ĐỀ CƯƠNG ÔN THI TN THPT NAM 2011

GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 1
TÀI LIỆU ÔN TẬP TOÁN 12
  
Giáo Viên: NGUYỄN VĂN HUY
Năm học: 2010-2011



PHẦN 1
CHỦ ĐỀ 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ ( các bước làm bài toán )
Hàm số bậc ba :
3 2
y ax bx cx d= + + +
Hàm số bậc bốn :
4 2
y ax bx c= + +
Hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+

( )
0, 0c ad bc≠ − ≠
• Tập xác đònh : D = R
• Đạo hàm : y’= . . . . .
y’= 0
⇔

x = ?
lim ?
x
y
→−∞
=

lim ?
x
y
→+∞
=
⇒
Các khỏang đồng biến , nghòch biến , điểm
cực đại , điểm cực tiểu .
• Bảng biến thiên :
• Vẽ đồ thò :

• Tập xác đònh : D = R\
d
c
 
−
 
 
• Đạo hàm : y’=
( )
2
ad bc
cx d

−
+

' 0y⇒ >
( hoặc y’<0 ) ,
x D
∀ ∈
y’ không xác đònh
d
x
c
⇔ = −
• Tiệm cận :
. Tiệm cận đứng :
d
x
c
= −
.Tiệm cận ngang :
a
x
c
=
• Bảng biến thiên :

⇒
Các khỏang đồng biến (hoặc nghòch
biến ) . Hàm số không có cực trò
• Vẽ đồ thò :
Bài tập : 1/ Khảo sát các hàm số :

a/ y=
3 2
2 1x x x− + +
b/ y=
3 2
3 3 1x x x− + − −
c/ y=
4 2
1 3
4 2
x x− +
d/ y=
4
2
3
2 2
x
x+ −

e/ y=
4
2 x−
f/ y =
3
2
x
x
−
−
g/

2
2 2
1
x x
y
x
− +
=
−
h/
2
2
1
x x
y
x
+ −
=
+
Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Chú ý :
• y’ (x
0
) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x
0
; y
0
)
• Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x
0

) = a
• Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x
0
) =
a
1
−
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 2
Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thò hàm số y = f ( x) tại điểm M (x
0
;

y
0
) là:
y – y
0
= y’ (x
0
) . ( x – x
0
)
Trong phương trình trên có ba tham số x
0
; y
0
; y’(x
0
) .Nếu biết một trong ba số đó
ta có thể tìm 2 số còn lại nhờ hệ thức : y

0
= f (x
0
) ; y’(x
0
)= f ’(x
0
)
Bài tập :
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số y =
2
1
x
x
−
+
tại giao điểm của nó với trục hoành
3/ Cho hàm số y =
132
3
2
3
++− xx
x
có đồ thò ( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) :
a/ Tại điểm có hoành độ x
0
=
2
1

b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1
4/ Cho hàm số y =
4 2
2 3x x− −
có đồ thò ( C ) .Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) :
a/ Tại giao điểm của ( C ) và trục tung .
b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 24 x +1
Vấn đề 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Bài toán: Dựa vào đồ thò ( C) của hàm số y =f(x) ,
Biện luận số nghiệm của phương trình : F(x , m ) = 0 ( với m là tham số ).
Cách giải :

Vấn đề 4:TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài toán: Tìm giátrò lớn nhất – giá trò nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên
Khoảng (a ; b ) Đoạn [a;b ]
• Tính y’
• Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
• Kết luận :
( )
;
max
CD
a b
y y=

hoặc
( )
;
min

CT
a b
y y=


• Tính y’
• Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm
( )
0
;x a b∈
• Tính y (x
0
) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M , kết luận :
[ ]
;
max
a b
y M=
Chọn số nhỏ nhất m , kết luận :
[ ]
;
min
a b
y m=
Bài tập
5/Tìm GTLN- GTNN củahàm số sau trên mỗi tập tương ứng :
a/
( )
3 2

2 3 12 1f x x x x= − − +
trên
5
2;
2
 
−
 
 
b/
( )
2
.lnf x x x=
trên
[ ]
1;e
c/
( )
4
1
2
f x x
x
= − + −
+
trên
[ ]
1;2−
e/
xxy

2
cos+=
trên
]
2
;0[
π
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 3
• Chuyển phương trình : F(x , m ) = 0 về dạng : f(x) = h(m) (*)
• Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C) và đường thẳng
(d) : y= h (m)
• Dựa vào đồ thò (C ) , ta có kết quả :
( . Nếu (d) và (C ) có n giao điểm thì (*) có n nghiệm đơn .
. Nếu (d) và (C ) có 0 giao điểm thì (*) vô nghiệm .
. Nếu (d) và (C ) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì (*) có m nghiệm kép ).
f/
2
4).2( xxy −+=
trên tập xác đònh g/ y = x
3
+ 3x
2
- 9x – 7 trên [ - 4 ; 3 ]
h/ y = x + 2
1
1x −
trên
( )
1;+∞
m/ y=

2 cos2 4sinx x+
trên
0;
2
π
 
 
 
6/ Tìm tiệm cận của đồ thò các hàm số sau :
1/ y =
2 1
2
x
x
−
+
2/ y =
3 2
3 1
x
x
−
+
3/ y =
2
2 3
6 5
x x
x
+ −

−
4/ y =
5
2x
−
+
5/
2
2
2 3
1
x x
y
x
+ −
=
−

CÁC DẠNG TĨAN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ
A. TĨM TẮT GIÁO KHOA.
1. Giao iđ ểm của hai đồ thị.
Hòanh độ giao điểm cùa hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của phương trình:
f(x) = g(x) (1)
Do đó, số nghiệm phân biệt của (1) bằng số giao điểm của hai đường cong.
2. Sự tiếp xúc của hai đường cong.
a) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm M(x
0
; y
0
) nếu chúng

có tiếp chung tại M. Khi đó, M gọi là tiếp điểm.
b) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình



