chuyen de ham so on thi ĐH_CĐ

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 1

CHUYÊN ĐỀ 1
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K.
a) f được gọi là đồng biến trên K nếu:

1 2 1 2 1 2
x , x K , x < x f(x ) < f(x )
  

b) f được gọi là nghịch biến trên K nếu:

1 2 1 2 1 2
x , x K , x < x f(x ) > f(x )
  

2. Định lí: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f đồng biến trên I thì:
f'(x) 0, x K
  

b) Nếu f nghịch biến trên I thì:
f'(x) 0, x K
  

3. Định lí: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu
f'(x) 0, x I

  
thì f đồng biến trên I.
b) Nếu
f'(x) 0, x I
  
thì f nghịch biến trên I.
c)Nếu
f'(x) 0, x I
  
thì f không đổi trên I.
Chú ý:
a) Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu
f'(x) 0, x I
  
(hoặc
f'(x) 0, x I
  
) và
f'(x) 0

tại một số hữu hạn điểm của I thì f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I.
b) Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm
f'(x) 0

trên khoảng (a;b) thì f
đồng biến trên [a;b]. Tương tự cho trường hợp f nghịch biến.
4 . Các bước xét chiều biến thiên của hàm số f (sự đồng biến nghịch biến của hàm số f).
-Tìm tập xác định.
-Tính f’(x). Tìm các điểm tới hạn x
i

(i = 1, 2, …, n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không
xác định.
-Lập bảng biến thiên.
-Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
B. BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ
PP:
-Tìm TXĐ của hàm số.
-Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x
i
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
-Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
-Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
BÀI TÂP
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:

2
3 2 4 2
3 2 x 2x + 3
) 2x + 3x + 1 b) y = 2 3 ) )
1 1
x
a y x x c y d y
x x
 
    
 

Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

3
2
2 2
) 25 ) ) )
100
16 6
x x x
a y x b y c y d y
x
x x
    

 

Bài 3. Chứng minh rằng:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 2

a)Hàm số
2
1
y x x
  
đồng biến trên khoảng
1
1;
2
 


 
 
và nghịch biến trên khoảng
1
;1
2
 
 
 
.
b)Hàm số
2
20
y x x
  
nghịch biến trên khoảng


; 4
 
và đồng biến trên
khoảng


5;

.
Bài 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

 
5
) sin , 0;2 ) 2cos , ;
6 6
a y x x x b y x x x
 

 
     
 
 

Bài 5. Chứng minh rằng:
a)


cos2 2 3
f x x x
  
nghịch biến trên R.
b)


2
cos
f x x x
  đồng biến trên R.
Bài 6. Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a) y =
3 2

2x + 3x - 1
b) y =
3 2
-x + 2x - x + 1

c) y =
3 2
x - 3x + 9x + 1
d) y =
3 2
-x + 2x - 5x + 2

Bài 7. Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a) y =
4 2
x - 2x + 5
b) y =
2 2
x (2 - x )

c) y =
4
2
x
+ x - 3
4
d) y =
4 2
-x - x + 1

Bài 8. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a) y =
x + 1
x
b) y =
3x + 1
1 - x

c) y =
2
x - 2x
1 - x
d) y =
2
-x - 2x + 3
x + 2

e) y =
2
2
x - x + 1
x + x + 1
f) y =
2
2x
x 9


g) y = x +
1

x
b) y = x -
1
x

Bài 9. Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a) y =
2
x - 2x + 3
b) y =
x + 1
x - 1

c) y =
2
x - 4
d) y =
2
x 1 - x



DẠNG 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SÔ
PP:
Sử dụng các kiến thức sau đây:
1.Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 3

Nếu

'( ) 0,
f x x K
  
thì f(x) đồng biến trên K.
Nếu
'( ) 0,
f x x K
  
thì f(x) nghịch biến trên K.
2.Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c có biệt thức
2
4
b ac
  
. Ta có:

0
( ) 0,
0
a
f x x R


   

 


0
( ) 0,
0
a
f x x R


   

 



3.So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của tam thức bậc hai
2
( )
g x ax bx c
  
với số 0:

1 2
0
0 0
0
x x P

S
 


   





1 2
0
0 0
0
x x P
S
 


   





1 2
0 0
x x P
   

4.Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước
sau:
( ) ( ), ax ( ) ( )
( ) ( ), ax ( ) ( )
x K
x K
f x g m x K m f x g m
f x g m x K m f x g m


    
    

Giả sử tồn tại
min ( )
x K
f x


( ) ( ), min ( ) ( )
( ) ( ), min ( ) ( )
x K
x K
f x g m x K f x g m
f x g m x K f x g m


    
    

Chú ý: để xét tính đơn điệu dạng hàm số chứa tham số còn có thể vận dụng tam thức bậc 2
tuy nhiên nó ko năm trong chương trình dạy
BÀI TẬP
A – HÀM ĐA THỨC
Bài 1
Cho hàm số
3 2
3( 1) 3 ( 2) 1
y x m x m m x
     
. Tìm m để hàm số
a. Đồng biến trên R
b. Nghịch biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R.
2
' 3 6( 1) 3 ( 2)
y x m x m m
    

a. Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
 

3 0
' 6 9 0
3

2
a
m
m
 



   

  

b. Hàm số nghịch biến trên R khi
' 0,
y x
 

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 4

3 0
( ô )
' 6 9 0
a
v nghiem
m
 




   



Bài 2
Cho hàm số
3 2
1
3
y mx mx x
  
. Tìm m để hàm số đã cho luôn nghịch biến
Lời giải: TXĐ: D = R
2
' 2 1
y mx mx
   

Trường hợp 1:
0 ' 1 0
m y
     
m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
0
m


Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi
' 0,

y x
 

2
2
2 1 0,
0
' 0
0
0 1
mx mx x
a m
m m
m
m
     
  



   





 


Bài 3
Cho hàm số
2
( )
y x m x m
  
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
3 2
'
y x mx m
   

Hàm số đã cho nghịch biến trên R khi
' 0,
y x
 

3 2
2
0,
1 0
0
0
x mx m x
a
m
m
     

  



  

 

Bài 4
Cho hàm số
3 2
2 ( 1) 3
y x x m x m
     
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải: TXĐ: D = R.
2
' 3 4 1
y x x m
   

Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
 

2
3 4 1 0,
3 0
' 3 7 0

7
3
x x m x
a
m
m
     
 



