Tài liệu Chuyên đề 4: Tích phân và ứng dụng (Ôn thi TN THPT năm 2011)

HĐBM Toán An Giang Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập Thi TN THPT
Nguyễn Hoàng Minh
Trường THPT Nguyễn Trung Trực
A. NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm :
1.1 Định nghĩa
Hàm số
( )
F x
gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
K
nếu
( ) ( )
;F x f x x K
′
= ∀ ∈
.
1.2 Định lý :
Nếu
( )
F x
là nguyên hàm của hàm số
( )
f x
trên
K
thì mọi hàm số có dạng
( )

F x C+
cũng
là nguyên hàm của
( )
f x
trên
K
và chỉ những hàm số có dạng
( )
F x C
+
mới là nguyên hàm
của
( )
f x
trên
K
.
Ta gọi
( )
F x C
+
là họ nguyên hàm của
( )
f x
trên
K
và ký hiệu là
( )
f x dx

∫
.
Vậy :
( ) ( )
f x dx F x C= +
∫
.
1.3 Tính chất :
1.3.1 Tính chất 1 :
( ) ( ) ( )
0kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫
.
1.3.2 Tính chất 2 :
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
± = ± 
 
∫ ∫ ∫
.
1.4 Nguyên hàm của những hàm số thường gặp :
( )
, ; 0m n m
∈ ≠
¡
dx x C
= +
∫
kdx kx C

= +
∫
( )
1
1
1
x
x
α
α
α
α
+
= ≠ −
+
∫
( )
( )
( )
1
1
1
1
mx n
mx n dx C
m
α
α
α
α

+
+
+ = + ≠ −
+
∫
ln
dx
x C
x
= +
∫
1
ln
dx
mx n C
mx n m
= + +
+
∫
x x
e dx e C= +
∫
1
mx n mx n
e dx e C
m
+ +
= +
∫
ln

x
x
a
a dx C
a
= +
∫
1
ln
mx n
mx n
a
a dx C
m a
+
+
= +
∫
Nguyễn Hoàng Minh THPT Nguyễn Trung Trực Trang30
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Chuyên đề 4 :
HĐBM Toán An Giang Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập Thi TN THPT
sin cosxdx x C= +
∫
( ) ( )
1
sin cosmx n dx mx n C
m
+ = + +
∫

cos sinxdx x C
= − +
∫
( ) ( )
1
cos sinmx n dx mx n C
m
+ = − + +
∫
2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫
( )
( )
2
1
tan
cos
dx
mx n C
mx n m
= + +
+
∫
2

cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫
( )
( )
2
1
cot
sin
dx
mx n C
mx n m
= − + +
+
∫
Chú ý : Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số bằng định nghĩa, ta phải biến đổi hàm số
này thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết hoặc có thể tìm được nguyên
hàm.
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số :
1.5 Định lý :
Nếu
( ) ( )
f u du F u C
= +
∫
và

( )
u u x=
là hàm số có đạo hàm liên tục thì :
( ) ( ) ( )
f u x u x dx F u x C
′
= +   
   
∫
.
1.6 Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp :
Dạng nguyên hàm cần tìm Cách đặt biến số
( )
sin cosf x xdx
∫
sin sint x t m x n
= ∨ = +
( )
cos sinf x xdx
∫
cos cost x t m x n
= ∨ = +
( )
1
lnf x dx
x
∫
ln lnt x t m x n
= ∨ = +
( )

2
1
tan
cos
f x dx
x
∫
tan tant x t m x n
= ∨ = +
( )
2
1
cot
sin
f x dx
x
∫
cot cott x t m x n
= ∨ = +
( )
1k k
f x x dx
−
∫
k k
t x t mx m
= ∨ = +
( )
x x
f e e dx

∫
x x
t e t me n
= ∨ = +
Chú ý : Nếu hàm số dưới dấu nguyên hàm có chứa dấu căn
( )
n
thì thường ta đặt :
n
t =
Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
1.7 Công thức :
udv uv vdu
= −
∫ ∫
Nguyễn Hoàng Minh THPT Nguyễn Trung Trực Trang31
HĐBM Toán An Giang Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập Thi TN THPT
1.8 Các dạng nguyên hàm tính bằng phương pháp từng phần thường gặp :
1.8.1 Dạng 1 :
( ) ( )
p x q x dx
∫
(trong đó
( )
p x
là hs đa thức;
( )
q x
là hàm số
( )

sin x
α
hoặc
( )
cos x
α
hoặc
( )
x
e
α
)
Trong trường hợp này ta đặt :
( )
( )
u p x
dv q x dx
=


=


1.8.2 Dạng 2 :
( ) ( )
p x q x dx
∫
(trong đó
( )
p x

là hs đa thức;
( )
q x
là hàm số logarit)
Trong trường hợp này ta đặt :
( )
( )
u q x
dv p x dx
=


=


Bài tập :
1.9 Bài 1 :
Chứng minh rằng hàm số
( )
( )
2
1
x
F x e x
= +
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2
1
x

f x e x
= +
.
1.10 Bài 2 :
Chứng minh rằng hàm số
( )
ln 3F x x x x= − +
là nguyên hàm của hàm số
( )
lnf x x=
.
1.11 Bài 3 :
Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
cos 2 3tanf x x x= −
.
1.12 Bài 4 :
Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
2
1 2x
f x
x
+
=
thỏa mãn điều kiện
( )

