Bai tap hinh hoc khong gian quan he song song

S
D
C
B
A
O
I
J
A
B
C
P
M
N
K
Bài tập hình học không gian
BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Cho tứ giác lồi ABCD nằm trong mặt phẳng (P) và điểm S không thuộc (P).
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
b) Nếu tứ giác ABCD không phải là một hình thang, tìm giao tuyến của (SAB)
và (SCD); (SAD) và (SBC).
Giải:
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD:
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
⇒



⊂∈
⊂∈

)(
)(
SDBBDO
SACACO
O là điểm chung (SAC)
và (SBD)
⇒
SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)
b) * Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD):
Ta có: S là điểm chung của (SAB) và (SCD)
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I là giao điểm của AB và CD
⇒



⊂∈
⊂∈
)(
)(
SCDCDI
SABABI
I là điểm chung của (SAB) và (SCD)
⇒
SI là giao tuyến của mặt phẳng (SAB) và (SCD)
* Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC)
Ta có: S là điểm chung của (SAD) và (SBC)
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi J là giao điểm của AD và BC




⊂∈
⊂∈
)(
)(
SBCBCJ
SADADJ
⇒
J là điểm chung của (SAD) và (SBC).
⇒
SJ là giao tuyến của mặt phẳng (SAD) và (SBC).
2. Cho mp (P) và ba điểm A, B, C không thẳng hàng và không nằm trên
mặt phẳng (P). Giả sử ba đường thẳng AB, BC và AC đều cắt (P). CMR
ba giao điểm đó thẳng hàng.
Giải:
Ta có A, B, C không thẳng hàng
⇒
Có 1 mp chứa 3 điểm A, B, C
Gọi (ABC) là mặt phẳng chứa A, B, C
M, N, K lần lượt là giao điểm của AB, BC, AC với (P)
⇒
N, N, K lần lượt thuộc hai mặt phẳng (Q) và (ABC)
Vậy M, N, K thẳng hàng
1/5
Bài tập hình học không gian
3. Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một
điểm bên trong tam giác ACD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
a) Mp(AMN) và mp(BCD)
b) MP(DMN) và mp(ABC).
Giải:
a) Tìm giao tuyến của mp(AMN) và mp(BCD):

Trong
∆
ABD gọi I là giao điểm của AM và BD
Trong
∆
ACD gọi J là giao điểm của AN và CD
Ta có:
⇒



⊂∈
⊂∈
)(
)(
BCDBDI
AMNAMI
I là điểm chung của (AMN) và (BCD)
Mặt khác:
⇒



⊂∈
⊂∈
)(
)(
BCDCDJ
AMNANJ
J là điểm chung của (AMN) và (BCD)

⇒
IJ là giao tuyến của mp(AMN) và mp(BCD)
b) Tìm giao tuyến của mp(DMN) và mp(ABC)
Trong
∆
ABD gọi K là giao điểm của DM và AB
Trong
∆
ACD gọi H là giao điểm của DN và AC
Ta có:
⇒



⊂∈
⊂∈
)(
)(
ABCABK
DMNDMK
K là điểm chung của (DMN) và (ABC)
⇒



⊂∈
⊂∈
)(
)(
ABCACH

DMNDNH
H là điểm chung của (DMN) và (ABC)
⇒
HK là giao tuyến của mp(DMN) và mp(ABC).
4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB, BC, CD và DA.
a) CMR tứ giác NMPQ là hình bình hành.
b) Gọi R, S lần lượt là trung điểm của AC và BD. Tứ giác MRPS là hình gì?
c) Nhận xét gì về ba đoạn MP, NQ, RS ?
Giải:
2/5
A
B
C
D
M
N
J
H
I
K
C
I
A
B
D
M
N
P
Q

S
R
Bài tập hình học không gian
a) CMR tứ giác MNPQ là hình bình hành:
* Cách 1:
Ta có:
MN // AC vì MN là đường trung bình của tam giác ABC
PQ // AC vì PQ là đường trung bình của tam giác
ACD
⇒
MN // PQ (1)
Mặt khác:
MQ // BD vì MQ là đường trung bình của
tam giác ABD
NP // BD vì NP là đường trung bình của tam
giác BCD.
⇒
MQ // NP (2)
Từ (1) và (2)
⇒
Tứ giác MNPQ là hình bình hành. (đpcm)
* Cách 2:
Ta có:
MN là đường trung bình của tam giác ABC
⇒







