Tổng hợp kiến thức ôn thi THPT quốc gia môn toán 2015

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA - MÔN TOÁN
NĂM 2014-2015
****************************
A.CẤU TRÚC ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2014 (Tham khảo)
Câu I (2 điểm):
- Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của
hàm số; cực trị; giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số; tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang)
của đồ thị hàm số; tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ
thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)
Câu II (1 điểm):
Biến đổi lượng giác, phương trình lượng giác.
Câu III (1 điểm):
Phương trình, bất phương trình; hệ phương trình đại số.
Câu IV (1 điểm):
- Tìm giới hạn.
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay.
Câu V (1 điểm):
Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc của đường thẳng, mặt
phẳng; diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; thể tích khối lăng trụ,
khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Các bài toán về khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng, khoảng cách gữa 2 đường thẳng
chéo nhau.
Câu VI (1 điểm):
Bài toán tổng hợp.(Bất đẳng thức; cực trị của biểu thức đại số)
Câu VII (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng .
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Đường tròn, đường thẳng, elip.
Câu VIII (1 điểm):Phương pháp tọa độ trong không gian:
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu. Tìm điểm thoả điều kiện cho trước.

- Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; vị trí tương đối của đường thẳng, mặt
phẳng và mặt cầu.
Câu IX (1 điểm):Số phức - Tổ hợp, xác suất.
B.CÁCH LÀM BÀI THI:
Khi làm bài thi chú ý không cần theo thứ tự của đề thi mà theo khả năng giải được câu nào
trước thì làm trước. Khi nhận được đề thi, cần đọc thật kỹ để phân định đâu là các câu hỏi
quen thuộc và dễ thực hiện ưu tiên giải trước, các câu hỏi khó nên giải quyết sau. Có thể ta
đánh giá một câu hỏi nào đó là dễ và làm vào giấy thi nhưng khi làm mới thấy là khó thì nên
dứt khoát chuyển qua câu khác, sau đó còn thì giờ hãy quay trở lại giải tiếp. Khi gặp đề thi
không khó thì nên làm rất cẩn thận, đừng chủ quan để xảy ra các sai sót do cẩu thả; còn với đề
thi có câu khó thì đừng nên nản lòng sớm mà cần kiên trì suy nghĩ. Phải biết tận dụng thời
gian trong buổi thi để kiểm tra các sai sót (nếu có) và tập trung suy nghĩ để giải các câu khó
còn lại (nếu gặp phải). Khi làm bài thi bằng nhiều cách khác nhau mà đắn đo không biết cách
nào đúng sai thì không nên gạch bỏ phần nào hết để giám khảo tự tìm chỗ đúng để cho điểm.

C. MỘT SỐ CHỦ ĐỀ ƠN TẬP
PHẦN I: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
I.HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:
( )
( )
     
     
  
 
 
 
     
  

  
        
       
   
 
   
 
      
    

 


= =
± = ± ± ±
=

=

= ⇔ =


=

= + +
= + +
=
r r
r r
r

r r
r r
r
r r
r r
ur uur
r
     
     
     
  
  
     
  
  
          
     
    
     
⇔ = ⇔ ∧ = ⇔ = =
⊥ ⇔ = ⇔ + + =
 
 
∧ = =
 ÷
 ÷
 
 
r r r r r r
r r r r

r r r r
= − − −
uuur
! ! !
 ! " " # # $ $ 
11.
  
! ! !
! ! " "  # #  $ $ 
= = − + − + −
uuur
12.
r r r

đồng phẳng
( )
. 0a b c⇔ ∧ =
r r r

r r r
khơng đồng phẳng
( )
. 0a b c⇔ ∧ ≠
r r r
14.M là trung điểmcủa AB thì







+++
2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M
15. G là trọng tâm tam giác ABC







++++++
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
16. Véctơ đơn vị:
1 2 3

(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)e e e
= = =
ur uur ur
17.
OzzKOyyNOxxM
∈∈∈
),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM
∈∈∈
),0,(;),,0(;)0,,(
19.
  
!    
 
% ! !   
 
∆
= ∧ = + +
uuur uuur
20.
! &

' ! !!&

= ∧
uuur uuur uuur
21.
/
.

).(
////
AAADABV
DCBAABCD
∧=
2/ Mặt cầu :
2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r

( ) ( ) ( )
2
r
− + − + − =
2 2 2
x a y b z c

Phương trình 
&
+ + + =
2 2 2
x y z + 2Ax + 2By +2Cz 0

!  &
+ + − >
2 2 2
với 0
(
)*+,-)./0,12!2 23
= + + −
  
* !  &

2 2 Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

( ) ( ) ( )
2
r
− + − + − =
2 2 2
(S) : x a y b z c
3,α4!"5 #5$5&6
Gọi d = d(I,(α)) là khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp(α ):
 d > r 4%∩α6φ
 d = r 4α)789":%);7<<4)789=78>,α4)789?78@
 d < r 4αA)%)8=)*:ương )*+
( ) ( ) ( )
2
( )

− + − + − =


+ + + =


r
α
2 2 2
(S) : x a y b z c
: Ax By Cz D 0
II. MẶT PHẲNG


1. Vectơ pháp tuyến của mp
α
:

r
≠

r
là véctơ pháp tuyến của mp(α
⇔
Giáủ

r
⊥
,α
2.P.trình tổng qt của mp(
α
): A" + B# + C$ + &6 B) có'/C/

r
6! 
3.Một số trường hợp đặcbiệt của phương trình mặt phẳng
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa ox: By+Cz+D=0 ( D≠0 song song, D=0
chứa)
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oy: Ax+Cz+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oz: Ax+By+D=0 ( D≠0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) :



$

#

"
=++
3ới a.b.c≠0
*Phương trình các mặt phẳng tọa độ: D#$4"6D"$4#6 ; D"#4$6
4. Vị trí tương đối của hai mp (
α
): A
1
" +B
1
# +C
1
$+& 

6  và ( 
β
) :A 
2
" +B
2
y+C
2
z + &

6


E
1 1 1 2 2 2
α β A)  ! 4 4 ! 4 4 
⇔ ≠
E
1 1 1 1
2 2 2 2
α β
!  &
 F F 
!  &
⇔ = = ≠
E
1 1 1 1
2 2 2 2
α β
!  &
   
!  &
≡ ⇔ = = =
G-78@)
     
    ! !   
α ⊥ β ⇔ + + =
.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0

) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0

o o o
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
α
+ + +
=
+ +
d(M,( ))
6.Góc gi ữa hai mặt phẳng 4
1 2
1 2
n .n
α β
n . n
=
r r
r r
cos( , )
với
1 2
n ; n
r r
là VTPT của 2 mặt phẳng
III. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x

o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a
r
= (a
1
;a
2
;a
3
)

Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o
∈






+=
+=
+=
:
2.Phương trình chính tắc của (d) 
32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
:
=
−
=
−
3.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng d
1
: có véctơ chỉ phương
a
→
và đi qua M
1
, d

2
: có véctơ chỉ phương
→
b

và đi qua M
2
* d
1
// d
2
⇔

=


≠


r r r
r uuuuur r


H  
H B B 
*d
1
≡ d
2
⇔


=


=


r r r
r uuuuur r


H  
H B B 
* d
1
cắt d
2
⇔
( )

≠


=


r r r
r r uuuuur



H  
H  B B 
*d
1
chéo d
2
⇔
( )
≠
r r uuuuur


H  B B 

* Đặc biệt d
1
⊥d
2
⇔
 =
r r
a b
4.Góc giữa 2 đường thẳng :
=
r r
r r
 

? ? 
 