    

 

Bài 5
Cho hàm số
2
( ) 6
y x m x mx
   
. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 5

Lời giải:
TXĐ: D = R.
2
' 3 2
y x mx m

   

Hàm số nghịch biến trên R khi
' 0,
y x
 

2
2
3 2 0,
3 0
3 0
0 3
x mx m x
a
m m
m
     
  



   

  

Vậy: Với
0 3
m
 

thì điều kiện bài toán được thỏa
Bài 6
Cho hàm số
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x
      
. Tìm m để hàm số luôn luôn giảm
Lời giải: TXĐ: D = R.
2
' 2( 1) 3
y x m x m
     

Hàm số luôn luôn giảm khi
' 0,
y x
 

2
2
2( 1) 3 0,
1 0
( ô )
' 4 0
x m x m x
a
v nghiem

m m
       
  



    


Vậy: Không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán
Bài 7
Cho hàm số
3 2
1
( 1) 2( 1) 2
3
y x m x m x
     
. Tìm m để hàm số luôn tăng trên R
Lời giải: TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 2( 1)
y x m x m
    

Hàm số luôn tăng trên R khi
' 0,
y x
 

2
2( 1) 2( 1) 0,
1 0
' ( 1)( 3) 0
1 3
x m x m x
a
m m
m
      
 



    

  

Vậy: Với
1 3
m
 
thì điều kiện bài toán được thỏa
Bài 8
Cho hàm số
3 2
1 1 3
(sin cos ) sin2
3 2 4
y x m m x x m

    . Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ: D = R
2
3
' (sin cos ) sin 2
4
y x m m x m
   
Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
 

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 6

2
3
(sin cos ) sin2 0,
4
1 0
1 2sin 0
1 2sin 0
2 2 2
6 6
12 12
x m m x m x
a
m

m
k m k
k m k
 
 
 
 
     
 



   

  
     
     

Bài 9
Định m để hàm số
3 2
1
2(2 ) 2(2 ) 5
3
m
y x m x m x

     
luôn luôn giảm
Lời giải

TXĐ: D = R
2
' (1 ) 4(2 ) 4 2
y m x m x m
     
Trường hợp 1:
1
1 ' 4 2 0
2
m y x x
       
nên m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
1
m


Hàm số luôn giảm khi
2
1 0
1
2 3
2 3
' 2 10 12 0
a m
m
m
m
m m
  



   
 
 
    



Bài 10
Cho hàm số
2 3 2
( 5 ) 6 6 6
y m m x mx x
    
. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải
TXĐ: D = R
2 2
' 3( 5 ) 12 6
y m m x mx
   

Trường hợp 1:
2
5 0 0, 5
m m m m
     

+

0 ' 6 0
m y
    
m = 0 thỏa yêu cầu bài toán
+
5 ' 60 6
m y x
      
m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
2
5 0
m m
 

Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x
 

2 2
3( 5 ) 12 6 0,
m m x mx x
     

2
2
5 0
' 2 10 0
0 5

a m m
m m
m

  



   


  

Vậy: Với
0 5
m
 
thì yêu cầu bài toán được thỏa
B – HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
Bài 11
Tìm m để hàm số
2
3
mx
y
x m


 
luôn đồng biến

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 7

Lời giải:
TXĐ:


\ 3
D R m
 
2
2
3 2
'
( 3)
m m
y
x m
 

 

Hàm số luôn đồng biến khi
' 0, 3
y x m
   

2
3 2 0
1 2

m m
m m
   
   

Bài 12
Cho hàm số
2 2
2
1
x m x m
y
x
  


. Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
của nó
Lời giải:
TXĐ:


\ 1
D R
 

2 2
2
2 2
'

( 1)
x x m m
y
x
   



Hàm số đồng biến trên tập xác định khi
' 0, 1
y x
   

2 2
2
2 2
2 2 0, 1
1 0
3 0
( 1) 2( 1) 2 0
1 13 1 13
2 2
x x m m x
a
m m
m m
m m
        
 



      


      

 
   
 

Bài 13
Cho hàm số
x
y
x m


. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định
Lời giải:
TXĐ:


\
D R m

2
'
( )
m
y

x m




Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi
' 0,
y x m
  

0
0
m
m
  
 

Bài 14
Cho hàm số
2 2
( 2) 2 2
1
mx m x m m
y
x
    


. Xác định m để hàm số nghịch biến trên từng
khoảng xác định của nó

Lời giải:
TXĐ:


\ 1
D R
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 8

2 2
2
2 3
'
( 1)
mx mx m m
y
x
  



Trường hợp 1:
0 ' 0
m y
   
chưa xác định được tính đơn điệu của hàm số nên m=0
không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
0
m



Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi
' 0, 1
y x
  

2 2
3 2
2 2
2 3 0, 1
0
' 2 0
1 2 .1 3 0
0
2 0
0, 6
0
mx mx m m x
a m
m m
m m m m
m
m
m m
m
      
 



    


   




  


 

 

Bài 15
Cho hàm số
2 3 2
( 1) 2 ( 2)
m x mx m m
y
x m
    


. Tìm m để hàm số đồng biến trên R
Lời giải:
TXĐ:



\
D R m

2 2 3 2
2
( 1) 2( ) 2
'
( )
m x m m x m m
y
x m
     



Trường hợp 1:
 
2
2
1 ' 0, 1
1
m y x
x
        

m = - 1 thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
1
m
 

Hàm số đồng biến trên R khi
' 0,
y x m
  

2 2 3 2
2 2 3 2
( 1) 2( ) 2 0,
1 0
2 2 0
( 1) 2( ). 2 0
1
1
2 0
1
m x m m x m m x m
a m
m
m m m m m m m
m
m
m
         

  

     



      

 


  




  

Nâng cao
Bài 16
Định m để hàm số
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x
     
đồng biến trong khoảng
(2; )


GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 9

Lời giải:
TXĐ: D = R

2
' 2( 1) 3( 2)
y mx m x m
    

Điều kiện bài toán được thỏa khi
2
' 0, 2 2( 1) 3( 2) 0, 2
y x mx m x m x
          

2
2 6
, 2
2 3
x
m x
x x
 
   
 

Xét hàm số
2
2 2 2
2 6 2 12 6
( ) '( )
2 3 ( 2 3)
x x x
g x g x

x x x x
   
  
   

