Tìm hiểu các bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng trong chương trình toán tiểu học

Khóa luận tốt nghiệp

A. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Mơn Tốn ở trường tiểu học là một mơn học rất quan trọng, góp phần đắc
lực thực hiện mục tiêu giáo dục tiểu học. Chính mơn học này đã cung cấp cho học
sinh những kiến thức cơ bản về đọc, đếm, viết, so sánh các số, hình thành kỹ năng
thực hiện phép cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên, phân số, số thập phân…
1.2. Chúng ta cũng đã biết, toán học xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, từ u cầu
tính tốn trong đời sống hằng ngày mà tốn học ra đời. Tốn học chứa đựng trong nó
rất nhiều thuật tốn. Riêng mơn Tốn ở Tiểu học nổi rõ nhất là các thuật tốn: thực
hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia; so sánh hai số (số tự nhiên, phân số, số thập
phân); tính chu vi, diện tích các hình… Do vậy, học giải tốn giúp học sinh phát
triển các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, cụ thể hoá… chẳng hạn:
khi giải một bài tốn địi hỏi học sinh xác định rõ u cầu của bài tốn, tiến tới phân
tích q trình giải tốn thành các bước cụ thể theo trình tự xác định, mơ tả chính xác
các bước giải, sau đó so sánh các cách giải để rút ra cách giải tối ưu nhất. Sau khi
giải được bài toán, học sinh sẽ tổng hợp các cách giải và khái quát hóa thành cách
giải cho một lớp bài toán như lớp các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ
số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng. Từ cách giải bài tốn thuần túy tốn học, học sinh
có thể áp dụng để giải bài tốn có nội dung thực tế. Khi giải các bài tốn dạng tìm
hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng, còn giúp học sinh khả
năng diễn đạt (nói và viết) khi muốn nêu “tình huống” trong bài tốn, trình bày được
“cách giải” bài tốn, biết viết câu “ lời giải” và “phép tính giải”…
1.3. Là sinh viên ngành Sư phạm Tiểu học, chúng tôi nhận thấy khơng thể dạy
tốn mà khơng nắm vững những kiến thức toán học cơ bản, cần thiết liên quan đến
các kiến thức cần dạy, khơng nắm vững đặc thù của tốn học nói chung, đặc biệt là
các bài tốn có thể quy về dạng bài tốn tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu
số và tỉ số của chúng có mặt trong chương trình mơn Tốn ở Tiểu học. Hệ thống các
bài tốn có thể đưa về dạng này có số lượng khá lớn (lớp 4 có 20 bài tốn dạng tìm
hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng và 16 bài toán dạng tìm hai số khi biết hiệu

số và tỉ số của chúng; lớp 5 có 8 bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của
chúng và 5 bài tốn dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng) và rất phong
phú về nội dung thực tiễn (bài tốn tính số quả cam, quả qt; tính số ki - lơ - gam
gạo nếp, gạo tẻ; tính độ dài quãng đường; tính tuổi mẹ, tuổi con; tính số học sinh
nam, học sinh nữ; tính số lít nước mắm loại I, loại II; tính vận tốc của ơ tơ; tính diện
tích…và có hình thức thể hiện đa dạng, hấp dẫn học sinh (bài toán được diễn đạt
dưới dạng lời văn, bài toán được diễn đạt dưới dạng sơ đồ đoạn thẳng). Các bài tốn
dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng có khả năng
gây hứng thú học giải toán ở học sinh tiểu học, hình thành ở các em khả năng vận
dụng kiến thức vào thực tế đời sống.
Với những lý do nêu trên, chúng tơi thực hiện nghiên cứu đề tài “Tìm hiểu các
bài tốn thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của
chúng trong chương trình tốn tiểu học”.

trang 1


Khóa luận tốt nghiệp
2. KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
2.1. Khách thể nghiên cứu
Sách giáo khoa mơn Tốn lớp 4, lớp 5 trong chương trình tốn tiểu học và một
số tài liệu có liên quan đến các bài tốn thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số
hoặc hiệu số và tỉ số của chúng.
2.2. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng.
- Các bài tốn dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng.
3. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI
3.1. Mục đích của đề tài
Chúng tơi thực hiện nghiên cứu đề tài này nhằm những mục đích sau:
- Tìm hiểu các bài tốn thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu

số và tỉ số của chúng trong chương trình tốn tiểu học.
- Từ đó, chúng tơi có thể xây dựng một số bài tốn có nội dung hình học,
chuyển động đều mà cơ sở là các bài tốn thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ
số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng.
3.2. Nhiệm vụ của đề tài
Để đạt được mục đích nêu trên, đề tài cần thực hiện những nhiệm vụ cụ thể
sau:
- Tìm hiểu một số vấn đề lý luận liên quan đến đề tài như vị trí, nhiệm vụ và
mục tiêu của mơn Tốn ở Tiểu học, đặc điểm học toán của học sinh tiểu học...
- Hệ thống các bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng.
- Hệ thống các bài tốn dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng.
- Xây dựng một số bài tốn có nội dung hình học, chuyển động đều mà cơ sở là
các bài toán thuộc dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của
chúng.
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
- Các bài tốn trong chương trình tốn tiểu học có thể quy về dạng bài tốn tìm
hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng rất phong phú.
- Nếu học sinh nắm vững cách giải các bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng
số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng, thì học sinh có thể biết cách giải một số
bài tốn có nội dung hình học, chuyển động đều được xây dựng trên cơ sở bài tốn
dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng.

trang 2


Khóa luận tốt nghiệp
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Với đề tài này, chúng tơi tập trung tìm hiểu các bài tốn thuộc dạng tìm hai số
khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng trong chương trình tốn tiểu
học lớp 4, lớp 5 và các bài toán mở rộng của các bài toán trên.