( với a
1
.a
2.
a
3
≠0)
5. Khoảng cách giữa từ M đến đường d
1
:
( )
1
1
;
;
M M a
d M d
a
 
 
=
uuuuur r
r
6. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d
1
;d
2
)=d(M
1

;d
2
).
7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
( )
1 2
; .
;

;
a b M M
a b
 
 
=
 
 
d d d
1 2
r r uuuuuur
r r
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP:
I/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU:
Dạng toán 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:
&
+ + + =
2 2 2
x y z + 2Ax + 2By + 2Cz 0
Phương pháp giải:
• Tìm tâm: hoành độ lấy hệ số của x chia (-2), tung độ lấy hệ số của y chia (-2), cao độ lấy hệ số

của z chia (-2)⇒ Tâm mặt cầu là I(-A ;-B ;-C).
• Tím bán kính
2 2 2
A +B +C -Dr =
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
x y z x y
  
   + + − − + =
Giải:
a/Tâm mặt cầu là I(4;1;0), bán kính của mặt cầu là:
+ + − + + − = ⇔ + + − + + − =
b x y z x y z x y z x y z
     

F            

Tâm mặt cầu là I(1; -4/3; -5/2), bán kính của mặt cầu là:
Dạng toán 2:

Tìm tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu S(I ;R) và
mp(α):
Phương pháp giải:
+ Tìm tâm H
B1: Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp(α)
B2: Tâm H là giao điểm của d và mp(α).
+ Bán kính
),(
22
α

IdRr
−=
Ví dụ: Cho mặt cầu (S) :
2 2 2
( 3) ( 2) ( 1) 100x y z− + + + − =
và mặt phẳng
( ) : 2 2 9 0x y z
α
− − + =
.
Chứng minh rằng (S) và (α) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T). Tìm tâm và bán kính
đường tròn (T)
Giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính R = 10. Ta có :
2.3 2( 2) 1 9
( ,( )) 6
4 4 1
d I
α
− − − +
= =
+ +
<10=R⇒ mc(S) cắt (α) theo giao tuyến là đường tròn (T).
Mp
( )
α
có 1 VTPT là
  n = − −
r
Đường thẳng d qua I vuông góc với mp

( )
α
có một VTCP là
  n = − −
r
⇒ phương trình
tham số là:
 
 

x t
y t
z t

= +

= − −


= −

. Gọi H= d∩
( )
α
⇒ H∈d ⇒ H(3+2t;-2-2t;1-t). Mặt khác H∈mp
( )
α
⇒
ta có: 2(3+2t)-2(-2-2t)-(1-t)+9=0⇔9t=18 ⇔ t=2 ⇒ H(7;-6;-1).Tâm của đường tròn (T) chính là
H(7;-6;-1)

2 2 2 2 2 2
A +B +C -D ( 4) +(-1) +0 -1 4r = = − =
2 2
2 2 2 2
4 5 19
A +B +C -D ( 1) + + +1
3 2 6
r
   
= = − =
 ÷  ÷
   
Bán kính đường tròn giao tuyến là :
   
*      R d I
α
= − = − =
Dạng toán 3: Lập phương trình mặt cầu
Chú ý: Khi lập phương trình mặt cầu cần tìm:
Cách 1: Tâm I(a;b;c), bán kính r của mặt cầu ⇒phương trình là:
( ) ( ) ( )
2
r
− + − + − =
2 2 2
x a y b z c
Cách 2: Các hệ số A, B, C, D trong phương trình:
&
+ + + =
2 2 2

x y z +2Ax +2By+2Cz 0
⇒)*,ặ)
ầ
Bài toán 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A
Phương pháp giải:
• Tìm bán kính mặt cầu là :
2 2 2
( ) ( ) ( )
A I A I A I
r IA x x y y z z= = − + − + −
• Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1).
Giải:
B¸n kÝnh mÆt cÇu là:
2 2 2
2 1 0 5r IA= = + + =
Vậy phương trình của mặt cầu là : (x-3)
2
+ (y+3)
2
+ (z-1)
2
= 5
Bài toán 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
Phương pháp giải:
 Tìm trung điểm I của đoạn AB với
( ; ; )
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z

I
+ + +
, tính đoạn
2 2 2
AB ( ) ( ) ( )
B A B A B A
x x y y z z
= − + − + −
 Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính
2
AB
r =
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3).
Giải:
Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(3;-1 ;5),
2 2 2
AB= ( 2) 4 ( 4) 6− + + − =
Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;-1 ;5), bán kính
AB
3
2
r = =
phương trình của mặt cầu là :
Bài toán 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(α)
Phương pháp giải:
• Tìm bán kính mặt cầu là :
+ + +
= α =
+ +
# $ &

1 1 1
  
! 
A.x
r d(I,( ))
• Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (
α
): 2x+2y+z-1=0
Giải:
Bán kính mặt cầu là :
+ + −
= α = =
+ +
r d(I,( ))
I   

  
  
Phương trình mặt cầu là :
2 2 2
( 1) ( 2) ( 4) 1x y z− + − + − =
Bài toán 4: Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
Phương pháp giải:
Ptr mc có dạng
&
+ + + =
2 2 2
x y z + 2Ax + 2By+2Cz 0
(1). A,B,C,D ∈ mc(S)

⇒
thế tọa độ các điểm
A,B,C,D vào (1).
Giải hệ pt, tìm A, B, C, D.
Ví dụ:
Lập phương trình mặt cầu (S) =7J9=78>,!2 2&

Giải:
Phương mặt cầu (S) có dạng:
&
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0
, ta có :
2 2 2
( 3) ( 1) ( 5) 9x y z− + + + − =

(6; 2;3) ( ) 49 12 4 6 0(1)
(0;1;6) ( ) 37 2 12 0(2)
(2;0; 1) ( ) 5 4 2 0(3)
(4;1;0) ( ) 17 8 2 0(4)
A S A B C D
B S B C D
C S A C D
D S A B D
− ∈ + − + + =
 
 
∈ + + + =
 

⇔
 
− ∈ + − + =
 
 
∈ + + + =
 
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); (3)-(4) ta được hệ:

12 6 6 12 2
4 2 14 32 1 3
4 2 2 12 3
A B C A
A B C B D
A B C C
− − = − = −
 
 
− + + = − ⇔ = ⇒ = −
 
 
− − − = = −
 
Vậy phương trình măt cầu là: x
2
+y
2
+z
2
-4x+2y-6z-3=0

Bài toán 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C có tâm nằm trên mp(P)
Phương pháp giải:
Mc(S) có ptr:
&
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax + 2By +2Cz 0
(2)
A,B,C ∈ mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2). Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào ptr
mp(P)
Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D ⇒ phương trình mặt cầu.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ) có tâm
I thuộc mp(P) : x+2y+2z-3=0
Giải:
Phương mặt cầu (S) có dạng:
&
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax + 2By + 2Cz 0
, ta có :
(6; 2;3) ( ) 12 4 6 49(1)
(0;1;6) ( ) 2 12 37(2)
(2;0; 1) ( ) 4 2 5 (3)
( ; ; ) ( ) 2 2 3 (4)
A S A B C D
B S B C D
C S A C D
I A B C P A B C
− ∈ − + + = −
 

 
∈ + + = −
 
⇔
 
− ∈ − + = −
 
 
− − − ∈ − − − =
 
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); kết hợp(4) ta được hệ:
7
5
12 6 6 12
11 27
4 2 14 32
5 5
2 2 3
3
A
A B C
A B C B D
A B C
C

= −

− − = −



 
− + + = − ⇔ = ⇒ = −
 
 
− − − =

= −




Vậy phương trình mặt cầu là: x
2
+y
2
+z
2
-
14
5
x +
22
5
y - 6z
27
5
−
=0
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a)
  
    + + + − − + =x y z x y z

+ + + − + − =
x y z x y z
  
        
c) (x-2)
2
+(y+3)
2
+(z-1)
2
= 9 d) (x+2)
2
+(y+5)
2
+ z
2
= 8
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S)
a)Đi qua điểm A(3; 2; 4) và có tâm I(2; –1; 1) b)Đi qua điểm A(1; 2; -3) và có tâm I(2; –1;
1).
Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB
a) Với A(4; 5; 7), B(2; 1; 3). b) Với A(4; 2; 1), B(0; 4; 7).
Bài 4: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x-2y + z - 4=0
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) =7J9=78>,! 2&

Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(3;-2 ;0), B(0;1;2), C(2; 0;-1 ) có tâm I

thuộc mp(P) : x-2y+2z-5=0
Bài 7: Cho mặt cầu (S): (x-1)
2
+ y
2
+ (z+2)
2
= 9 và mp(P): x +2y +2z-3=0. Chứng minh
mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Tìm tâm bán kính của đường tròn giao tuyến.
II/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
Chuù yù :
- Muốn viết phương trình mặt phẳng thường tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến
-Mặt phẳng qua 1 điểm M(x
0
;y
0;
z
0
) và có 1 véctơ pháp tuyến

r
= (A; B; C)
phương trình là: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
)= 0.
-Nếu không tìm được ngay véctơ pháp tuyến của mp(α) ta đi tìm 2 véctơ

,a b
r r
không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp(α) khi đó
[ ; ]n a b=
r r r
là một
véctơ pháp tuyến của mặt phẳng(α).
Dạng 1: Viết phương trình mp
( )
α
điểm đi qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và 1 véctơ pháp tuyến
( ; ; )=
r
n A B C
.
Phương pháp giải:
B1: Nêu rõ mặt phẳng đi qua M
0
(x
0
;y
0

;z
0
) và có 1 véctơ pháp tuyến
( ; ; )=
r
n A B C
.
B2: Viết phương trình mp(
α
) theo công thức: A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0
B3: Rút gọn đưa về dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua A(2;3;1) và có một VTPT là
n (2;3;1)=
r
Giải:
Mặt phẳng (
α
) đi qua A(2;-1;1) và có 1 véctơ VTPT
n (2; 3;5)
= −
r

⇒ phương trình là:
2(x-2)-3.(y+1)+5(z-1) = 0 ⇔ 2x-3y+5z-12 =0
Dạng 2: Viết phương trình mp
( )
α
đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB, AC
uuur uuur
B2: Tìm
n AB;AC
 
=
 
r uuur uuur
B3: Viết phương trình mp(P) đi qua điểm A và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)
Giải:
Ta có:
AB (2;2; 1), AC (2;1; 3)= − = −
uuur uuur
⇒
n AB;AC ( 5;4; 2)
 
= = − −
 

r uuur uuur
Mặt phẳng (P) đi qua A và có 1 véctơ VTPT
n ( 5;4; 2)
= − −
r
⇒ phương trình là:
-5(x-0)+4(y-1)-2(z-2)=0 ⇔ -5x+4y-2z =0 ⇔ 5x-4y+2z=0.
Dạng 3: Viết phương trình mp(α) đi qua điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) và song song với mp(
β
):
Ax+By+Cz+D=0 .
Phương pháp giải:
B1:Do mp
( )α
//mp(
β
): Ax+By+Cz+D=0⇒ phương trình mp
( )α
có
dạng:Ax+By+Cz+m=0
(m≠D)
B2: mp
( )α
đi qua điểm M

0
⇒ ta có Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ m=0⇒ m thoả điều kiện m≠D
⇒ phương trình mp
( )α
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (Q):2x-y+3z+4=0
Giải:
Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên phương trình của mp(P) có dạng 2x-y+3z+D=0
(D≠4). Mặt khác mp(P) đi qua điểm M(1;3;-2) nên ta có: 2.1-3+3(-2)+D=0 ⇔ D=7 (nhận). Vậy
phương trình mp cần tìm là: 2x-y+3z+7=0
Dạng 4: Viết phương trình mp
( )α
song song với mp(
β
): Ax+By+Cz+D=0 cho trước cách
điểm M cho trước một khoảng k cho trước (k>0).
Phương pháp giải:
B1: Do mp
( )α
//mp(
β
): Ax+By+Cz+D=0⇒ phương trình mp
( )α
có

dạng:Ax+By+Cz+m=0
(m≠D)
B2: Giải phương trình d(M;
( )α
)= k tìm được m thoả m≠D⇒phương trình mp(
α
).
Ví dụ: : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(
β
):5x+y-7z+3=0. Viết phương trình
mp(α) //mp(
β
) và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2.
Giải
Mp(β) có một VTPT là
1
(5;1; 7)= −
ur
n
, mp (α) //mp(
β
) ⇒ phương trình mp(α) có dạng:
5x+y-7z+D = 0 (D≠3)
Do mp(α) cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2 ⇔ d(A;(α))=2 ⇔
  
 2 & &2
  &2   &26     
 
   
D

+ +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ ± ⇔ = ±
+ + −
(nhận)
⇒ phương trình của mp(α) là:
" # $5   + − ± =
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn CD
cho trước. (với
AB
uuur
không cùng phương với
CD
uuur
).
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và
CD
uuur
.
B2: Tìm
n AB,CD
 
=
 

r uuur uuur
.
B3: Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận
n
r
làm VTPT.
Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm A, B và song song với đường
thẳng d cho trước. (AB không song song với d).
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và véctơ chỉ phương
a
r
của d.
B2: Tìm
n AB,d
 
=
 
r uuur r
.
B3: Viết phương trình mặt phẳng (
α

) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1),
C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0). Lập phương trình mặt phẳng
( )
α
chứa đường thẳng CD và song song
với đường thẳng AB.
Giải
Ta có
( ) ( )
1, 5, 2 ; 2,1,1= − − =
uuur uuur
AB CD

⇒
( )
; 3, 5,11
 
= = − −
 
r uuur uuur
n AB CD
là VTPT của mp
( )
α

Mặt phẳng

( )
α
chứa đường thẳng CD và song song với đường thẳng AB đi qua C có 1 VTPT
( )
3, 5,11= − −
r
n
⇒ Phương trình mp
( )
α
là:
-3(x – 2) – 5(y – 0) + 11(z + 1) = 0 ⇔ -3x – 5y + 11z + 17 = 0 ⇔ 3x+5y-11z -17 = 0
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho
trước. (
∉A d
)
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ điểm M
0

∈
d và VTCP
u
r
của d. Tìm
0
AM

uuuuur
B2: Tìm
0
n AM ,u
 
=
 
r uuuuur r
B3: Viết PT mặt phẳng(
α
)đi qua điểm A và nhận
n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(-1 ,2 , 3) và chứa trục 0x.
Giải
Trục 0x đi qua O(0;0;0) và có 1VTCP
i (1;0;0)=
r
,
OA ( 1;2;3)= −
uuur
⇒
n OA;i
 
=
 
r uuur r
=(0;3;-2). Mặt phẳng (
α

) đi qua điểm A và nhận
n
r
=(0;3;-2) làm một VTPT,
phương trình là: 3(y-2)-2(z-3)=0 ⇔ 3y-2z=0.
Cách khác :
Phương trình mặt phẳng(
α
) chứa trục ox có dạng: By+Cz=0. (1)
Do mặt phẳng(
α
) đi qua A(-1 ,2 , 3) nên ta có: 2B+3C=0 chọn B=3 ⇒ C= -2 ⇒ phương trình
mặt phẳng (
α
) là: 3y-2z=0.
Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và toạ độ trung điểm I của đoạn AB.
B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm I và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
B3: Viết phương trình mặt phẳng trung trực đi qua điểm I và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
Ví dụ:

Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(1;3;0) và B(3,-1;2)
Giải:
Ta có trung điểm của AB là I(2;1;1),
AB (2; 4;2)= −
uuur
.
Mp(P) đi qua trung điểm I của AB và có 1VTPT là
AB (2; 4;2)= −
uuur
⇒ phương trình mặt phẳng
trung trực (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0 ⇔ 2x-4y+2z-2=0
Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
.
B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm M và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
B3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận
AB
uuur
làm VTPT.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;0) vuông góc với đoạn thẳng AB, biết A(1;0;1)
và B(3,-1;2).
Giải:
Ta có