3 6
'( ) 0
3 6
x
g x
x

 
 

 



Bảng xét dấu
x


3 6
 2
3 6




g’(x)

+ 0
-
- 0 +
g(x)

2
3
0


6
3 2 6




Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện bài toán được thỏa khi
2
3
m


Bài 17
Cho hàm số
3 2
3 4
y x x mx
   

. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng


;0

Lời giải
TXĐ: D = R
2
' 3 6
y x x m
  

Hàm số đồng biến trên


;0

khi
' 0, ( ,0)
y x
   

2
2
( ,0)
3 6 0, ( ,0)
3 6 ( ), ( ,0)
min ( )
x x m x
m x x g x x

m g x

      
      
 

Ta có:
'( ) 6 6 0 1
g x x x
     

Vẽ bảng biến thiên ta có
( ,0)
min ( ) ( 1) 3
m g x g

    

Kết luận: Với
3
m
 
thì điều kiện bài toán được thỏa
Bài 18
Cho hàm số
3 2
3 2
y x x mx
    
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên khoảng



0;2

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 10

Lời giải
TXĐ: D = R
2
' 3 6
y x x m
   

Hàm số đồng biến trên (0, 2) khi
' 0, (0,2)
y x
  

2
2
(0,2)
3 6 0, (0,2)
3 6 ( ), (0,2)
max ( )
x x m x
m x x g x x
m g x
      
     

 

Ta có:
'( ) 6 6 0 1
g x x x
    

Vẽ bảng biến thiên ta có
(0,2)
max ( ) 0
m g x
 

Vậy:
0
m

thì điều kiện bài toán được thỏa
Bài 19
Cho hàm số
   
3 2
1
1 3 2
3 3
m
y x m x m x
     
. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng
biến trên



2;


Lời giải
TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 3( 2)
y mx m x m
    

Trường hợp 1:
0 ' 2 6 0 3
m y x x
      
nên không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
0
m


Hàm số đồng biến trên


2;

khi
' 0, [2, )
y x

   

2
2
[2, )
' 2( 1) 3( 2) 0, [2, )
6 2
( ), [2, )
2 3
max ( )
y mx m x m x
x
m g x x
x x
m g x

         

     
 
 

Ta có:
2
2 2
2 12 6
'( ) 0 3 6
( 2 3)
x x
g x x

x x
 
    
 

Vẽ bảng biến thiên ta được
[2, )
2
max ( ) (2)
3
m g x g

  

Bài 20
Tìm m để hàm số
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x
      
đồng biến trên (0; 3)
Lời giải:
TXĐ: D = R
2
' 2( 1) 3
y x m x m
     

Hàm số đồng biến trên (0; 3)
2
' 2( 1) 3 0, (0;3)
y x m x m x         
2
2
(2 1) 2 3
2 3
( ) (*)
2 1
m x x x
x x
m g x
x
    
 
  


GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 11

Ta có:
2
2
2 2 8
'( ) 0, (0;3)
(2 1)
x x
g x x

x
 
   



g(x) là hàm số đồng biến trên (0; 3)
12
(0) ( ) (3) 3 ( )
7
g g x g g x
      

Vậy điều kiện (*) được thỏa khi
12
7
m


Bài 21
Tìm m để hàm số
3 2
1 1
(1 3 ) (2 1)
3 3
y mx m x m x
     
nghịch biến trên [1; 5]
Lời giải
2

' 2(1 3 ) 2 1
y mx m x m
    

Trường hợp 1:
1
0 ' 2 1 0
2
m y x x
       
nên không thỏa yêu cầu bài toán
Trường hợp 2:
0
m


Hàm số nghịch biến trên [1; 5] khi
2
' 2(1 3 ) 2 1 0, [1;5]
y mx m x m x       
2
2 1
( ), [1;5]
6 2
x
m g x x
x x

     
 

[1;5]
ax ( )
m m g x
 

Ta có:
2
2 2
1 21
2( 5)
2
'( ) 0
( 6 2)
1 21
2
x
x x
g x
x x
x

 


 

  
 


 




Vẽ bảng biến thiên ta có
[1;5]
11
ax ( )
3
m m g x
 

Bài 22
Tìm m để




2
6 5 2 1 3
1
mx m x m
y
x
   


nghịch biến trên [1, )
Giải: Hàm số nghịch biến trên [1, ) 

 
2
2
2 7
0 1
1
mx mx
y x
x
 

   





2 2
2 7 0 2 7 1
mx mx m x x x
        

 
2
7
1
2
u x m x
x x


   




1
Min
x
u x m

 
. Ta có:
 


2 2
7 2 2
0 1
( 2 )
x
u x x
x x


   


 u(x) đồng biến trên [1, ) 
 
 

1
7
Min 1
3
x
m u x u


  
Bài 23
Tìm m để hàm số
2
(1 ) 2
2 3
mx m x m
y
x
  


đồng biến trên


4;


Lời giải
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 12

2
2
2 6 3
'
(2 3)
mx mx m
y
x
  



Hàm số đồng biến trên


4;

khi


2
2
2 6 3
' 0, 4;
(2 3)
mx mx m
y x
x
  
    









2
2
4;
2 6 3 0, 4;
3
( ), 4;
2 6 1
ax ( )
x
mx mx m x
m g x x
x x
m m g x
 
       
     
 
 

Ta có:



2 2
6(2 3)
'( ) 0, 4;
(2 6 1)
x
g x x
x x
 
     
 
g(x) là hàm số nghịch biến trên


4;


nên


4;
3
ax ( ) (4)
7
x
m m g x f
 
  

Bài 24. Cho ham số
4

mx
y
x m



. Với giá trị nào của m thì hs nghịch biến trên (

;1)
Giải:
Ta có
2
,
2
4
( ,1)
( )
m
y vs x
x m

  


Để thỏa mãn yêu cầu bài toán

2
,
4 0
0, ( ,1)

( ,1)
2 2
2 1
1
m
y x
x m
x
m
m

 
    

   

  

     

 


Nếu tham số ơ dưới mẫu thì làm như trên
Bài 25
Định m để hàm số
2
2 3
2 1
x x m

y
x
  


nghịch biến trong khoảng
1
;
2
 
 
 
 

Lời giải
TXĐ:
1
\
2
D R
 
 
 
 