6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi sử dụng một số phương pháp
nghiên cứu sau:
6.1. Phương pháp đọc sách và tài liệu
Chúng tôi tiến hành đọc một số sách, tài liệu có liên quan tới đề tài nghiên cứu,
để tìm cơ sở lý luận cho việc nghiên cứu đề tài và sử dụng những kết quả đó để vận
dụng vào việc nghiên cứu đề tài.
6.2. Phương pháp quan sát sư phạm
Chúng tôi tiến hành quan sát giờ dạy mơn Tốn lớp 4, lớp 5 của giáo viên khi
lên lớp để thu thập tài liệu thực tế về việc giáo viên tiến hành hướng dẫn học sinh
giải các bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của
chúng.
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Chúng tôi chọn hai nhóm học sinh lớp 5 có số lượng và trình độ tương đương,
u cầu mỗi nhóm giải 2 bài tốn như sau:
Nhóm 1: giải 2 bài tốn sau:
Bài 1: bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng.
Bài 2: bài tốn có nội dung hình học được xây dựng trên cơ sở bài tốn
dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng.
Nhóm 2: giải 2 bài tốn sau:
Bài 1: bài tốn có nội dung hình học được xây dựng trên cơ sở bài tốn
dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng.
Bài 2: bài tốn có nội dung hình học được xây dựng trên cơ sở bài tốn
dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng.
6.4. Phương pháp thống kê toán học
Chúng tôi sử dụng phương pháp này để xử lý các số liệu thu thập được, từ đó
có cơ sở rút ra những kết luận phù hợp.

trang 3

Khóa luận tốt nghiệp

B. NỘI DUNG CHÍNH
Chương 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ LUẬN

1. VỊ TRÍ, NHIỆM VỤ CỦA MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC
1.1. Vị trí của mơn Tốn ở Tiểu học
Mơn Tốn ở trường tiểu học là một mơn học rất quan trọng, góp phần đắc lực
thực hiện mục tiêu giáo dục tiểu học vì những lý do sau:
- Tốn học với tư cách là một khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới
thực, có một hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức cơ bản rất cần
thiết cho đời sống, sinh hoạt lao động. Đó cũng là những cơng cụ rất cần thiết để học
các môn học khác, để tiếp tục nhận thức thế giới xung quanh và để hoạt động có hiệu
quả trong thực tiễn.
- Tốn học ở Tiểu học góp phần truyền thụ những tri thức, kỹ năng toán học và
kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn cho học sinh.
- Góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung.
Rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát, đặc biệt
hoá, trừu tượng hoá, cụ thể hố, tương tự…
Rèn luyện tư duy lơgic và ngơn ngữ chính xác: tư duy và ngơn ngữ gắn chặt
với nhau. Tư duy phải được thể hiện qua ngôn ngữ, đối với tốn là các thuật ngữ, kí
hiệu… Mỗi một thuật ngữ, kí hiệu chứa đựng một nội dung xác định, do vậy viết
đúng, hiểu đúng và diễn đạt đúng là một yêu cầu quan trọng trong dạy học tốn.
Rèn luyện và phát triển các phẩm chất trí tuệ: theo tâm lý học, phẩm chất trí
tuệ thể hiện chủ yếu ở tính linh hoạt và tính độc lập, cả hai đặc tính này tạo nên tính
sáng tạo. Tính linh hoạt của trí tuệ là khả năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn
đề phù hợp với sự thay đổi các điều kiện, biết tìm ra phương pháp mới để giải quyết
vấn đề, dễ dàng chuyển từ dạng hoạt động trí tuệ này sang dạng hoạt động trí tuệ

khác, khơng rập khn theo mẫu có sẵn, kỹ năng nhìn một vấn đề, một hiện tượng
theo nhiều quan điểm khác nhau, kỹ năng xác lập sự phụ thuộc giữa các kiến thức
theo thứ tự ngược lại (tính thuận nghịch của quá trình tư duy). Tính độc lập của tư
duy là tự mình phát hiện và tìm ra phương pháp giải quyết vấn đề, khơng đi tìm lời
giải sẵn, khơng hồn tồn dựa dẫm vào ý nghĩ và lập luận của người khác, nghiêm
túc đánh giá những lập luận, cách giải quyết của người khác và ngay cả chính mình.
Giáo dục tư tưởng: q trình dạy học tốn là một q trình thống nhất giữa
giáo dục và giáo dưỡng nên giáo viên dạy tốn phải thực hiện nhiệm vụ chung như
các mơn học khác.
Giáo dục thẩm mĩ: làm cho học sinh biết thưởng thức cái đẹp như một lời giải
ngắn gọn, độc lập, một vẻ đẹp cân xứng và hài hoà, sự lập luận chặt chẽ và hợp lơgic
vì tốn học có vẻ đẹp riêng của nó.

trang 4


Khóa luận tốt nghiệp
Đảm bảo chất lượng phổ cập, đồng thời với việc phát hiện bồi dưỡng năng
khiếu: do yêu cầu khách quan của xã hội mà phải phổ cập tức là cung cấp cho học
sinh lượng kiến thức và kỹ năng đã được quy định trong chương trình và sách giáo
khoa. Ngồi mục đích đào tạo phổ cập, giáo viên phải biết phát hiện bồi dưỡng
những học sinh tỏ ra có năng lực tốn, tài năng về tốn, đây là nhiệm vụ quan trọng
thể hiện kết hợp giữa phổ cập và nâng cao, giữa phổ cập và mũi nhọn.
Sự liên quan giữa các mục đích riêng: tính tồn diện cần được xem xét trong
tồn bộ chương trình, chú trọng vai trị cở sở của tri thức tốn.
Tóm lại, khả năng giáo dục nhiều mặt của mơn Tốn rất to lớn, nó có nhiều
khả năng để phát triển tư duy lơgic, bồi dưỡng và phát triển những thao tác trí tuệ cần
thiết để nhận thức thế giới hiện thực như trừu tượng hố, khái qt hố, phân tích và
tổng hợp, so sánh dự đốn, chứng minh và bác bỏ. Nó có vai trị to lớn trong việc rèn
luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề

có căn cứ khoa học, tồn diện, chính xác; nó có nhiều tác dụng trong việc phát triển
trí thơng minh, tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong việc hình thành và rèn luyện
trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người, góp phần giáo dục ý chí và những đức
tính tốt như cần cù, nhẫn nại, ý thức vượt khó khăn.
1.2. Nhiệm vụ của mơn Tốn ở Tiểu học
Mơn Tốn ở trường tiểu học có các nhiệm vụ cụ thể sau:
1.2.1. Về kiến thức số học
Nắm được có hệ thống một số kiến thức cơ bản, đơn giản, có quan hệ với thực
tiễn, về số học các số tự nhiên, phân số và các số thập phân (ở các lớp trên) về các
khái niệm ban đầu, cách đọc và viết các số trên cơ sở nắm chắc hệ ghi số vị trí (chủ
yếu hệ thập phân), việc so sánh và sắp xếp theo thứ tự tuyến tính được cụ thể hố
trên trục số, một số tính chất quan trọng nhất của tập hợp các số đó và các phép tính
trong tập hợp các số đó (ý nghĩa, các tính chất cơ bản, quan hệ giữa các phép tính).
1.2.2. Về kiến thức hình học mở đầu
Có được những biểu tượng ban đầu nhưng đúng đắn (chủ yếu còn mang tính
chất trực giác) về các hình hình học thường gặp, có khả năng nhận dạng, phân biệt
chúng với nhau về mặt hình dạng khơng gian và trên cơ sở một số dấu hiệu có thể
kiểm nghiệm bằng thực hành, nắm được một số khái niệm hình học cơ bản gắn với
hình dạng khơng gian như độ dài đoạn thẳng, đường gấp khúc, chu vi và diện tích
của các hình đơn giản, bước đầu dựa vào thực hành cắt, ghép, phân tích hình mà hình
thành khái niệm đẳng hợp. Có kĩ năng vẽ hình, biến đổi các hình thành có cùng diện
tích.
1.2.3. Về đại lượng
Có được những khái niệm (chủ yếu dựa vào trực giác hay thực hành) về các
đại lượng cơ bản như độ dài, khối lượng, diện tích, thể tích, thời gian. Thơng qua
thực hành và áp dụng các phép tính số học đối với các đại lượng mà nhận thức được
một số tính chất của đại lượng cơ bản nói trên và có khái niệm về đo đại lượng. Có kĩ
năng sử dụng các tính tốn số học vào việc đo độ dài đoạn thẳng, đo diện tích, thể

trang 5

Khóa luận tốt nghiệp
tích và diễn đạt số đo bằng các đơn vị khác nhau vào việc đo dung tích, khối lượng,
thời gian.
1.2.4. Về các yếu tố đại số
Trên cơ sở những kiến thức về số, bước đầu biết dùng chữ thay số, hình thành
khái niệm biểu thức số học (để diễn đạt số), khái niệm biểu thức đại số, biểu thức số,
giá trị của biểu thức đại số. Biết dùng các kí hiệu tốn học để biểu diễn các quan hệ
so sánh giữa các số, diễn đạt quan hệ giữa các biểu thức thành cơng thức (để khái
qt hố các mệnh đề tốn học) và thành phương trình, bất phương trình đơn giản.
Nắm được phương pháp giải và có kĩ năng giải các phương trình, bất phương trình
đơn giản bằng các phương pháp phù hợp với Tiểu học.
1.2.5. Về thống kê mô tả
Giới thiệu bảng số liệu, sắp xếp lại bảng số liệu theo mục đích yêu cầu cho
trước (theo thứ tự từ bé đến lớn hay ngược lại). Lập bảng số liệu và nhận xét số liệu.
Giới thiệu ban đầu về số trung bình cộng, giới thiệu biểu đồ, tập nhận xét về biểu đồ
(biểu đồ có hình ảnh, biểu đồ hình cột, hình quạt).
1.2.6. Về kĩ năng tính tốn và giải tốn
Nắm chắc và vận dụng tương đối thành thạo các thuật toán để thực hiện tốt, ít
sai lầm bốn phép tính số học trên tập hợp các số tự nhiên và các số thập phân.
Đối với các lớp trên, biết vận dụng sáng tạo các thuật tốn vào một số trường
hợp để hợp lí việc tính tốn; thực hiện tương đối thành thạo việc tính tốn đối với các
số đo đại lượng (bao hàm cả việc chuyển đổi đơn vị trước khi tính tốn).
Nắm được và vận dụng tương đối tốt các phương pháp và thủ thuật giải toán ở
Tiểu học. Giải thành thạo các loại toán đơn và các bài toán hợp theo yêu cầu của từng
lớp. Nắm vững phương pháp giải các bài toán điển hình ở lớp 4, lớp 5. Đặc biệt nắm
được phép phân tích và tổng hợp khi giải những bài toán hợp, vận dụng thành thạo
phép sử dụng sơ đồ hay tia số khi giải toán, phép thử sai, phép giải từ cuối, phép biến
đổi một số bài toán phức hợp thành những bài toán đơn giản đã biết; ở các lớp trên

bước đầu biết sử dụng kí hiệu thay số cần tìm và diễn đạt điều kiện bài tốn thành
phương trình để giải (bài tốn hoặc một phần bài tốn)…
Nắm được và thực hiện thành nền nếp qui trình giải tốn. Có thói quen giải
tốn bằng các cách khác nhau.
1.2.7. Về yêu cầu tư duy và bồi dưỡng phương pháp suy luận
Ngày nay mơn Tốn ở Tiểu học ngồi mục tiêu chủ yếu là bồi dưỡng kĩ năng
tính tốn còn chú ý phát triển tư duy và bồi dưỡng phương pháp suy lụân. Tuy nhiên
cần nhận thức rõ mục tiêu sau không nằm bên cạnh mục tiêu trước, mà thông qua và
kết hợp với mục tiêu trước. Cần làm cho học sinh qua việc hình thành các khái niệm
tốn học, lĩnh hội các mệnh đề toán học, giải toán và thực hiện các phép tính qua
cơng tác thực hành, cơng tác ngoại khố phát triển một số khả năng trí tuệ và thao tác
tư duy quan trọng nhất như khả năng trừu tượng hoá, khái quát hoá một cách vừa
sức, trừu tượng hoá, cụ thể hoá khả năng phân tích, tổng hợp, khả năng suy luận có
căn cứ tiến dần đến chứng minh và bác bỏ các trường hợp dễ.

trang 6


Khóa luận tốt nghiệp
1.2.8. Về hình thành và rèn luyện nền nếp, phong cách làm việc, bồi
dưỡng phẩm chất và ý chí
Đó là thói quen làm việc có khoa học, có kiểm tra, khẳng định có căn cứ, tác
phong cụ thể cẩn thận, là ý chí vượt khó khăn, kiên trì nhẫn nại khi thực hiện nhiệm
vụ được giao, là tinh thần và ý thức muốn cải tiến, tìm tịi cái mới, suy nghĩ độc lập.
(trích dẫn trong Đỗ Trung Hiệu - Vũ Dương Thuỵ. 1997. Các phương pháp giải toán
ở Tiểu học, tập 1. NXB Giáo dục và Nguyễn Thanh Hưng. 2008. Phương pháp dạy
học mơn Tốn ở Tiểu học. NXB Giáo dục.)
2. ĐẶC ĐIỂM HỌC TOÁN CỦA HỌC SINH TIỂU HỌC
- Học sinh tiểu học thường tri giác trên tổng thể, về sau các hoạt động tri giác
phát triển và được hướng dẫn bởi các hoạt động nhận thức khác nên chính xác hơn.