AB (2; 1;1)= −
uuur
.
Mp(P) đi qua M(1;3;0) và có 1VTPT là
AB (2; 1;1)= −
uuur
⇒ phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x-
1)-(y-3)+1(z-0)=0 ⇔ 2x-y+z+1=0
Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm M
0
cho trước và vuông góc
với đường thẳng d cho trước.
Phương pháp giải:
B1: Tìm VTCP
u
r
của d.
B2: Viết phương trình mặt phẳng
( )α
đi qua điểm M
0
và nhận
u
r
làm VTPT.
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng
( )

α
đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt
phẳng(
β
) cho trước. (AB không vuông góc với
( )
β
).
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
uuur
và VTPT
n
β
uur
của mặt phẳng(
β
).
B2: Tìm
n AB, n
β
 
=
 
r uuur uur
.
B3: Viết phương trình mặt phẳng (
α
)đi qua điểm A (hoặc B) và nhận

n
r
làm VTPT.
Ví dụ: Viết phương trình mp (
α
) đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với
mp(P): 2x-y+3z-1=0
Giải
Ta có
AB ( 1; 2;5)= − −
uuur
, mp(P) có 1 VTPT là
P
n (2; 1;3)= −
uur
⇒
P
n AB;n ( 1;13;5)
 
= = −
 
r uuur uur

Mp(
α
) đi qua A(3;1;-1), có 1 VTPT là
n ( 1;13;5)= −
r
⇒ phương trình mặt phẳng (
α

) là:
-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0 ⇔ -x+13y+5z-5=0 ⇔ x-13y-5z+5=0
Dạng 10:
Viết phương trình mặt phẳng
( )
α
//
( )
β
: Ax+By+Cz+D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Phương pháp giải:
B1:Xác định tâm I bán kính R của mặt cầu (S).
B2:Do mp(
α
)//mp
( )
β
⇒phương trình mặt phẳng(
α
) có dạng Ax+By+Cz+m=0(*)
(m≠D)
B3: Mặt phẳng
( )
α
tiếp xúc với mặt cầu (S)⇔ d(I,(
α
))=R giải phương trình này tìm
được m thỏa điều kiện m≠D thay vào (*) ta được phương trình mặt phẳng(
α
).

Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;-1), mặt phẳng (P ) :
2 10 0x y z
+ + + =
và mặt cầu (S) :
2 2 2
2 4 6 8 0
+ + − + − + =
x y z x y z
. Viết phương trình mặt
phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
HD: Mặt cầu (S) có tâm I(1,-2,3) và
6R =

Phương trình mặt phẳng (R) có dạng:
2 0x y z m
+ + + =
( )
10m ≠
Do mặt phẳng (R) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
( )
( )
,d I R R=
1 2 6
6
1 1 4
m− + +
⇔ =
+ +
Giải phương trình ta được:
1( )

11( )
m n
m n
=


= −

. Vậy có 2 mặt phẳng (R) thỏa yêu cầu bài toán phương
trình là:
2 1 0x y z+ + + =
và
2 11 0x y z+ + − =

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua A(-2;3;1) và có một VTPT là
n (3; 2;1)= −
r
Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua A(-2;1;0),B(3;0;1),C(5;5;5)
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;2) và song song với mặt phẳng (Q):3x+5y-
2z+4=0
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(
β
):2x+y-2z+3=0. Viết phương trình
mp(α) //mp(
β
) và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2.
Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng (α) đi qua A(1, 0, 2) và chứa đường thẳng

1 2
:
1 2 3
− +
= =
x y z
d
.
Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(5;3;2) và B(3,-1;2)
Bài 7: Viết phương trình mp (
α
) đi qua hai điểm A(2;3;-1), B(3;1;4) và vuông góc với mp(P):
2x-y+3z-1=0
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp
( )
α
: x+3y-4z+3=0 và mp(
β
): 2x+2y-
4z+1=0. Viết phương trình mp(P) đi qua A(2;0;1) và vuông góc với 2 mặt phẳng (α), (β).
Bài 9: Cho hai đường thẳng
1
1 2 3
:
1 1 2
x y z
d
− − −
= =
− − −

và
2
1 2 '
: 2
3 3 '
x t
d y
z t
= −


=


= −


a) Chứng minh
1
d
cắt
2
d
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng
1
d
và
2
d

Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
1
2 3
:
2 2 4
− −
= =
x y z
d
và d
2
:
1
2
1 2
x t
y t
z t
= +


= +


= +

a) Chứng minh
1
d
//

2
d
b)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và d
2
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình (S):
2 2 2
2 4 2 3 0+ + − + + − =x y z x y z
, (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q)
song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
2 1
:
2 3 4
− −
= =
−
x y z
d
và góc mặt phẳng
( )
: 1 0Q x y z
+ + − =
Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
( )
0;1;2A
và song song với hai đường thẳng
1
1 1

:
2 1 1
x y z
d
− +
= =
và
2
1
: 1 2
2
= +


= − −


= +

x t
d y t
z t
.
III/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
Chuù yù :
- Muốn viết phương trình đường thẳng thường đi tìm: 1 điểm di qua và 1 véctơ chỉ
phương
- Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
;y

0;
z
0
) và có 1 véctơ chỉ phương
( ; ; )u a b c=
r
phương
trình tham số là:
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

. Nếu a.b.c ≠ 0 thì phương trình chính tắc là:
0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= =
-Nếu chưa tìm được ngay 1 véctơ chỉ phương của đường thẳng d, ta đi tìm 2 véctơ
,a b

r r
không cùng phương có giá vuông góc với d khi đó
[ ; ]u a b=
r r r
là một véctơ chỉ
phương của d.
Dạng 1: Đường thẳng d đi qua A có một véctơ chỉ phương
u
r
Phương pháp giải:
B1: Chỉ rõ (d) đi qua A(x
0
;y
0;
z
0
) có một véctơ chỉ phương
( ; ; )u a b c=
r
B2 : Viết phương trình đường thẳng (d) theo yêu cầu.
Ví dụ : Viết phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP
a  = −
r
.
Giải:
Đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP
a  = −
r
. Phương trình chính tắc là :
5 4 1

2 3 1
x y z
− − −
= =
−
. Phương trình tham số là
5 2
4 3
1
x t
y t
z t
= +


= −


= +

Dạng 2: Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B.
Phương pháp giải:
B1 : Tìm véctơ
AB
uuur
B2 : Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
AB
uuur
Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2; 3), B(4; 4; 4)
Giải:

Ta có
(3; 2; 1)AB =
uuur
:
Đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3), có 1 VTCP là
(3; 2; 1)AB =
uuur
Phương trình tham số là
1 3
2 2
3
x t
y t
z t
= +


= +


= +

Dạng 3: Đường thẳng d qua A và song song
∆
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ chỉ phương
a
r
của
∆

B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
r
a
Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3) và song song với ∆:
x t
y t
z t
 
 


= +

= − +


=

Giải:
Đường thẳng ∆ có 1 VTCP là
(2; 3; 4)a =
r
Đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3), có 1 VTCP là
(2; 3; 4)a =
r
⇒ phương trình là:

= +

=



= − +

x t
y t
z t
 

 
Dạng 4: Đường thẳng d qua A và vuông góc mp(
α
)
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến
n
r
của mp(α)
B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
n
r
Ví dụ : Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3) và vuông góc (P):
x y z  + − + =
Giải:
Mp(P) có 1 VTPT là:
(1; 1; 1)n
= −
r
Đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3), có 1 VTCP là:
(1; 1; 1)n

= −
r
⇒ phương trình chính
tắc là:
2 1 3
1 1 1
x y z
− + −
= =
−

Dạng 5: Đường thẳng d qua A và vuông góc d
1
, d
2
( d
1
không song song hoặc trùng d
2
)
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ chỉ phương
a
r
của (d
1
),véctơ chỉ phương
b
r
của (d