2
2
4 4 3 2
'
(2 1)

x x m
y
x
   



Hàm số nghịch biến trên
1
;
2
 
 
 
 
khi
2
2
4 4 3 2 1
' 0, ;
(2 1) 2
x x m
y x
x
   
 
     
 

 

2
1
;
2
3 1
2 2 ( ), ;
2 2
max ( )
m x x g x x
m g x
 
 
 
 
 
         
 
 
 

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 13

Ta có:
1
'( ) 4 2 0, ;
2
g x x x
 

       
 
 

Vậy:
1
;
2
1
max ( ) 1
2
m g x g
 
 
 
 
 
    
 
 

Một số bài toan sủ dụng dấu tam thức bậc 2 đơn giản hơn rất nhiều
Bài 26
Định m để hàm số
3 2
3 ( 1) 4
y x x m x m
     nghịch biến trong ( - 1; 1)
 D=R


2
' 3 6 1
y x x m
   

TH:
0
 
không thỏa mãn
TH:
0
 
g(x) có hai nghiệm.
Hàm số nghịch biến trong ( - 1; 1)
' 0
y
 
và
1 2
1 1
x x
   

( 1) 0
(1) 0
af
af
 






3(3 6 1) 0
3(3 6 1) 0
m
m
   



   

4
8
m
m




 

8
m
  

 Vậy:
8
m

 
thì hs nghịch biến trong ( - 1; 1).
Bài 27 Định m để hàm số
3 2 2
( 1) (2 3 2)
y x m x m m x
      tăng trên
(2; )


 D=R

2 2
' 3 2( 1) (2 3 2)
y x m x m m
     

Hàm số tăng trên
(2; )

' 0
y
 
và
1 2
2
x x
 

' 0

' 0
(2) 0
2
2
af
S
 





 














2
2
2

7 7 1 0
7 7 1 0
3( 2 6) 0
2( 1)
2
3.2
m m
m m
m m
m

  



  





   



 






3
2
2
5
m
m

  




 

3
2
2
m
   

 Vậy:
3
2
2
m
  
thì hs tăng trên
(2; )


Bài 28 Định m để hàm số
3 2
3
y x x mx m
   
nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng
1.
 D=R

2
' 3 6
y x x m
  

Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
' 0
y
 
và
1 2
1
x x
 

2
9 3 0
3
3
4 4 1

4
4 1
m
m
m
m
S P
 



   
 
 
 



 Vậy:
3
4
m

thì hs nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 14

Bài 29 : Cho hàm số
2
2 2

1
x mx m
y
x m
  

 
(C
m
). Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
(0; )


Lời giải
TXĐ:


\ 1
D R m
 

2 2
2
2 4( 1) 2
'
( 1)
x m x m
y
x m
   


 

Hàm số đồng biến trên
(0; )

khi
2 2
2
2 4( 1) 2
' 0, (0; )
( 1)
x m x m
y x
x m
   
    
 


TH:
0
 
g(x) luôn đb với mọi x thuộc R
TH:
0
 

Tam
1 2 1 2

2
1 2
0 0 0
0 0 2(1 ) 0 1 2
0
2
2 2
0
2
m m
x x S x x m m m
P x x
m
m m



   




             
  
  
 

   







Kết luận: với
2 2
m m
   
thì yêu cầu bài toán được thỏa thức g(x) có biệt thức
2
' 2( 2)
m   . Ta xét
Bài tập tự giải:
Bài 1. Tìm các giá trị của tham số a để hàm số
 
3 2
1
4x + 3
3
f x x ax   đồng biến trên R
Bài 2. Với giá trị nào của m, hàm số


;1

đồng biến trên mỗi khoảng xác định ?
Bài 3. Định a để hàm số
1 3
2 2
x x

   
luôn đồng biến trên R ?
ĐS:
1
2


Bài 4. Cho hàm số

. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của
nó.
ĐS:
3
2

Bài 5. Cho hàm số
12

. Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến trên R với mọi m.
Bài 6. Tìm m để hàm số y = 3x
3
– 2x
2
+ mx – 4 đồng biến trên khoảng

.
ĐS:
3 3
2 2
12 12

m m
m m
 
   
 

 
   
 
.
Bài 7. Tìm m để hàm số y = 4mx
3
– 6x
2
+ (2m – 1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2).
ĐS:
 
2 0
1
x y m
I
x xy
  



 


.

2 2
( ) 2 4( 1) 2 0, (0; )
g x x m x m x
         
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 15

Bài 8. Cho hàm số
2 0 2 0
1 1
x y m x y m
x xy xy x
     
 
 
 
 
   
 
 
.
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
0
1
xy
x






.
Bài 9. Cho hàm số y = f(x) = x
3
-3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1. Định m để hàm số luôn đồng biên
trên từng khoảng xác định của nó (ĐS:1  m  0)
Bài 10. Tìm mZ để hàm số y = f(x) =
1
mx
x m


đồng biên trên từng khoảng xác định của nó.
(ĐS:m = 0)
CHUYÊN ĐỀ 2
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1: TÌM CỰC TRI CỦA HÀM SỐ
*) Điểm tới hạn là điểm mà tại đó
,
y
=0 hoặc không xác định
*) Điều kiện tồn tại cực trị
y  f (x) có cực trị  y  f (x) có cực đại và cực tiểu



0

f x


có 2 nghiệm phân biệt    b
2
 3ac > 0
*) Hàm số có cực đại cực tiểu tại điểm tới hạn khi tại điểm đó
,
y
đổi dấu
PP:
Cách 1:
- Tính đạo hàm y
’
= f
’
(x). Tìm các điểm tới hạn x
i
:
- Lập bảng xét dấu của f
’
(x)
- Tại mỗi điểm x
i
mà qua đó nếu:
a) f
’
(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó
b) f
’

(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó
c) f
’
(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó
Cách 2:
- Tìm TXĐ của hàm số
- Tính
'( )
f x
. Giải phương trình
'( ) 0
f x

và ký hiệu
i
x



1,2,3,
i  là các nghiệm của nó.
- Tính


f x

và


i

f x


- Dựa vào đấu của


i
f x

suy ra tính chất cực trị của điểm
i
x

Chú ý: Cách 2 chỉ sử dung khi xét dấu của
,
y
khó hoặc để thử xem điểm
i
x
có là điểm cực
trị hay ko
Chú ý: Giá trị cực đại, cực tiểu không phải là giái trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên D,
nó chỉ là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên (a,b) nào đó chứa điểm tới hạn
Bài tập

