De + Dap an de thi HK II lop 11

Trờng thpt triệu sơn 2 Đề thi học kì 2
Môn thi: Toán - Lớp 11
Thời gian làm bài: 90 phút.
I. Phần chung cho tất cả thí sinh (8,0 điểm)
Bài I. (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
1.
2
2
2n 4n 3
A lim
n 2
+ +
=
+
;
2.
2
x 2
x 5 3
B lim .
x 2

+
=

Bài II. (3,0 điểm)
1. Tìm đạo hàm của hàm số
x 2
y
x 3
+

=
+
;
2. Tính đạo hàm của hàm số
2
y 3sin x.cos x=
tại điểm
x
2

=
.
3. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
y 4x 6x 3= +
biết tiếp tuyến đó song song với
đờng thẳng
y 2x 2009= +
.
Bài III. (3,0 điểm) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là trực tâm của tam
giác ABC.
1. Chứng minh BC vuông góc với mp(OAH);
2. Xác định và tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (OBC) và (ABC) biết OB = OC = 2, OA =
2
;
3. Gọi , , là góc hợp bởi OH với các cạnh OA, OB, OC, chứng minh cos
2
+ cos
2
+ cos

2
= 1.
II. Phần riêng (2,0 điểm)
Thí sinh học chơng trình nào thì chỉ đợc làm phần dành riêng cho chơng trình đó (phần A hoặc
phần B).
A. Theo chơng trình chuẩn
Bài IVA. (2,0 điểm)
1. Chứng minh phơng trình
5
x 5x 6 0 + =
có nghiệm âm;
2. Cho hàm số
(
)
3
2
y x x 1= + +
, tìm x thỏa mãn
( )
2
1 x y '' xy ' 8y 1 0+ + =
.
B. Theo chơng trình nâng cao
Bài IVB. (2,0 điểm)
1. Tìm m để phơng trình
3
x (2m 5)x 3m 6 0+ =
có có một nghiệm âm và hai nghiệm dơng
phân biệt;
2. Chứng minh rằng

2 3 n n 2
n n n
1.2.C 2.3.C (n 1).n.C (n 1).n.2 n N, n 2

+ + + =
.
Hết
1
Trêng thpt triÖu s¬n 2
Thi häc k× Ii
§¸p ¸n m«n To¸n líp 11
§¸p ¸n gåm cã 4 trang
Bµi I.
2 ®iÓm
1.
2
2
2n 4n 3
A lim
n 2
+ +
=
+
1 ®iÓm
2
2
4 3
2
n n
A lim

2
1
n
+ +
=
+
0,5 ®iÓm
= 2 0,5 ®iÓm
2.
2
x 2
x 5 3
B lim
x 2
→
+ −
=
−
1 ®iÓm
( ) ( )
( )
(
)
2 2
x 2
2
x 5 3 x 5 3
B lim
x 2 x 5 3
→

+ − + +
=
− + +
0,25 ®iÓm
( )
(
)
2
x 2
2
x 4
lim
x 2 x 5 3
→
−
=
− + +
0,25 ®iÓm
(
)
x 2
2
x 2
lim
x 5 3
→
+
=
+ +
0,25 ®iÓm

=
2
3
0,25 ®iÓm
Bµi II.
3 ®iÓm
1. T×m ®¹o hµm cña hµm sè
x 2
y
x 3
+
=
+
1 ®iÓm
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
x 2 ' x 3 x 2 x 3 '
y '
x 3
+ + − + +
=
+
0,5 ®iÓm
( ) ( )
( )
2
1. x 3 x 2 .1
x 3
+ − +

=
+
0,25 ®iÓm
( )
2
1
x 3
=
+
0,25 ®iÓm
2. TÝnh ®¹o hµm cña hµm sè
2
y 3sin x.cos x=
t¹i ®iÓm
x
2
π
=
.
1 ®iÓm
( ) ( )
( )
2 2
y ' 3sin x '.cos x 3sin x . cos x '= +
0,25 ®iÓm
2 3
6sin x.cos x 3sin x= −
0,25 ®iÓm
2 3
y ' 6sin .cos 3sin

2 2 2 2
π π π π
 
= −
 ÷
 
0,25 ®iÓm
=−3
0,25 ®iÓm
2
3. Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
y 4x 6x 3= +
biết tiếp tuyến đó song
song với đờng thẳng
y 2x 2009= +
.
1 điểm
Gọi tiếp điểm là
0 0
T(x ; y )
, vì tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng
y 2x 2009= +
nên ta
có y(x
0
)=2
0,25 điểm
2
y 4x 6x 3= +

y ' 8x 6 =
vậy y(x
0
)=2
0 0
8x 6 2 x 1 = =
0,25 điểm
0
y 1 =
. Phơng trình tiếp tuyến là y 1 = 2(x 1) 0,25 điểm
Hay y = 2x 1.
0,25 điểm
Bài III. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, H là trực tâm của
tam giác ABC.
3 điểm
1. Chứng minh BC vuông góc với mp(OAH)
1 điểm
Vẽ hình
0,25 điểm
Vì OA OB, OA OC OA BC (1)
0,25 điểm
AH là đờng cao của ABC AH BC (2)
0,25 điểm
Từ (1) và (2) suy ra BC (OAH).
0,25 điểm
2. Xác định và tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (OBC) và (ABC) biết OB = OC = 2, OA =
2
1 điểm
Gọi K là giao điểm của AH với BC BC AK; BC (OAH) BC OK
0,25 điểm

góc tạo bởi hai mặt phẳng (OBC) và (ABC) là
OKA
(vì OKA vuông nên
OKA
<90
0
).
0,25 điểm
Do OB = OC = 2 OBC vuông cân tại O OK =
2 2
2
2
=
0,25 điểm
Mà OA =
2
OAK vuông cân tại O
OKA
= 45
0
góc tạo bởi hai mặt phẳng
(OBC) và (ABC) bằng 45
0
.
0,25 điểm
3. Gọi , , là góc hợp bởi OH với các cạnh OA, OB, OC, chứng minh :
cos
2
+ cos
2

