[toán 11] Phân loại bài tập theo các dạng toán giới hạn (lim)

BÀI TP GII HN

DNG I: TÌM GII HN DÃY S
Phương pháp gải: Dùng ñịnh nghĩa , tính chất và các ñịnh lý về giới hạn của dãy số

VÝ dô 1:
VÝ dô 1:VÝ dô 1:
VÝ dô 1: T×m:


2
8n 3n
3
lim
2
n
−



Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:

2
8n 3n 3
3
3
3
lim lim 8 8 2
n2
n
−
= − = =

VÝ dô 2:
VÝ dô 2: VÝ dô 2:
VÝ dô 2: T×m:
2
2n 3n 1
lim
2
n 2
− −
− +



Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:


3 1

2
2
n 2
2n 3n 1 2
n
lim lim 2
2 2 1
n 2
1
2
n
− −
− −
= = = −
−
− +
− +

VÝ dô 3:
VÝ dô 3:VÝ dô 3:
VÝ dô 3: T×m:
2
lim n 1 n 1
 
 
 
 
− − +
Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:

Gi¶i:
2n 2
2
lim n 1 n 1 lim lim 1
2 1 1
n 1 n 1
1 1
n
2
n
 
 
 
 
− −
− − + = = =−
− + +
− + +
.

DNG II: CHNG MINH
limu 0
n
=

Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh lý
• Cho hai dãy số
( )
|u | v
n n

u ,v : limu 0
n n n
lim v 0
n





≤
⇒ =
=
(1)
(1)(1)
(1)


•
( )
v u w , n
n n n
limu L
n
limv limw L L
n n






≤ ≤ ∀
⇒ =
= = ∈ℝ
(2)
(2)(2)
(2)


Ví dụ:
Ví dụ:Ví dụ:
Ví dụ: Chứng minh:
( )
n
1 cosn
lim 0
n

=

Giải:
Giải:Giải:
Giải:
Ta có:
( )
n
1 cosn
1
n n

và
1
lim 0
n
=
nên
( )
n
1 cosn
lim 0
n

=




DNG III: CHNG MINH
limu
n

TN TI
Phng phỏp gii: S dng ủnh lý
Dóy (u
n
) tng v b chn trờn thỡ cú gii hn ;
Dóy (v
n
) gim v b chn di thỡ cú gii hn
Ví dụ:

Ví dụ:Ví dụ:
Ví dụ: Chứng minh dãy số
( )
n
u
cho bởi
( )
1
u
n
n n 1
=
+
có giới hạn.
Giải:
Giải:Giải:
Giải:
Ta có
( )( )
( )
u
n n 1
1 n
n 1
. 1, n.
u 1 n 2
n 1 n 2
n
+
+

= = <
+
+ +
Do đó dãy
( )
n
u
giảm. Ngoài ra,
( )
1
*
n :u 0,
n
n n 1
= >
+

nêu dãy
( )
n
u
bị chặn dới. Vậy dãy
( )
n
u
có giới hạn.
DNG IV: TNH TNG CA CP S NHN LI Vễ HN
Phng phỏp gii: S dng cụng thc
u
1

S ,|q| 1
1 q
= <


Ví dụ:
Ví dụ:Ví dụ:
Ví dụ: Tính tổng
1 1 1
S 1
n
2 2
2
2
= + + + + +

Giải:
Giải:Giải:
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
q 1
2
= <
và
u 1
1
=
. Vậy:
u

1
1
S 2
1 q 1
1
2
= = =



DNG V: TèM GII HN Vễ CC
Phng phỏp gii: S dng quy tc tỡm gii hn vụ cc
Ví dụ
Ví dụVí dụ
Ví dụ 1
1 1
1:
::
: Tìm:
3
2n 4n 3
lim
2
3n 1
+
+

Giải:
Giải:Giải:
Giải:

Cách 1:
Cách 1:Cách 1:
Cách 1:


Ta có:
4 3
2
3
2 3
2n 4n 3
n n
lim lim
2 3 1
3n 1
n 3
n
+
+
=
+
+

Lại có
4 3 3 1
lim 2 2 0,lim 0
n2 3 2
n n n

+ = < + =
và
3 1
*
0 n
n
3
n



+ >
nên suy ra:
4 3
2
3
2 3
2n 4n 3
n n
lim lim
2 3 1
3n 1
n 3
n
+
+
= =
+

+

Cách 2:
Cách 2:Cách 2:
Cách 2:



Ta cã:
4 3
4 3
3
n 2
2
3
2 3
2 3
2n 4n 3
n n
n n
lim lim lim n.
2 1
1
3n 1
2
3
n 3
2
2
n

n
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− + −
− + −
− + −
= =
+
+
+



L¹i cã
4 3 4 3
2 2
3

2 3 2 3
2 2n 4n 3
n n n n
limn ; lim 0 lim lim n.
1 3 2 1
3n 1
3 3
2 2
n n
 
 
 
 
 
 
 
− + − − + −
− + −
= +∞ = − < ⇒ = = −∞
+
+ +

VÝ dô
VÝ dôVÝ dô
VÝ dô 2
2 2
2:
::
: TÝnh
2

lim 4x 1
x
−
→−∞

Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:
1 1
2 2
lim 4x 1 lim x 4 lim | x |. 4
x x x
2 2
x x
 
 
 
 
− = − = −
→−∞ →−∞ →−∞

V×
lim | x|
x
= +∞
→−∞
vµ
1
2
lim 4 2 0 lim 4x 1

x x
2
x
− = > ⇒ − = +∞
→−∞ →−∞


DNG VI: TÌM GII HN CA HÀM S
Phương pháp giải: Sử dụng các ñịnh lý và quy tắc
VÝ dô 1:
VÝ dô 1:VÝ dô 1:
VÝ dô 1: TÝnh:
1
lim x.sin
x
x 0
 
 
 
→
.
Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:
XÐt d·y
( )
x
n
mµ x 0, n
n

≠ ∀ vµ
limx 0
n
=
. Ta cã:
( )
1
f x x sin |x |
n n n
x
n
= ≤
V×
( )
lim|x | 0 limf x 0.
n n
= ⇒ = Do ®ã
1
lim x.sin 0
x
x 0
 
 
 
=
→
.
VÝ dô 2:
VÝ dô 2:VÝ dô 2:
VÝ dô 2: TÝnh:

2
lim x x 1 x
x
 
 
 
 
+ + −
→+∞

Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:


Ta cã:
1
1
2 2
x x 1 x x 1 1
2
x
lim x x 1 x lim lim lim
x x x x
2
2 2 1 1
x x 1 x x x 1 x
1 1
x
2

x
 
 
 
 
+
+ + − +
+ + − = = = =
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
+ + + + + +
+ + +

VÝ dô 3:
VÝ dô 3:VÝ dô 3:
VÝ dô 3: TÝnh:
2
lim x 3x 1 x
x
 
 
 
 
+ + +
→−∞

Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:

Ta cã:
1 1
3 3
3x 1 3
2
x x
lim x 3x 1 x lim lim lim
x x x x
2
2 2 3 1
x 3x 1 x x 3x 1
1 1
1
x
2
x x
 
 
 
 
+ +
+
+ + + = = = = −
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
+ + − + +
− + + −
−

(Chó ý: khi
x → −∞

lµ ta xÐt x < 0, nªn
2
x x= −
)

DNG VII: CHNG MINH
( )
lim f x 0
x x
0
=
→
(Hoc bng L)
Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh lý giới hạn kẹp

Giả sử J là một khoảng chứa x
0
và f, g, h là ba hàm số xác ñịnh trên tập hợp
{
}
J \ x
0

khi ñó:
{
}
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
x J\ x :g x f x h x

0
lim f x L
x x
lim g x lim h x L
0
x x x x
0 0







∀ ∈ ≤ ≤
⇒ =
→
= =
→ →

VÝ dô:
VÝ dô:VÝ dô:
VÝ dô: Chøng minh:
2
x sinx
lim 0
x
4
1 x
=

→+∞
+

Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:
Ta lu«n cã:
( ) ( )
2 2 2 2
x sin x x x x
|f x | f x
4 4 4 4
1 x 1 x 1 x 1 x
= ≤ ⇒ − ≤ ≤
+ + + +

1 1
2 2
2 2
x x
x x
lim lim 0; lim lim 0
x x
x x
4 1 4 1
1 x 1 x
1 1
4 4
x x
2 2 2

x x x sinx
lim lim 0 lim 0
x
x x
4 4 4
1 x 1 x 1 x
= = = =
→−∞ →−∞
→+∞ →+∞
+ +
+ +
⇒ = = ⇒ =
→−∞
→+∞ →+∞
+ + +
.