2
)
B2: Tính
[ ; ]u a b=
r r r
B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
r
Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng
(d
1
):
1 2
3
x t
y t
z t
= −


= +


= −

và (d
2
):
1 2 1
2 1 3

x y z− − +
= =
−
Giải:
Đường thẳng d
1
có 1 VTCP là
( 2; 1; 1)a
= − −
r
.
Đường thẳng d
2
có 1 VTCP là
(2; 1; 3)b = −
r
⇒
[ ; ] (2;4;0)u a b= =
r r r
.
Đường thẳng d có 1 VTCP là
(2;4;0)u =
r
và đi qua M(1;1;4) ⇒ phương trình là:
1 2
3
x t
y t
z t
= −



= +


= −

Dạng 6: Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng giả sử là:
;
P Q
n n
uur uur
B2: Tính
[ ; ]
p Q
u n n=
r uur uur
B3: Tìm một điểm đi qua A của giao tuyến bằng cách cho x=0 thế vào phương trình 2 mặt
phẳng giải hệ 2 phương trình 2 ẩn y, z tìm được y
0
; z
0
⇒ A(0; y
0
; z
0
) là một điểm thuộc giao
tuyến

B4:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
r
Ví dụ :
Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:(P):x-2y+z+5=0,(Q):2x-z+3=0.
Giải:
Mặt phẳng (P) có 1 VTPT là
1
( 1; 2; 1)n = −
ur
.
Mặt phẳng (Q) có 1 VTPT là
2
(2; 0; 1)n
= −
r
. ⇒
1 2
[ ; ] (2;3;4)u n n= =
r ur uur
.
Cho x=0 thế vào phương trình mp(P) và mp(Q) ta được hệ :
2 5 4
3 3
y z y
z z
− + = − =
 
⇔
 

= =
 
⇒d đi qua
A(0 ;4 ;3). Mặt khác d có 1 VTCP
(2;3;4)u =
r
⇒phương trình là:
4 3
2 3 4
x y z
− −
= =
Dạng 7:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng cắt nhau
(P), (Q).
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng giả sử là:
;
P Q
n n
uur uur
B2: Tính
[ ; ]
p Q
u n n=
r uur uur
B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
r
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết d đi qua

điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2
= 0.
Giải .
Ta có
n
r
P
= (2; 3; -2);
n
r
Q
=(1; -3; 1) lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q). Do d //(P) và
d//(Q) nên vectơ chỉ phương của d là
u
r
= [
n
r
P
,
n
r
Q
] = (-3; - 4; -9).

⇒
Phương trình tham số của d là:






−=
−=
−=
tz
ty
tx
95
41
33

Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường
thẳng ∆.
Phương pháp giải:
B1:Đưa phương trình đường thẳng ∆ về dạng tham số
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +


.
B2 :Tìm véctơ chỉ phương
u
r
của đường thẳng ∆.
B3: Gọi B= d∩∆ ⇒B(x
0
+at ; y
0
+bt ; z
0
+ct) ⇒
AB
uuur
B4: Do d vuông góc với ∆ ⇔
u
r
.
AB
uuur
= 0 ⇒ t ⇒
AB
uuur
B5:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
r
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d’ có phương trình
1
2
x t

y t
z t
=


= −


=

. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2;-2), cắt và vuông góc với d’.
Giải
Đường thẳng d’ có 1VTCP là
1
u
ur
(1; -1; 2)
Gọi B= d∩d’⇒ B∈d’ ⇒ B(t ; 1 - t ; 2t) ⇒
AB
uuur
(t – 1 ; -t – 1 ; 2t + 2)
Do d
⊥
d’
1
. 0AB u⇔ =
uuur ur
⇔ 6t + 4 = 0 ⇔ t =
2
3

−
=>
AB
uuur
5 1 2
; ;
3 3 3
 
− −
 ÷
 
Đường thẳng d đi qua A có 1VTCP
3. (5; 1; 2)u AB= − = −
r uuur
Vậy phương trình của d là :
1 2 2
5 1 2
x y z− − +
= =
−
Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuông góc với đường
thẳng ∆.
Phương pháp giải:
B1:Tìm giao điểm A của (P) và ∆.
B2 :Tìm véctơ chỉ phương
a
r
của đường thẳng ∆.VTPT
n
r

của mp(P)
B3:
[ ; ]u a n=
r r r
B4: Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
r
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
∆
:
x 1 y 3 z 3
1 2 1
− + −
= =
−
và mp(P): 2x + y –
2z + 9 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) vuông góc với
∆
và cắt
∆
.
Giải
Gọi A=
∆
∩(P) ⇒toạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ
1 3
1 2
2 1 0
1 3
4 1

1 1
2x y – 2z 9 4
2x y – 2z 9 0
x y
x y x
x z
x z y
z
− +

=

−
+ = − =
 

− −
  
= ⇔ + = ⇔ = −
  
−
  
+ = − =
 
+ + =



⇒ A(0 ;-1 ;4)
đường thẳng

∆
có 1 VTCP
a
r
=(-1;2;1), mp(P) có một VTPT
(2;1; 2)n
= −
r

d nằm trong (P) vuông góc với
∆
⇒ d có 1 VPCP
; (5;0;5)u n a
 
= =
 
r r r
và d đi qua A(0 ;-1 ;4) ⇒
phương trình tham số của d là
5
1 ( )
4 5
x t
y t R
z t
=


= − ∈



= +


BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Viết PTchính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(2; -1; 3) và có VTCP
= − a
r
.
Bài 2: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A(1; -2; 3), B(3; 4; 5)
Bài 3: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(1; 2; 3) và song song với ∆:

= +

= +


= −


 

x t
y t
z t
Bài 4: Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và vuông góc (P):
+ − + =   x y z
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng
(d
1

):
1 3
3 2
1
x t
y t
z t
= +


= +


= −

và (d
2
):
1 2
1 2 3
x y z− −
= =
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:(P): 2x-y+2z+3=0,
(Q):2x+3y-z+5=0.
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;-1;2) và song song với hai mặt phẳng (P):
2x+y +2z - 4=0; (Q): x + 2y - 3z + 5= 0
Bi 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2; 3) và đờng thẳng d:
2 3
1 2
x t

y t
z t
= +


=


=

Viết phng trình đờng thẳng dđi qua điểm A, cắt và vuông góc với đờng thẳng d.
Bi 9: Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng d:
+
= =
x y 3 z 3
1 2 3
v mp(P): 2x + y 2z + 9 =
0. Vit phng trỡnh ng thng

nm trong (P) vuụng gúc vi d v ct d.
IV/ MT S BI TON V TèM IM:
Daùng 1: Tỡm giao im ca ng thng v mt phng.
Phng phỏp gii:
Cỏch 1: To giao im l nghim ca h
( )
C)* ?
C)*

Cỏch 2:
B1: a phng trỡnh ng thng d v dng tham s.
B2: Gi M=d() Md to M theo tham s t.
B3: Mt khỏc M(), th to M vo phng trỡnh mt phng () gii phng
trỡnh tỡm c t M.
Vớ d : Cho ng thng :

= =
x y z

v mt phng (P) : x+y-z+3=0. Tỡm to giao
im H ca A v mt phng (P)
Gii :
Cỏch 1: To giao im H l nghim ca h


=


= =



= = =


+ = =

+ + =



" $


" $ "
# $
# $ # <

" # $ $
" # $
Cỏch 2 :
ng thng cú phng trỡnh tham s l:
x t
y t
z t



= +

= +


=

. Do H=(P)HH(2+t;1+2t;t).

