
2
+
+ x
x
x
c)
836
2
=x
d)
122
2
=+ xx

e)
( )( )
1223 =++ xxx
f)
121 =++ xx
g)
5144
2

=++ xxx
Bài 2. Giải các hệ phơng trình sau
a)
1
1
3
2
2
1
1
1
2
1
=



=

+

yx
yx
b)
5
43
1
11
=+
=

yx
yx
c)
15
151
+=
=+
xy
yx
d)
2
2

+
x
xx
e)
05
05)(3)(2
2
=
=++
yx
yxyx
f)
1233
8)(3)(5
2
=+
=+

yx
yxyx
Bài 3.Cho hệ pt:
3
3
mx y
x my
+ =


+ =

a)Tìm m để hệ có nghiệm(x;y)=(-2;5)
b)Tìm m để hệ có vô số nghiệm; vô nghiệm? ; c) Tìm m để hệ có nghiệm
0
0
x
y
<


<


Bài 4. Cho hệ phơng trình:
2
mx my m
mx y m
+ =

+ =

(m: là tham số)
a)Giải và biện luận hệ phơng trình; b)Tìm điều kiện của m để hệ có nghệm thỏa mãn x>0;y<0.
Bài 5.Tìm m để hệ phơng trình sau :
5
2 3 7
mx y
x my
=


+ =

có nghiệm thỏa mãn điều kiện: x>0; y<0
Bài 6) Tìm a để hệ phơng trình:
3
ã 4 6
x ay
a x y
+ =


+ =

có n
0
thỏa mãn x>1; y>0.
Bài 7)Tìm a để 3 đờng thẳng sau: (d

1
) 2x +y =5 (d
2
) 3x-2y =4 (d
3
) a x +5y =11 đồng quy?
Bài 8)Giải hệ phơng trình
2 3 8
3 1
x y
x y
+ =


=

&
4 3 2
3
x y
x y
=


+ =

Bài 9) Giải hệ phơng trình sau: a)
2 2
5
5

x y xy
x y
+ + =


+ =

b)
30
35
x y y x
x x y y

+ =


+ =



c)
64
1 1 1
4
xy
x y
=

=


d)
2 2
11
30
x xy y
x y xy
+ + =


+ =

e)
2 2
2 2
19
7
x y xy
x y xy

+ + =

+ =

Bài 10. Giải hệ phơng trình sau :
2
3 1
x y

x y
=


+ =

2 0
3 1
x y
x y
+ =


+ =

{
1y3x2
2y3x
=
=+
{
5y22x
101yx2
=
=+
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10



=+

=+
2yx4
5y3x8




=+
=
5yx2
3yx2
x y 2
1 1 9
x y 4
=



+ =


x y
1
4 7
x y 3 0

= =

+ =

1 1
1
3 4
5
x y
x y

=




+ =







=+
=+
36
5
y
1
x
1

4
3
y
6
x
5





=

+

=



1
1y
1
2x
1
1
1y
3
2x
2
1 1

3
x y x y
2 3
1
x y x y

+ =

+



=

+

Bài 11. Giải các hệ phơng trình : a.
2
2(x y) 3(x y) 5 0
x y 5 0

+ + + =

=

b.
2
5(x y) 3(x y) 8
2x 3y 12

+ =

+ =

Bài 12. Cho hệ phơng trình :
2x ay b(1)
ax by 1(2)
=


+ =

a. Xác định a,b để hệ có nghiệm x=
2
,y=
3
; b. Tìm a,b để hệ vô số nghiệm
Bài 13. Cho hệ phơng trình :
(a 1)x y 3
ax y a
+ =


+ =

a. Giải hệ phơng trình với a=-
2
b. Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0
Bài 14.Cho hệ phơng trình

=
=+
aayx
1yax
; a. Giải hệ phơng trình với a=
2
-1
b. Chứng minh hệ phơng trình có hai nghiệm với mọi a
c. Tìm a sao cho hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn x>0; y>0
Chuyên đề 4: Phơng trình bậc hai- Định lí vi- ét và ứng dụng
I.Phơng trình bậc hai
1) Ph ơng trình bậc hai khuyết :
* Ph ơng pháp : Phân tích vế phải thành nhân tử, rồi đa về dạng phơng trình tích.
* Ví dụ: Giải phơng trình sau:
a) 2x
2
-50x =0 b) 54x
2
=27x c)
2
4
53
2
2
=
+
x
x

d)
4
12
3
2
2
1
222

=


xxx
2) Ph ơng trình dạng đầy đủ :
* Ph ơng pháp : Giải theo công thức nghiệm của phơng trình bậc hai:
* Ví dụ:Giải phơng trình
a)
02
1
1
=+
+
+
+ x
x
x
x
b)
1
1

2
1
2
2
+
+=

x
x
x
c)
2
1 1 7
7 12 2 6 40x x x
+ =
+ + +
3)Ph ơng trình giải đ ợc bằng cách đặt ẩn số phụ :
* Ví dụ: Giải các phơng trình
a) (x
2
+2x)
2
-2(x
2
+2x) -3 =0 c) 4x
4
+12x
3
-47x
2

+12x+4=0
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
b) x
4
-5x
2
-6 =0 d) x
2
+
2
5
x
-
2
3
=0
Bài tập: Giải các phơng trình sau
a)(6x
2
-7x)
2
- 2(6x
2
-7x) -3 =0 ; b)(x+
x
1
)
2
-4,5(x+
x