DNG VIII: GII HN MT BÊN
Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh nghĩa giới hạn một bên
• Giả sử hàm số f xác ñịnh trên khoảng
0
(x ;b)
.
 Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần ñến
0
x
(hoặc tại ñiểm

0
x
),nếu với
mỗi dãy
(x )
n
trong khoảng
0
(x ;b)
mà
n 0
limx x=
,ta ñều có
n
limf(x ) L=
.
 ðịnh nghĩa tương tự cho
0
lim f(x) L
x x
=
−
→
.
 Hàm số có giới hạn tại x
0
và
0
lim f(x) L
x x

=
→
tồn tại
lim f(x)
x x
0
+
→
,
0
lim f(x) L
x x
=
−
→

và
lim f(x) lim L
x x
x x
0
0
= =
−
→
+
→
.
VÝ dô
VÝ dôVÝ dô

VÝ dô 1:
1: 1:
1: Cho hµm sè
( )
3
x x 1
f x
2
2x 3 x 1
víi
víi





< −
=
− ≥ −
. T×m
( )
lim f x
x 1
→−

Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:
Ta cã:
( )

( )
2
2
lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1
x 1 x 1
   
   
   
   
 
 
 
= − = − − = −
+ +
→ − → −
(1)

( )
3
lim f x lim x 1
x 1 x 1
   
   
   
   
= = −
− −
→ − → −
(2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra

( )
lim f x 1
x 1
= −
→−

VÝ dô 2:
VÝ dô 2:VÝ dô 2:
VÝ dô 2: Cho hµm sè
( )
1
x 1
x 1
f x
1
x 1
x 1
khi
khi







>
+
=
−

<
+

a) T×m
( )
lim f x
x 2→


b) Tìm
( )
lim f x
x 1

Giải:
Giải:Giải:
Giải:
a)
( )
1 1
lim f x lim
x 1 3
x 2 x 2
= =
+


b)
( )
lim f x

x 1

Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x
1 x 2 1 x 2
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1

= = = =

+ + +
+ +


suy ra
không tồn tại
( )
lim f x
x 1

(Chú ý:
( )
lim f x
x x
0

tồn tại khi và chỉ khi
( ) ( )

lim f x lim f x L
x x
x x
0
0
= =


+

thì
( )
lim f x L
x x
0
=

)

DNG IX: KH DNG Vễ NH
Phng phỏp gii:
1
11
1)
) )
) Khi tìm giới hạn dạng
( )
( )
P x
lim

x x
Q x
0

, với
( ) ( )
lim P x lim Q x 0
x x x x
0 0
= =

:
Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho
x x
0


Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho lợng liên hiệp.
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:Ví dụ 1:
Ví dụ 1: Tìm:
2
x 9x 14
lim
x 2
x 2
+

Giải:
Giải:Giải:
Giải:
( )
( )
( )
2
x 2 x 7
x 9x 14
lim lim lim x 7 5
x 2 x 2
x 2 x 2 x 2

+
= = =



V
VV
Ví dụ 2:
í dụ 2:í dụ 2:
í dụ 2: Tìm:
4 x 2
lim
4x
x 0
+

Giải:
Giải:Giải:
Giải:


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4 x 2 4 x 2
4 x 2 4 x 4 1 1
lim lim lim lim
4x 16
x 0 x 0 x 0 x 0
4x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2
+ + +
+ +
= = = =

+ + + + + +

Ví dụ 3:
Ví dụ 3:Ví dụ 3:
Ví dụ 3: Tìm:

3
x 7 2
lim
x 1
x 1
+



Giải:
Giải:Giải:
Giải:
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
3 3
x 7 2 x 7 2. x 7 4
3
3
x 7 2 x 7 2
lim lim lim
x 1
x 1 x 1 x 1
2 2
3 3
3 3

x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 x 7 2. x 7 4











+ + + + +
+ +
= =


+ + + + + + + +

( )
1 1
lim
12
x 1
2
3
3
x 7 2. x 7 4

= =

+ + + +

Ví dụ 4:
Ví dụ 4:Ví dụ 4:
Ví dụ 4: Tìm:
2x 5 3
lim
x 2
x 2 2
+

+

Giải:
Giải:Giải:
Giải:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 2
2x 5 3
4
lim lim lim lim
x 2 x 2 x 2 x 2
x 2 2
2x 5 3
x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 4 2x 5 3
+ + + + + + + + + +
+
=
= = =