Mt khỏc H(P) nờn ta cú: 2 + t +1+2t t +3 = 0 t = -3 H(-1;-5;-3)
Daùng 2:Tỡm hỡnh chieỏu H cuỷa M treõn mp(P)
Phng phỏp gii:
Phng phỏp gii:
B1: Tỡm VTPT ca mp(P)
B2: Vit phng trỡnh ng thng d qua M v vuụng gúc mp(P) .
B3: Hỡnh chiu H l giao im ca d v (P)
Vớ d :
Trong khụng gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z 6 = 0. Tỡm ta hỡnh chiu ca A(0, 0, 1)
trờn mt phng (P)
Gii:
Ta cú Mp(P) cú VTPT
n
r
= (6, 3, 2)
Gọi d là đường thẳng qua A và vng góc với (P)⇒ d có VTCP
n
r
⇒ phương trình là:
x 6t
y 3t
z 1 2t
=


=


= +


H là hình chiếu vng góc của A lên (P) ⇒ H=d ∩(P)⇒ H∈d ⇒ H(6t;3t;1+2t). Mặt khác
H∈(P) nên ta có phương trình: 6.6t+3.3t+2(1+.2t)-6=0⇒
4
t
49
=
⇒ H
24 12 57
, ,
49 49 49
 
 ÷
 
Dạng3 : Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua mp(P)
Phương pháp giải:
• Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên mp(P) .
• M
/
đối xứng với M qua (P) ⇔ H là trung điểm của MM
/
nên :
/
/
/
2
2
2
H M

M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z

= −

= −


= −

Ví dụ : Cho mặt phẳng
( )
: 6 3 2 6 0P x y z
+ + − =
. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với
( )
0;0;1A
qua
mặt phẳng (P).
Giải:
. Gọi H là điểm chiếu của A lên (P), ta có
24 12 57
; ;
49 49 49

H
 
 ÷
 
(đã giải trong bài tìm hình chiếu của
M trên mp). Vì A’ đối xứng A qua mặt phẳng (P) nên H là trung điểm của AA’⇒
/
/
/
48
2
49
24
2
49
65
2
49
H A
A
H A
A
H A
A
x x x
y y y
z z z

= − =




= − =



= − =


⇒
48 24 65
' ; ;
49 49 49
A
 
 ÷
 
Dạng4 : Tìm điểm H là hình chiếu của M trên đường thẳng d
Phương pháp giải:
Cách 1 :
 /+,'/C
d
a
uur
ủ?
 '789))*+,αJB330:3:7?4):
d
an =
α
 /;=@<(78@,K)4

( )
C)* ? 
C)* 



α


Cách 2 :
 Phương trình tham số của d là

= +

= +


= +

x x at
y y bt
z z ct



, d có VTCP
a
r
= (a, b, c)
 Do H là hình chiếu của A trên d ⇒ H∈d ⇒ H(x

0
+a t; y
0
+bt ; z
0
+ct) ⇒
AH
uuur

 Mặt khác ta có :
. 0AH a AH a t⊥ ⇔ = ⇒
uuur r uuur r
⇒ H.
Ví dụ: Cho đường thẳng
2 3
:
1 1 1
x y z
d
− +
= =
− −
và điểm
( )
1;3;5A
. Tìm tọa độ hình chiếu của A
lên đường thẳng d.
Cách 1 :
Giải:
. d có VTCP

( )
1; 1; 1u
= − −
r
. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vng góc d ⇒ (P) có VTPT
( )
1; 1; 1n u= = − −
r r
, phương trình
mặt phẳng (P):
7 0x y z
− − + =
. H l hỡnh chiu ca A lờn d nờn H=d (P) Hd H(2+t;-3-t;-t) mt khỏc H(P) ta cú
phng trỡnh 2+t+3+t+t+7=0 t= -4
( )
2;1;4H

Cỏch 2 :
Gii:
. Phng trỡnh tham s ca d cú VTCP
( )
1; 1; 1u
=
r
.
. H l hỡnh chiu ca A lờn d nờn H=d (P) Hd H(2+t;-3-t;-t)
AH (1 ; 6 ; 5 )t t t
= +
uuur

Mt khỏc ta cú AHd
AH. 0u =
uuur r
1+t+6+t+5+t=0 t= -4
( )
2;1;4H

Daùng 5 : Tỡm im M
/
ủoỏi xửựng vụựi ủieồm M qua ủt d
Phng phỏp gii:
Tỡm to hỡnh chiu H ca M trờn ng thng d.
M
/
i xng vi M qua d H l trung im ca MM
/
nờn :
/
/
/
2
2
2
H M
M
H M
M
H M
M
x x x

y y y
z z z

=

=


=

Vớ d: Cho ng thng
2 3
:
1 1 1
x y z
d
+
= =

v im
( )
1;3;5A
. Tỡm ta im A i xng
ca A qua ng thng d.
Gii:
H l hỡnh chiu ca A lờn d, ta cú H(-2;1;4) (Trong vớ d bi toỏn hỡnh chiu ca A trờn d ó
gii).
Vỡ A i xng A qua ng thng d nờn nờn H l trung im ca AA nờn ta cú:
/
/

/
2 5
2 1
2 4
H A
A
H A
A
H A
A
x x x
y y y
z z z

= =

= =


= =

. Vy
( )
' 5; 1;3A


Daùng 6 : Tỡm im M thuc ng thng d tha iu kin cho trc
Phng phỏp gii:
B1: Chuyn phng trỡnh ng thng d v dng tham s (Nu phng trỡnh ng thng cha
cú dng tham s), gi s phng trỡnh cú dng:

= +

= +


= +

x x at
y y bt
z z ct



.
B2: Gi Md M(

x at+
;

y bt+
;

z ct+
)
B3: Thit lp phng trỡnh hoc h phng trỡnh theo iu kin bi cho tỡm ra im M.
Vớ d 1. Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng d:
1
1 1 2
x y z

+
= =

v mp
(P):2x+y-2z+1=0.

Tỡm to im M trờn d cỏch u mt phng (P) v im A(0;1;-1).
Gii

M d
M(t;-t;2t-1) nờn
2 2 2
( 1) 4AM t t t= + + +
, d(M,(P))
| 2 2(2 1) 1|
|1 |
3
t t t
t
+
= =
Theo bi ra: AM=d(M,(P))
2 2 2 2
|1 | ( 1) 4 5 4 0t t t t t t = + + + + =

0
4
5
t
t

=




=

( )
0 M 0;0 1t =
;
4 4 4 13
( ; ; )
5 5 5 5
t M=
Daùng 7 : Tỡm im M thuc mt phng (P) : Ax+By+Cz+D=0, tho mt s iu kin cho
trc.
Phng phỏp gii:
B1: Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mp(P)⇒ A.a+B.b+C.c+D=0(1).
B2: Dựa điều kiện đầu bài lập 2 phương trình khác kết hợp với phương trình (1) ta được hệ
phương trình theo 3 ẩn a, b, c giải hệ tìm được toạ độ M.
Ví dụ. (TNTHPT năm 2014) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm
(1; 1;0)A −
và
mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+z-1=0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho
AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến (P).
Giải
Gọi M(a;b;c), ta có
( ) 2 2 1 0 2 2 1M P a b c c b a∈ ⇔ − + − = ⇔ = − +

(1)
Ta có:
( 1; 1; ), (1; 1;0)AM a b c OA= − + = −
uuuur uuur
, do
. 0 2AM OA AM OA a b⊥ ⇔ = ⇔ − =
uuuuruuur
(2)
Mặt khác
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
1 1 1 1 9AM a b c a b= − + + + = − + + +
và
( )
,( ) 1d A P =
Do
( ) ( )
2 2
2
3 ( ,( )) 1 1 0(3)AM d A P a b c= ⇔ − + + + =
. Giải hệ ba phương trình (1), (2), (3) ta được:
( )
1
1 1; 1; 3
3
a
b M
c
=