1
) +5=0
c)(x-1)(x+2)(x+4)(x+7)=16 ; d)
2
2
8
1
x
x
x

+ =
ữ


II.Điều kiện nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+bx+c =0
Ph ơng pháp :
Cho phơng trình bậc hai ax
2
+bx+c = 0 (1)
+ ĐK để (1) vô nghiệm:
0
0
a


<

+ ĐK để (1)Có 2 nghiệm pb:
0
0
a


>

+ ĐK để (1)Có nghiệm kép:
0
0
a


=

+ ĐK để (1)Có 2 nghiệm trái dấu: a.c<0
+ ĐK để (1)Có nghiệm:
0
0
a




+ ĐK để (1) có 2n
0
dơng:
0
0

0
S
P



>


>

+ ĐK để (1) có 2n
0
âm:
0
0
0
S
P



<


>

+ ĐK để (1)có 2n
0
cùng dấu:

0
0P



>


(Khi đó nếu Tổng 2n
0
dơng thì 2n
0
mang dấu dơng và ngợc lại)
Ví dụ:
Bài 1:Cho phơng trình: (m-1)x
2
-2(m+1x + m-2=0 (1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Giải phơng trình khi m= 5
Bài 2: Cho phơng trình :(m+2)x
2
+ 6mx + (4m +1)=0. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép?
Bài 3: Cho phơng trình :m
2
x
2
+ mx +4 =0 . Tìm m để phơng trình vô nghiệm?
Bài 4:Cho phơng trình :x
2
-2(k-1)x + 2k -5 =0

a)CMR Phơng trình luôn có nghiệm?
b)Tìm k để phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu.Khi đó 2n
0
mang dấu gì?
Bài 5: Xác định k để pt :3x
2
- (2k+1)x +k
2
- 4 =0 có 2 nghiệm trái dấu?
Bài 6: Xác định k để pt :x
2
- 2kx +2k -3 =0 có hai nghiệm phân bịêt cùng dấu?
Bài 7:Cho pt : 2x
2
+14x +2m-3 =0
a)Tìm m để pt có 1 nghiệm bằng -
3
.Tìm nghiệm thứ hai?
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? Nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
Bài 8: Cho pt: x
2
-2mx+2m-1=0
a) m=? để phơng trình có nghiệm kép
b) m=? để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu.Khi đó 2 n
0
mang dấu gì?
III.Bài toán liên quan giữa nghiệm phơng trình và hệ thức Vi-ét
Ph ơng pháp :
Nếu pt bậc 2 :ax

2
+bx+c = 0
có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì tổng và tích các nghiệm đó là:
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a

+ =




=



Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc II có nghiệm thỏa m n một điều kiện cho trã ớc.
Nếu đk cho trớc có chứa biểu thức x
1
2

+x
2
2
hoặc x
1
3
+x
2
3
thì cần áp dụng các hằng đẳng thức
đáng nhớ: x
1
2
+x
2
2
=(x
1
+x
2
)
2
-2x
1
x
2
x
1
3
+x

2
3
=(x
1
+x)
3
-3x
1
x
2
(x
1
+x
2
).
Tất nhiên các giá trị của tham số rút ra từ đk , phải thỏa m n đk ã
0

Ví dụ:
Bài 1:Cho phơng trình bậc hai: x
2
- 2(m+1)x + m
2
+3 =0 (1)
a) Tìm m để (1) có 2 n
0
dơng?
b) Tìm m để (1) có 2 n
0
x

1
,x
2
thỏa mãn
22
77
1
2
2
1
=+
x
x
x
x
Bài 2:Cho phơng trình : x
2
+2kx+2-5k =0 (2) k: tham số
a) Tìm k để pt(2) có n
0
kép?
b) Tìm k để (1) có 2 n
0
x
1
,x
2
thỏa mãn x
1
2

+x
2
2
=10
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x
2
- (2m+3)x + m -3 =0 (1)
a) CMR pt luôn có nghiệm với mọi x.
b) Tìm m để pt có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia?
Bài 4: Cho phơng trình: x
2
-2(m+2)x +m+1 =0 (x là ẩn)
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu?
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để: x
1
(1-2x
2
)+x
2
(1-2x
2
)=m
2
.
Bài 5:Cho phơng trình mx
2

-(m-4)x +2m =0.
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 2(x
1
2
+x
2
2
)-x
1
.x
2
=0.
Bài 6:Cho phơng trình x
2
-(m-1)x +5m-6=0.
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 4x
1
+3x
2
=1
Bài 7:Cho phơng trình x
2

-2(m+1)x+m
2
+3=0.
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn : 2(x
1
+x
2
)-3x
1
.x
2
+9=0.
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số?
Ph ơng pháp : Từ biểu thức của định lí Vi - ét ,ta tiến hành khử tham số để thu đợc
biểu thức không phụ thuộc vào tham số
Ví dụ :
Bài 1:Cho phơng trình: x
2
-(k-3)x +2k+1 =0 có các nghiệm là x
1
,x
2
. Tìm một hệ thức liên hệ
giữa các nghiệm độc lập với k.
Bài 2:Cho phơng trình bậc hai: x

2
- (2m+3)x + m -3 =0 có các nghiệm là x
1
,x
2
. Tìm một hệ thức
liên hệ giữa các nghiệm độc lập với k.
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: (m+1)x
2
-2(m-1)x+m =0. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các
nghiệm độc lập với m?.
Bài 4: Cho phơng trình bậc hai: (m-1)x
2
-2(m-2)
2
x +m+3=0. Tìm một hệ thức liên hệ giữa các
nghiệm độc lập với m?.
Lập ph ơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của chúng
Ph ơng pháp :
- Lập tổng x
1
+x
2
- Lập tích x
1
x
2
- Phơng trình cần tìm là X
2
-SX+P =0.

