DAP AN-DE HSG Tinh Nghe An

Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 7
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
Thực hiện các phép tính:
a/
8
5
6
5
4
5
4
1
3
1
2
1
13
5
11
5
7
5
13
3
11
3
7
3

+
+
+
+
+
b/ ( 1 + 2 + 3 + + 90 ) ( 12 . 34 - 6 . 68 ) :






+++
6
1
5
1
4
1
3
1
Câu 2 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng 36
36
- 9
10
chia hết cho 45
b/ Tính x, y, z biết rằng:
=
+

=
++
=
++ 211 yx
z
zx
y
zy
x
x + y + z
c/ Tìm các số a, b, c biết: ( - 2a
2
b
3
)
10
+ ( 3b
2
c
4
)
15
= 0
Câu 3 (2 điểm)
Một ngời đi từ A đến B với vận tốc 4 km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45
phút. Sau khi đi đợc
5
4
quãng đờng thì ngời đó đi với vận tốc 3 km/h nên đến B lúc
12 giờ tra. Tính quãng đờng AB, ngời đó khởi hành lúc mấy giờ?

Câu 4 (3 điểm)
ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ACE vuông cân (góc ACE = 90
0
). Đờng
cao Ah của tam giác ABC và đờng cao CK của tam giác BCE cắt nhau ở N. Chứng
minh AN = BC.
Câu 5 (1 điểm)
Cho 25 số, trong đó 4 số bất kì nào cũng có tổng là 1 số dơng. Chứng minh
rằng tổng 25 số ấy là một số dơng
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 7
Câu 1:
5
2
5
3
8
1
6
1
4
1
5
8
1
6
1
4
1

2
13
1
11
1
7
1
5
13
1
11
1
7
1
3
/ +=
+
+
+
+
+

a
= 1 (1 điểm)
b/ Ta có: 12.34 - 6 . 68 = 0
Do đó giá trị của biểu thức bằng 0.
Câu 2:
a/ Ta có 36
36

có tận cùng bằng 6
9
10
có tận cùng bằng 1 (1/4 điểm)
Do đó 36
36
- 9
10
chia hết cho 5, đồng thời cũng chia hết cho 9, vậy chia hết cho 45
(1/4 điểm)
b/ Ta có:
zyx
zy
x
zx
y
zy
x
++=
+
=
++
=
++ 211
(1)
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho 3 tỉ số đầu ta đợc:
( )
zyx
zyx
zyx

++=
++
++
2
(2)
Nếu x + y + z = 0 thì từ (1) suy ra x = 0; y = 0; z = 0.
Nếu x + y + z

0 thì từ (2) suy ra: x + y + z =
2
1
(1/2 điểm)
Khi đó (1) trở thành:
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
=

=
+
=
+ z

z
y
y
x
x
Do đó:


















=
=
=

=
=

=
2
1
2
1
2
1
2
3
2
2
3
2
2
3
2
z
y
x
zx
yy
xx

Có 2 đáp số: (0; 0; 0) và (1/2; 1/2; -1/2) (1/2 điểm)
c/ Ta có: 2
10
. a
20
. b
30

+ 3
15
. b
30
. c
60
= 0
Hai đơn thức ở vế trái đều không âm mà có tổng bằng 0 nên:








=
=

=
=
0.
0.
0
60
.
30
0
30
.

20
cb
ba
cb
ba
(1/4 điểm)
Do đó b = 0, a và c tuỳ ý
hoặc a = 0; c = 0 và b tuỳ ý
hoặc a = 0; b = 0; c = 0.
Câu 3:
Ta có sơ đồ sau:
A C B
Gọi thời gian đi CB với vận tốc 4 km/h là t
1
(phút)
Gọi thời gian đi CB với vận tốc 3 km/h là t
2
(phút)
=> t
2
- t
1
= 15 (phút) và v
1
= 4 km/h; v
2
= 3 km/h. (1/2 điểm)
Ta có
3
4

2
1
=
v
v
mà vận tốc và thờigian là 2 đại lợng tỉ lệ nghịch
nên: (1/2 điểm)
15
1
15
34
12
3
1
4
2
3
4
1
2
==


===
tttt
t
t
=> t
2
= 15 . 4 = 60 (phút) = 1 (giờ) (1/2 điểm)

Vậy quãng đờng AB bằng: 1 . 5 . 3 = 15 (km)
Và ngời đó khởi hành lúc: 12 - 1 . 5 = 8 (giờ)
Câu 4:
Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận (1/2 điểm)
Ta có:





)(
)(
gtCEAC
gtBCNA
NAC = BCE (Góc có cạnh tơng ứng
vuông góc cùng tù) (1)
(1 điểm)
Lại có:

=+
=+





vCE
vCC
1
32

1
32
C
2
= E (2)
và AC = CE (gt) (3) (1 điểm)
Từ (1), (2), (3) =>+ACN =+BEC (gcg)
Vậy AN = BC (1/2 điểm)
Câu 5: (1 điểm)
Trong 25 số đã cho, phải có ít nhất 1 số dơng vì nếu cả 25 số đều âm, thì tổng 4 số
bât kì là âm, trái với đề bài.
Tách riêng một số dơng đó, còn lại 24 số, chia thành 6 nhóm. Theo đề bài mỗi
nhóm đều có tổng mang giá trị dơng nên tổn của 6 nhóm đó là số dơng.
Vậy tổng của 25 số đó là số dơng.
A
B
C
E
N
K