chuyên đề lượng giác ôn thi đh

Phơng trình lợng giác
góc lợng giác & công thức lợng giác
i.lý thuyết
1.giá trị l ơng giác của góc l ợng giác

a.các định nghĩa :
sin

=
OK
cos

=
OH
tan

=
AT
cot

=
BU
b. tính chất
i> sin (

+ k2

) = sin

cos (

+ k2

) = cos

; k

Z
tan (

+ k

) = tan

cot (

+ k

) = cot

; k

Z

ii> với


ta có : - 1

sin

1 ; - 1

cos



1
iii> cos
2

+ sin
2

= 1 tan

.cot

= 1
1 + tan
2

=

2
cos
1
( cos

0 ) 1 + cot
2

=

2
sin
1
( sin



0
)
c. dấu các hàm số l ợng giác :


d. bảng hàm số của cung l -
ợng giác đặc biệt

Chú ý :

+ > sin

= 0

= k

; k

Z

+ > sin

= 1


=

/2 + k2

; k

Z

+> sin

= - 1



= -

/2 + k2

; k

Z

+ > cos

= 0



=

/2 + k

; k

Z

+> cos

= 1



= k2

; k

Z

+> cos

= - 1



=

+ k2

; k

Z
Góc phần t Số đo của góc sin

cos

tan

cot

I 0 <

<

/2
+ + + +
II

/2 <

<


+ - - -
III

<

< 3

/2
- - + +
IV
3

/2 <

< 2

- + - -
2. giá trị l ơng giác của các góc có liên quan đặc biệt

i> cung đối nhau : cos ( -

) = cos

sin ( -

) = - sin

tan ( -

) = - tan

cot ( -

) = - cot


ii> cung hơn kém

: sin (

+

) = - sin

cos(

+

) = - cos


tan(

+

) = tan

cot(

+

) = cot


iii> cung bù nhau : sin (

-

) = sin

cos (

-

) = - cos


tan(

-

) = - tan

cot(

-

) = - cot



iv> cung phụ nhau : sin (

/2 -

) = cos

cos (

/2 -

) = sin


tan (

/2 -

) = cot

cot(

/2 -

) = tan

v> cung hơn kém

/2 : sin (

/2 +

) = cos

cos (

/2 +

) = - sin


tan (

/2 +

) = - cot

cot(

/2 +

) = - cot


3. công thức l ợng giác
a. công thức cộng : cos( x y ) = cosx.cosy + sinx.siny ( 1)

cos( x + y ) = cosx.cosy sinx.siny ( 2 )
sin( x y ) = sinx.cosy cosx.siny ( 3)
sin( x + y) = sinx.cosy + cosx.siny ( 4 )
tan( x y ) =
yx
yx
tan.tan1
tantan
+

( 5 )
tan( x + y ) =
yx
yx
tan.tan1
tantan

+
( 6 )
b. công thức nhân đôi :
i> công thức nhân đôi : sin 2x = 2sinx.cosx ( 7) công thức nhân 3 :
cos 2x = cos
2
x sin
2
x ( 8 ) sin3x = 3sinx 4sin
3
x
tan 2x =
x

x
2
tan1
tan2

( 9 ) cos3x = 4cos
3
x 3cosx

ii> công thức hạ bậc : sin
2
x =
2
2cos1 x
( 10 )
cos
2
x =
2
2cos1 x+
( 11 )
tan
2
x =
x
x
2cos1
2cos1
+

( 12 )

iii> công thức tính theo t = tan x/2 : đặt t = tanx/2 khi đó ta có các công thức biểu diễn sau:
sin x =
2
1
2
t
t
+
( 13 )
cos x =
2
2
1
1
t
t
+

( 14 )
tan x =
2
1
2
t
t

( 15 )
c. công thức biến đổi tích thành tổng và ng ợc lại

i> công thức biến đổi tích thành tổng

cosx.cosy =
2
1
[ cos ( x - y ) + cos ( x + y ) ] ( 16 )
sinx.siny =
2
1
[ cos ( x - y ) - cos ( x + y ) ] ( 17 )
sinx.cosy =
2
1
[ sin( x - y ) + sin ( x + y ) ] ( 18 )
ii> c«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch :
cosx + cosy = 2cos
2
yx +
. cos
2
yx −
( 19 )
cosx - cosy = - 2sin
2
yx +
. sin
2
yx −
( 20 )
sinx + siny = 2sin