- Chú ý khơng chủ định chiếm ưu thế ở học sinh tiểu học. Sự chú ý của học
sinh tiểu học còn phân tán, dễ bị lôi cuốn vào các trực quan, gợi cảm, thường hướng
ra bên ngồi vào hành động, chưa có khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy.
- Trí nhớ trực quan - hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ
lơgic, hiện tượng hình ảnh cụ thể dễ nhớ hơn các câu chữ trừu tượng, khô khan. Do
vậy, khi hướng dẫn học sinh giải toán, giáo viên thường sử dụng sơ đồ nhất là các sơ
đồ đoạn thẳng để hướng dẫn học sinh. Tính trực quan của sơ đồ đoạn thẳng giúp học
sinh dễ dàng hơn trong việc đưa ra cách giải đúng và nhanh cho bài tốn.
- Trí tưởng tượng cịn chịu tác động nhiều của hứng thú, kinh nghiệm sống,
mẫu vật đã biết.
Lứa tuổi tiểu học (6 - 7 tuổi đến 11 - 12 tuổi) là giai đoạn mới của phát triển tư
duy - giai đoạn tư duy cụ thể. Trong một chừng mực nào đó, hành động trên các đồ
vật, sự kiện bên ngồi còn là chỗ dựa hay điểm xuất phát cho tư duy. Các thao tác tư
duy đã liên kết với nhau thành tổng thể nhưng sự liên kết đó chưa hồn tồn tổng
qt. Học sinh có khả năng nhận thức về cái bất biến và hình thành khái niệm bảo
tồn, tư duy có bước tiến rất quan trọng phân biệt được phương diện định tính với
định lượng - điều kiện ban đầu để hình thành khái niệm “số”.
Học sinh tiểu học bước đầu có khả năng thực hiện việc phân tích, tổng hợp,
trừu tượng hoá, khái quát hoá như sau khi giải một số bài tốn “Tìm hai số khi biết
tổng số và tỉ số của chúng” hoặc bài tốn “Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của
chúng”, học sinh có thể khái quát thành cách giải lớp các bài tốn dạng tìm hai số khi
biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng. Khi giải toán, học sinh thường
ảnh hưởng bởi một số từ “thêm”, “bớt”, “nhiều gấp”… hình thành các thuật tốn
‘cộng, trừ, nhân, chia”.
Các khái niệm tốn học được hình thành qua trừu tượng hố, khái qt hố
nhưng khơng thể chỉ dựa vào tri giác bởi khái niệm toán học còn là kết quả của các
thao tác tư duy đặc thù. Có hai dạng trừu tượng hố: sự trừu tượng hố từ các đồ vật,
hiện tượng cảm tính và sự trừu tượng hoá từ các hành động. Khi thực hiện trừu tượng
hoá nhằm rút ra dấu hiệu bản chất, chẳng hạn: thơng qua trừu tượng hố từ các đồ vật
(tập hợp cụ thể) loại bỏ đặc tính màu sắc, kích thước hình thành lớp các tập hợp

tương đương, sau đó chỉ quan tâm đến cái chung giữa các tập hợp tương đương đó, đi
đến khái niệm “số” (trừu tượng hố trên các hành động).

trang 7


Khóa luận tốt nghiệp
(trích dẫn trong Vũ Quốc Chung (chủ biên). 2007. Phương pháp dạy học toán ở Tiểu
học. NXB Giáo dục - NXB Đại học Sư phạm.)
3. MỤC TIÊU DẠY HỌC MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC
3.1. Mục tiêu dạy học mơn Tốn ở Tiểu học
Dạy học mơn Tốn ở Tiểu học với mục tiêu nhằm giúp học sinh:
- Có những kiến thức cơ bản ban đầu về số học các số tự nhiên, phân số, các số
thập phân; các đại lượng thơng dụng; một số yếu tố hình học và thống kê đơn giản.
- Hình thành các kĩ năng thực hành tính, đo lường, giải bài tốn có nhiều ứng
dụng thiết thực trong đời sống.
- Góp phần bước đầu phát triển năng lực tư duy, khả năng suy luận hợp lí và
diễn đạt chúng (nói và viết); cách phát hiện và cách giải quyết những vấn đề đơn
giản, gần gũi trong cuộc sống; kích thích trí tưởng tượng; gây hứng thú học tập tốn;
góp phần hình thành bước đầu phương pháp tự học và làm việc có kế hoạch khoa
học, chủ động, linh hoạt, sáng tạo.
3.2. Những điểm mới về mục tiêu dạy học mơn Tốn ở Tiểu học
- Nhấn mạnh đến việc giúp học sinh có những kiến thức và kĩ năng cơ bản,
thiết thực, có hệ thống nhưng chú ý hơn đến tính hồn chỉnh tương đối của các kiến
thức và kĩ năng cơ bản đó, chẳng hạn: ở lớp 1 học sinh biết đọc, đếm, viết, so sánh
các số đến 10 mới chuyển sang giới thiệu khái niệm ban đầu về phép cộng v.v…
ngoài các mạch kiến thức quen thuộc, ở Tiểu học có giới thiệu một số yếu tố thống
kê có ý nghĩa thiết thực trong đời sống.
- Quan tâm đúng mức hơn đến:
+ Rèn luyện khả năng diễn đạt, ứng xử, giải quyết các tình huống có vấn đề.

