BÁO CÁO THỰC TẬP-NHỮNG XU HƯỚNG DẠY HỌC KHÔNG TRUYỀN THỐNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
BÀI ĐIỀU KIỆN

Chuyên đề:
NHỮNG XU HƯỚNG DẠY HỌC KHÔNG TRUYỀN THỐNG
Họ và tên : Phạm Thị Thuý Ngần
Mã học viên : K19 0042
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán
Hà Nội, 09-2010
Bài tập 1. Hãy xây dựng hai ví vụ minh hoạ cho mỗi cách tạo tình huống gợi
vấn đề (một ví dụ dành cho học sinh đại trà, một ví dụ dành cho học sinh khá
giỏi)?
1. Dựa vào nhận xét trực quan thực nghiệm.
Ví dụ 1. Khi dạy bài "Phép tịnh tiến và phép dời hình" - HH11NC, trong phần
"Ứng dụng phép tịnh tiến", bài toán nêu như sau:
"Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn (O; R) và một điểm A thay
đổi trên đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm tam giác ABC nằm trên một
đường tròn cố định."
Để gợi động cơ giải quyết bài toán, giáo viên có thể sử dụng phần mềm
hình học động minh học cho học sinh thấy khi điểm A thay đổi trên đường tròn
(O; R) thì trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một đường tròn cố định.
H
O
B
C
A
Sau khi cho học sinh quan sát điểm A di động thì điểm M cũng di động
theo nhưng luôn chạy trên một đường tròn cố định, học sinh sẽ nảy sinh nhu cầu
giải quyết bài toán. Cụ thể là đi tìm xem điểm M nằm trên đường tròn nào. Khi
đó giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phép tịnh tiến để giải quyết bài toán:
B'

H
O
B
C
A
Dễ thấy
AH
uuur
=
BC
uuur
, nên ta có phép tịnh tiến theo véctơ cố định
BC
uuur
biến A
thành H. Do đó khi A thay đổi trên (O; R) thì trực tâm H luôn nằm trên đường
tròn cố định là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép tịnh tiến nói trên.
Khi dạy các phép dời hình tiếp theo như phép đối xứng tâm, phép đối
xứng trục, giáo viên vẫn có thể lấy ví dụ này và hướng dẫn học sinh sử dụng các
phép dời hình khác để giải quyết bài toán. Từ đó góp phần phát huy tính sáng tạo
trong giải toán, nhất là trong giải toán hình học phẳng cho học sinh.
Ví dụ 2. Trong giờ luyện tập về "Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức" -
ĐS10NC, giáo viên cho học sinh bài tập sau:
Bài toán: "Cho a
≥
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = a +
1
a
"
Để hướng dẫn học sinh dự đoán giá trị của a khi S nhỏ nhất rồi từ đó định

hướng cách giải bài toán, giáo viên cho học sinh lập bảng giá trị của a và S như
sau:
a 3 4 5 6 7 8 9 10 …. 30
1
a
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
….
1
30
S 3
1
3
4
1
4

5
1
5
6
1
6
7
1
7
8
1
8
9
1
9
10
1
10
…. 30
1
30
Từ bảng trên ta thấy khi a càng tăng, S càng lớn, và dự đoán a = 3 thì S
nhỏ nhất. Áp dụng bất đẳng thức Cosi, chú ý chọn hai số dương nào đó để dấu
bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi a = 3. Cụ thể:
S = a +
1
a
= (
9
a

+
1
a
) +
8
9
a

≥
2
1
.
9
a
a
+
8.3
9
=
10
3
Vậy S nhỏ nhất bằng
10
3
khi a = 3.
2. Dựa vào lật ngược vấn đề
Ví dụ 1. Trong khi dạy bài "Phương trình tổng quát của đường thẳng" -
HH10NC, hoạt động 2 nêu ra bài toán sau:
"Cho điểm I(x
0