* Ví dụ:
Bài 1:Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là:a)
3
1
và
2
1
;b)
3
và
5
; c)
25 +
và
25
Bài 2: Cho phơng trình: x
2
+px+q =0(1)
a) Không giải phơng trình, hãy tính biểu thức:
( ) ( )
2
2
2
1
322
1
322
1
+
+

+
=
xx
A
theo p và q
b)Không giải phơng trình, hãy lập phơng trình bậc 2 theo y có hai nghiệm là:

1
1
1
1
1

+
=
x
x
y
;
1
1
2
2
2

+
=
x
x
y

c)Chứng minh rằng nếu phơng trình (1) và phơng trình x
2
+mx+n=0
có nghiệm chung thì :(n-q)
2
+(m-p)(mq-np)=0
Bài tập:
Bài 1: Cho phơng trình x
2
-mx +m-1 =0(1)
a)CMR: (1) có nghiệm với mọi m.Tìm nghiệm kép nếu có của (1) và giá trị tơng ứng của m.
b)Đặt A= x
1
2
+x
2
2
-6x
1
x
2
. - CMR : A=m
2
-8m +8.
-Tìm m để A=8
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
Bài 2:Cho phơng trình : (m-4)x
2
-2mx+m-2=0
a) Giải phơng trình khi m=18

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
c) Tính x
1
3
+x
2
3
theo m?
Bài 3: Cho phơng trình : x
2
-2(m+2)x+m+1=0 (1)
a) Giải phơng trình khi m=-3/2
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm m để x
1
(1-2x
2
)+x
2
(1-2x
1
)=m
2
.
Bài 4: Cho phơng trình : x
2
- 2mx+2m-1=0
a) CMR: Phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Đặt A= 2(x
1

2
+x
2
2
)-5x
1
x
2
1.CMR: A= 8m
2
-18m+9
2. Tìm m để A=27
3. Tìm m sao cho phơng trình nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia?
Chuyên đề 5: Mối tơng quan giữa đồ thị
hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai

Ph ơng pháp :
Cho Parabol (P): y=ax
2
và đờng thẳng (d): y=mx+b
- ĐK để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

phơng trình ax
2
=mx+b có 2 nghiệm phân
biệt

>0 (nghiệm của phơng trình chính là hoành độ cỉa hai giao điểm)
- ĐK để (d) Không cắt (P)

phơng trình ax
2
=mx+b vô nghiệm



<0.
- ĐK để (d) tiếp xúc với (P)

phơng trình ax
2
=mx+b có nghiệm kép



=0
(nghiệm kép tìm đợc đó chính là hoành độ tiếp điểm).
Bài tập:
Bài 1: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y=
2
x

2
.
Tìm a và b để đờng thẳng y=ax+b đi qua điểm (0;-1) và tiếp xúc với (P).
Bài 2: Cho hàm số y=ax
2
có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đồ thị (T) của hàm
số y= (m-1)x- (m-1).
a) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm.

b) Vẽ (P) & (T) với a, m vừa tìm đợc trên cùng mặt phẳng toạ độ.
Bài 3:Cho đờng thẳng (d): y=k(x-1) và Parabol (P): y= x
2
-3x+2
a) CMR: (d) & (P) luôn có một điểm chung.
b) Trong trờng hợp (d) tiếp xúc (P), tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 4: Cho hàm số y=
2
-1
x
2
(P)
a) Vẽ (P).
b) Tìm m để đờng thẳng y= 2x+m cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A & B.
Tìm toạ độ 2 điểm A và B đó.
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
Bài 5: Cho Parabol (P): y=3x
2
. Lập phơng trình đờng thẳng
() song song với đờng thẳng (d): y=-2x và tiếp xúc với (P).
Bài 6: Cho (P): y=
2
1
2
x
và hai đờng thẳng (d
1
): y=2x-2 và (d
2
): y= ax-1.

a) Vẽ (P) & (d
1
) trên cùng mặt phẳng toạ độ và tìm toạ độ giao điẻm của chúng
b) Biện luận theo a số giao điểm của (P) & (d
2
)
c) Tìm a để 3 đồ thị trên cùng đi qua một điểm.
d) Chứng tỏ rằng đờng thẳng đi qua A(-1;2) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

Chuyên đề 6: Tìm GTLN &GTNN của một biểu thức
Ph ơng pháp 1 :
Biến đổi biểu thức đ cho sao cho có chứa số hạng là lũy thừa bậc chẵnã
( là một biểu thức không âm) rồi tùy theo dấu trớc biểu thức đó là dơng
(hay âm) mà biểu thức đ cho là ã nhỏ nhất (hay lớn nhất).
Chẳng hạn:
A=(ax+b)
2
+m
m
thì minA=m khi và chỉ khi x=
a
b
A=-(ax+b)
2
+M
M
thì maxA =M khi và chỉ khi x=
a
b
Ví dụ1: Tìm GTNN của biểu thức A= m