+ Phát triển năng lực tư duy theo đặc trưng của mơn Tốn.
+ Xây dựng phương pháp học tập toán theo những định hướng dạy học
dựa vào các hoạt động tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh, giúp học sinh tự biết
cách học toán có hiệu quả.
(trích dẫn trong Vũ Quốc Chung (chủ biên). 2007. Phương pháp dạy học toán ở Tiểu
học. NXB Giáo dục - NXB Đại học Sư phạm.)

trang 8


Khóa luận tốt nghiệp

Chương 2
CÁC BÀI TỐN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ VÀ TỈ
SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG TRONG CHƯƠNG
TRÌNH MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC

1. SỐ LƯỢNG CÁC BÀI TỐN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ
VÀ TỈ SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TỐN 4, TỐN 5
1.1. Số lượng các bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu
số và tỉ số của chúng trong chương trình Tốn 4
1.1.1. Các bài tốn đưa về dạng bài tốn tìm hai số khi biết tổng số và tỉ
số của chúng trong Toán 4 có 20 bài, trong đó
- 5 bài có tổng số và tỉ số được cho dưới dạng số tự nhiên: bài 3 tiết 139 trang
148; bài 2, bài 3 tiết 140 trang 149; bài 3 tiết 141 trang 149; bài 5 tiết 169 trang 175.
- 7 bài có tổng số được cho dưới dạng số tự nhiên và tỉ số được cho dưới dạng
phân số: bài 1, bài 3 tiết 138 trang 148; bài 1, bài 2 tiết 139 trang 148; bài 3 tiết 146
trang 153; bài 4 tiết 171 trang 176; bài 4 tiết 174 trang 178.
- 3 bài có tổng số được cho dưới dạng số đo độ dài và tỉ số được cho dưới

dạng phân số: bài 4 tiết 139 trang 148; bài 4 tiết 141 trang 149; bài 4 tiết 145 trang
152.
- 1 bài có tổng số được cho dưới dạng số đo độ dài và tỉ số được cho dưới
dạng số tự nhiên: bài 1 tiết 140 trang 149.
- 2 bài có tổng số được cho dưới dạng số đo khối lượng và tỉ số được cho dưới
dạng phân số: bài 2 tiết 138 trang 148; bài 3 tiết 171 trang 176.
- 1 bài có tổng số được cho dưới dạng số đo khối lượng và tỉ số được cho dưới
dạng số tự nhiên: bài 3 tiết 145 trang 152.
- 1 bài đề cho dưới dạng sơ đồ đoạn thẳng, yêu cầu nêu bài toán rồi giải bài
toán theo sơ đồ: bài 4 tiết 140 trang 149.
1.1.2. Các bài toán đưa về dạng bài tốn tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ
số của chúng trong Tốn 4 có 16 bài, trong đó
- 5 bài có hiệu số và tỉ số được cho dưới dạng số tự nhiên: bài 3 tiết 143 trang
151; bài 1, bài 2 tiết 144 trang 151; bài 2 tiết 145 trang 152; bài 5 tiết 171 trang 176.
- 7 bài có hiệu số được cho dưới dạng số tự nhiên và tỉ số được cho dưới dạng
phân số: bài 1, bài 2, bài 3 tiết 142 trang 151; bài 1, bài 2 tiết 143 trang 151; bài 4 tiết
146 trang 153; bài 5 tiết 172 trang 177.
- 1 bài có hiệu số được cho dưới dạng số đo độ dài và tỉ số được cho dưới
dạng phân số: bài 4 tiết 175 trang 180.

trang 9


Khóa luận tốt nghiệp
- 1 bài có hiệu số được cho dưới dạng số đo khối lượng và tỉ số được cho dưới
dạng phân số: bài 3 tiết 144 trang 151.
- 2 bài đề cho dưới dạng sơ đồ đoạn thẳng, yêu cầu nêu bài toán rồi giải bài
toán theo sơ đồ: bài 4 tiết 143 trang 151; bài 4 tiết 144 trang 151.
1.2. Số lượng các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu
số và tỉ số của chúng trong chương trình Toán 5

1.2.1. Các bài toán đưa về dạng bài toán tìm hai số khi biết tổng số và tỉ
số của chúng trong Tốn 5 có 7 bài, trong đó
- 4 bài có tổng số được cho dưới dạng số tự nhiên và tỉ số được cho dưới dạng
phân số: bài 1a tiết 15 trang 18; bài 1 tiết 20 trang 22; bài 2 tiết 165 trang 171; bài 2
tiết 173 trang 179.
- 2 bài có tổng số được cho dưới dạng số đo độ dài và tỉ số được cho dưới
dạng phân số: bài 3 tiết 15 trang 18; bài 4 tiết 44 trang 47.
- 1 bài có tổng số được cho dưới dạng số đo vận tốc và tỉ số được cho dưới
dạng phân số: bài 3 tiết 166 trang 172.
1.2.2. Các bài toán đưa về dạng bài toán tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ
số của chúng trong Tốn 5 có 5 bài, trong đó
- 1 bài có hiệu số và tỉ số được cho dưới dạng số tự nhiên: bài 4 tiết 30 trang
32.
- 1 bài có hiệu số được cho dưới dạng số tự nhiên và tỉ số được cho dưới dạng
phân số: bài 1b tiết 15 trang 18.
- 1 bài có hiệu số được cho dưới dạng số đo độ dài và tỉ số được cho dưới
dạng số tự nhiên: bài 2 tiết 20 trang 22.
- 1 bài có hiệu số được cho dưới dạng số đo thể tích và tỉ số được cho dưới
dạng số tự nhiên: bài 2 tiết 15 trang 18.
- 1 bài có hiệu số được cho dưới dạng số đo diện tích và tỉ số được cho dưới
dạng phân số: bài 1 tiết 165 trang 171.
1.3. Các bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số
của chúng có mặt nhiều và đầu tiên trong chương trình mơn Tốn ở Tiểu học ở sách
giáo khoa Toán 4. Nội dung các bài tốn dạng này có “chất liệu” phong phú, cập nhật
với thực tế: bài tốn tính số quả cam, quả qt (bài 2 trang148), tính số ki - lơ -gam
gạo nếp, gạo tẻ (bài 3 trang 153), tính độ dài quãng đường (bài 4 trang 152), tính tuổi
mẹ, tuổi con (bài 5 trang 176), tính số học sinh nam, học sinh nữ (bài 4 trang 178)…
và có hình thức thể hiện đa dạng hơn, hấp dẫn học sinh: bài toán được diễn đạt dưới
dạng lời văn, bài toán được diễn đạt dưới dạng sơ đồ đoạn thẳng (bài 4 trang 149, bài
4 trang 151…). Khi giải các bài toán này, học sinh thường được thực hiện theo một

qui trình (các bước) rõ ràng (có thể thực hiện cách giải với sự trợ giúp của sơ đồ, theo
qui tắc dưới dạng cơng thức…). Tuy nhiên, khi giải các bài tốn dạng nêu trên cần có
cách giải linh hoạt, khơng áp đặt, để học sinh tự lựa chọn cách giải, câu trả lời, phép
tính phù hợp (khơng nhất thiết lúc nào cũng phải theo trình tự như giải bài tốn có lời
văn thông thường).