, y
0
)và véctơ
n
r
= (a; b) khác
0
r
. Có bao nhiêu đường thẳng
đi qua I và nhận
n
r
là véctơ pháp tuyến?"
Sau khi giáo viên hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán trên thu được kết
quả: Các đường thẳng d đi qua I và nhận
n
r
là véctơ pháp tuyến có phương trình
dạng ax + by - ax
0
- by
0
= 0 hay ax + by + c = 0, gọi là phương trình tổng quát
của đường thẳng d.
Như vậy khi biết toạ độ một điểm I và toạ độ một véctơ pháp tuyến của
đường thẳng d ta viết được phương tình tổng quát của đường thẳng d.
Ngược lại, khi biết phương trình tổng quất của một đường thẳng, ta có thể
tìm được toạ độ của một điểm và toạ độ của một vectơ pháp tuyến của đường
thẳng đó không?
Câu trả lời là có. Ta có thể chứng minh được rằng: Mỗi phương trình dạng

ax + by + c = 0 với a
2
+ b
2

≠
0 đều là phương trình tổng quát của một đường
thẳng xác định, nhận
n
r
= (a; b) là véctơ pháp tuyến.
Tương tự như vậy, khi dạy bài "Phương trình tham số của đường thẳng" -
HH10NC, ta có kết quả: Khi biết toạ độ một điểm M và toạ độ một véctơ chỉ
phương
u
r
của đường thẳng d ta viết được phương trình tham số của đường thẳng
đó. Ngược lại, khi biết phương trình tham số của đường thẳng d ta tìm được toạ
độ một điểm và toạ độ một vectơ chỉ phương
u
r
của đường thẳng đó.
Ví dụ 2. Trong dạy học ĐS&GT11NC, sau khi học sinh nắm được khái niệm
hàm số liên tục và khái niệm đạo hàm, giáo viên đặt ra câu hỏi:
- Liệu rằng một hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x
o
thì nó có liên tục
tại điểm x
o
hay không?

Dễ dàng thấy rằng nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x
o
thì tồn tại
giới hạn
0
0
( ) ( )
lim
o
x x
f x f x
x x
→
−
−
= f '(x
o
) (*)
Giả sử hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm x
o
. Khi đó:
lim ( ( ) ( ))
o
o
x x
f x f x
→
−
= L
≠

0.
Suy ra
0
0
( ) ( )
lim
o
x x
f x f x
x x
→
−
−
=
0
lim
o
x x
L
x x
→
−

Vì L
≠
0, x - x
o
→
0 khi x
→

x
o
nên
0
lim
o
x x
L
x x
→
−
=
∞

Hay
0
0
( ) ( )
lim
o
x x
f x f x
x x
→
−
−
=
∞
(Mâu thuẫn (*))
Vậy hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x

o
.
- Ngược lại, cho hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x
o
thì nó có đạo hàm tại
điểm x
o
không?
Điều này là không đúng. Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) =
x
có:
0
lim ( )
x
f x
+
→
=
0
lim
x
x
+
→
= 0
0
lim ( )
x
f x
−

→
=
0
lim ( )
x
x
−
→
−
= 0
⇒
0
lim ( )
x
f x
→
= 0 = f(0)
Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 0
Nhưng
0
( ) (0)
lim
0
x
f x f
x
+
→
−
−

=
0
lim
x
x
x
+
→
= 1
0
( ) (0)
lim
0
x
f x f
x
−
→
−
−
=
0
lim
x
x
x
+
→
−
= -1

Do -1
≠
1 nên không tồn tại giới hạn
0
( ) (0)
lim
0
x
f x f
x
→
−
−
hay hàm số đã cho
không có đạo hàm tại x = 0.
Vậy một hàm số có đạo hàm thì liên tục nhưng ngược lại, liên tục thì chưa
chắc có đạo hàm.
3. Dựa vào tương tự hoá
Ví dụ 1. Dạy học "Tính chất của tích vô hướng" trong bài "Tích vô hướng của
hai vectơ" - HH10NC, ta có thể sử dụng tính tương tự từ tính chất của phép nhân
số thực bất kì suy ra tính chất nhân vô hướng của vectơ.
Phép nhân số thực Tích vô hướng
a.b = b.a
.
a b
r
r
=
.
b a