Bài 1. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng quy tắc I:
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 16

a)

2 3
3 2
y x x
 
b)
2
3 6
2
x x
y
x
  



e)
2
2 5
y x x
  

c)
4
2
3
2 2
x
y x
   

d)
2
4
y x x
 

f)
2
2
y x x x
  


Bài 2. Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng quy tắc II:
a /
4 2
3 2
y x x
  
b) y = x
2
lnx c) y = sin
2
x với x[0;  ]
Bài 3. Xác định tham số m để hàm số y = x
3
3mx
2
+(m
2

1)x+2 đạt cực đại tại x = 2.
( m = 11)
Bài 4 Xác định m để hàm số y = f(x) = x
3
-3x
2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trị. ( m 1)
b.Có cực đại và cực tiểu. ( m <1)
Bài 5. Xác định m để hàm số y = f(x) =
2
4
1
x x m
x
 


a. Có cực đại và cực tiểu. (m>3)
b.Đạt cực trị tại x = 2. (m = 4)
c.Đạt cực tiểu khi x = -1 (m = 7)
Bài 6 Tìm cực trị của các hàm số :
a)
1
y x
x
 
. b)
4
2

2 6
4
x
y x
   
.
Bài 7 Xác định m để hàm số sau đạt cực đại tại x =1: y = f(x) =
3
3
x
-mx
2
+(m+3)x-
5m+1.
(m = 4)
DẠNG 2: CỰC TRỊ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN CỰC TRỊ HÀM
3 2 , 2
ax 3 2 0
y bx cx d y ax bx c
       

PP:
1. Hàm số bậc 3 ko có cực trị
TH1: a=0 =>
,
2 0
y bx c
  
. Vậy để hàm số ko có cực trị cần b=0, c #0
TH2: a#0 .Vậy để hàm số ko có cực trị cần

0
 

2. Hàm số có cực trị
TH1: a=0 =>
,
2 0
y bx c
  
. Vậy để hàm số ko có cực trị cần b#0
TH2: a#0 .Vậy để hàm số ko có cực trị cần
0
 

3. Hàm số có cực đại và cực tiểủ , có cực trị
,
0 ó #0; 0
y c a
  

4. Hàm số đạt cực đại tại x = x
0



 
0
0
' 0
" 0

y x
y x








5. Hàm số đạt cực đại tại x = x
0



 
0
0
' 0
" 0
y x
y x








GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 17

6. Hàm số có cực đại cực tiểu và
d
c ct
x x


cần
0, 0
a
  

7. Hàm số có cực đại cực tiểu và
d
c ct
x x


Cần
0, 0
a
  

8. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Tìm m để hàm số có 2 cực trị. (*)
+ Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b)

Gọi




1 1 1 2 2 2
, , ,
M x y M x y
là các điểm cực trị.
=>


1
' 0
y x

và


2
' 0
y x


Suy ra :
1 1
y ax b
 
,

2 2
y ax b
 

Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là d
m
: y = ax +b
+ Tìm m thỏa điều kiện K.
+ So với (*) kết luận m cần tìm .

BÀI TẬP
Bài 1.

Tìm m để hàm số:




3 2 2 2
1
2 3 1 5
3
y x m m x m x m
       

đạt cực tiểu tại x  2.
Giải:





2 2 2
2 2 3 1
y x x m m x m

     





2
2 2 2
y x x m m

   

Để hàm số đạt cực tiểu tại x  2 thì


 




 
2
2
2 0 4 3 0 1 3 0
3

1 02 0
0
y m m m m
m
m my
m m



         

   
  

  
 




Bài 2.

Tìm a để các hàm số
 
3 2
1
3 2
x x
f x ax
   

;
 
3
2
3
3
x
g x x ax a
   
. có các điểm
cực trị nằm xen kẽ nhau.
Giải:




2 2
2 3 ;
f x x x a g x x x a
 
     
. Ta cần tìm a sao cho g(x) có 2 nghiệm phân
biệt
1 2
x x

và f (x) có 2 nghiệm phân biệt
3 4
x x


sao cho
   
   
1 2
1 3 2 4
3 1 4 2 1 2
1 2
1
1 3 0 ; 1 4 0
4
0
0
aa a
x x x x
x x x x f x f x
f x f x


       
   


 


 
   


 




(*)
Ta có:








1 2 1 1 2 2
0 3 2 3 2 0
f x f x g x x a g x x a
   
       
  
  





1 2
3 2 3 2 0
x a x a
  
 

 
2
1 2 1 2
15
9 6 4 4 15 0 0
4
x x a x x a a a a
          

Bài 3.

Tìm m để






3 2
2 3 1 6 2 1
f x x m x m x
     
có đường thẳng đi qua CĐ, CT
song song với đường thẳng y  ax  b.
Giải:









2
6 1 2 0
f x x m x m

     







2
1 2 0
g x x m x m
     

GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 18

Hàm số có CĐ, CT 


0
g x

có 2 nghiệm phân biệt 

 
2
3 0 3
g
m m
     

Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:
       


2
2
2 1 3 3 3
f x x m g x m x m m
       

Với m  3 thì phương trình


0
g x

có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số
y  f (x) đạt cực trị tại x
1

, x
2
. Ta có:




1 2
0
g x g x
 
nên suy ra



 




 


2 2
2 2
1 1 1 2 2 2
3 3 3 ; 3 3 3
y f x m x m m y f x m x m m
             

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():
 


2
2
3 3 3
y m x m m
     

Ta có () song song với đường thẳng y  ax  b

   
2 2
3 3; 0
0
3
3 3
m m a
a
m a
m a m a
  

 

  
 
  
  

     

 

 

Vậy nếu a < 0 thì 3
m a
  
; nếu a  0 thì không tồn tại m thoả mãn.
Bài 4.