=
=
)(')('
)()(
xgxf
xgxf
có nghiệm
Nghiệm của hê trên là hòanh độ tiếp điểm.
B.BÀI TẬP.
1. Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị:
a) y = x
3
+ 4x
2
+ 4x + 1 và y = x + 1 b) y = x
3
+ 3x
2
+ 1 và y = 2x + 5
c) y = x
3
– 3x và y = x
2
+ x – 4 d) y = x
4

+ 4x
2
– 3 và y = x
2
+ 1
2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1) (x
2
+ mx + m) cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt
3) Tìm m để đồ thị hàm số y =
mxx +−
3
3
1
cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt.
4) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
– 2(m + 1)x
2
+ 2m + 1 khơng cắt trục hòanh.
5) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
– 2x
2
– (m + 3) cắt trục hòanh tại 4 điểm phân biệt.
6) Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + 2 cắt đồ thị hàm số y =
1
12
+
−
x

x

a) Tại hai điểm phân biệt.
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị
7) Tìm m để đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị hàm số y =
1
332
2
+
++
x
xx
a) Tại hai điểm phân biệt .
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.
8) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm A( -1 ; -1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 4
y =
12
2
+
+
x
x
a) Tại hai điểm phân biệt.
b) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh.
9) Chứng minh rằng (P) : y = x
2
-3x – 1 tiếp xúc với (C) :
1
32

2
−
−+−
x
xx
.
10) Tìm m sao cho (C
m
) : y =
1
2
−
+
x
mx
tiếp xúc với đường thẳng y = -x + 7.
11) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
– 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hòanh.
12) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
4
– 2x
2
+ 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx
2
– 3.
TIẾP TUYẾN
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1) D ạ ng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M
0

(x
0
; y
0
)
)(C∈
y = y’(x
0
)(x – x
0
) + y
0

2. D ạ ng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ
số góc k.
Gọi M
0
(x
0
; y
0
) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
0
là:
y = y’(x
0
)(x – x
0
) + y
0

Giải phương trình y’(x
0
) = k tìm x
0
và y
0
.
3.D ạ ng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua
A(x
A
; y
A
)
Gọi
)(∆
là đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k
Phương trình của
)(∆
: y = k(x – x
A
) + y
A
.
)(∆
tiếp xúc (C)



=
+−=

⇔
kxf
yxxkxf
AA
)('
)()(
có nghiệm, nghiệm của hệ là hòanh độ
tiếp điểm.
B. BÀI TẬP.
1. Cho (C) : y = x
3
– 6x
2
+ 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a) Tại điểm uốn của (C).
b) Tại điểm có tung độ bằng -1
c) Song song với đường thẳng d
1
: y = 9x – 5.
d) Vuông góc với đường thẳng d
2
: x + 24y = 0.
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 5
2. Cho (C) : y =
2
2
+
−
x
x

.Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.
b) Song song với đường thẳng d
1
: y = 4x – 5.
c) Vng góc với đường thẳng d
2
: y = -x.
d) Tại giao điểm của hai tiệm cận.
3.Cho (C ) : y =
1
1
2
−
−+
x
xx
.Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):
a) Tại điểm có hòanh độ x = 2.
b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0.
c) Vng góc với tiệm cận xiên.
4. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).
a) y = x
3
– 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)
b) y =
2
3
3
2

1
24
+− xx
đi qua điểm A(0 ;
)
2
3
.
c) y =
2
2
−
+
x
x
đi qua điểm A(-6 ; 5)
d) y =
2
54
2
−
+−
x
xx
đi qua điểm A(2 ; 1).
Phần 2
HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
CHỦ ĐỀ 2 : HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT
1/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng a

x
= b ( a> 0 ,
0a ≠
)
• b
≤
0 : pt vô nghiệm
• b>0 :
log
x
a
a b x b= ⇔ =
Dạng
log
a
x b=
( a> 0 ,
0a
≠
)
• Điều kiện : x > 0
•
log
b
a
x b x a= ⇔ =
2/Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng a
x
> b ( a> 0 ,

0a ≠
)
• b
≤
0 : Bpt có tập nghiệm R
• b>0 :
.
log
x
a
a b x b> ⇔ >
, khi a>1
.
log
x
a
a b x b> ⇔ <
, khi 0 < a < 1
Dạng
log
a
x b>
( a> 0 ,
0a ≠
)
• Điều kiện : x > 0
•
log
b
a

x b x a> ⇔ >
, khi a >1

log
b
a
x b x a> ⇔ <
, khi 0 < x < 1
3/ Cách giải :Đưa về cùng cơ số – Đặt ẩn phụ
Bài tập
7/ Giải các phương trình :
1/
1 2 3 1 2
3 3 3 9.5 5 5
x x x x x x+ + + + +
+ + = + +
2/ 2.16
x
- 17.4
x
+ 8 = 0 3/ log
4
(x +2 ) = log
2
x
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 6
4/
4 8 2 5
3 4.3 27 0
x x+ +

− + =
5/
1 1
4 6.2 8 0
x x+ +
− + =
6/
( )
3 3
log log 2 1x x+ + =

7/
2 3 3 7
7 11
11 7
x x− −
   
=
 ÷  ÷
   
8/
2
5 4
1
4
2
x x− +
 
=
 ÷

 
9/
1 1
3 3 10
x x+ −
+ =

10/
4
7
log 2 log 0
6
x
x− + =
11/ log
02log.3
2
1
2
3
=++ xx
12/
9
4log log 3 3
x
x + =