r
r
(k.a).b = a.(k.b) = k.(a.b)
(k.a).b = a.(k.b) = k.(a.b)
r r r
r r r
a.(b + c) = a.b + a.c
a.(b + c) = a.b + a.c
r r
r r r r r
a.(b - c) = a.b - a.c
a.(b - c) = a.b - a.c
r r
r r r r r
a.b = 0
⇔
a = 0 hoặc b = 0
a.b = 0 ????? (a b)⇔ ⊥
r r
r r
a
2

≥
0
2
0
a
≥
r

(a.b)
2
= a
2
.b
2
2 2 2
(a.b) = a .b
r r
r r
????
(
2 2 2 2
(a.b) = a .b os (a,b)
c
r r r
r r r
)
Ví dụ 2. Trong dạy học "Phép dời hình" - HH11NC, ví dụ 2 trang 7 nêu bài
toán: "Hai thôn nằm ở hai vị trí A và B cách nhau một con sông (xem rằng hai
bờ sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN
bắc qua sông (cố nhiên cầu phải vuông góc với hai bờ sông) và làm hai đoạn
đường từ A tới M và từ B tới N. Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho
AM+BN ngắn nhất " (Hình vẽ)
a
b
N
A
B
M

Bái toán sẽ đơn giản hơn nếu con sông rất hẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a
và b xem như trùng vào nhau. Trong trường hợp đó bài toán được phát biểu đơn
giản như sau:
" Cho hai điểm A và B nằm cùng phía với đường thẳng d. Tìm trên d điểm
M sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất"
d
A
Mo
A1
B
M
Với A
1
là ảnh của A qua phép đối xứng trục d, ta có :
AM + MB = A
1
M + MB
≥
A
1
B
Và A
1
B nhỏ nhất khi M
≡
M
o

Bằng cách làm tương tự, ta có thể giải bài toán đã nêu ban đầu như sau:
N

M
A
B
B
1
Thực hiện phép tịnh tiến véctơ
v
r
có phương vuông góc với đường thẳng
a, b ; độ dài bằng khoảng cách giữa a, b và có hướng từ b đến a. Khi đó ta có:
T
v
r
: B
a
B
1
N
a
M
Như vậy AM + NB nhỏ nhất khi AM + MB
1
nhỏ nhất.
Việc tìm M lại quay về bài toán ban đầu.
Xuất phát từ cách giải bài toán trong ví dụ trên, ta có thể đưa ra những bài
toán có cách làm tương tự nhưng nâng dần độ khó như sau:
Bài toán 1. "Cho đường thảng d và hai điểm A, B nằm cùng phía đối với đường
thẳng d. Tìm trên d hai điểm M, N sao cho MN = a cho trước và AM + MN+ NB
có giá trị nhỏ nhất "
Giải: Việc tìm hai điểm M, N thoả mãn điều kiện đầu bài quy về tìm điểm

N; vì nếu tìm được N thì M là ảnh của N qua phép tịnh tiến vectơ -
v
r
có phương
trùng với phương đường thẳng d, độ dài bằng a.
Từ đó AM + MN + NB nhỏ nhất khi AM + NB nhỏ nhất vì MN = a.
Thực hiện phép tịnh tiến T
v
r
: A
a
A
1
;
M
a
N
Suy ra AM + NB nhỏ nhất khi A
1
N + NB nhỏ nhất.
Việc tìm N lại quay trở về bài toán ban đầu.
M
N
A
2
A
B
A
1
Bài toán 2. "Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định các điểm