Tìm m để






3 2
2 3 1 6 1 2
f x x m x m m x
     có CĐ, CT nằm trên đường thẳng
(d): y  4x.
Giải: Ta có:









2
6 1 1 2 0
f x x m x m m

     








2
1 1 2 0
g x x m x m m
     

Hàm số có CĐ, CT


0
g x
 
có 2 nghiệm phân biệt
 
2

1
3 1 0
3
g
m m
      

Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:
          
2
2 1 3 1 1 1 2
f x x m g x m x m m m
       
Với
1
3
m

thì phương trình


0
g x

có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số
y  f (x) đạt cực trị tại x

1
, x
2
. Ta có:




1 2
0
g x g x
 
nên suy ra


         
2 2
1 1 1 2 2
3 1 1 2 ; 3 1 1 2
y f x m x m m m y m x m m m
            

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():
    
2
3 1 1 1 2
y m x m m m
     
.
Để cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y  4x thì ()  (d)


 
  
  
  

2
3 1 2 3 1 2 0
3 1 4
1
1 1 2 0
1 1 2 0
m m
m
m
m m m
m m m

    
   
  

  
  


Bài 5.

Tìm m để



3 2
7 3
f x x mx x
   
có đường thẳng đi qua CĐ, CT vuông góc với y 
3x  7.
Giải: Hàm số có CĐ, CT 


2
3 2 7 0
f x x mx

   
có 2 nghiệm phân biệt 
2
21 0 21
m m

      . Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:
     


2
7
1 2
3 21 3
9 9 9
m

f x x m f x m x

     

Với
21
m 
thì phương trình


0
f x


có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số y  f (x)
đạt cực trị tại x
1
, x
2
. Ta có:




1 2
0

f x f x
 
 
suy ra
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 19


 


 


2 2
1 1 1 2 2 2
7 7
2 2
21 3 ; 21 3
9 9 9 9
m m
y f x m x y f x m x         

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():


2
7
2
21 3

9 9
m
y m x   

Ta có ()  y  3x  7 
 
2 2
3 10
452
21 .3 1 21
9 2 2
m m m        

Bài 6.

Tìm m để hàm số


3 2 2
3
f x x x m x m
   
có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua
():
5
1
2 2
y x
 

Giải: Hàm số có CĐ, CT 


2 2
3 6 0
f x x x m

   
có 2 nghiệm phân biệt

2
9 3 0 3
m m

      . Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:
     
 
2
2
1 2
1 3
3 3 3
m
f x x f x m x m

     

Với
3
m  thì phương trình



0
f x


có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số y  f (x) đạt
cực trị tại x
1
, x
2
. Ta có:




1 2
0
f x f x
 
 
nên
 
 
 
 

2 2
2 2
1 1 1 2 2 2
2 2
3 ; 3
3 3 3 3
m m
y f x m x m y f x m x m
         

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d):
 
2
2
2
3
3 3
m
y m x m
   
.
Các điểm cực trị




1 1 2 2
, , ,
A x y B x y
đối xứng nhau qua

 
5
1
:
2 2
y x
  

 (d)  () tại trung điểm I của AB (*) . Ta có
1 2
1
2
I
x x
x

 
suy ra
(*) 
 
 
 
2
2
2
2 1
3 1
0
3 2
0

5
2 1
1 0
3 1 1
3 3 2 2
m
m
m
m
m m
m m

   



  
 
 

      



Bài 7. Cho
     
3 2
2
cos 3sin 8 1 cos2 1
3

f x x a a x a x
     

1. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT.
2. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x
1
, x
2
. CMR:
2 2
1 2
18
x x
 

Giải: 1. Xét phương trình:






2
2 2 cos 3sin 8 1 cos2 0
f x x a a x a

     

Ta có:
     

2 2
2
cos 3sin 16 1 cos2 cos 3sin 32cos 0
a a a a a a a

         

Nếu
2 2
0 cos 3sin cos 0 sin cos sin cos 0
a a a a a a a

          
(vô lý)
Vậy  > 0 a  f (x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số có CĐ, CT.
2. Theo Viet ta có:


1 2 1 2
3sin cos ; 4 1 cos2
x x a a x x a
     


   
22

2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 3sin cos 8 1 cos2 9 8cos 6sin cos
x x x x x x a a a a a a
          


   
2 2
2 2
9 9 sin cos 3sin cos 18 3sin cos 18
a a a a a a
        

Bài 8: Cho hàm số
   


3 2 2
2
1 4 3
3
f x x m x m m x
     
1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 20

2. Gọi các điểm cực trị là x
1

, x
2
. Tìm Max của


1 2 1 2
2
A x x x x
  
Giải: Ta có:




2 2
2 2 1 4 3
f x x m x m m

     

1. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1


0
f x

 
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,

x x
thoả
mãn:
1 2 1 2
1 1
x x x x
    



 
 


 
 
2
2
2
2 1 0
6 7 0
3 2, 3 2
0
6 5 0 5, 1
2 1 0
6 7 0
3 2, 3 2
1
1 1
2

2
f
m m
m
m m m
f
m m
m
S
m
m

 


  
    



 



      


  






  

 

     


 


  

 









5, 3 2
m    
2. Do



 
1 2
2
1 2
1
1
4 3
2
x x m
x x m m
    


  





1 2 1 2
2
A x x x x
  
 
2
4 3
2 1
2
m m
m

 
  

2
1
8 7
2
m m
  

     
1 1
7 1 7 1
2 2
m m m m

     
(do
5 1
m
   
)



 
2
2
9
1 1

9 8 16 9 4
2 2 2
A m m m
 
 
       
 
 
. Với
4
m
 
thì
9
Max
2
A


Bài 8.

Tìm m để hàm số
 
3 2
1
1
3
f x x mx x m
    
có khoảng cách giữa các điểm CĐ và

CT là nhỏ nhất.
Giải: Do


2
2 1 0
f x x mx

   
có
2
1 0
m

   
nên f (x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
,
x
2
và hàm số đạt cực trị tại x
1
, x
2
với các điểm cực trị là


1 2
,
A x y

;


2 2
,
B x y
. Thực hiện
phép chia f (x) cho f (x) ta có:
     
 


2
1 2 2
1 1
3 3 3
f x x m f x m x m

     
. Do




1 2
0
f x f x
 
 
nên

 
 


 
 


2 2
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 ; 1 1
3 3 3 3
y f x m x m y f x m x m
           

Ta có:
     
 
 
2
2 2 2 2
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
4
1
9
AB x x y y x x m x x
        

 
 
2
2
2
2 1 1 2
4
4 1 1
9
x x x x m
 
 
    
 
 
 

   


2
2 2
4 4
4 4 1 1 4 1
9 9
m m
 
     
 
 


2 13
3
AB  . Vậy
2 13
Min
3
AB  xảy ra  m  0.
Bài 9.