2
yx +
. cos
2
yx −
( 21 )
sinx - siny = 2cos
2
yx +
. sin
2
yx −
( 22 )
tanx + tany =
yx
yx
cos.cos
)sin( +
( 23 )
tanx - tany =
yx
yx
cos.cos
)sin( −
( 24 )
chó ý mét sè c«ng thøc sau :

sinx + cosx =
2
.sin( x +

π
/4 ) ( 25)
sinx - cosx =
2
.sin( x -
π
/4 ) ( 26 )
cosx + sinx =
2
.cos( x -
π
/4 ) ( 27 )
cosx - sinx =
2
.cos( x +
π
/4 ) ( 28 )
Gi¶i ph ¬ng tr×nh sau :
1. sinx.cosx + | cosx + sinx| = 1 2. 2
2
sinx( x +
π
/4 ) =
1 1
sin cosx x
+
3. 2 + cos2x = - 5sinx 4. 2tanx + cot2x = 2sin2x +
1
sin 2x
5. sin

2
x = cos
2
2x + cos
2
3x 6. 8.cos
3
(x +
π
/3 ) = cos3x
7. |sinx - cosx| + | sinx + cosx | = 2 8. cos
6
x – sin
6
x = 13/8.cos
2
2x
9. 2sin2x – cos2x = 7.sinx + 2cosx – 4 10. sin3x = cosx.cos2x.( tan
2
x + tan2x )
11. 4.cos
5
x.sinx – 4sin
5
x.cosx = sin
2
4x 12. sinx.cos4x – sin
2
2x = 4sin
2

(
π
/4 – x/2) – 7/2
13. 4cos
3
x + 3
2
.sin2x = 8cosx 14. tanx + 2cot2x =sin2x
15. sin
2
x
.sinx - cos
2
x
.sin
2
x + 1 = 2.cos
2
(
π
/4 -
2
x
) 16. 2.cos
2
x + 2cos
2
2x + 2cos
2
3x – 3 = cos4x(2sin2x

+ 1)
17. 4(sin
4
x + cos
4
x ) +
3
sin4x = 2 18. 1 + cot2x =
2
1 cos 2
sin 2
x
x
−
19. sin4x – cos4x = 1 + 4
2
sin( x -
π
/4 ) 20. ( 1 – tanx )( 1 + sin2x) = 1 + tanx
21.
3(sin tan )
2cos 2
tan sin
x x
x
x x
+
− =
−
22. sin

2
x + sin
2
3x – 3cos
2
2x = 0
23. 4cos
2
x – cos3x = 6cosx – 2( 1 + cos2x) 24. sin3x + cos2x = 1 + 2sinx.cos2x
25. sin2x + 4( cosx – sinx) = 4 26. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx
27. cos2x + cos3x/4 – 2 = 0 28. 2sin3x -
1 1
2cos 3
sin cos
x
x x
= +
29.
2
3.sin 2 2cos 2 2 2 cos 2x x x= − +
30.
2
2
sin x
+ 2tan
2
x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
31. tan2x + sin2x = 3/2.cotx 32.
sin 3 sin 5
3 5

x x
=
33. sin(
3 1 3
) sin( )
10 2 2 10 2
x x
π π
− = +
34. sinx – 4 sin
3
x + cosx = 0
35. sinx.sin2x + sin3x = 6cos
3
x 36. 2cosx.cos2x = 1 + cos2x + cos3x
37. 5( sinx +
cos3 sin 3
) cos 2 3
1 2sin 2
x x
x
x
+
= +
+
38. sin
2
3x – cos
2
4x = sin

2
5x – cos
2
6x
39. cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 40. cotx – 1 =
2
cos 2 1
sin sin 2
1 tan 2
x
x x
x
+ −
+
41. cotx – tanx + 4sinx =
2
sin 2x
42. sin
2
(
2 2
) tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
− − =
43. 5sinx – 2 = 3( 1 – sinx)tan
2
x 44. ( 2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx

45. cos
2
3x.cos2x – cos
2
x = 0 46. 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
47. cos
4
x + sin
4
x + cos( x -
4
π
).sin(3x -
4
π
) -
3
2
= 0 48. ( cos2x – cos4x )
2
= 6 + 2sin3x
49. ( cos2x – cos4x)
2
= 6 + 2sin3x 50.
3
sinx + cosx =
1
cos x
51. ( 1 + cosx ).( 1 + sinx ) = 2 52. 2cosx +
2

sin10x = 3
2
+ 2cos28x.sinx
53. sin2x + cos2x = 1 + sinx – 4cosx 54. (
1 cos cosx x− +
).cos2x =
1
2
sin4x
55.
1 2(cos sin )
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
56.
4 4
sin cos 1
(tan
sin 2 2
x x
x
x
+
= +
cotx )
57. sin2x + 2tanx = 3 58. sin
3

( x +
4
π
) =
2
sinx
59. 8
2
cos
6
x + 2
2
sin
3
x.sin3x - 6
2
cos
4
x – 1 = 0. 60. 1 – 5sinx + 2cos
2
x = 0. tho¶ m·n cosx
≥
0.
61. cos
3
x + sin
3
x = sin2x + sinx + cosx 62. sinx.cos4x + 2sin
2
2x = 1 – 4.sin

2
(
4
π
-
2
x
)
63. 4
3
sinx.cosx.cos2x = sin8x 64. sin4x – cos4x = 1 + 4(sinx – cosx )
65. sin( 3x -
4
π
) = sin2x.sin( x +
4
π
) 66. 4sin
3
x.cos3x + 4cos
3
x.sin3x + 3
3
cos4x = 3.
67.
2
2
4
cos cos
3

0
1 tan
x
x
x
−
=
−
68. sin
2
4x – cos
2
6x = sin( 10,5
π
+ 10x)
69. tan
2
x.cot
2
x.cot3x = tan
2
x – cot
2
x + cot3x 70. sin3x + 2cos2x – 2 = 0.
71. cos2x + 3cosx + 2 = 0 72. 3cos4x – 2cos
2
3x = 1.
73. 1 + 3cosx + cos2x = cos3x + 2sinx.sin2x 74. tanx + tan2x = - sin3x.cos2x
75. 3( cotx – cosx ) – 5(tanx – sinx) = 2 76. tanx + cotx = 2( sin2x + cos2x )
77. sin

4
x + cos
4
x =
7
8
cotg( x +
3
π
).cotg(
)
6
x
π
−
78. 2
2
( sinx + cosx ).cosx = 3 + cos2x
79.sin
4
x + sin
4
( x +
4
π
) + sin
4
(x -
4
π

) =
9
8
80.
sin 2
2
1 sin
x
x
+
+
cosx = 0
81. cos
2
x + sinx – 3sin
2
x.cosx = 0 82. 2sin
3
x + cos2x = sinx
83.
3 cos cos 1 2x x− − + =
84. sinx.cosx + 2sinx + 2cosx = 2
85. sin3x(cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 0. 86.
3
5 4sin( )
2
3
sin
x
x

π
+ −
= −
87. 3tan
3
x – tanx +
2
2
3(1 sin )
8cos ( )
cos 4 2
x x
x
π
+
− −
= 0. 88. cos7x -
3
sin7x = -
2
,
2 6
5 7
x
π π
< <
89.cosx.cos2x.cos4x.cos8x =
1
16
90. 2cos

3
x = sin3x
91. cos2x -
3
sin2x -
3
sinx – cosx + 4 = 0 92. cos2x = cos
2
x.
1 tan x+
93. 3cot
2
x + 2
2
sin
2
2x

= ( 2 + 3
2
)cosx 94.tanx – sin2x – cos2x + 2(2cosx -
1
cos x
) = 0
95. 4( sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1) 96.2cos2x + sin
2
x.cosx + sinx.cos
2
x = sinx + cosx
97. tanx.sin

2
x -2sin
2
x = 3( cos2x + sinx.cosx) 98.sin2x( cotx + tan2x) = 4cos
2
x
99. 48 -
4 2
1 2
(1 cot 2 .cot ) 0
cos sin
x x
x x
− + =
100. sin
6
x + cos
6
x = cos4x
101. cos
3
x + cos
2
x + 2sinx – 2 = 0 102. 2 + cosx = 2tan
2
x
103. cos3x +
2 2
2 cos 3 2(1 sin 2 )x x− = +
104. sinx + sin2x + sin3x = 0