= − ⇒ − −


=

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM KHÁC
a) Trên trục Oy tìm điểm M cách đều hai điểm : A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
HD: M∈Oy ⇒ M(0 ;y ;0). M cách đều hai điểm A, B ⇔AM=BM
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
HD: M∈Oxz ⇒ M(x ;0 ;z ). M cách đều 3 điểm A, B, C ⇔AM=BM=CM
c) Cho ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1). Tìm điểm D để tứ giá ABCD là
hình bình hành.
HD:Tứ giác ABCD là hình bình hành
AD BC=
uuur uuur
.
d) Cho ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1) Tìm điểm M sao cho
2 3AM AB BC= −
uuuur uuur uuur
.
HD: Gọi M(x,y,z), tính
, 2 3AM AB BC−
uuuur uuur uuur
hai véctơ bằng nhau ⇔ các toạ độ tương ứng bằng
nhau.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1: Cho đường thẳng ∆:
− −

= =
x y z 
  
và mặt phẳng (P) : x+y-z+3=0. Tìm toạ độ giao
điểm H của A và mặt phẳng (P)
Bài 2: Trong không gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu của
A(1, 2, 3) trên mặt phẳng (P)
Bài 3: Trong không gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0. Tìm điểm A’ đối xứng với
A(1, -2, 3) qua mặt phẳng (P)
Bài 4: Cho đường thẳng d:
x 2 y 3 z
1 1 1
− +
= =
− −
và điểm A(2,-1,1). Tìm tọa độ điểm chiếu của A
lên đường thẳng d
Bài 5: Cho đường thẳng d:
= +


= − −


= −

x 2 t
y 3 t
z t
và điểm A(3,-2,5). Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A

qua đường thẳng d
MỘT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP + ĐẠI HỌC HÌNH HỌC KHÔNG OXYZ
Bài 1) TNTHPT 2009
Câu 4a Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:
( ) ( ) ( )
2 2 2
(S) : x 1 y 2 z 2 36và (P) : x 2y 2z 18 0− + − + − = + + + =
.
1) Xác định tọa độ tâm T và tính bán kính của m.cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng
(P).
2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao
điểm của d và (P).
Bài 2) TNTHPT 2010
Câu 4.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3).
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
2) Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài 3) TNTHPT năm 2011
Câu 4.a. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;0) và mặt phẳng (P)
có phương trình 2x+2y-z+1=0.
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) . Viết phương trình mặt phẳng đi qua
điểm A và song song với mặt phẳng (P) .
2) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng(P).
Bài 4) TNTHPT năm 2012
Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;2;1), B(0;2;5) và
mặt phẳng (P) có phương trình 2x –y+5 =0
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B
2) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB
Bài 5) TNTHPT năm 2013
Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz

, cho điểm
( 1;2;1)M −
và mặt phẳng
( )P
có phương trình
2 2 3 0x y z+ + − =

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng
d
đi qua
M
và vuông góc với
( )P

2) Viết phương trình mặt cầu
( )S
có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với
( )P

Bài 6) TNTHPT năm 2014
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(1; 1;0)
−
A
và mặt phẳng
( )P
có phương trình
2 2 1 0− + − =x y z

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
( )P

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc
( )P
sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần
khoảng cách từ
A
đến
( )P
Bài 7) ĐH KA-2014
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P):
2x y 2z 1 0+ − − =
và đường thẳng d:
x 2 y z 3
1 2 3
− +
= =
−
. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa d và
vuông góc với (P).
Bài 8) ĐH KB-2014
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;-1) và đường thẳng d:
1 1
2 2 1
− +
= =

−
x y z
.
Viết phương trình mp qua A và vuông góc với d. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
Bài 9) ĐH KD-2014
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z – 1 = 0 và mặt cầu (S) :
x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 4y – 2z – 11 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến
là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C).
PHẦN II: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP
A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V=B.h
4 ?78@)L=:#
 4 78.



*Thể tích khối hộp chữ nhật:
V= a.b.c
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=


Bh

4 ?78@)L=:#
 4 78.



3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU:
"J

)*;
M 4 :L=:#
%  M(3:7
( 4 =7
M 4 :L=:#
' M 3:7
 4 =

= π



= π


Chú ý:
1/ Hình vuông cạnh a : Đường chéo là a
2
. Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a
3
. Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là
2 2 2

a b c+ +
,
2/ Tam giác đều cạnh a: đường cao là
3
2
a
, diện tích là
2
3
4
a
3/ Hình chóp đều : là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có
đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều: là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
5/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho
ABC∆
vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC= +

b)
CBCHCABCBHBA .;.
22
==
c) AB. AC = BC. AH
d)
222
111
ACABAH

+=

e)
sin , os , tan ,cot
b c b c
B c B B B
a a c b
= = = =
f) b= a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a=
sin cos
b b
B C
=
, b= c. tanB = c.cot C
6/ Hệ thức lượng trong tam giác thường:
*Định lý hàm số Côsin: a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA
*Định lý hàm số Sin:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
7/Các công thức tính diện tích.

a/ Công thức tính diện tích tam giác:

1
2
S =
a x h
a
=
1 . .
. sin . .( )( )( )
2 4
a b c
a b C p r p p a p b p c
R
= = = − − −
trong đó
2
a b c
p
+ +
=
Đặc biệt :
ABC∆
vuông ở A :
1
.
2
S AB AC=
,
ABC∆

đều cạnh a:
2
3
4
a
S =
b/ Diện tích hình vuông : S= cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S= dài x rộng
d/ Diện tích hình thang :
1
2
S =
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
a
c
b
B
C
A
H
α
d(M,
α
)
M
H
e/ Diện tích hình bình hành : S= đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn :
2
S .R

π
=
8) Xác định góc giữa đường thẳng a và mp (α):
Các bước xác định góc giữa đường thẳng a và mp (α):
+ Xác định hình chiếu a’ của a trên mp (α).
+
·
·
(
)
α
=   N
.
9) Xác định góc góc giữa hai mặt phẳng (α) và (
β
):
Các bước xác định góc:
+ Xác định giao tuyến c của (α) và (
β
)
+ Xác định hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên
hai mặt phẳng (α) và (
β
) đồng thời cùng vuông góc với giao tuyến c
+ Xác định góc giữa a và b, góc giữa a và b là góc giữa (α) và (
β
)
10) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M tới mp(α) là độ dài đoạn vuông góc
MH hạ từ M xuống mp(α). Kí hiệu:

( )
,( )
α
d M
Phương pháp tính khoảng cách từ điểm M tới mp(
α
) :
Dựng
( )
α
⊥
MH
, H
∈

( )
α
và tính MH
( )
,( )
α
⇒ =d M MH
.
Có thể dựng MH theo hai phương pháp sau:
Cách1: Nếu có một đường thẳng
( )
α
⊥
d
thì ta dựng

đường thẳng
∆
đi qua M và
/ /d
∆
. Đường thẳng này cắt (
α
) tại H.

( )MH
α
⇒ ⊥
.
Cách 2: Chọn một mặt phẳng (P) qua M và
( ) ( )
α
⊥
P
,
mặt phẳng (P) cắt (
α
)

theo giao tuyến d.
Trong mặt phẳng (P) dựng
( )
,MH d H d⊥ ∈
thì
( )
α

⊥
MH
.
Chú ý: Khi biết khoảng cách từ một điểm A (khác M) đến (
α
).
+ Nếu MA//(
α
)thì
( ) ( )
,( ) ,( )
α α
=d M d A
.