13/ lnx + ln(x+1) = 0 14/ 3.25
x
+ 2. 49

x
= 5. 35
x

15/
3 27
9 81
1 log 1 log
1 log 1 log
x x
x x
+ +
=
+ +
8 / Giải các bất phương trình :
1/
2
3
2 4
x x− +
<
2/
16 4 6 0
x x
− − ≤
3/
( )
1
3
log 1 2x − ≥ −

4 /
( ) ( )
3 9
log 2 log 2x x+ > +
5/ 2
( ) ( )
3 1
3
log 4 3 log 2 3 2x x− + + ≤
6/
4 16
3log 4 2log 4 3log 4 0
x x x
+ + ≤
Bài 1: LUỸ THỪA
Vấn đề 1: Tính Giá trò biểu thức
Bài 1: Tính a) A =
1
5 1
3 7 1 1
2
3 32 4 4 2
3 5 :2 : 16: (5 .2 .3
−
   
   
   
b)
1 2 2 3 3
1 4 5 2

(0,25) ( ) 25 ( ) : ( ) : ( )
4 3 4 3
− − −
 
+
 
 
Bài 2: a) Cho a =
1
(2 3)
−
+
và b =
1
(2 3)
−
−
. Tính A= (a +1)
-1
+ (b + 1)
-1
b) cho a =
4 10 2 5+ +
và b =
4 10 2 5− +
. Tính A= a + b
Bài 4: a) Biết 4
-x
+ 4
x

= 23. Tính 2
x
+ 2
-x

b) Biết 9
x
+ 9
-x
= 23. Tính A= 3
x
+ 3
-x
Bài 5: Tính
a) A =
2 2 2 . 2 2 2 . 2 2. 2− + + +
b) B =
5
3
2 2 2
c) C =
3
3
2 3 2
3 2 3
d) D =
3
3 9 27 3
Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức
Bài 6: Giản ước biểu thức sau

a) A =
4
( 5)a −
b) B =
4 2
81a b
với b ≤ 0
c) C =
3 3
25 5
( )a
(a > 0) d) D =
2 4 2 2
1
3 9 9 9
( 21)( )( 1)a a a a
+
+ + −
với a > 0
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 7
e) E =
2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
( )
2
( )
x y x y x y

xy
x y x y
−
 
+ + −
 ÷
− −
 ÷
 ÷
+ +
 
với x > 0, y > 0
f ) F =
2
2
2 1
1
a x
x x
−
+ −
với x =
1
2
a b
b a
 
+
 ÷
 ÷

 
và a > 0 , b > 0
g) G =
a x a x
a x a x
+ − −
+ + −
Với x =
2
2
1
ab
b +
và a > 0 , b > 0
h)
1 1 2 2 2
2
1 1
( )
. 1 .( )
( ) 2
a b c b c a
a b c
a b c bc
− −
−
− −
 
+ + + −
+ + +

 ÷
− +
 
i) I =
3
2 3 2 3 3 2 2
6 4 2 2 4 6 2 3
2 2 2 2 3 2 3 3
1 ( ) 2
3 3 )
2 ( )
b a a b
a a b a b b
a a b b a
−
 
− − −
+ + + +
 
+ + −
 
j) J =
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
a a a a

− −
−
 
− − +
 
+
 
− −
 
với 0 < a ≠ 1, 3/2
Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức
Bài 7 chứng minh :
2 1 2 1 2x x x x+ − + − − =
với 1≤ x ≤ 2
Bài 8 chứng minh :
3 3 3 32 4 2 2 2 4 2 2 3
( )a a b b a b a b+ + − = +
Bài 9: chứng minh:
2
3 3 1 1
1
2 2 2 2
2
1 1
2 2
( ) 1
x a x a
ax
x a
x a

  
− −
 ÷
 
+ =
 ÷
 
−
 ÷
−
 
  
với 0 < a < x
Bài 10 chứng minh:
1
4 3 3 4 2 2
2
1
2 2 1
3 ( )
( ) : ( ) 1
2 ( )
x x y xy y y x y
x y x y
x xy y x x y
−
−
 
+ + + −
+ + + =

 ÷
+ + −
 

Với x > 0 , y > 0, x ≠ y , x ≠ - y
Bài 11 Tìm x biết
a) 2
x
= 1024 b) (1/3)
x
= 27
Bài 2: HÀM SỐ LUỸ THỪA
Vấn đề 1: Tìm tập xác đònh của hàm số
Bài 12 tìm tập xác đònh của hàm số
a)
1
3
(1 2 )x
−
−
b)
2
2
3
(3 )x−
c) (x
2
– 2)
-2
d)

2 3
( 2 3)x x− −
e) a)
( )
2
2
3
3 4x x+ −
c)
( )
3
2
4 x−
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 8
Vấn đề 2: Tính đạo hàm của hàm số
Bài 13: Tính đạo hàm các hàm số
a)
( )
2
2
3
3 4x x+ −
b)
( )
3
2 1x
π
−
c)
( )

3
2
4 x−
d)
( )
1
2
3
3 2x x
−
− + −
e)
( )
2
2
2x x
π
−
− −
f)
( )
3
2
4 3x x− −
g)
( )
1
2
5
x x+

h)
( )
2 1x
π
−
i) ) (x
2
– 2)
-2

Vấn đề 3: Khảo sát sự biến thien và vẽ đồ thò hàm số
Bài 14
a) y = x
-4/3
b) y = x
3
c) y =
1
3
(1 2 )x
−
−
d) y = x
4/3
e) y = x
-3
f) y =
1
2
2

(1 )x−
Bài 3: LOGARIT
Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit
Bài 15 Tính logarit của một số
A = log
2
4 B= log
1/4
4 C =
5
1
log
25
D = log
27
9
E =
4
4
log 8
F =
3
1
3
log 9
G =
3
1
5
2