B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất"
Giải: Xét hai phép đối xứng trục có trục lần lượt là Ox, Oy:
Đ
Ox
: A
a
A
1
Đ
Oy
: A
a
A
2
Khi đó AB = A
1
B, AC = A
2
C
Nên AB + BC + CA nhỏ nhất khi A
1
B + BC + A
2
C nhỏ nhất khi B
≡
B
o
, C
≡
C

o
B
0
C
0
A
1
A
2
O
B
C
A
Bài toán 2 cũng có thể phát biểu dưới dạng khác như sau:
Bài toán 3: "Cho tam giác nhọn ABC. A
1
là điểm cho trước thuộc cạnh BC. hãy
xác định điểm B
1
, C
1
lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho tam giác A
1
B
1
C
1
có chu vi nhỏ nhất"
Từ bài toán trên ta có thể phát triển thành bài toán khác với mức độ khó
cao hơn:

Bài toán 4: "Cho tam giác nhọn ABC. Hãy tìm ba điểm A
1
,B
1
,C
1
lần lượt thuộc
các cạnh BC, CA, AB sao cho tam giác A
1
B
1
C
1
có chu vi nhỏ nhất."
C
0
B
0
A
3
A
2
A
1
A
B
C
C
1
B

1
Giải: Đầu tiên ta xét một vị trí của A
1
trên cạnh BC. Khi đó chu vi tam
giác A
1
B
1
C
1
nhỏ nhất bằng độ dài đoạn A
2
A
3
.
Tiếp theo ta xét tam giác AA
2
A
3
cân tại A, có
·
2 3
AAA
= 2
·
BAC
- không đổi,
nên A
2
A

3
nhỏ nhất khi AA
1
nhỏ nhất. Suy ra A
1
là chân đường vuông góc hạ từ
A xuống BC.
Tương tự có B
1
, C
1
là chân đượng cao của tam giác ABC lần lượt hạ từ
đỉnh B và C.
Vậy tam giác A
1
B
1
C
1
có ba đỉnh là chân ba đường cao của tam giác ABC
là tam giác có chu vi nhỏ nhất thoả mãn điều kiện đầu bài.
4. Dựa vào khái quát hoá
Ví dụ 1. Dạy học “Dạng lượng giác của số phức” – GT12NC, giáo viên hướng
dẫn học sinh tìm dạng lượng giác của số phức:
- Giả sử số phức z có điểm biểu diễn là M. Góc lượng giác
ϕ
tạo bởi
Ox
uuur
và

OM
uuuur
được gọi là argumen của số phức z. Kí hiệu arg z =
ϕ
. Thường arg z là
giá trị không âm nhỏ nhất của
ϕ
.
- Cho số phức z = a + ib có môdun là r =
2 2
0z a b= + >
. Dạng lượng giác
của z là:
z = r (cos
ϕ
+ isin
ϕ
) ; Với a = rcos
ϕ
, b = r sin
ϕ
- Tính z
2
, z
3
?
z
2
= r
2

(cos
ϕ
+ isin
ϕ
)
2

= r
2
(cos
2
ϕ
- sin
2

ϕ
+ 2i cos
ϕ
sin
ϕ
)
= r
2
(cos2
ϕ
+ isin2
ϕ
)
z
3

= r
3
(cos3
ϕ
+ isin3
ϕ
)
- Khái quát hóa ta được công thức Moa-vrơ: z
n
= r
n
(cos n
ϕ
+ isin n
ϕ
)
Ví dụ 2. Trong dạy học luyện tập về “Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng” –
ĐS10NC, giáo viên đưa ra bài tập:
- Bài toán: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta có:
3
2
a
b
+
3
2
b
c
+
3