2
-6m+11.
Ta có: A= m
2
-6m+11=(m-3)
2
+2 . Do =(m-3)
2


0 nên A==(m-3)
2
+2

2
dấu = xảy khi m-3=0 m=3.
Vậy GTNN của A là 2 khi m=3.
Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức B= -4x
2
-8x+5
Ta có: B= -4x
2
-8x+5=-(4x
2
+8x-5)=-[(2x+1)
2
-6]=- (2x+1)
2
+6

6

Vậy GTLN của B là 6 khi 2x+1=0 x=-1/2.
Ph ơng pháp 2 :Phơng pháp tìm miền giá trị của một hàm số
Ví dụ: Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:
1
1
2
2
++
+
xx
x

Đặt y=
1
1
2
2
++
+
xx
x
, ta cần tìm GTNN&GTLNcủa y?
y(x
2
+x+1)=x
2
+1 (y-1)x
2

+yx+y-1=0 (1) - Đây là phơng trình bậc hai ẩn x
+) y-1=0 y=1: (1) có dạng:x=0 (không có GTLN hay GTNN)
+) y -1

0 y

1: Để tồn tại GTNN & GTLN thì (1) phải có nghiệm

0.
= y
2
-4(y-1)
2
=(-y+2)(3y-2)

0
2
2
3
y
GTNN là
2
3
GTLN là 2.
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
Khi đó x=
2( 1) 2(1 )
y y
y y
=

với y=2/3 thì x=1
với y=2 thì x=-1
Vậy: GTNN là
2
3
Khi x=1 ; GTLN là 2 Khi x=-1
Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp dùng bất đẳng thức Côsi:
+ với
0;0 ba
ta có
ab
ba

+
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b.
Hệ quả : + Nếu a+b =S thì
42
2
S
ab
S
ab
. Vậy ab đạt GTLN là
ba
S
=
4
2

+ Nếu ab =P thì a+b
P2
.Vậy a+b đạt GTNN là
baP =2
Ví dụ: Cho biểu thức
( )( )
xx
P
+
=
53
8
với -3<x<5 Tìm x để P đạt GTNN.Tìm GTNN đó.
Giải : Từ -3<x<5 P>0. Đặt E=
( ) ( )
3 5x x+

P đạt GTNN thì E đạt GTLN
( ) ( )
3 5x x+
đạt GTLN.
Xét (x+3)+(5-x)=8 (hằng số)
( ) ( )
3 5x x+



8
4
2

=
dấu=khi (x+3)=(5-x) x=1(TM).

( ) ( )
8 8
2
4
3 5
P
x x
= =
+
. GTLN của P là 2 và đạt đợc khi x=1
*Bài tập
Bài 1: Tìm GTLN&GTNN nếu có của các biểu thức sau:
a) -x
2
+2x+5 b) 2x
2
-x+3 c)
1
1
2
+ xx
d)
12
5
+ x
Bài 2: Tìm x,y,z để các biểu thức sau đạt GTNN. Tìm GTNN đó
a) M=x

2
+4y
2
+z
2
-2x+8y-6z+15 b) N = 2x
2
+2xy +y
2
-2x+2y+2
Bài 3: Cho biểu thức :
x
x
Q
3
72
2
+
=
với x>0. Tìm x để Q đạt GTNN.Tìm GTNN đó.
Bài 4: Tìm GTLN & GTNN của biểu thức: y=
722
3
2
++ xx
Bài 5: Giả sử x
1
và x
2
là hai nghiệm cuả phơng trình x

2
-2(m-1)x+m
2
-m -0 (1)
Tìm GTNN của tổng S= x
1
2
+x
2
2
Bài 6: Cho phơng trình : x
2
- 2(m-3)x -2(m-1) =0 (1).
a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x
1
và x
2
là hai nghiệm cuả phơng trình.Tìm GTNN của tổng S= x
1
2
+x
2
2
.
Bài 7: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình 2x

2
-3mx-2 =0
Tìm giá trị của m để x
1
2
+x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất?
Bài 8: Tìm GTLN&GTNN nếu có của các biểu thức sau:
A= x
2
+3x+4 B=-3x
2
+4x+1 C=
23
5
2
x
Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: M=3y
2
+x
2
+2xy+2x+6y-5
Bài 10:Tìm GTLN & GTNN của biểu thức:
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
a)
2
2
20072

x
xx
y
+
=
;b)
1
1
2
2
+
++
=
xx
xx
y
;c)
2
13
1
x
y

=
Bài 11: Cho 2 biến số dơng x và y . Biết x+y=6.Tìm GTNN của
yx
Q
22
+=
Chuyên đề 7: Bất đẳng thức

I. Phơng pháp chứng minh trực tiếp dùng định nghĩa:
* ĐN: A

B

A- B

0
Nên khi chứng minh A

B ta:
- Lập hiệu A-B
-Chứng tỏ rằng A-B

0 bằng cách biến đổi A-B thành tích của những thừa số
không âm hoặc tổng các bình phơng.v.v.
Ví dụ: Chứng minh rằng 2(a
2
+b
2
)