Tìm m để hàm số
     
3 2
1 1
1 3 2
3 3
f x mx m x m x
     
đạt cực trị tại x
1
, x
2
thoả
mãn
1 2
2 1
x x
 
.

Giải:  Hàm số có CĐ, CT 






2
2 1 3 2 0
f x mx m x m

     
có 2 nghiệm phân biệt

   

2
0
1 3 2 0
m
m m m


     

6 6
1 0 1
2 2
m     (*)
Với điều kiện (*) thì



0
f x


có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số f (x) đạt cực trị tại x
1
,
x
2
. Theo định lý Viet ta có:




1 2 1 2
2 1 3 2
;
m m
x x x x
m m
 
  
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 21

Ta có:




1 2 2 1
2 1 2 1
2 2 3 4
2 1 1 ;
m m
m m m
x x x x
m m m m m
 
  
        



    
3 2
2 3 4
2 3 4 3 2
m
m m
m m m m
m m m

 

       
2
2
3
m
m







Cả 2 giá trị này đều thoả mãn điều kiện (*). Vậy
1 2
2 1
x x
 
2
2
3
m m
   

Bài 10.

Tìm m để hàm số
 
3 2
1

1
3
f x x mx mx
   
đạt cực trị tại x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện
1 2
8
x x
 
.
Giải: HS có CĐ, CT 


2
2 0
f x x mx m

   
có 2 nghiệm phân biệt





2
0 ,0 1,m m m D


        
 (*)
Với điều kiện này thì


0
f x


có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số f (x) đạt cực trị tại
x
1
, x
2
. Theo định lý Viet ta có:
1 2 1 2
2 ;
x x m x x m
  
suy ra:


2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
8 64 4 64

x x x x x x x x
        

2
4 4 64
m m
  

2 1 65 1 65
16 0 , ,
2 2
m m m
   
 
   
       
   

(thoả mãn (*) )
Vậy để
1 2
8
x x
 
thì
1 65 1 65
, ,
2 2
m
   

 
   
  
   


Bài 12: Cho hàm số
3 2
3( 1) 9
y x m x x m
    
với m là tham số thực. Tìm m để hàm số đã
cho có cực trị tại
1 2
,
x x
sao cho
1 2
2
x x
 

Giải:
Ta có
.9)1(63'
2
 xmxy

- Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21

, xx

phương trình
0'

y
có hai nghiệm pb là
21
, xx


Pt 03)1(2
2
 xmx có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx .







31
31
03)1('
2
m
m
m

)1(
- Theo định lý Viet ta có .3);1(2
2121
 xxmxx
Khi đó




41214442
2
21
2
2121
 mxxxxxx
2
( 1) 4 3 1 (2)
m m      
Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m là
313  m
hoặc
.131  m

Bài 13: Tìm m để hàm số
 
3 2
1
1
3
f x x mx mx

   
đạt cực trị tại
1 2
;
x x
thoả mãn điều kiện
1 2
8
x x
 
.
Giải:
Hàm số có CĐ, CT


2
2 0
f x x mx m

    
có 2 nghiệm phân biệt




2
0 ,0 1,m m m D

         
 (*)

Với điều kiện này thì


0
f x


có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và hàm số f (x) đạt cực trị tại
x
1
, x
2
.
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 22

Theo định lý Viet ta có:
1 2 1 2
2 ;
x x m x x m
  
suy ra:


2 2
2

1 2 1 2 1 2 1 2
8 64 4 64 4 4 64
x x x x x x x x m m
           

2 1 65 1 65
16 0 , ,
2 2
m m m
   
 
   
       
   
 (thoả mãn (*) )
Vậy để
1 2
8
x x
 
thì
1 65 1 65
, ,
2 2
m
   
 
   
  
   


Bài 14: Cho hàm số
   


3 2 2
2
1 4 3
3
y f x x m x m m x
      

1. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1.
2. Gọi các điểm cực trị là
1 2
;
x x
. Tìm Max của


1 2 1 2
2
A x x x x
  
Giải:
Ta có:





2 2
2 2 1 4 3
f x x m x m m

     

1. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1


0
f x

 
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;
x x
thoả
mãn:
1 2
1 2
1
1
x x
x x
 


 




 
 


 
 
 
2
2
2
2 1 0
6 7 0
3 2, 3 2
0
6 5 0 5, 1
5, 3 2
2 1 0
6 7 0
3 2, 3 2
1
1 1
2
2
f
m m
m
m m m

m
f
m m
m
S
m
m

 


  
    



 



      


       





  


 

     


 


  

 







2. Do


 
 
 
1 2 2
1 2 1 2
2
1 2
1

4 3
2 2 1
1
2
4 3
2
x x m
m m
A x x x x m
x x m m
    

 
      

  



     
2
1 1 1
8 7 7 1 7 1
2 2 2
m m m m m m

        
(do
5 1
m

   
)



 
2
2
9
1 1
9 8 16 9 4
2 2 2
A m m m
 
 
       
 
 
.
Với
4
m
 
thì
9
2
MaxA


Bài 15 : Cho hàm số



3
3 2
m
y x mx C
   . Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực
tiểu của


m
C
cắt đường tròn tâm


1;1 ,
I
bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất
Giải:
Ta có
2
' 3 3
y x m
 
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình
' 0
y

có hai nghiệm phân biệt

0
m
 
Vì
1
. ' 2 2
3
y x y mx
  
nên đường thẳng

đi qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số có
phương trình là
2 2
y mx
  

Ta có
 
2
2 1
, 1
4 1
m
d I R
m

   

(vì m > 0), chứng tỏ đường thẳng


luôn cắt đường tròn
tâm I(1; 1), bán kính R = 1 tại 2 điểm A, B phân biệt
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 23

Với
1
2
m

, đường thẳng

không đi qua I, ta có:
2
1 1 1
. .sin
2 2 2
ABI
S IA IB AIB R

  

Nên
IAB
S

đạt giá trị lớn nhất bằng
1
2

khi sinAIB = 1 hay tam giác AIB vuông cân tại I
1
2 2
R
IH  
(H là trung điểm của AB)
2
2 1
1 2 3
2
2
4 1
m
m
m


   


CỰC TRỊ HÀM

4 2
ax ( 0)
Dang y bx c a
   

+ TXĐ : D = R
+ Tính y’ = 4ax
3

+2bx

2
0
' 0
( ) 4 2 0
x
y
g x ax b


 

  



1. Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0
2. Hàm số có 3 cực trị
 y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
 pt g(x) có 2 nghiệm phận biệt khác 0
 a.b <0
3. Hàm số có 2 CĐ và 1 CT
 y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0

0
0
a
b







4. Hàm số có 2 CT và 1 CĐ
 y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0

0
0
a
b






5. Hàm số có đúng 1 cực trị
 pt g(x) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0.

Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại
A.
6. phương trình đường cong đi qua điểm cực trị

+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Tìm đk để
'
y

=0 có 3 nghiệm phân biệt
Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:








.
4 3 2
f x q x f x r x

 
  
b b b


Vậy phương trình đường cong là r(x)
GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 24

.
BÀI TẬP
Bài 1.