105. cotx – tanx = sinx + cosx 106.sin3x + cos2x =1 + 2sinx.cos2x
107. 2cos2x – 8cosx + 7 =
1
cos x
108. cos3x.cos
3
x – sin3x.sin
3
x = cos
3
4x

+
1
4
109. 9sinx + 6cosx -3sin2x + cos2x = 8 110. sin
3
x.cos3x + cos
3
x.sin3x = sin
3
4x
111. sin
8
x + cos
8
x = 2( sin
10
x + cos
10

x ) +
5
4
cos2x 112.
2 4
sin 2 cos 2 1
sin .cos
x x
x x
+ −
= 0
113. 2sin
3
x – cos2x + cosx = 0 114. 1 + cos
3
x – sin
3
x = sin2x
115.
2
sin sin sin cos 1x x x x+ + + =
116. cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x =

3
2

117. cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 118. 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx.
119.
6 6
2(cos sin ) sin .cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
120. cotx + sinx( 1 + tanx.tan
2
x
) = 4.
121. cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 122. (1 + sin
2
x).cosx + (1 + cos
2
x).sinx = 1 + sin2x
123. 2sin
2
2x + sin7x – 1 = sinx 124. ( sin
2
x
+ cos
2

x
)
2
+
3
.cosx = 3
125. sin2x + cos2x -3sinx – cosx + 1 = 0 126. sin3x -
3
cos3x = 2sin2x
127. sin
3
x -
3
cos
3
x = sinx.cos
2
x -
3
sin
2
x.cosx 128. 2sinx( 1 + cos2x ) + sin2x = 1 + 2cosx
129.
1 1 7
4sin( )
3
sin 4
sin( )
2
x

x
x
π
π
+ = −
−
130.
sin
3
x + cos
3
x + cos2x = 0
131. sin(
5
2 4
x
π
−
) – cos(
2 4
x
π
−
) =
3
2 cos
2
x
132.
1 + tan

2
x
= cosx + tan²
2
x






−
+
1xcos
xsin
x2cos
133. tanx + 2cot2x = cosx + sin2x 134. tan
4
x + 1
2
4
(2 sin 2 )sin 3
cos
x x
x
−
=
135.
−
=

−
1 2(cos sin )
tanx + cot2x cot 1
x x
x
136. 9sinx + 6 cosx + cos2x - 3sin2x = 8
137. cos3x.sin2x - cos4x.sinx =
xx cos13sin
2
1
++
138.
2
1
2
3
sin.
2
sin.sin
2
3
cos.
2
cos.cos =−
xx
x
xx
x
139.
2sinx + cosx = sin2x + 1 140.

1 sin
1
x
cotx
cosx
−
= −
+
141.
2
2cos x 2 3sinxcosx 1 3(sinx 3 cosx)+ + = +
142.
1 1
sin 2x sin x 2cot 2x
2sin x sin 2x
+ − − =
143.
( )
tan 3 cot 8 cos 2 sin 3 cosx x x x x- = +
144.
( ) ( )
01cos232tan1sin2
222
=−+− xxx
145. cotx = tanx +
x
x
2sin
4cos2
146.

4 4
cos sin cos sin− = +x x x x
147. cos
3
x + sin
3
x + 1 = 2.cos
2
x 148. Sinx + tanx =
Cosx
1
+ Cos(x -
π
)
149.
3
34
cos.sin2cot.costan.sin
22
=−+ xxxxxx
150.
2
2
(1 cos 2 )
sin 2.cos 2
2sin 2
x
x x
x
+

+ =
151.
2
1 2sin 3 2 sin sin 2
1
2sin cos 1
x x x
x x
+ − +
=
−
152.
( ) ( )
2 2 2
2sin x 1 tan 2x 3 2cos x 1 0.− + − =
153.
2sin 2x 4sin x 1 0.
6
π
 
− + + =
 ÷
 
154.
cos 2x (1 2 cos x)(sin x cos x) 0.+ + − =
155.
3 2
4sin x 4sin x 3sin2x 6cosx 0.+ + + =
156.
3 3 2

cos x sin x 2sin x 1.+ + =
157.sin2x + sinx -
1 1
2cot 2
2sin sin 2
x
x x
− =
158. 2cos
2
x + 2
3
sinx.cosx + 1 = 3(sinx +
3
cosx)
159.(2sin
2
x -1)tan
2
2x + 3(2cos
2
x – 1 ) = 0 160.
sin 2 cos 2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
+ = −
.