(a+b)
2


a,b
Giải: Xét hiệu 2(a
2
+b

2
) -(a+b)
2
=a
2
-2ab+b
2
=(a-b)
2

0

a,b.
Theo định nghĩa 2(a
2
+b
2
)

(a+b)
2
(đpcm)
Bài tập vận dụng
1) CMR: (a+b)
2

4ab 2) CMR: Nếu a

b thì a
3

b
3
3) CMR: a
2
+b
2
+c
2


ab+bc+ca 4) CMR:
2
2
2
2 x
1
x
x
+

+
II. Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Để chứng minh A

B, ta dùng tính chất của BĐT, biến đổi tơng đơng BĐT cần
chứng minh đến một đẳng thức đ biết là đúngã
Ví dụ: CMR :
1 1 4
, 0x y

x y x y
+ >
+
Giải:
( ) ( )
2 2
1 1 4 x + y 4
x + y 4 x - y 0
xy
xy
x y x y x y
+
+ +
Đúng
, , 0x y >
nên
1 1 4
, 0x y
x y x y
+ >
+
(đpcm)
Bài tập vận dụng
1) CMR:
2
2
4 5
0
1
x x

x
x
+
>
+
2) CMR:
2
4
1
1 2
a
a
a

+
3) CMR: Nếu p,q>0 thì:
2 2
p q
pq
p q
+

+
4) CMR: 3x
2
+y
2
+z
2

2x(y+z+1)
, ,x y z
5) CMR:
2006 2007
2006 2007
2007 2006
+ > +
6) CMR: Nếu x+4y=1 thì : x
2
+4y
2

1
5
7) CMR: Nếu 2x+4y=1 thì : x
2
+y
2

1
20
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
8)Cho a0.Giả sử x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình
2
2
1

4 0
2
x x
a
=
.CMR:
4 4
1 2
2 2x x+ +
III.Phơng pháp sử dụng giả thiết hoặc một BĐT đ biếtã
- Sử dụng BĐT Côsy:
, 0
2
a b
ab a b
+

- Sử dụng BĐT Bunhiacôpsci:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
x,yax by a b x y+ + +
- Các hệ quả của BĐT Côsy:
+)
1 1 4
, 0x y
x y x y
+ >
+

+)
( )
2
1 4
x,y
xy
x y

+

+)
1 1 1 9
x,y,z
x y z x y z
+ +
+ +
Ví dụ: Cho 3 cạnh của ABC có độ dài lần lợt là a,b,c và chu vi là 2p=a+b+c
CMR:
1 1 1 1 1 1
2
p a p b p c a b c

+ + + +
ữ


Giải: ta có p-a, p-b, p-c >0 nên áp dụng BĐT
1 1 4
, 0x y
x y x y

+ >
+
, ta có:
1 1 4 1 1 4 1 1 4
; ;
1 1 1 1 1 1
2 4 dpcm
p a p b c p b p c a p c p a b
p a p b p c a b c
+ + +



+ + + +
ữ
ữ



Ghi chú : Khi sử dụng BĐT nào để giải thì cần chứng minh trớc rồi mới vận dụng
Bài tập vận dụng :
Bài 1:Cho 2 số dơng a,b thoả mãn a+b=1. CMR:
2 2
1 1
6
ab a b
+
+
(có thể hỏi: Tìm GTNN của
biểu thức A=

2 2
1 1
ab a b
+
+
)
Bài 2:Cho 2 số dơng a,b. CMR:
( )
2
2 2
1 1 1
4 4 8a b ab
a b
+
+
+
Bài 3: Cho x>y, xy=1. CMR:
2 2
2 2
x y
x y
+


Bài 4:Cho x>0; y>0 thoả mãn điều kiện
1 1 1
2x y
+ =
.Tìm GTNN của biểu thức A=
x y+

Chuyên đề 8: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
hoặc hệ phơng trình
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10

.Ph ơng pháp:
B ớc 1 : Chọn ẩn số (ghi rõ đơn vị và đặt đk cho ẩn số)
B ớc 2 : - Biểu thị các đại lợng đ biết và chã a biết qua ẩn số
- Sử dụng mối liên hệ giữa các dữ kiện cho trớc trong bài để
thiết lập phơng trình(hoặc hệ phơng trình)
B ớc 3 : Giải phơng trình ( hoặc hệ phơng trình)
B ớc 4 : Nhận định kết quả, thử lại và trả lời
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Tìm hai số biết tổng cuả hai số bằng 59, hai lần của số này hn ba lần của số kia là 8.
Bài 2. Cho một số có hai chữ số, nếu đổi chỗ hai ch số của nó thì đợc một số lớn hơn số đã
cho là 63. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99. Tìm số đã cho?
Bài 3. Phân tích số 270 ra thừa số mà tổng của chúng bằng 33
Bài 4. một sân trờng hình chữ nhật có chu vi là 340m, 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là
20m. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trờng
Bài 5. Tỉ số giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông là
3
5
cạnh còn
lại dài 8cm. Tính cạnh huyền
Bài 6. Bảy năm trớc, tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng thêm 4 năm nay tuổi mẹ vừa đúng gấp
3 lần tuổi con. Hỏi năm nay mỗi ngời bao nhiêu tuổi?
Bài 7. Hôm qua mẹ Lan đi chợ mua 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 10000
đ
Hôm nay mẹ
lan mua 3 quả trứng gà và 7 quả trứng vịt chỉ hết 9600
đ