2
c
a
≥

2
a
b
+
2
b
c
+
2
c
a
(1)
Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức:
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
(
2
a
b
+
2
b
c
+
2
c

a
)(b + c + a)
≥
(a + b + c)
2
(1a)
(
3
2
a
b
+
3
2
b
c
+
3
2
c
a
)(a + b + c)
≥
(
2
a
b
+
2
b

c
+
2
c
a
)
2
(1b)
Từ hai bất đẳng thức trên ta suy ra điều phải chứng minh.
Tương tự, ta cũng chứng minh được các bất đẳng thức:
4
3
a
b
+
4
3
b
c
+
4
3
c
a
≥

3
2
a
b

+
3
2
b
c
+
3
2
c
a
(2)
5
4
a
b
+
5
4
b
c
+
5
4
c
a
≥
4
3
a
b

+
4
3
b
c
+
4
3
c
a
(3)

Chứng minh (2): Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
(
4
3
a
b
+
4
3
b
c
+
4
3
c
a
)(
2

a
b
+
2
b
c
+
2
c
a
)
≥
(
3
2
a
b
+
3
2
b
c
+
3
2
c
a
)
2
Kết hợp với các bất đẳng thức (1a) và (1b) ta được bất đẳng thức cần

chứng minh.
Chứng minh (3) ta sử dụng thêm bất đẳng thức:
(
5
4
a
b
+
5
4
b
c
+
5
4
c
a
)(
3
2
a
b
+
3
2
b
c
+
3
2

c
a
)
≥
(
4
3
a
b
+
4
3
b
c
+
4
3
c
a
)
2
- Khái quát hóa ta được bài toán sau:
Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c , k
*
∈Ν
ta có:
1k
k
a
b

+
+
1k
k
b
c
+
+
1k
k
c
a
+
≥
1
k
k
a
b
−
+
1
k
k
b
c
−
+
1
k

k
c
a
−
(4)
5. Dựa vào lời giải có sai lầm
Ví dụ 1. Trong dạy học "Giới hạn một bên" - ĐS&GT11NC, giáo viên đưa ra ví
dụ:
VD: "Hãy tính giới hạn hàm số I =
0
1 os4x
lim
x
x
c
→
−
"
Có học sinh giải như sau:
0
1 os4x
lim
x
x
c
→
−
=
2
0

2sin 2
lim
x
x
x
→
=
0
2 2 sin 2
lim
2x
x
x
→
= 2
2
Giáo viên hướng dẫn học sinh phát hiện sai lầm trong lời giải bài toán trên
là:
2
2sin 2
x
x
=
2 | sin 2 |
x
x
=
2 sin 2
,sin 2 0
x

2 sin 2
, sin 2 0
x
x
x
x
x

≥




− <


.
Với kiến thức đã học về khái niệm giới hạn hàm số, học sinh chưa giải
quyết được bài toán. Từ đó học sinh có nhu cầu mở rộng kiến thức, muốn biết
thêm khái niệm giới hạn một bên của hàm số để giải bài toán như sau:
0
1 os4x
lim
x
x
c
+
→
−
=

0
2 2 sin 2
lim
2x
x
x
+
→
= 2
2
0
1 os4x
lim
x
x
c
−
→
−
=
0
2 2 sin 2
lim
2x
x
x
−
→
−
= -2

2
Từ đó suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số đã cho tại x = 0.
Ví dụ 2. Trong giờ luyện tập về "Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức" -
ĐS10NC, giáo viên cho học sinh bài tập sau:
Bài tập: "Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = f(x) = x +
2
4
x
−
"
Một học sinh làm như sau:
Điều kiện để
2
4
x
−
có nghĩa là 4 - x
2

≥
0
⇔
-2
≤
x
≤
2. Khi đó:
f(x) = x +
2

4
x
−

≥
x
≥
-2 nên minf(x) = -2
f(x) = x +
2
4
x
−

≤
2 +
4
= 4 nên maxf(x) = 4
Trong lời giải trên là có sai lầm:
maxf(x) = 4 khi
2
2
0
x
x
=