Tìm cực trị của hàm số



4 2
6 8 1
y f x x x x
    
.
Giải: Ta có:
     
2
3
4 12 8 4 1 2
f x x x x x

     
;






12 1 1
f x x x

  

Do phương trình


0
f x



có 1 nghiệm đơn x  2 và 1 nghiệm kép x  1
nên hàm số có đúng 1 cực trị tại x  2. Mặt khác


2 36 0
f

 
suy ra


CT
2 25
f f
  
.
Vậy hàm số có cực tiểu
CT
25
f
 
và không có cực đại.
Bài 2.

Cho hàm số







4 3 2
3 2 1
y f x x m x m x
     
Chứng minh rằng: m  1 hàm số luôn có cực đại đồng thời
0
x

C§















3 2 2
4 3 3 4 1 4 3 3 4 1 .
f x x m x m x x x m x m x g x


          

Ta có:
   
2
2
9 3 64 1 9 10 17 0
g
m m m m m
         
nên g(x)  0 có 2 nghiệm phân
biệt x
1
, x
2
.
Theo định lý Viet ta có:
1 2
. 1 0 1
x x m m
     

 PT


0
f x



có 3 nghiệm phân biệt
0, x
1
, x
2
. Xét 2 khả năng sau:
a) Nếu m < 1 thì
1 2
. 1 0
x x m
  


1 2
0
x x
 
 Bảng biến thiên
Nhìn BBT suy ra
0
x

C§

b) Nếu m > 1 thì
1 2
. 0
x x


và


1 2
3 3
0
4
m
x x
 
  

1 2
0
x x
 

 Bảng biến thiên.
Nhìn BBT suy ra
2
0
x x
 
C§

Kết luận:
Vậy m  1 hàm số luôn có
0
x


C§

Bài 4. (Đề thi TSĐH khối B 2002)
Tìm m để hàm số


4 2 2
9 10
y mx m x
   
có 3 điểm cực trị
Giải. Yêu cầu bài toán




2 2
2 2 9 2 . 0
y x mx m x g x

     
có 3 nghiệm phân biệt
2
3
9
0
2
0 3
m
m

m
m
 


  

 


Bài 5. Tìm m để


4 2 4
2 2
f x x mx m m
   
có CĐ, CT lập thành tam giác đều.
Giải.




3 2
4 4 4
f x x mx x x m

    . Ta có:



2
0 0
f x x x m

    
.
Để hàm số có CĐ, CT 


0
f x


có 3 nghiệm phân biệt  m > 0

x



x
1

0

x
2



f 



0


0

0 +


f




CT




CĐ


CT




x



x
1

x
2
0




f 




0


0

0 +

f




CT




CĐ


CT






GV: NGUYỄN ĐỨC KIÊN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ
VĂN LANG- HƯNG HÀ –THÁI BÌNH 01649802923 25

 3 nghiệm là:
1 2 3
; 0 ;
x m x x m
     3 điểm CĐ, CT
là:







4 2 4 4 2
, 2 ; 0, 2 ; , 2
A m m m m B m m C m m m m
     

4
; 2
AB BC m m AC m
   
.
Để A, B, C lập thành tam giác đều
thì
AB BC AC
 

4
2
m m m
 
4 4
3
4 3 3
m m m m m m      

Bài 6. Chứng minh rằng: Hàm số



4 3 2
1
f x x mx mx mx
    
không thể đồng thời có CĐ
và CT
m
 


Giải. Xét




3 2 2 3
4 3 2 0 3 2 1 4
f x x mx mx m m x x x

         

3
2
4
3 2 1
x
m
x x



 
. Xét hàm số
 
3
2
4
3 2 1
x
g x
x x


 
có TXĐ:
g
D



 


 
 
 
2
2 2 2 2
2 2

2 2
4 3 4 3 4 2 1 1
0
3 2 1 3 2 1
x x x x x x
g x x
x x x x
 
      
 

    
   

;
 
2
4
lim lim
2 1
3
x x
x
g x
x
x
 

  
 

Nghiệm của phương trình


0
f x



cũng là hoành độ giao điểm của
đường thẳng y  m với đồ thị y  g(x).
Nhìn bảng biến thiên suy ra đường thẳng y  m cắt y  g(x) tại đúng 1 điểm



0
f x


có đúng 1 nghiệm.
Vậy hàm số y  f (x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu.
Bài 7. Chứng minh rằng:


4 3
0f x x px q x
     


4

256 27
q p

Giải. Ta có:




3 2 2
4 3 4 3 0
f x x px x x p

    

3
4
p
x

 và nghiệm kép x  0
Do f (x) cùng dấu với (4x  3p) nên lập bảng biến thiên ta có:
f (x)  0 x 
 


3
Min 0
4
p
f x f


 

4
4
256 27
0 256 27
256
q p
q p

  

Bài 8. (Đề thi dự bị ĐH khối A năm 2004)
Tìm m để hàm số
4 2 2
2 1
y x m x
  
có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân
Giải. Hàm số có 3 cực trị


2 2
4 0
y x x m

   
có 3 nghiệm phân biệt
0

m
 
, khi đó
đồ thị có 3 điểm cực trị là






4 4
0,1 ; ,1 , ,1
A B m m C m m
  
. Do
y
là hàm chẵn nên YCBT
. 0 1
AB AC m
    
 

x





x
1

0

x
3





f 




0



0



0

+


f






A

C
T




B
C
Đ



C
C
T






x



x
2




f 




0




f