4
log
2 8
 
 ÷
 ÷
 
H=
1
3
27
3 3
log
3
 
 ÷
 ÷
 
I =
3
16
log (2 2)
J=
2
0,5
log (4)
K =
3
log
a

a
L =
52 3
1
log ( )
a
a a
Bài 16 : Tính luỹ thừa của logarit của một số
A =
2
log 3
4
B =
9
log 3
27
C =
3
log 2
9
D =
3
2
2log 5
3
2
 
 ÷
 
E =

2
1
log 10
2
8
F =
2
1 log 70
2
+
G =
8
3 4log 3
2
−
H =
3 3
log 2 3log 5
9
+
I =
log 1
(2 )
a
a
J =
3 3
log 2 3log 5
27
−

Vấn đề 2: Tìm cơ số X
Bai 17: Tìm cơ số X biết
a) log
x
7 = -1 b)
10
log 3 0,1
x
=
c)
log 8 3
x
=
d)
5
log 2 8 6
x
= −
e)
3
log 2 3
4
x
=
f)
5
3
log 2
5
x

= −
Bài 18: Tim X biết
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 9
a)
81
1
log
2
x =
b)
1
log log 9 log 5 log 2
2
a a a a
x = − +
c)
( )
2 2 2
1
log 9log 4 3log 5
2
x = −
d)
0,1
log 2x = −
e)
2 1
log log 32 log 64 log 10
5 3
a a a a

x = − +
Vấn đề 3: Rút gọn biểu thức
Bài 19: Rút gọn biểu thức
A =
4
3
log 8log 81
B =
1
5
3
log 25log 9
C =
3
2 25
1
log log 2
5
D =
3 8 6
log 6log 9log 2
E =
3 4 5 6 8
log 2.log 3.log 4.log 5.log 7
F =
2
4
log 30
log 30
G =

5
625
log 3
log 3
H =
2 2
96 12
log 24 log 192
log 2 log 2
−
I =
1 9
3
3
log 7 2log 49 log 27+ −
J =
log log
a b
b a
a b−
Vấn đề 4: Chứng minh đẳng thức logarit
Bai 20: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghóa)
a)
log log
log ( )
1 log
a a
ax
a
b x

bx
x
+
=
+
b)
1 2 .
1 1 1 ( 1)

log log log 2log
n
a
a a a
n n
x x x x
+
+ + + = →
c) cho x, y > 0 và x
2
+ 4y
2
= 12xy
Chứng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2
d) cho 0 < a ≠ 1, x > 0
Chứng minh: log
a
x .
2
2
1

log (log )
2
a
a
x x=
Từ đó giải phương trình log
3
x.log
9
x = 2
e) cho a, b > 0 và a
2
+ b
2
= 7ab chứng minh:
2 2 2
1
log (log log )
3 2
a b
a b
+
= +
Bài 4: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT
Vấn đề 1: tìm tập xác đònh của hàm số
Bài 21: tìm tập xác đònh của các hàm số sau
a) y =
2
3
log

10 x−
b) y = log
3
(2 – x)
2
c) y =
2
1
log
1
x
x
−
+
d) y = log
3
|x – 2| e)y =
5
2 3
log ( 2)
x
x
−
−
f) y =
1
2
2
log
1

x
x −
g) y =
2
1
2
log 4 5x x− + −
h) y =
2
1
log 1x −
i) lg( x
2
+3x +2)
Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 10
Bài 22: tính đạo hàm của các hàm số mũ
a) y = x.e
x
b) y = x
7
.e
x
c) y = (x – 3)e
x
d) y = e
x
.sin3x
e) y = (2x
2

-3x – 4)e
x
f) y = sin(e
x
) g) y = cos(
2
2 1x x
e
+
) h) y = 4
4x – 1
i) y = 3
2x + 5
. e
-x
+
1
3
x
j) y= 2
x
e
x -1
+ 5
x
.sin2x k) y =
2
1
4
x

x −
Bài 23 . Tìm đạo hàm của các hàm số logarit
a) y = x.lnx b) y = x
2
lnx -
2
2
x
c) ln(
2
1x x+ +
) d) y = log
3
(x
2
- 1)
e) y = ln
2
(2x – 1) f) y = x.sinx.lnx g) y = lnx.lgx – lna.log
a
(x
2
+ 2x + 3)
Vấn đề 3: Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số
Bài 24: khảo sát và vẽ đồ thò hàm số mũ , logarit
a) y = 3
x
b) y =
1
3

x
 
 ÷
 
c) y = log
4
x d) y = log
1/4
x
Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LOGARIT
Vấn đề 1: Phương trình mũ
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 25 : Giải ác phương trình sau
a)
4
3
2 4
x−
=
b)
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
c)
2

2 3 3 5
3 9
x x x− + −
=
d)
2
8 1 3
2 4
x x x− + −
=
e) 5
2x + 1
– 3. 5
2x -1
= 110 f)
5 17
7 3
1
32 128
4
x x
x x
+ +
− −
=
f) 2
x

+ 2
x -1

+ 2
x – 2
= 3
x
– 3
x – 1
+ 3
x - 2
g) (1,25)
1 – x
=
2(1 )
(0,64)
x+

Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 26 : Giải các phương trình
a) 2
2x + 5
+ 2
2x + 3
= 12 b) 9
2x +4
- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0
c) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1

