Tuyển tập bất đẳng thức luyện thi đại học

Tuyển tập BẤT ĐẲNG THỨC ÔN LUYỆN THI ĐẠI HỌC - Nguyễn Thế Duy
Bài 1. Cho các số dương a, b, c thay đổi thoả mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
S =
(2a + b + c)
2
2a
2
+ (b + c)
2
+
(2b + c + a)
2
2b
2
+ (c + a)
2
+
8(a + b − 3
√
c
2
+ 3)
9c
Phân tích lời giải
Trước hết , mình xin giải câu bất đẳng thức. Tuy dạng không mới nhưng mình thấy rất hay, phù hợp cho
học sinh ôn thi đại học. Mình sẽ tiếp tục đóng vai đi thi và hướng nháp để giải câu bất đẳng thức này. Đầu
tiên , như kinh nghiệm mà mình đã nói nhiều là ta nên dừng lại quan sát giả thiết. Để từ đó phán đoán điểm
rơi của bất đẳng thức. Gỉa thiết cho a + b + c = 3 mà lại quan sát xuống biểu thức P ta lại thấy có xuất
hiện của sự đối xứng giữa a và b , c lại độc lập trong biểu thức chứa căn do vậy ý tưởng ban đầu ta sẽ dồn
về cái biến c. Lại quan sát tiếp có nhóm (b + c) và (a + c) mặt khác thấy nó nằm trong hai biểu thức con
(2a + b + c)

2a
2
+ (b + c)
2
;
(2b + a + c)
2b
2
+ (a + c)
2
rút theo giả thiết b + c = 3 −a ; a + c = 3 −b vậy là biểu thức đã cho được viết
lại thành:
P =
(a + 3)
2
2a
2
+ (a − 3)
2
+
(b + 3)
2
2b
2
+ (b − 3)
2
+
8

3 − c − 3

√
c
2
+ 3

9c
Việc đưa về biểu thức P trên ta đã đơn giản hóa cho công việc dồn về biến c. Nhưng đến đây thôi thì
cũng mới chỉ là bước đầu. Bây giờ ta đi dự đoán điểm rơi cho nó. Dự đoán thế nào đây nhỉ ??? Nhìn vào
biểu thức P và dự đoán ban đầu về tính đối xứng của 2 biểu thức chứa a và b ta đã suy ra được a = b.
Đây cũng là cái kinh nghiệm đi thi. cứ thấy 2 biến trong 2 biểu thức đối xứng ta có thể suy ra 2 biến đó
bằng nhau. Tiếp tục ta thấy biểu thức chứa c đập ngay trước mắt
24 − 8c − 24
√
c
2
+ 3
9c
thấy có chứa
√
c
2
+ 3
đến đây ta nghĩ ắt hẳn nó phải là con số đẹp do vậy c
2
+ 3 phải là 1 số chính phương mà theo giả thiết
a + b = 3 −c > 0 nên có c < 3 và c
2
+ 3 là số chính phương nên ta có ngay c = 1 vì c
2
+ 3 = 4 rất đẹp. Ô thế

ra điểm rơi của bài toán chính là a = b = c = 1. Phù. xong cái điểm rơi nhưng mà sẽ bối rối vì không biết
dồn
(a + 3)
2
2a
2
+ (a − 3)
2
+
(b + 3)
2
2b
2
+ (b − 3)
2
về biểu thức chứa c như nào đây ???
Ngồi ngẫm nghĩ 1 chút. Sự xuất hiện đối xứng giữa a và b quá đặc biệt nếu đánh giá được cho biểu thức chứa
a kia thì ta cũng sẽ đánh giá tương tự được cho b. Vậy thì ta cần đánh giá cái hàm sau : f (x) =
x
2
+ 6x + 9
3x
2
− 6x + 9
với điểm rơi x ta đã được là x = 1. Ý tưởng của ta là dồn về biến c mà c = 3 − (a + b) tức là ta cũng sẽ dồn
về cái biến a + b hay đánh giá
(a + 3)
2
2a
2

+ (a − 3)
2
+
(b + 3)
2
2b
2
+ (b − 3)
2
≤ k (a + b) + h. Đến đây ý tưởng đã rõ ràng
đôi chút và cuối cùng ta sẽ đánh giá sao cho f (x) =
x
2
+ 6x + 9
3x
2
− 6x + 9
≤ ≤ m.x + n. Và công việc của ta là đi
tìm m và n.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng và 1 trong số ứng dụng của nó là tìm tiếp tuyến của 1 hàm số. Một kiến thức
có bản xin được nhắc lại ở đây là: phương trình tiếp tuyến của y = f (x) tại x = α là y = f

(α) (x − α)+f

(α).
Đến đây áp dụng cho hàm số f (x) =
x
2
+ 6x + 9
3x

2
− 6x + 9
tại x = 1. 1 số bạn sẽ thắc mắc là tại sao lại lấy x = 1 vì
nó là điểm rơi mà ta đã chọn, xin nhắc lại lần nữa là việc chọn điểm rơi rất quan trọng. Từ đó ta sẽ có cái
quan trọng sau là f (x) =
x
2
+ 6x + 9
3x
2
− 6x + 9
≤
4
3
x +
4
3
vậy là ta đã tìm được m = n =
4
3
hay là đã đánh giá được :
(2a + b + c)
2
2a
2
+ (b + c)
2
+
(2b + a + c)
2

2b
2
+ (a + c)
2
≤
4
3
(a + b) +
8
3
=
20
3
−
4
3
c
1
Đến đây nở nụ cườ :grinder: nhưng đoạn sau xét hàm là phải cẩn thận. Dưới đây mình xin đưa ra lời giải
chi tiết.
Hướng dẫn giải
Ta có :
S =
(a + 3)
2
2a
2
+ (3 − a)
2
+

(b + 3)
2
2b
2
+ (3 − b)
2
+
8

a + b − 3
√
c
2
+ 3

9c
Dựa vào phân tích bên trên, ta có được
a
2
+ 6a + 9
3a
2
− 6a + 9
≤
4
3
a +
4
3
và

b
2
+ 6a + 9
3b
2
− 6b + 9
≤
4
3
b +
4
3
.
Việc đánh giá cái này bằng đạo hàm bên trên ta làm ra nháp còn phải chứng minh nó bằng phép biến đổi
tương đương để đưa về các đại lượng không âm.
Do đó ta có
S ≤
52
9
−

4c
3
−
24 − 24
√
c
2
+ 3
9c


= f (c)
Tới đây xét hàm f (c) với c dương. Việc tính đạo hàm đơn giản lắm sẽ tìm được f

(c) = 0 ⇔ c = 1. Ta
sẽ được GTLN là
16
9
⇔ a = b = c = 1.
2