=


(vô nghiệm). Vậy dấu bằng không xảy ra.
Từ đó giáo viên khắc sâu thêm định nghĩa giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của
hàm số là M chỉ đạt được khi tồn tại giá trị của biến x để f(x) = M.
Lời giải đúng như sau:
Điều kiện để
2
4
x
−
có nghĩa là 4 - x
2

≥
0
⇔
-2
≤
x
≤
2. Khi đó:
f(x) = x +
2
4
x
−

≥
x
≥
-2 nên minf(x) = -2 khi x = -2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có:
f(x) = x +
2
4
x
−

≤

2 2 2
2[x ( 4 ) ]
x
+ −
= 2
2

Suy ra maxf(x) = 2
2
khi x =
2
4
x
−
hay x =
2
Bài tập 2. Hãy vận dụng quy trình 4 bước của dạy học Phát hiện và giải quyết
vấn đề vào dạy học một định lý cụ thể trong chương trình Toán THPT hoặc
THCS?
Bài làm: Vận dụng quy trình 4 bước của dạy học Phát hiện và giải quyết vấn đề
vào dạy học một định lý Côsin trong tam giác.

Bước 1. Thâm nhập vấn đề:
Ta biết rằng một tam giác hoàn toàn được xác định nếu biết ba cạnh, hoặc
hai cạnh và góc xen giữa, hoặc một cạnh và hai góc kề; nghĩa là số đo các cạnh,
các góc còn lại của tam giác này hoàn toàn xác định. Như vậy, giữa các yếu tố
của tam giác có những mối liên hệ nào đó. Cụ thể trong tam giác vuông, ta đã
biết hệ thức nào liên hệ giữa các cạnh của tam giác? (a
2
= b
2
+ c
2
- Định lý
Pitago). Trong tam giác thường liệu có hệ thức nào liên hệ giữa các yếu tố trong
tam giác không?
Bước 2. Tìm giải pháp
- Nhắc lại cách chứng minh định lý Pitago?
2
BC
uuur
=
2
AC
uuur
+
2
AB
uuur
được chứng minh như sau:
2
BC

uuur
=
2
( )AC AB−
uuur uuur
=
2
AC
uuur
- 2
.AC AB
uuur uuur
+
2
AB
uuur
=
2
AC
uuur
+
2
AB
uuur
- Trong chứng minh trên, giả thiết góc A vuông được sử dụng như thế
nào? (A vuông nên
AC AB⊥
uuur uuur
hay
.AC AB

uuur uuur
= 0)
B
C
A
- Làm tương tự như chứng minh trên, nhưng thay BC = a, AC = b, AB= c?
(a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cosA)
- Như vậy ta được định lý Côsin trong tam giác.
Bước 3. Thực hiện giải pháp
- Định lý Côsin trong tam giác được phát biểu như sau:
Trong tam giác ABC, với BC = a, AC = b, AB = c, ta có:
a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cosA (1)
b
2
= a
2
+ c
2

– 2ac cosB (2)
c
2
= a
2
+ b
2
– 2ab cosC (3)
- Chứng minh:
(1) Ta có: a
2
=
2
BC
uuur
=
2
( )AC AB−
uuur uuur
=
2
AC
uuur
- 2
.AC AB
uuur uuur
+
2
AB
uuur

= b
2
– 2bc cosA+ c
2
Hay a
2
= b
2
+ c
2
– 2bc cosA
Tương tự ta chứng minh (2), (3).
Bước 4. Kiểm tra, khai thác, đánh giá giải pháp.
- Khi tam giác ABC là tam giác vuông, chẳng hạn
µ
A
= 90
o
, định lý Côsin
trở thành định lý nào?
- Từ định lý Côsin, hãy tính giá trị cosA, cosB, cosC theo a, b, c?
2 2 2
cos
2
b c a
A
bc
+ −
=
2 2 2

cos
2
a c b
B
ac
+ −
=
2 2 2
cos
2
a b c
C
ab
+ −
=