+ cos
2
= 1.
1 điểm
Vì OAK và OBC vuông tại O nên ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
OH OA OK OA OB OC
= + = + +
.
0,25 điểm
Ta có
OH OH OH
cos ;cos ;cos
OA OB OC
= = =
. 0,25 điểm

2 2 2
2 2 2
2 2 2
OH OH OH
cos cos cos
OA OB OC
+ + = + +
0,25 điểm
2
2
1
OH . 1

OH
= =
đpcm. 0,25 điểm
3
A
O
B
C
H
K
Bài IVA.
2 điểm
1. Chứng minh phơng trình
5
x 5x 6 0 + =
có nghiệm âm
1 điểm
Đặt
5
f (x) x 5x 6= +
, đây là hàm số liên tục trên R. 0,25 điểm
f(0)=6, f(2)=16
0,25 điểm
f(0).f(2)<0
0,25 điểm
phơng trình
5
x 5x 6 0 + =
có nghiệm trong khoảng (2 ; 0) phơng trình đã cho có
nghiệm âm.

0,25 điểm
2. Cho hàm số
(
)
3
2
y x x 1= + +
, tìm x thỏa mãn
( )
2
1 x y '' xy ' 8y 1 0+ + =
1 điểm
Ta có
(
)
(
)
3
2
2
2
2 2 2
3 x x 1
x 3y
y ' 3 x x 1 1
x 1 x 1 x 1
+ +

= + + + = =
ữ

+ + +

0,25 điểm
(
)
2
2 2
2
2
2
x x
3y '. x 1 3y 9y 3y
x 1 x 1
y ''
x 1
x 1
+
+ +
= =
+
+
0,25 điểm

( )
(
)
3
2 2
1 x y '' xy ' 8y 1 0 y 1 x x 1 1+ + = = + + =
0,25 điểm

( )
2 2
2
2
2 2
1 x 0
x x 1 1 x 1 1 x
x 1 1 x
x 1
x 1
x 0
2x 0
x 1 x 2x 1



+ + = + =

+ =






=

=
+ = +

Vậy x = 0.
0,25 điểm
Bài IVB.
2 điểm
1. Tìm m để phơng trình
3
x (2m 5)x 3m 6 0+ =
(1) có có một nghiệm âm và hai
nghiệm dơng phân biệt
1 điểm
Đặt
3
f (x) x (2m 5)x 3m 6= +
, đây là hàm số liên tục trên R.
+) Điều kiện cần: Giả sử (1) có ba nghiệm thỏa mãn đề bài tức là có 3 nghiệm x
1
, x
2
, x
3
thỏa
mãn x
1
< 0 < x
2
< x
3
. Khi đó f(x) có thể viết dới dạng f(x)=(x x
1

)(x x
2
)(x x
3
).
0,25 điểm
Ta có f(0)=( x
1
)( x
2
)( x
3
)>0. Mặt khác
3
f (x) x (2m 5)x 3m 6= +
f(0)=3m6>0
m<2.
0,25 điểm
+) Điều kiện đủ: với m<2 ta có:
f(0)=3m6>0;
f(2)=m8<0;
x
x
lim f (x) a 0 saochof (a) 0
lim f (x) b 2 sao chof (b) 0

+
= < <
= + > >
0,25 điểm

Vậy có các giá trị a, b, 0, 2 mà a<0<2<b thỏa mãn f(a).f(0)<0; f(0).f(2)<0; f(2).f(b)<0 nên
phơng trình đã cho có 3 nghiệm thuộc các khoảng (a ;0); (0 ;2); (2 ;b) hay (1) có ba nghiệm
thỏa mãn đề bài.
Kết luận : m < 2.
0,25 điểm
4
2. Chứng minh rằng
2 3 n n 2
n n n
1.2.C 2.3.C (n 1).n.C (n 1).n.2 n N, n 2

+ + + =
.
1 điểm
Xét hàm số
n
f (x) (1 x)= +
ta có
n 1
f '(x) n(1 x)

= +
0,25 điểm
n 2 n 2
f ''(x) (n 1).n.(1 x) f ''(1) (n 1).n.2

= + =
(1) 0,25 điểm
Mặt khác theo khai triển nhị thức Niutơn thì
0 1 2 2 3 3 n n

n n n n n
f (x) C C x C x C x C x= + + + + +
1 2 3 2 n n 1
n n n n
f '(x) C 2C x 3C x nC x

= + + + +
0,25 điểm
2 3 n n 2
n n n
2 3 n
n n n
f ''(x) 1.2.C 2.3.C x (n 1).n.C x
f ''(1) 1.2.C 2.3.C (n 1).n.C (2)

= + + +
= + + +
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
0,25 điểm
Chú ý:
Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tơng ứng với thang điểm này.
Trong Bài III, học sinh không vẽ hình hoặc hình sai cơ bản thì không chấm.
Hết
5