mà giá trứng thì vẫn nh cũ. Hỏi giá mỗi
quả trứng mỗi loại là bao nhiêu?
Bài 8. Trong một phòng học có một số ghế, nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không
có chỗ, nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế.
Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?
Bài 9. Trên cánh đồng cấy 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ thu hoạch đợc tất cả 460
tấn thóc. Hỏi năng xuất mỗi loại lúa trên 1ha là bao nhiêu. Biết rằng 3ha trồng lúa mới thu
hoạch đợc ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn
Bài 10. Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng hôm làm việc có hai xe phải điều đi nơi khác
nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe?
Bài 11. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A đến địa điểm B mỗi giờ ô tô thứ nhất
chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12km. Nên đến địa đỉêm B trớc ô tô thứ hai là 100 phút. Tính vận
tốc của mỗt ô tô biết quãng đờng AB dài 240km
Bài 12. Hai ô tô A và B khởi hành cùng một lúc tử hai tỉnh cách nhau 150km đi ngợc chiều và
gặp nhau sau 2h. Tìm vân tốc của mỗi ô tô. Biết rằng nếu vận tốc của ô tô A tăng thêm 5 km/h
và vận tốc ô tô B giảm đi 5 km/h thì vận tốc của ô tô A bằng 2 lần vận tốc ô tô B.
Bài 13. Một ô tô đi t A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng
3
2
vận
tốc của ô tô th nhất. Sau 3h chúng gặp nhau. Hỏi mỗi ô tô đi cả quãng đờng AB mất bao lâu?
Chuyên đề 8: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
hoặc hệ phơng trình ( Tiếp theo)
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
Bài 14. Một ô tô du lịch đi từ A đến C. Cùng một lúc từ địa điểm B nằm trên AC có một ô tô
vân tải cũng đi đến C sau 5h hai ô tô gặp nhau tai C. Hỏi ô tô du lịch đi từ A đên B hết bao lâu.
Biết rằng vân tốc của ô tô tải bằng 3/5 vân tốc của ô tô du lịch.
Bài 15. Hai ngời thợ cùng xây một bức tờng trong 7h12phút thì xong nếu ngời thứ nhất làm
trong 5h và ngời thứ 2 làm trong 6h thì cả hai xây đơc 3/4 bức tờng. Hỏi mỗi ngời làm một mình
thì bao lâu song bức tờng?

Bài 16. Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 thì xong việc. Nếu ngời thứ
nhất làm một mình trong 9 ngày, rồi ngời thứ 2 đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong
việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong việc.
Bài 17. Trong tháng đầu 2 tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy sang tháng thứ 2 tổ
một sản xuất vợt mức 15%, tổ hai sản xuất vợt mức 20% do đó cuối tháng cả hai sản xuất đợc
945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.
Bài 18. Cho một dung dịch chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200g nớc thì đợc một dung dịch
6%. Hỏi có bao nhiêu gam dung dịch đã cho?
Bài 19. Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể thì sau 4
5
4
giờ bể đầy
mỗi giờ lợng nớc của vòi một chảy đợc bằng 1
2
1
lợng nớc chảy đợc của vòi hai . Hỏi mỗi vòi
chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể
Bài 20. Một ngời đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km sau đó 1h30 một ngời đi xe
máy cũng đi từ A đến B sớm hơn 1h .Tính vận tốc của mỗi xe .Biết rằng vận tốc xe máy gấp
2,5lần vận tốc xe đạp .
Bài 21. Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h khi đến B ngời đó nghỉ
20phút rôì quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đờng AB biết rằng thời gian
cả đi lẫn về là 5h50
Bài 22. Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16h thì song nếu ngời thứ nhất làm trong
3h và ngời thứ hai làm trong 6h thì họ làm đợc 25% công việc .Hỏi mỗi ngời làm một mình thi
song công việc trong bao lâu .
Bài 23. Cho một số có hai chữ số .Tổng hai chữ số của chúng =10 ,tích hai chữ số ấy nhỏ hơn
số đã cho là 12 .Tìm số đã cho
Bài 24. Trong một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều
bằng nhau .Có một lần phòng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗi dãy tăng một ghế để đủ