= ACMN
ACMN
2
1
//
(*)
Mặt khác:
PQ là đường trung bình của tam giác ACD
⇒






= ACPQ
ACPQ
2
1
//
(**)
Từ (*) và (**)
⇒



=
⇒
PQMN

PQMN //
Tứ giác MNPQ là hình bình hành (đpcm)
b)Nhận xét về tứ giác MRPS:
* Cách 1:
Ta có:
MR // BC vì MR là đường trung bình của tam giác ABC
SP // BC vì SP là đường trung bình của tam giác BCD
⇒
MR // SP (3)
Mặt khác, ta lại có:
MS // AD vì MS là đường trung bình của tam giác ABD
RP // AD vì RP là đường trung bình của tam giác ACD
⇒
MS // RP (4)
Từ (3) và (4)
⇒
Tứ giác MRPS là hình bình hành
Vậy tứ giác MRPS là hình bình hành.
* Cách 2:
3/5
A
B
C
D
S
d
N
M
Bài tập hình học không gian
Ta có:

MR là đường trung bình của tam giác ABC





=
⇒
BCMR
BCMR
2
1
//
(***)
Ta lại có:
SP là đường trung bình của tam giác BCD





=
⇒
BCSP
BCSP
2
1
//
(****)
Từ (***) và (****)




=
⇒
SPMR
SPMR //
⇒
Tứ giác MRPS là hình bình hành
c) Nhận xét về ba đoạn MP, NQ, RS
Ta có:
MP và NQ là hai đường chéo của hình bình hành MNPQ
⇒
MP cắt NQ tại trung điểm I của mỗi đoạn (5)
Mặt khác ta lại có:
MP và RS là hai đường chéo của hình bình hành MRPS
⇒
MP cắt RS tại trung điểm I của mỗi đoạn (6)
Từ (5) và (6)
⇒
MN, NQ, RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.
Vậy MN, NQ, RS đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn.
5. Cho điểm S ở ngoài mặt phẳng của hình bình hành ABCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Một mặt phẳng (P) qua AD cắt SB và SC lần lượt tại M và N. Tứ giác
ADMN là hình gì?
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC):
Ta có:
S là điểm chung của (SAD) và (SBC)
Gọi d là đường thẳng đi qua S và song với AD

⇒
d
⊂
(SAD) (*)
Mặt khác:
AD // BC vì ABCD là hình bình hành
⇒
BC // d
⇒
d
⊂
(SBC) (**)
⇒
d là giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAD) và (ABC)
b)Nhận xét về tứ giác ADMN:
Ta có
(P)
∩
(SBC) = MN
(P)
∩
(ABCD) = AD
4/5
Bài tập hình học không gian
(ABCD)
∩
(SBC) = BC
Mà BC // AD
⇒

MN // AD // BC ( Định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng)
Trong tứ giác ADMN có MN // AD
⇒
Tứ giác ADMN là hình thang.
6. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt
phẳng.
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. CMR OO’//(ADF) và
OO’//(BCE)
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ABE. CMR
MN//(CEF).
a) Chứng minh rằng OO’ // (ADF) và OO’ // (BCE)
* Chứng minh OO’ // (ADF)
Ta có:
OO’ là đường trung bình của
tam giác BDF
⇒
OO’ // DF
Mà DF
⊂
(ADF)
⇒
OO’ // (ADF) (đpcm)
*Chứng minh OO’ // (BCE)
Ta có:
OO’ là đường trung bình của
tam giác ACE
⇒
OO’ // EC
Mà EC
⊂

(BCE)
⇒
OO’ // (BCE) (đpcm)
b) Chứng minh MN // (CEF)
Ta có:



= ABEF
ABEF //
( Vì tứ giác ABEF là hình bình hành)



= CDAB
CDAB //
( Vì tứ giác ABCD là hình bình hành)



=
⇒
CDEF
CDEF //
⇒
Tứ giác CDEF là hình bình hành
⇒
ED
⊂
(CEF).

Gọi I là trung điểm của AB ta có:
3
1
==
IE
IN
ID
IM
(Vì M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và ABE)
⇒
MN // ED (Định lí talet đảo)
Mà ED
⊂
(CEF)
⇒
MN // (CEF) ( Điều phải chứng minh)
5/5
B
A
D
E
C
O’
O
F
I
N
M

.