+
+ +
+ + + + + + + +


V
VV
Ví dụ 5:

í dụ 5:í dụ 5:
í dụ 5: Tìm:
3
x 3x 2
lim
x 1
x 1




Giải:
Giải:Giải:
Giải:
( )
( )
( )
3
x 1 3x 2 1
3 3
x 3x 2 x 1 3x 2 1
lim lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
3x 2 1 3 3 3
2 2
lim x x 1 lim x x 1 3
2 2
x 1 x 1
3x 2 1

x 1 3x 2 1



















= = =



+ + = + + = =

+
+
=

Ví dụ 6:
Ví dụ 6:Ví dụ 6:
Ví dụ 6: Tìm:
4
x 2 1
lim
3
x 1
x 2 1
+

+

Giải:
Giải:Giải:
Giải:
Đặt
12
12 12
t x 2 x 2 t x t 2, khi x 1 t 1 đó thì = + + = =
. Do đó:
( )
( )( ) ( )
2
t 1 t t 1
4
3 2
x 2 1 t 1 t t 1 3
lim lim lim lim
3 4 4

2 2
x 1 t 1 t 1 t 1
t 1
x 2 1
t 1 t 1 t 1 t 1 t 1






+ +
+ + +
= = = =


+
+ + + +

Ví dụ 7:
Ví dụ 7:Ví dụ 7:
Ví dụ 7: Tìm:
3
x 7 x 3
lim
x 1
x 1
+ +

Giải:
Giải:Giải:
Giải:
(
)
( )
( )
(
)
( )
3
x 7 2 x 3 2
3 3
x 7 x 3 x 7 2 x 3 2
lim lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
3
x 7 2 x 3 4
lim
2
x 1
x 1 x 3 2
3 3
x 1 x 7 2. x 7 4
1 1 1
lim
12
x 1

2 x 3 2
3
3
x 7 2 x 7 4

+ +
+ + + +
= =


+ +
=

+ +
+ + + +
= =

+ +
+ + + +
1 1
4 6
=




2
22
2)
))
) Khi tìm giới hạn dạng

( )
( )
P x
lim
Q x
x
, ta lu ý:
Đặt
m
x
(m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
Sử dụng kết quả:
1
lim 0
x
x
=


( với
0 >
)
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:Ví dụ 1:
Ví dụ 1: Tìm:
2
3x 4x 1
lim
x
2

2x x 1
+
+
+ +

Giải:
Giải:Giải:
Giải:
4 1
3
2
x 2
3x 4x 1 3
x
lim lim
x x
2 1 1 2
2x x 1
2
x 2
x
+
+
= =
+ +
+ +
+ +


VÝ dô 2:

VÝ dô 2:VÝ dô 2:
VÝ dô 2: T×m:
2
x x 1 3x
lim
x
2 3x
+ + −
→−∞
−

Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:
1 1
1 3
2
x
2
x x 1 3x 1 3 4
x
lim lim
x x
2 3x 2 3 3
3
x
− + + −
+ + − − −
= = =
→−∞ →−∞

− −
−

VÝ dô 3:
VÝ dô 3:VÝ dô 3:
VÝ dô 3: T×m:
3
3 2
8x 3x 1 x
lim
2
x
4x x 2 3x
+ + −
→−∞
− + +

Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:
3 1
38 1
3
3
3 2
x
3
8x 3x 1 x 8 1
x
lim lim 1

x x
2 1 2 4 3
4x x 2 3x
4 3
x
2
x
+ + −
+ + − −
= = =
→−∞ →−∞
− +
− + +
− − + +

3) Dạng
∞−∞
và dạng 0.∞
• Nhân và chia với biểu thức liên hợp
• Nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy ñồng mẫu ñể ñưa về cùng một phân thức.

VÝ dô
VÝ dô VÝ dô
VÝ dô :
::
:
2
lim ( 2 3 )+ + −
→+∞
x x x

x

Gi¶i:
Gi¶i:Gi¶i:
Gi¶i:
2 2
( 2 3 )( 2 3 )
2
lim ( 2 3 ) lim
2
( 2 3 )
3
2
2 3
lim lim 1
2 2 3
( 2 3 )
( 1 1)
2
+ + − + + +
+ + − =
→+∞ →+∞
+ + +
+
+
= = =
→+∞ →+∞
+ + +
+ + +
x x x x x x

x x x
x x
x x x
x
x
x x
x x x
x
x