– 75 = 0 d)
1
5 2 8
2 0
2 5 5
x x+
   
− + =
 ÷  ÷
   
e)
3
5 5 20
x x−
− =
f)
( ) ( )
4 15 4 15 2
x x
− + + =
g)
(
)
(
)
5 2 6 5 2 6 10
x x
+ + − =
Dạng 3. Logarit hóa ï
Bài 27 Giải các phương trình

a) 2
x - 2
= 3 b) 3
x + 1
= 5
x – 2
c) 3
x – 3
=
2
7 12
5
x x− +
d)
2
2 5 6
2 5
x x x− − +
=
e)
1
5 .8 500
x
x
x
−
=
f) 5
2x + 1
- 7

x + 1
= 5
2x
+ 7
x
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 11
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu
Bài 28: giải các phương trình
a) 3
x
+ 4
x
= 5
x
b) 3
x
– 12
x
= 4
x
c) 1 + 3
x/2
= 2
x
Vấn đề 2: Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 29: giải các phương trình
a) log
4
(x + 2) – log

4
(x -2) = 2 log
4
6 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5 d) log
4
(x +3) – log
4
(x
2
– 1) = 0
e) log
3
x = log
9
(4x + 5) + ½ f) log
4
x.log
3
x = log
2
x + log
3
x – 2

g) log
2
(9
x – 2
+7) – 2 = log
2
( 3
x – 2
+ 1)
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 30: giải phương trình
a)
1 2
1
4 ln 2 lnx x
+ =
− +
b) log
x
2 + log
2
x = 5/2
c) log
x + 1
7 + log
9x
7 = 0 d) log
2
x +
2

10log 6 9x + =
e) log
1/3
x + 5/2 = log
x
3 f) 3log
x
16 – 4 log
16
x = 2log
2
x
g)
2
2 1
2
2
log 3log log 2x x x+ + =
h)
2
2
lg 16 l g 64 3
x
x
o+ =
Dạng 3 mũ hóa
Bài 31: giải các phương trình
a) 2 – x + 3log
5
2 = log

5
(3
x
– 5
2 - x
) b) log
3
(3
x
– 8) = 2 – x
Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ
Bài 32: Giải các bất phương trình
a) 16
x – 4
≥ 8 b)
2 5
1
9
3
x+
 
<
 ÷
 
c)
6
2
9 3

x
x+
≤
d)
2
6
4 1
x x− +
>
e)
2
4 15 4
3 4
1
2 2
2
x x
x
− +
−
 
<
 ÷
 
f) 5
2x
+ 2 > 3. 5
x
Bài 33: Giải các bất phương trình
a) 2

2x + 6
+ 2
x + 7
> 17 b) 5
2x – 3
– 2.5
x -2
≤ 3
c)
1 1
1 2
4 2 3
x x
− −
> +
d) 5.4
x

+2.25
x
≤ 7.10
x
e) 2. 16
x
– 2
4x
– 4
2x – 2
≤ 15 f) 4
x +1

-16
x
≥ 2log
4
8
g) 9.4
-1/x
+ 5.6
-1/x
< 4.9
-1/x

Bài 34: Giải các bất phương trình
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 12
a) 3
x +1
> 5 b) (1/2)
2x - 3
3 c) 5
x
3
x+1
> 2(5
x -1
- 3
x 2
)
Vaỏn ủe 2: Baỏt Phửụng trỡnh logarit
Baứi 35: Giaỷi caực baỏt phửụng trỡnh
a) log

4
(x + 7) > log
4
(1 x) b) log
2
( x + 5) log
2
(3 2x) 4
c) log
2
( x
2
4x 5) < 4 d) log
1/2
(log
3
x) 0
e) 2log
8
( x- 2) log
8
( x- 3) > 2/3 f) log
2x
(x
2
-5x + 6) < 1
g)
1
3
3 1

log 1
2
x
x

>
+
Baứi 36: Giaỷi caực baỏt phửụng trỡnh
a) log
2
2
+ log
2
x 0 b) log
1/3
x > log
x
3 5/2
c) log
2
x + log
2x
8 4 d)
1 1
1
1 log logx x
+ >

e)
16

2
1
log 2.log 2
log 6
x x
x
>

f)
4 1
4
3 1 3
log (3 1).log ( )
16 4
x
x


Baứi 37. Giaỷi caực baỏt phửụng trỡnh
a) log
3
(x + 2) 2 x b) log
5
(2
x
+ 1) < 5 2x
c) log
2(
5 x) > x + 1 d) log
2

(2
x
+ 1) + log
3
(4
x
+ 2) 2
PHN 3 TCH PHN
Nguyên hàm của các hàm Phân thức.
a. Lý thuyết
1)

++=
+
Cbax
abax
dx
ln
1
(a
0
) 2)

+



=

C

bx
ax
ba
dx
bxax
dx
ln
1
))((
(a
)b
3)

+
+

=

C
ax
ax
a
ax
dx
ln
2
1
22
4)
C

baxa
bax
dx
+
+

=
+

1
.
1
)(
2
(a
)0
5)
Caxx
ax
dx
+++=
+

2
2
ln
B. Bài tập tính các tích phân sau
1)

+ 45

3
2
xx
xdx
2)


dx
x
x
1
2
3)



dx
xx
xx
32
2035
2
2

4)

+
+
=
+

=
+
=
+
C
x
x
xd
xxxx
xdx
xx
dx
1
ln
2
1
)()
1
11
(
2
1
)1()1(
2
2
2
22222
5)

+ )1(

4
xx
dx
6)

+ )2(
5
xx
dx
GV: NGUY N VN HUY Trang 13
7)
∫ ∫ ∫
+
−
+
=
+
−+
=
+
222
)2(
1
)2(
1
[
2
1
)2(2
)2(

)2( x
xx
dx
xx
xx
xx
dx
]dx=
C
xx
x
+
+
+
+ )2(2
1
2
ln
4
1
8)
∫
+
3
)2(xx
dx
9)
∫
++
2

)2)(1( xx
dx
10)
∫
+ )2(
2
xx
dx
11)
∫
+−++
−
dx
xxxx
x
)13)(15(
1
22
2
=
∫ ∫
+
++
+−
=
−+++
+
=
+−++
−

C
xx
xx
x
x
x
x
x
xd
dx
x
x
x
x
x
15
13
ln
8
1
)3
1
)(5
1
(
)
1
(
)
1

3)(
1
5(
1
1
2
2
2

12)
∫
+−
+
dx
xx
x
13
1
24
2
13)
∫
++
dx
xx
x
12
2
3
14)

∫
+
210
)1(xx
dx
15)
∫
+−−
−
dx
xxxx
x
)15)(5(
1
54
4
.
Nguyªn hµm cña c¸c hµm lîng gi¸c
A. D¹ng :
∫
+
+
dx
xdxc
xbxa
cossin
cossin.