chỗ cho 400 đại biểu .Hỏi bình thờng trong phòng có bao nhiêu dãy ghế
Bài 25. Quãng đơng AB dài 150km một ôtô đi từ A đến B và nghỉ lại ở B 3h15 rồi trở về A hết tất cả
10h .Tính vận tốc của ôtô lúc về .Biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 10km/h
Bài 26. Một số máy suôi dòng 30km và ngợc dòng 28km hết một thời gian bằng thời gian mà
số máy đi 59,5km trên mặt hồ yên lặng .Tính vận tốc của xuồng khi đi trong hồ .Biết rằng vận
tốc của nớc chảy trong sông là 3km/h.
Bài 27. Một bè nứa trôi trên sông sau đó 5h20 một xuồng máy đuổi theo và đi đợc 20km thì
gặp bè nứa .Tính vận tốc bè nứa Biết rằng xuồng máy chạy nhanh hơn bè nứa 12km/h
Chuyên đề 8: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
hoặc hệ phơng trình ( Tiếp theo)
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
Bài 28: Ngời ta dự định chia 73 học sinh thành một số tổ nhất định để tham gia hoạt động hè.
Sau khi chia số học sinh cho mỗi tổ thì thấy thừa ra 1 học sinh. Lần thứ hai chia thêm mỗi tổ 1
ngời thì thiếu 7 học sinh. Hỏi số tổ dự định và số học sinh của mỗi tổ lúc chia lần đầu.
Bài 29:Hai cạnh góc vuông của một vuông hơn kém nhau 14 cm.Tính các cạnh của đó
biết chu vi của nó là 60cm.
Bài 30Cho một thửa ruộng hình chữ nhật. Nếu tăng thêm mỗi cạnh 10m thì diện tích mới bằng
2
3
diện tích cũ.Nếu giảm mỗi cạnh đi 10 m thì diện tích mới bằng
3
5
diện tích cũ.
Bài 31: Hai vòi nớc cùng chảy đầy một bể không có nớc trong 3h45. Nếu chảy riêng rẽ, mỗi
vòi phải chảy trong bao nhiêu lâu để bể đầy.Biết rằng vòi sau chảy lâu hơn vòi trớc 4giờ.
Bài 32:Quãng đờng Hải Phòng Hà Nội dài 105 km.Một ô tô đi từ Hải Phòng đi Hà nội với
vận tốc đã định.Lúc về, mỗi giờ ôtô đi nhanh hơn lúc đi là 7km nên thời gian về ít hơn lúc đi là
nửa giờ. Tính vận tốc lúc đi của ôtô?
Bài 33: Một số có hai chữ số mà tổng hai chữ số đó bằng 13.nếu ta thêm 34 vào tích hai chữ
só đó, ta sẽ đợc một số viết theo thứ tự ngợc lại. Tìm số đó?

Bài 34:Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong 1 giờ. Lúc về ngời đó đi đợc
1
3
quãng đờng với vận
tôc hơn lúc đi là 2km/h.Phần đờng còn lại, ngời đó rút vận tốc xuống thành ít hơn lúc đi 1km/h,
lúc về chậm hơn lúc đi là 40giây. Tính quãng đờng AB?
Bài 35: Hai ngời thợ cùng làm một công việc. Nếu làm riêng rẽ mỗi ngời nửa công việc thì
tổng số giờ làm việc là 12 h30.Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm cả việc đó trong
6giờ. Nh vậy, làm riêng rẽ cả công việc, mỗi ngời phải mất bao nhiêu giờ?
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
Phần II: Hình học
Chuyên đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình
hệ thức lợng trong tam giác vuông.

Ph ơng pháp ;
- Các phơng pháp nhận biết tam giác cân.
- Các phơng pháp nhận biết tam giác đều
- Các phơng pháp nhận biết tam giác vuông
- Các phơng pháp nhận biết tam giác vuông cân
- Các phơng pháp nhận biết hình thang, hình thanh cân
- Các phơng pháp nhận biết hình bình hành
- Các phơng pháp nhận biết hình chữ nhật
- Các phơng pháp nhận biết hình thoi
- Các phơng pháp nhận biết vuông
Bài tập vận dụng:
Bài 1. Tìm x, y,z trong mỗi hình sau :

c)
Bài 2. Chọn kết quả đúng trong các kết quả dới đây :
a, Trong (hình 1) sinx bằng :

A, 5/3 B, 3/5 C, 5/4 D, 3/4
b, Trong (hình 2) sinQ bằng :
A,
RS
PR
B,
SR
PS
C,
QR
PR
D,
QR
SR

x
9 25
y
x 10
8
a)
b)
x
y
z
4 5
x
3cm H.1
5cm
4cm

h2
Q
R
S
P
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A . Vẽ hình và thiết lập các hệ thức tính tỉ số lợng
giác của góc B. Từ đó suy ra các hệ thức tính tỉ số lợng giác của góc C
Bài 4. giải tam giác vuông ABC Biết
A

= 90
0
AB=5 ,BC=7
Bài 5. Tính các góc của một tam giác vuông biết tỉ số giữa hai cạnh góc vuông là 13:21
Bài 6. Dựng góc x Biết sinx = 3/5
Bài 7. Dựng góc x Biết cotgx = 1/2
Bài 8 Cho tam giác DEF có ED = 7cm góc D = 40
0
góc F = 58
0
kẻ đờng cao EI của
tam giác đó . Hãy tính (lấy 3 chữ số thập phân)
a).Đờng cao EI
b). Cạnh EF
Bài 9: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo hình bình hành ABCD. M và N lần lợt là trung điểm
của AD và BC; BM và DN cắt AC lần lợt ở P và Q.
a) So sánh các đoạn AP, PQ, QC. ; b) Tứ giác MPNQ là hình gì?
c) Tính tỉ số
CA