1 3F
− =
.
1.13 Bài 5 :
Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
cos 3sinf x x x= −
thỏa mãn điều kiện
( )
0F
π
=
.
1.14 Bài 6 : Tính :
2
2
x x dx
x
 
+
 ÷
 
∫
;
( )
3 2sin cosx xdx
+

∫
;
2
1
3
x
x
e dx
e
 
−
 ÷
 
∫
;
2
cos sin 2
cos
x x
dx
x
−
∫
1.15 Bài 7 : Tính :
3
cos sinx xdx
∫
;
cos
3sin 5

xdx
x
+
∫
;
3
sin
cos
xdx
x
∫
;
3sin
cos
x
e xdx
∫
;
2
2tan 1
cos
x
dx
x
+
∫
;
( )
4
2

cot 1
sin
x
dx
x
+
∫
;
3
x
x
e dx
e
+
∫
;
ln
dx
x x
∫
;
4
ln x
dx
x
∫
;
( )
3
ln 2x

dx
x
+
∫
;
2 1x dx
+
∫
Nguyễn Hoàng Minh THPT Nguyễn Trung Trực Trang32
HĐBM Toán An Giang Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập Thi TN THPT
2
3
2 1
x dx
x
+
∫
;
2
1x xdx
+
∫
;
2
3
xdx
x +
∫
.
1.16 Bài 8 : Tính :

2 cosx xdx
∫
;
( )
3
x
x e dx
+
∫
;
( )
4 1 sinx xdx+
∫
;
2
3 lnx xdx
∫
;
( )
2
3 2 lnx x xdx
+
∫
;
( )
ln 1x dx
+
∫
;
( )

1
x
e xdx
+
∫
;
B. TÍCH PHÂN
Tích phân :
1.17 Định nghĩa :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
 
 
∫
1.18 Tính chất :
1.18.1Tính chất 1 :
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
.
1.18.2Tính chất 2 :
( ) ( )
b b
a a

kf x dx k f x dx=
∫ ∫

( )
0k ≠
.
1.18.3Tính chất 3 :
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = +
 
 
∫ ∫ ∫
.
1.18.4Tính chất 4 :
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
Chú ý : Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân
thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết hoặc có thể tìm được nguyên hàm.
Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
1.19 Công thức tổng quát :
( ) ( ) ( )
b
a
f u x u x dx f t dt
β

α
′
= 
 
∫ ∫
Nguyễn Hoàng Minh THPT Nguyễn Trung Trực Trang33
HĐBM Toán An Giang Tài Liệu Tham Khảo Ôn Tập Thi TN THPT
1.20 Các dạng tích phân tính bằng phương pháp đổi biến số thường gặp :
Tương tự như trong phần nguyên hàm.
Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.
1.21 Công thức tổng quát :
( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −
∫ ∫
1.22 Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần thường gặp :
Tương tự như trong phần nguyên hàm.
Bài tập :
1.23 Bài 1 : Tính các tích phân sau :
( )
0
cos2 3sinx x dx
π
−
−
∫
;

0
2
1
1
x
x
e
e
−
 
−
 ÷
 
∫
;
( )
1
2
0
2x x dx−
∫
;
( )
2
2
1
1 2x
dx
x
−

∫
.
1.24 Bài 2 : Tính các tích phân sau :
6
0
cos
2sin 1
xdx
x
π
+
∫
;
2
3
6cos 1sinx xdx
π
π
+
∫
;
( )
2
1
ln 1
e
dx
x x +
∫
;

4
1
ln
e
xdx
x
∫
;
1
0
3 1x dx+
∫
;
19
3
2
0
8
xdx
x
+
∫
;
tan
4
2
0
cos
x
e dx

x
π
∫
;
( )
2
4
0
2sin 1 cosx xdx
π
+
∫
;
( )
3
0
1 cos sinx xdx
π
−
∫
;
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫

.
1.25Bài 3 : Tính các tích phân sau đây :
( )
2
3
0
4sin cos 1x x dx
π
+
∫
;
2
0
sin
2
1 cos
x
x dx
x
π
 
−
 ÷
+
 
∫
;
( )
2
0

4 1x x dx− +
∫
;
1
3ln 1
1
e
x
dx
x
 
+
−
 ÷
 ÷
 
∫
1.26 Bài 4 : Tính các tích phân sau đây :
(
)
2
2
0
2 1 3x x xdx+ −
∫
;
3
1
ln
e

x x
dx
x
+
∫
;
( )
2
2
0
4sin cos 1 sinx x xdx
π
+
∫
;
4
3
3
0
2cos sin
cos
x x
dx
x
π
+
∫
1.27 Bài 5 : Tính các tích phân sau đây :
5
0

4x xdx+
∫
;
2
0
sin cos
1 cos
x xdx
x
π
+
∫
;
( )
1
ln
ln 3
e
xdx
x x
+
∫
;
2
0
sin cos
3sin 1
x xdx
x
π

+
∫
;
2 2
3
2
0
1
x dx
x
+
∫
1.28Bài 6 : Tính các tích phân sau :
0
2 sinx xdx
π
∫
;
( )
0
1 cosx xdx
π
−
−
∫
;
( )
1
0
4 1

x
x e dx+
∫
;
3
1
ln
e
x xdx
∫
;
Nguyễn Hoàng Minh THPT Nguyễn Trung Trực Trang34