I . C¸ch lµm : t×m A ; B sao cho : asinx+bcosx=A(c sinx+d cosx)+B (c sinx+d cosx)’
Ta ®îc

∫
+
+
dx
xdxc
xbxa
cossin
cossin.
=Ax+Bln
xdxc cos.sin. +
+C
II .Ap dông : tÝnh
1)
∫
+
dx
xx
x
sin2cos
sin
2)
∫
−
−
dx
xx
xx
cos3sin2
cos2sin3
( häc sinh lµm t¹i líp ý 1vµ 2. Gv ch÷a)

VN 3)
∫
+
dx
tgx1
1
4)
∫
+ tgx
dx
34
B. Mét sè d¹ng kh¸c
1)
∫
+
+
dx
x
xx
2sin3
cossin
. Ta cã :

∫
+
+
dx
x
xx
2sin3

cossin
=
∫ ∫ ∫








−+
−
+
−−
−
=
−−
+
)cos(sin2
cos(sin
)cos(sin2
)cos(sin
4
1
)cos(sin4
cossin
2
xx
xxd

xx
xxd
dx
xx
xx
=
C
xx
xx
+
−−
−+
)cos(sin2
)cos(sin2
ln
4
1
.
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 14
2)


dx
xxx
x
2sin36sin4sin3
3sin
.
3)

+ )
6
sin(.sin

xx
dx
( Đs : 2
)
6
sin(
sin
ln

+x
x
).
4)

+
dx
x
gx
9
sin1
cot
=

+
+
=

+
=
+
C
x
x
xx
xd
dx
xx
x
9
9
99
sin1
sin
ln
9
1
)sin1(sin
)(sin
)sin1(sin
cos
5)

dx
xx
dx
53
cos.sin

(ĐS :
)
2
1
ln3
2
3
4
1
2
24
C
xtg
tgxxtgxtg +++
.
VN học sinh làm các bài tập sau : tính
1)

+
4
)cos(sin xx
dx
2)

+
dx
xx
x
66
cossin

4sin
3)

+
2
)cos2(sin xx
dx
4)

++ dxxgxtg )
6
(cot)
3
(

5)

dx
x
x
4
6
sin
cos
6)

dx
x
x
6

2
cos
sin
Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến

A. Lý thuyết
Một số dạng và cách đổi biến: với a dơng
1)

+


22
xa
dx
; ta đặt x=atgt (t
)
2
;
2
(


)
2)



22
22

;
xa
dx
dxxa


ta đặt x=a.sint (t
]
2
;
2
[


) hoặc x=a.cost (t
];0[


)
B.Bài tập tính :
1) I=


1
3
1
2
14
2
dx

xx
dx
. Ta có : I=


1
3
1
2
2
1
4
2
dx
x
x
dx
; đặt t=
x
1
.
GV: NGUY N VN HUY Trang 15
Ta đợc :

==
==

=
11
3
3
1
1
2
tx
tx
dx
x
dt

3
44
3
1
2
1
3
2

==

=

=


t
dt
t
dt
I
2) I=


1
0
23
1 dxxx
Hd : đặt x=sint (t
])
2
;
2
[



Đợc đs là I=
15
2
.
3) I=

e
xx
dx
1
1
2
ln1
(ĐS : I=-
2

)
4) I=

+
1
0
6
2
3x
dxx
(ĐS : I=
54
3

)
( Học sinh làm bảng và nháp, Gv chấm ,chữa)
C. Bài tập về nhà Tính :
1)

2
3
2
2
1xx
dx
(Đs:
)
12

2)

+
4
0
4
3
cos1
sin4

x
xdx
(Đs:
5
223
ln2
+
)

3)

+
2
2
1
2
1
ln
dx
x
x
(Đs : 0) 4)

+
+
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
(Đs :
)
3

5)

+
3
0
25
1 dxxx
(Đs :
)
105
848
.
Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần
A. Lý thuyết

=
b
a
b
a
vdu
a
b
uvudv
(trong đó u=u(x) ; v=v(x) là các hàm có đạo hàm liên tục trên [a;b].
B. Bài tập
GV: NGUY N VN HUY Trang 16
Bµi 1 tÝnh:
1) I=
∫
1

0
3
2
dxex
x
.
Gi¶i: ta cã I=
2
1
.
2
1
)(
2
1
1
0
1
0
22
2
===
∫∫
dyeyxdex
yx
.
2) I=
∫
2
0

3sin
.cos.sin.
2
π
dxxxe
x
.
Gi¶i : ®Æt t=sin
2
x







=⇒=
=⇒=
=
⇒
1
2
00
cos.sin2
tx
tx
xdxxdt
π
Ta ®îc I=

2
2
2
1
2
1
)1(
1
0
1
0
1
0
−
==








−=−
∫∫∫
e
dttedtedtte
ttt

.

3) I=
∫
2
0
sin
π
dxx
.
Gi¶i : ®Æt t=









=⇒=
=⇒=
=⇒=
⇒
ππ
tx
tx
tdtdxdx
x
dt
x
2

00
2
2
1
Ta ®îc I=
π
π
2sin2
0
==
∫
tdtt
.
4) I=
∫
π
e
dxx
1
)cos(ln
( Hd : ®Æt t=lnx ta ®a vÒ tÝch ph©n míi )
H/s lµm ; Gv chÊm , ch÷a ; ®s:
)1(
2
1
+
−
π
e
.