trang 10


Khóa luận tốt nghiệp
1.4. Cịn ở Tốn 5, các bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu
số và tỉ số của chúng có mặt ít hơn, nhưng nội dung của chúng cũng rất phong phú:
bài tốn tính số học sinh giỏi tốn, số học sinh giỏi văn (bài 5 trang 9), tính số lít
nước mắm loại I, loại II (bài 2 trang 18), tính tuổi bố, tuổi con (bài 4 trang 32), tính
vận tốc của ơ tơ (bài 3 trang 172), tính diện tích (bài 1 trang 171)… Chúng có tác
dụng củng cố kiến thức giải toán các bài toán dạng này cho học sinh, giúp học sinh
tiến hành giải các bài toán có nội dung phong phú, đa dạng hơn nhưng có cách giải
tương tự.
2. VAI TRỊ CỦA CÁC BÀI TỐN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ
VÀ TỈ SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG
Với số lượng của các bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc
hiệu số và tỉ số của chúng trong sách giáo khoa Toán 4, Toán 5, chúng tơi nhận thấy
các bài tốn dạng này có vai trị quan trọng. Trước hết chúng có vai trị chung của
giải tốn có lời văn nhằm mục đích giúp học sinh:
- Đầu tiên nó giúp học sinh luyện tập, củng cố, vận dụng các kiến thức và thao
tác thực hành đã học, rèn luyện kỹ năng tính tốn, bước tập dượt vận dụng kiến thức
và rèn luyện kỹ năng thực hành vào thực tiễn (học tập, đời sống).
- Qua các biểu hiện trên, giáo viên phát hiện được rõ hơn những gì học sinh đã
lĩnh hội và nắm chắc, những gì học sinh chưa nắm chắc để có biện pháp giúp học
sinh phát huy hoặc khắc phục.

- Qua việc dạy - học giải toán, giáo viên giúp học sinh từng bước phát triển
năng lực tư duy, rèn luyện phương pháp và kỹ năng suy luận, khêu gợi và tập dượt
khả năng quan sát, phỏng đốn, tìm tịi.
- Qua giải tốn, học sinh rèn luyện những đặc tính và phong cách làm việc của
người lao động như ý chí khắc phục khó khăn, thói quen xét đốn có căn cứ, tính cận
thận, chu đáo, cụ thể, làm việc có kế hoạch, có kiểm tra kết quả cuối cùng; từng bước
hình thành và rèn luyện thói quen, khả năng suy nghĩ độc lập, linh hoạt, khắc phục
cách suy nghĩ máy móc, rập khn, xây dựng lịng ham thích tìm tịi, sáng tạo ở mức
độ khác nhau từ đơn giản nhất mà nâng lên từng bước.
Ngồi các vai trị chung của giải tốn có lời văn, các bài tốn dạng tìm hai số
khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng cịn địi hỏi tính tích cực, độc
lập và sáng tạo trong suy nghĩ của học sinh khi thực hành giải tốn. Đây là dạng tốn
có cách giải điển hình, khi được thực hành giải thường xuyên học sinh có thể bắt
chước cách giải theo mẫu, tái hiện cách giải điển hình trong chừng mực nào đó để
giải các bài tốn có nội dung hình học, chuyển động đều được xây dựng trên cơ sở
các bài toán dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng.
3. CẤU TRÚC CỦA CÁC BÀI TỐN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG
SỐ VÀ TỈ SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG
3.1. Những điều cần biết về bài tốn “Tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của
chúng”
3.1.1. Khi giải các bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của
chúng, ta có thể gặp một số trường hợp sau

trang 11


Khóa luận tốt nghiệp
- Tổng số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số thập phân, các
dạng số đo đại lượng.
- Tỉ số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số thập phân, các dạng

số đo đại lượng.
- Tỉ số của hai số có thể được nêu dưới những dạng thức sau:
+ Số này gấp mấy lần số kia.
+ Số này bằng mấy phần số kia.
+ Thương của hai số phải tìm hoặc thương của hai số có liên quan đến số
phải tìm.
+ Tỉ số của hai số.
3.1.2. Các bước chủ yếu trong việc giải bài toán dạng này
Xác định tổng của hai số phải tìm (hoặc tổng của hai số có liên quan đến các số
phải tìm).
- Xác định tỉ số của hai số phải tìm (hoặc tỉ số của hai số có liên quan đến các
số phải tìm). Biểu thị từng số đó thành số các phần bằng nhau tương ứng.
- Thực hiện phép chia tổng của hai số phải tìm cho tổng các phần biểu thị của tỉ
số để tìm giá trị một phần đó.
- Tìm mỗi số theo số phần được biểu thị.
3.1.3. Một số điều cần chú ý về bài tốn “Tìm hai số khi biết tổng số và tỉ
số của chúng” (ở phần 6.3.1 chúng ta sẽ khảo sát một số bài toán minh họa cho
phần này)
1) Tổng của hai số hạng không đổi khi số hạng này thêm bao nhiêu đơn vị và
số hạng kia bớt bao nhiêu đơn vị (thêm bớt cùng một số đơn vị). “bài 15 trang 22”
Nếu a + b = c
thì (a + n) + (b − n) = c (với b ≥ n)
hoặc (a − n) + (b + n) = c (với a ≥ n).
Tuy rằng tổng của hai số mới vẫn bằng tổng của hai số phải tìm nhưng tỉ số của
hai số mới thì khác với tỉ số của hai số phải tìm. Khi đó ta giải bài tốn: tìm hai số
mới khi biết tổng số và tỉ số của hai số mới đó; sau đó tìm hai số phải tìm.
2) Nếu mỗi số hạng tăng thêm một số đơn vị khác nhau thì tổng cũ sẽ tăng
thêm tổng hai số đơn vị đó. “bài 16 trang 23”
Nếu a + b = c thì (a + m) + (b + n) = c + (m + n).
3) Nếu mỗi số hạng giảm bớt một số đơn vị khác nhau thì tổng cũ sẽ giảm bớt