CD
để MPNQ là hình chữ nhật.;d) Tính
ã
ACD
để MNPQ là hình thoi.
e) ACD phải có gì đặc biệt để MPNQ là một hình vuông?
Bài 10: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB. Gọi K là điểm chính giữa của cung AB.Gọi M là
một điểm nằm trên cung AK, N là một điểm nằm trên dây cung BM sao cho BN=AM.
Chứng minh rằng:
a) AMK = BNK; b) MKN là vuông cân và MK là tia phân giác ngoài của
ã
AMN
c)Khi điểm M chuyển động trên cung AK thì đờng vuông góc với BM kẻ từ N luôn luôn đi qua
một điểm cố định ở trên tiếp tuyến của nửa đờng tròn tại B.
Bài 11: Cho hinh fvuông ABCD.Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ
1
4
đờng tròn phía trong hình
vuông.lấy AB là đờng kính, vẽ
1
2
đờng tròn phía trong hình vuông. Gọi P là điểm tuỳ ý trên
cung AC (không trùng với A và C). H và K lần lợt là hình chiếu của P trên AB và AD; PA và PB
cắt nửa đờng tròn tại I và M.
c) Chứng minh I là trung điểm của AP
d) Chứng minh PH,BI,AM đồng quy tại một điểm
e) Chứng minh PM=PK=AH
f) Chứng minh tứ giác APMH là hình thang cân
g) Tìm vị trí của điểm P trên cung AC để APB đều
Chuyên đề 2: Chứng minh một số điểm nằm trên đờng tròn

tứ giác nội tiếp

Ph ơng pháp ;
- Phơng pháp chứng minh 4 điểm nằm trên một đờng tròn
- Phơng pháp chứng minh 5 điểm nằm trên một đờng tròn
1.Chng minh 4 nh ca t giỏc cỏch u mt im no ú
2. Chng minh t giỏc cú tng hai gúc di bng 180
0

3. Chng minh t hai nh liờn tip nhỡn hai nh cũn li di hai gúc bng nhau
Mnh Thng ễn tp cui nm v cỏc thi vo 10
4. Chng minh t giỏc cú tng hai gúc i bng nhau
5. S dng nh lý o v h thc lng trong ng trũn
Nu M l giao im ca AB v CD v tho món AM.MB = CM.MD thỡ t giỏc ABCD ni tip
ng trũn
6. Trong trng hp phi chng minh t 5 im tr lờn cựng nm trsờn mt ng trũn ta chn
3 im no ú c nh ,ri kt hp vi mt im th t chng minh 4 im nm trờn ng
trũn v c tip tc nh vy chng minh tip .
Bài tập vận dụng:
Bài 1 T mt im M nm ngoi (o) k cỏc tuyn qua tõm MAB v cỏc tip tuyn MC,MD , gi
K l giao im ca AC v BD .
C/m 4 im B,C,M,K cựng thuc mt ng trũn ,xỏc nh tõm ng trũn ú
Bài 2.Gi AB l ng kớnh ca (o) t A k hai dõy bt kỡ ct tip tuyn ti B ca ng trũn
E v F v ct ng trũn C v D . Chng minh t giỏc DCEF ni tip
Bài 3. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD (
CBA

>90
0
)

Gi O l giao im ca hai ng chộo AC,BD.
A

l hỡnh chiu ca DS trờn BC, B

l hỡnh chiu ca D trờn AC, C

l hỡnh chiu cu D trờn
AB. Chng minh O nm trờn ng trũn ngoi tip A

B

C

.
Bài 4. Cho ABC ngoi tip ng trũn (O) gi D v E l hai tip im.Trờn AB v AC.Cỏc
ng phõn giỏc ca gúc B v C ct ng thng DE ti N v M.
Chng minh rng 4 im B,M,N,C cựng nm trờn mt ng trũn.
Bài 5.Cho ABC (AB=AC),M thay i trờn cnh BC. Cỏc ng thng qua M v song song vi
cỏc cnh bờn AB,AC ln lt ct AB v AC Q v P.Gi O l tõm ng trũn ngoi tip tõm
giỏc ABC.Chng minh.
a, T giỏc APOQ ni tip.
b, im i xng ca M qua PQ nm trờn ng trũn ngoi tip ABC
Bài 6. Cho tam giác đều ABC trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A lấy điểm D sao
cho DB=DC và góc DCB bằng 1/2góc ACB
Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp
Bài 7. S là điểm chính giữa cung AB của đờng tròn tâm 0 Trên dây AB lấy hai điểm E và H các
đờng thẳng SH và SE cắt đờng tròn tại C và D .Chứng minh tứ giác EHCD nội tiếp
Bài 8. Tứ giác ABDC nội tiếp đờng tròn tâm O .E là điểm chính giữa cung AB hai dây EC,EB
cắt AB tại P và Q các dây AD,EC cắt nhau tại I ,các dây BC và ED cắt nhau tại K .Chứng minh

rằng
a. Tứ giác CDIK nội tiếp ; b. Tứ giác CDQP nội tiếp
Bài 9. Cho tam giác ABC các đờng phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại S .Các
đờng phân giác ngoài của góc B và góc C cắt nhau tại E . Chứng minh BSCE là tứ giác nội
tiếp
Bài 10. Cho tam giác cân ABC đáy BC và góc A =20
o
Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa
C lấy D sao cho DA=DB và góc DAB =40
o
.Gọi E là giao điểm của AB và CD .Chứng minh
ABCD là tứ giác nội tiếp
Bài 11. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E biết AE.EC =BE.ED .Chứng minh 4 điểm
A,B,C,D cùng nằm trên một đờng tròn.