Bµi 2 tÝnh:
1) I=
∫
e
e
dxx
1
ln
(§S : 2-
)
2
e
−
2) I=
∫
1
0
2
)(sin. dxxe
x
π
(§S :
)
4
1−e
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 17
3) I=
∫
4
0

2
.
π
xdxtgx
(§S:
)
2
2ln
324
2
−−
ππ
4) I=
∫
10
1
2
lg xdxx

(§S: 50-
)
10ln4
99
10ln
50
2
+
C. Bµi tËp vÒ nhµ
1)
∫

2
1
)sin(ln
π
e
dxx
(§S :
))1(
2
1
2
+
π
e
2)
∫
+
2
0
)cos1ln(.cos
π
dxxx
(§S:
)1
2
−
π
3)
∫
−

2
0
2
dxxe
x

(§S : 4-
)
8
e
4)
∫
2
1
2
)(lncos
π
e
dxx
(§S :
)1(
5
2
2
+
π
e
)
5)
∫

2
4
2
sin
π
π
x
xdx
(§S :
)2ln
4
+
π
6)
∫
3
4
)ln(.sin
π
π
dxtgxx

(§S :
))12ln(3ln
4
3
−−
−
7)
∫

−
3
3
2
cos
sin
π
π
dx
x
xx
(§S :
)
12
5
ln2
3
4
ππ
tg−
8)
∫






3
2

0
3
sin
π
dxx
(§S: 3
)6−
π
TÝch ph©n cña mét sè hµm ®Æc biÖt
A.Lý thuyÕt
CMR:
1) NÕu f(x) lµ hµm ch½n, liªn tôc trªn [-a;a] th×
∫∫
−−
=
a
a
a
a
dxxfdxxf )(2)(
2) NÕu f(x) lµ hµm lÎ, liªn tôc trªn [-a;a] th×
0)( =
∫
−
a
a
dxxf
3) NÕu f(x) lµ hµm tuÇn hoµn víi chu k× T, liªn tôc trªn [0;T]; [a;a+T] th×
∫∫
=

+ TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(
.
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 18
4) Với a>0, f(x) là hàm chẵn, liên tục trên R, Với mọi số thực

ta có :


=
+




dxxf
a
dxxf
x
)(
2
1
1
)(
.
5) Nếu f(x) liên tục trên [0;
]

thì

= dxxfdxxxf )(sin
2
)(sin
0


6) Nếu f(x) liên tục trên [
]
2
;0

thì
a)

=
2
0
2
0
)(cos)(sin

dxxfdxxf
.
b)

=
2

0
2
0
)()(cot

dxtgxfdxgxf
.
Giáo viên chứng minh các bài toán trên , yêu cầu h/s biết cách chứng minh và nhớ kết quả.
B. Bài tập
Bài 1 tính :
1) I=


++
4
4
2
357
cos
173


dx
x
xxxx
.
HD +) Cm bài toán 2
+) CM hàm f(x)=
x
xxxx

2
357
cos
73 +
là hàm lẻ.
+) Ta đợc : I=



+
4
4
2
4
4
cos
)(




x
dx
dxxf
=
4
4

tgx
=2.
2)


2
0
2005
sin xdx
(ĐS : 0) (H/s làm ở lớp phần 2;3)
3)



2004
0
2cos1 dxx
(ĐS: 4008
2
).
VN
GV: NGUY N VN HUY Trang 19
4)
∫
−
−
+
2
2
2

sin4
cos
π
π
dx
x
xx
(§S
)3ln
2
1
5)
∫
−
++
2
2
2
)1ln(.cos
π
π
dxxxx
(§S 0).
Bµi 2 tÝnh
1) I=
∫
−
+
1
1

4
12
dx
x
x
.
Gi¶i : ®Æt t=-x





−=⇒=
=⇒−=
−=
⇒
11
11
tx
tx
dxdt
Ta ®îc
I=

Idxxdxxdttdttdt
t
dt
t
xtt
t

t
t
−=
+
−=
+
−=
+
=
+
=−
+
−
∫∫∫∫∫∫
−−−−−
−
−
1
1
4
1
1
4
1
1
4
1
1
4
1

1
4
1
1
4
)
12
1
1()
12
1
1(
12
2
1
2
1
)(
12
)(
Do
vËy I=
5
1
2
1
1
1
4
==

∫
−
dxx
.
2)
∫
−
++
1
1
2
)1)(1( xe
dx
x
(§S:
)
4
π
VN 3)
∫
−
+
2
2
2
12
sin
π
π
dx

xx
x
(§S :
)2−
π
4)
∫
−
+
2
2
1
5cos.2sin.sin
π
π
dx
e
xxx
x
(§S: 0)
5)
∫
−
+
+
4
4
66
16
cossin

π
π
dx
xx
x
(§S :
)
32
5
π
.
Bµi 3 tÝnh
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 20
1) I=
∫
π
0
2
cos.sin. xdxxx
.
Gi¶i
§Æt:x=





=⇒=
=⇒=
−=

⇒−
0
0
tx
tx
dtdx
t
π
ππ
I=
Ixdxxxdxxxdtttt −=−=−−−−
∫∫∫
ππ
π
πππππ
0
2
0
2
0
2
cos.sincos.sin).())((cos)sin()(
Do vËy I=
3
.cos.sin
2
0
2
ππ
π

==
∫
dxxx
.
2)
∫
+
π
0
2
cos1
sin
dx
x
xx
. (§S:
)
4
2
π
VN
3)
∫
π
0
34
sin.cos. xdxxx
(§S :
)
35