tổng hai số đơn vị đó. “bài 17 trang 23”
Nếu a + b = c thì (a − m) + (b − n) = c − (m + n).
4) Nếu số hạng này thêm một số đơn vị và số hạng kia bớt một số đơn vị thì
tổng cũ có thể tăng hoặc giảm. Có hai trường hợp sau đây: “bài 18 trang 24”

trang 12


Khóa luận tốt nghiệp
a) Nếu a + b = c mà m > n thì (a + m) + (b − n) = c + (m − n).
Ví dụ: a + b = 50 mà m = 10 và n = 2 thì
(a + 10) + (b − 2) = 50 + (10 − 2) = 50 + 8.
b) Nếu a + b = c mà m < n thì (a + m) + (b − n) = c − (n − m).
Ví dụ: a + b = 50 mà m = 7 và n = 15 thì
(a + 7) = (b − 15) = 50 − (15 − 7) = 50 − 8.
Tất cả những trường hợp trên đều đưa về bài tốn: tìm hai số mới khi biết tổng
số và tỉ số của hai số mới đó; sau đó tìm hai số phải tìm.
3.2. Những điều cần biết về bài tốn “Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của
chúng”
3.2.1 Khi giải các bài toán dạng tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của
chúng, ta có thể gặp một số trường hợp sau
- Hiệu số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số thập phân, các
dạng số đo đại lượng.
- Tỉ số của hai số phải tìm có thể là số tự nhiên, phân số, số thập phân, các dạng
số đo đại lượng.
- Tỉ số của hai số có thể được nêu dưới những dạng thức sau:
+ Số này gấp mấy lần số kia.
+ Số này bằng mấy phần số kia.
+ Thương của hai số phải tìm hoặc thương của hai số có liên quan đến số
phải tìm.

+ Tỉ số của hai số.
3.2.2. Các bước chủ yếu trong việc giải bài toán dạng này
- Xác định hiệu của hai số phải tìm (hoặc hiệu của hai số có liên quan đến các
số phải tìm).
- Xác định tỉ số của hai số phải tìm (hoặc tỉ số của hai số có liên quan đến các
số phải tìm). Biểu thị từng số đó thành số các phần bằng nhau tương ứng.
- Thực hiện phép chia hiệu của hai số phải tìm cho tổng các phần biểu thị của tỉ
số để tìm giá trị một phần đó.
- Tìm mỗi số theo số phần được biểu thị.
3.2.3. Một số điều cần chú ý về bài tốn “Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ
số của chúng” (ở phần 6.3.2 chúng ta sẽ khảo sát một số bài toán minh họa cho
phần này)
1) Hiệu của số bị trừ và số trừ không đổi khi số bị trừ và số trừ cùng thêm
(hoặc bớt) một số đơn vị như nhau. “bài 19 trang 24”
Nếu a − b = c

trang 13


Khóa luận tốt nghiệp
thì (a + n) − (b + n) = c
hoặc (a − n) − (b − n) = c (với a > n; b > n).
Tuy rằng hiệu của hai số mới vẫn bằng hiệu của hai số phải tìm nhưng tỉ số của
hai số mới thì khác với tỉ số của hai số phải tìm. Khi đó ta giải bài tốn: tìm hai số
mới biết hiệu số và tỉ số của hai số mới đó; sau đó tìm hai số phải tìm.
2) Nếu số bị trừ tăng thêm một số đơn vị và số trừ giảm bớt một số đơn vị thì
hiệu cũ sẽ tăng thêm tổng hai số đơn vị đó. “bài 20 trang 25”
Nếu a − b = c thì (a + m) − (b − n) = c + (m + n) (với b > n).
Ví dụ: a − b = 30 mà m = 8 và n = 7 thì
(a + 8) − (b − 7) = 30 + (8 + 7) = 30 + 15.

3) Nếu số bị trừ giảm bớt một số đơn vị và số trừ tăng thêm một số đơn vị thì
hiệu cũ sẽ giảm bớt tổng hai số đơn vị đó. “bài 21 trang 25”
Nếu a − b = c thì (a − m) − (b + m) = c − (m + n) (với a > m).
Ví dụ: a − b = 30 mà m = 8 và n = 7 thì:
(a − 8) − (b + 7) = 30 − (8 + 7) = 30 − 15.
4) Nếu số bị trừ và số trừ tăng thêm một số đơn vị khác nhau thì hiệu cũ có thể
tăng hoặc giảm. Có hai trường hợp sau đây: “bài 22 trang26”
a) Nếu a − b = c và m > n thì (a + m) − (b + n) = c + (m − n).
Ví dụ: a − b = 30 và m = 50 và n = 40 thì
(a + 50) − (b + 40) = 30 + (50 − 40) = 30 + 10.
Như vậy, khi thêm vào số bị trừ một số lớn hơn khi thêm vào số trừ bao nhiêu
đơn vị thì hiệu cũ sẽ tăng thêm bấy nhiêu đơn vị.
b) Nếu a − b = c mà m < n thì (a + m) − (b + n) = c − (n − m).
Ví dụ: a − b = 30 mà m = 48 và n = 56 thì
(a + 48) − (b + 56) = 30 − (56 − 48) = 30 − 8.
Như vậy, khi thêm vào số bị trừ một số bé hơn khi thêm vào số trừ bao nhiêu
đơn vị thì hiệu cũ sẽ giảm đi bấy nhiêu đơn vị.
5) Nếu số bị trừ và số trừ giảm bớt một số đơn vị khác nhau thì hiệu cũ sẽ giảm
hoặc tăng. Có hai trường hợp sau đây: “bài 23 trang 26”
a) Nếu a − b = c mà m > n thì (a − m) − (b − n) = c − (m − n).
Ví dụ: a – b = 30 mà m = 13 và n = 8 thì
(a −13) − (b − 8) = 30 − (13 − 8) = 30 − 5.
b) Nếu a − b = c mà m < n thì (a − m) − (b − n) = c + (n − m).
Ví dụ: a – b = 30 mà m = 18 và n = 23 thì
(a − 18) − (b − 23) = 30 + (23 − 18) = 30 + 5.