+ Nếu
( ) ( )
α
∩ = ≠
MA I I A

thì
( )
( )
,( )
,( )
α
α
=
d M

IM
d A IA
.
11) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
a) Định nghĩa 1 : AB được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
a và b
,
,
∈ ∈

⇔

⊥ ⊥

A a B b
AB a AB b
.
b) Định nghĩa 2 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng đó.
c) Chú ý : Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau như sau:
• Nếu hai đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc với nhau:
- Dựng hoặc tìm một mặt phẳng (
α
)

chứa b và vuông góc với a tại A
- Trong (
α
) dựng đoạn
⊥

AB b
tại B
⇒
đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa a và b.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa a và mặt phẳng
(P) chứa b và song song với a, hoặc bằng khoảng cách giữa b và mặt phẳng (Q) chứa a và song
song với b.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
α
β
a
b
c
a
a'
ϕ
d
α
M
H
d
(P)
α
M
H
α
I
M
H

A
K
α
M
H
A
K
30
0
I
H
B
C
A
S
K
B/ MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Khối A năm 2013
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
·
0
ABC 30=
, SBC là tam giác đều cạnh a
và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách
từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Giải
Gọi H là trung điểm BC do ∆ABC là tam giác đều⇒SH⊥BC, mà
(SBC) ⊥(ABC) theo giao tuyến BC nên SH ⊥ (ABC)(1) và SH
=
3

2
a
Ta có tam giác ABC là nửa tam giác đều nên BC=a,
3
,
2 2
= =
a a
AC AB
⇒S
ABC
=
2
1 1 3 3
. . .
2 2 2 2 8
a a a
AC AB = =
2 3
.
1 1 3 3
. .
3 3 8 2 16
S ABC ABC
a a a
V S SH= = =
.
Gọi I là trung điểm AB⇒
a
HI

4
HI AB(2)

=



⊥

, từ (1)⇒SH⊥AB(3) . Từ (2) và (3)⇒AB⊥(SHI)
⇒(SHI)⊥(SAB) theo giao tuyến SI, trong (SHI) kẻ HK ⊥ SI thì HK ⊥ (SAB), ta có
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 39
26
3
4
2
a
HK
HK HI SH
a
a
= + = + ⇒ =
   
 ÷
 ÷
 
 
Ta có

( )
( )
( )
( )
d C, SAB
39 39
2 C, SAB 2 ( ,( )) 2.
( ,( )) 26 13
BC a a
d d H SAB
d H SAB BH
= = ⇔ = = =
Bài 2: ĐHKA 2012
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BC theo a.
Giải
Gọi M là trung điểm AB, ta có
2 3 6
a a a
MH MB HB
= − = − =
. Ta có ∆MHC vuông tại M⇒
2
2
2
2 2 2

3 28 7
2 6 36 3
a a a a
CH MC MH CH
 
 
= + = + = ⇒ =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Do H là hình chiếu vuông góc của trên(ABC)⇒SH⊥(ABC)⇒HC
là hình chiếu của SC trên (ABC)⇒
·
·
0
( ,( )) SCH 60SC ABC = =
2 7
2
3
a
SC HC
= =
; SH = CH.tan60
0
=
21
3
a

2 3
.
1 1 3 21 7
. . . .
3 3 4 3 12
S ABC ABC
a a a
V S SH
⇒ = = =
dựng D sao cho ABCD là hình thoi, AD//BC. Vẽ HK ⊥AD(D∈AD), trong tam giác vuông SHK
ta kẻ HI⊥SK(I∈SK) (1), ta có AK⊥HK, AK⊥SH⇒ AK⊥(SHK) ⇒AK⊥HI(2). Từ (1) và (2) ⇒
HI⊥(SAK) ⇒HI=d(H,(SAK)). Ta cũng có BC//(SAK)⇒ d(BC,SA) =d(B,(SAK))=
3 3
( ,( ))
2 2
d H SAK HI=
. Trong ∆ vuông AHK vuông tại K, có
µ
A
bằng
0
60
ta có:
M
A
B
C
S
D
H

K
I
0
2 3 3
.sin 60
3 2 3
a a
HK AH
= = =
. Trong ∆ vuông SHK vuông tại H ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
21 3
3 3
HI HS HK
a a
= + = +
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

( )
42 3 3 42 42
,
12 2 2 12 8
a a a
HI d BC SA HI
⇒ = ⇒ = = =
C/ MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC:

Bài 1. (đề thi TNTHPT – 2009)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Biết góc
·
0
120 ! =
, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 2 (đề thi TNTHPT – 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt (SBD) tạo với đáy một góc
60
0
, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 3. (đề thi TNTHPT – 2011 )
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD=CD= a, AB=3a.
Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 45
0
. Tính thể tích
khối chóp SABCD theo a.
Bài 4. (đề thi TNTHPT – 2012)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA= BC = a. Góc
giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng 60
o
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
theo a.
Bài 5. (đề thi TNTHPT – 2013 )
Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh

a
, cạnh bên
SA
vuông góc
với mặt phẳng đáy. Đường
SD
tạo với mặt phẳng
( )SAB
một góc
0
30
. Tính thể tích của
khối chóp
.S ABCD
theo
a
.
Bài 6. (đề thi TNTHPT – 2014 )
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(1; 1;0)
−
A
và mặt phẳng
( )P
có phương
trình
2 2 1 0
− + − =

x y z

1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
( )P

2) Tìm tọa độ điểm M thuộc
( )P
sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần
khoảng cách từ
A
đến
( )P
Bài 7. (đề thi ĐHK A+A
1
– 2014 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =
3a
2
, hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
Bài 8. (đề thi ĐHK B – 2014 )
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 60
0
. Tính
theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
(ACC’A’).

Bài 9. (đề thi ĐHK D – 2014 )
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
PHẦN III: GIẢI TÍCH
CHUYÊN ĐỀ I: KHẢO SÁT HÀM SỐ & CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
DẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: y =
-
x
3
– 3x
2
+ 4
Đáp án
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: y =
-
x
3
– 3x
2
+ 4 1 điểm
1. Tập xác định: D = R 0,25
2. Đạo hàm: y’ = – 3x
2
– 6x, y’ = 0 ⇔
x 2
x 0
= −



=


3. Giới hạn:
x x
lim y , lim y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
4. Bảng biến thiên:
5. Tính đơn điệu:
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (− ∞ ; − 2) và (0 ; + ∞)
+ Hàm số đồng biến trên khoảng (− 2 ; 0)
6. Cực trị: + Hàm số y đạt cực tiểu tại x = – 2 và y
CT
= y(–2) = 0
+ Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và y
CĐ
= y(0) = 4
7. Đồ thị:
Điểm uốn: (-1 ,2)
Điểm đặc biệt:
(-3 ; 4), (1 ; 0)
0,25
Ví dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: y =
4 2
y 8x 9x 1= - +
Đáp án
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: y =
4 2

y 8x 9x 1= - +
1 điểm
1.Tập xác định:
D = ¡
2. Đạo hàm:
( )
3 2
' 32x 18x = 2x 16x 9y = − −

0
' 0
3
4
x
y
x
=


= ⇔

= ±

x
y'
y
−∞
−∞
+∞
+ ∞

2
−
0
0
0
0
4
−
−
+
4
3
−
2
−
O
1
y
x
3.Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
0,25
4. Bảng biến thiên:

5. Tính đơn điệu:
Hàm số đồng biến trên các khoảng

3 3
,0 và ,
4 4
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
- + ¥
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
3 3
, và 0,
4 4
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
- ¥ -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
0,25
6. Cực trị:
+ Hàm số y đạt cực tiểu tại x =
3
4

±
và y
CT
=
49
32
−
+ Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và y
CĐ
= 1
7. Đồ thị: Điểm đặc biệt
( 1,0),(1,0)-

0,25
Bài tập luyện tập
1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
a.
3 2
3 3 1y x x x= + + +
c.
3 2
3y x x= −
b.
3 2
3 4 2y x x x= − + − +
d.
3
3 1y x x= − + +
2. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
a.

4 2
2 2y x x= − +
c.
4 2
2 1y x x= − + +
b.
4 2
8 10y x x= − − +
d.
4 2
3 4y x x= + −
DẠNG 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC
Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số:
2x 4
y
x 1
-
=
+
Đáp án
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số :
2x 4
y
x 1
-
=
+
1 điểm
1.Tập xác định: R\{-1}