2
π
4)
∫
+
π
0
2
cos49
sin
dx
x
xx
.
Bµi 4
1) CMR :
∫∫
=
2
0
2
0
cossin
ππ
xdxdxx
nn
.
2) TÝnh:
a)
∫

+
2
0
cossin
sin
π
dx
xx
x
nn
n
.
b)
dxxx )cossin(
2
0
−
∫
π
c)
∫
+
−
2
0
3
)cos(sin
sin6cos7
π
dx

xx
xx
.
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 21
DiÖn tÝch h×nh ph¼ng-ThÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay.
A. Lý thuyÕt
1) MiÒn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng : y=f(x); y=g(x); x=a;x=b cã diªn tÝch:
S
D
=
∫
−
b
a
dxxgxf )()(
2) MiÒn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi quay quanh trôc Ox nã t¹o ra vËt
trÓ trßn xoay cã thÓ tÝch : V
Ox
=
∫
b
a
dxxf )(
2
π
3) MiÒn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi quay quanh trôc Oy nã t¹o
ra vËt trÓ trßn xoay cã thÓ tÝch : V
Oy
=
∫

b
a
dyyf )(
2
π
B.Bµi tËp
Bµi 1: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®êng:
1) y=
34
2
+− xx
;y=3 (§S: 8(®vdt))
2) y=
5;1
2
+=− xyx
(§S:
(
3
73
®vdt))
3) x=
y
; x+y-2=0 ;y=0. (§S:
(
6
5
®vdt))
4) y=x
2

; y=
x
y
x 8
;
8
2
=
(§S: 8ln3)
5) y=x
2
; y=
x
y
x 27
;
27
2
=
(§S: 27ln3)
6) y=x
2
; x=y
2
.
7) y=e
x
; y=e
-x
;x=1.

Bµi 2 : TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra khi quay miÒn (D) giíi h¹n bëi c¸c ®êng:
1) y=4-x
2
; y=2+x
2
quanh Ox. (§S : 16
)
π
2) y=x
2
; x=y
2
quanh Ox.
3) y=2x-x
2
; y=x
2
-2x quanh Ox. (§S :
)
5
16
π
.
GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 22
4) y=-x
2
+4x ; trục Ox :
a) Quanh Ox. (ĐS :
)
15

512

b) Quanh Oy. (ĐS :
)
3
128

5) y=(x-2)
2
;y=4
a) Quanh Ox (ĐS :
)
5
256

b) Quanh Oy (ĐS :
)
3
128

6) y=x
2
+1 ; Ox ; Oy ; x=2.
a) Quanh Ox (ĐS :
)
15
206


b) Quanh Oy (ĐS : 12

)

Tích phân ÔN ĐAI HOC
I.Các phơng pháp tính tích phân
1. Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản
2. Ph ơng pháp đổi biến số
Bài toán: Tính
( )
b
a
I f x dx=

,
*Phơng pháp đổi biến dạng I
Định lí . Nếu 1) Hàm
( )x u t=
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
;

,
2) Hàm hợp
( ( ))f u t
đợc xác định trên
[ ]
;

,
GV: NGUY N VN HUY Trang 23
3)

( ) , ( )u a u b
α β
= =
,
th×
'
( ) ( ( )) ( )
b
a
I f x dx f u t u t dt
β
α
= =
∫ ∫
.
VÝ dô 1. H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
a)
1
2 3
0
5I x x dx= +
∫
b)
( )
2
4
0
sin 1 cosJ x xdx
π
= +

∫
Gi¶i: a) Ta cã
( )
( )
3
3 2 2
5
5 3
3
d x
d x x dx x dx
+
+ = ⇒ =

( )
1
3
3
0
5
5
3
d x
I x
+
⇒ = +
∫

( )
1

1
1
3
1
2
3 3 3 3
2
0
1 1
1 1 ( 5) 2
5 ( 5) ( 5) 5
1
0 0
3 3 9
1
2
x
x d x x x
+
+
= + + = = + +
+
∫

4 10
6 5
3 9
= −
.
b) Ta cã

2
4
0
(sin 1) (sin )J x d x
π
= +
∫

5
1 6
sin sin
2
5 5
0
x x
π
 
= + =
 ÷
 
VÝ dô 2. H·y tÝnh c¸c tÝch sau:
a)
4
2
0
4 x dx−
∫
b)
1
2

0
1
dx
x+
∫

GV: NGUY ỄN VĂN HUY Trang 24
Giải: a) Đặt
2sin , ;
2 2
x t t


=


. Khi x = 0 thì t = 0. Khi
2x =
thì
2
t

=
.
Từ
2sinx t=
2cosdx tdt=

4
2 2

2 2 2
0 0 0
4 4 4sin .2cos 4 cos = = =

x dx t tdt tdt


.
b) Đặt
, ;
2 2
x tgt t


=
ữ

. Khi
0x =
thì
0t =
, khi
1x =
thì
4
t

=
.
Ta có:

2
cos
dt
x tgt dx
t
= =
.

1
4 4
2 2 2
0 0 0
1
. .
4
1 1 cos 4
0
= = = =
+ +

dx dt
dt t
x tg t t



Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn nh:
Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng
2 2 2 2
,a x a x+

và
2 2
x a
(trong
trong đó a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để
làm mất căn thức, cụ thể là:
Với
2 2
a x
, đặt
sin , ;
2 2
x a t t


=



hoặc
[ ]
cos , 0;x a t t

=
.
Với
2 2
a x+
, đặt
, ;

2 2
x atgt t


=
ữ


hoặc
( )
, 0;x acotgt t

=
.
Với
2 2
x a
, đặt
{ }
, ; \ 0
sin 2 2
a
x t
t


=


GV: NGUY N VN HUY Trang 25