trang 14


Khóa luận tốt nghiệp

Những trường hợp trên đều có thể đưa về bài tốn: tìm hai số mới khi biết hiệu
số và tỉ số của hai số mới đó; sau đó tìm hai số phải tìm.
4. PHÂN BIỆT BÀI TỐN “TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ VÀ TỈ SỐ
CỦA CHÚNG” VỚI BÀI TỐN “TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ
CỦA CHÚNG”
Ở Tiểu học, dạng tốn tìm các số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số
của chúng thường được cho dưới dạng: “Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của chúng”,
“Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của chúng”. Để phân biệt được hai dạng toán này,
chúng tôi hệ thống qua bảng tổng hợp sau:
Giả
thiết

Biết tổng số và tỉ số

Biết hiệu số và tỉ số

m phần
Sơ
đồ

m phần
T

H
n phần

n phần
Tổng số phần bằng nhau: n + m.

Hiệu số phần bằng nhau: n - m.

Giá trị của một phần:

Giá trị của một phần:

T : (n + m).

H : (n - m).

Cách Đại lượng bé:
giải T : (n + m) × m.

Đại lượng bé:
H: (n - m) × m

Đại lượng lớn:

Đại lượng lớn:

T - đại lượng bé.

H + đại lượng bé.

hoặc: T : (n + m) × n.

hoặc: H : (n - m) × n.

Với T là tổng, H là hiệu.
Có những bài tốn giả thiết khơng cho ngay tổng số, hiệu số và tỉ số thì chúng
ta cần phải xác định những yếu tố này để có bài tốn thuộc một trong hai dạng trên.

Chẳng hạn: khi cho biết trung bình cộng của hai đại lượng thì hai lần trung
bình cộng chính là tổng.
5. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TỐN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT
TỔNG SỐ VÀ TỈ SỐ HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG
Các phương pháp giải toán thường dùng khi giải các bài toán dạng nêu trên
là:
5.1. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

trang 15


Khóa luận tốt nghiệp
Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng là một phương pháp giải toán ở Tiểu học, nhờ
sơ đồ đoạn thẳng, mối quan hệ giữa các đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm trong
bài tốn được biểu thị trực quan hơn.
Khi giải toán, sơ đồ đoạn thẳng được sử dụng để biểu thị quan hệ về hiệu, quan
hệ về tỉ số, vừa biểu thị quan hệ về hiệu vừa biểu thị quan hệ về tỉ số. Đối với việc
giải các bài tốn dạng tìm hai, ba hay nhiều số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số
và tỉ số của chúng, sơ đồ đoạn thẳng được sử dụng để biểu thị quan hệ về tỉ số. Khi
biểu thị quan hệ về tỉ số, mỗi đoạn thẳng biểu thị một phần.
 Các bước giải bài toán bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
Khi giải bài toán bằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng ta thường dùng ba bước:
Bước 1: Lựa chọn và phân chia độ dài của các đoạn thẳng phù hợp với
các đại lượng đề bài cho.
Bước 2: Tiến hành tóm tắt đề bài bằng cách sắp xếp các đoạn thẳng một
cách hợp lý.
Bước 3: Thực hiện bài giải dựa theo sơ đồ.
5.2. Phương pháp chia tỉ lệ
Phương pháp chia tỉ lệ là một phương pháp giải toán ở Tiểu học, người ta
thường dùng phương pháp này để giải các bài toán đã cho biết tỉ số của các số và cho

biết tổng số hoặc hiệu số của các số đó như bài tốn dạng tìm hai, ba hay nhiều số khi
biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng.
 Các bước giải bài toán bằng phương pháp chia tỉ lệ
Khi giải bài toán bằng phương pháp chia tỉ lệ ta thường dùng bốn bước:
Bước 1: Tóm tắt đề tốn bằng sơ đồ đoạn thẳng. Dùng các đoạn thẳng để
biểu thị các số cần tìm. Số phần bằng nhau của các đoạn thẳng đó tương ứng với tỉ số
của các số cần tìm.
Bước 2: Tìm tổng (hoặc hiệu) số phần bằng nhau.
Bước 3: Tìm giá trị của một phần.
Bước 4: Xác định mỗi số cần tìm.
Đơi khi ta có thể kết hợp các bước 2, 3 và 4.
6. MỘT SỐ BÀI TỐN DẠNG TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG SỐ VÀ TỈ SỐ
HOẶC HIỆU SỐ VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG
6.1. Một số bài tốn “Tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số của chúng”
Bài 1. (lớp 4 trang 148). Tổng của hai số bằng số lớn nhất có hai chữ số. Tỉ số của
4
hai số đó là . Tìm hai số đó.
5
Lời giải

trang 16


Khóa luận tốt nghiệp
Số lớn nhất có hai chữ số là số 99. Vậy tổng của hai số là 99.
Nếu ta chia số lớn thành 5 phần bằng nhau thì số bé sẽ chiếm 4 phần như thế.
Ta có sơ đồ:

?

Số bé:

99

Số lớn:
?

Số bé là:
99 : (4 + 5) × 4 = 44.
Số lớn là:
99 : (4 + 5) × 5 = 55.
Đáp số: hai số cần tìm là 44 và 55.
Bài 2. Tổng của hai số bằng 0,25. Thương của hai số đó cũng bằng 0,25. Hãy tìm
hai số đó?
Lời giải
0,25 =

25
1
=
100
4

Vì thương là số bé hơn 1 nên số bị chia bé hơn số chia. Biểu thị số bị chia là 1
phần thì số chia là 4 phần như thế.
Ta có sơ đồ:
Số bị chia:

?
0,25

Số chia:
?
Số bị chia là:
0,25 : (1 + 4) = 0,05
Số chia là:
0,25 – 0,05 = 0,2
Đáp số: hai số cần tìm là 0,05 và 0,2.

Bài 3. (lớp 4 trang 149). Một nhóm học sinh có 12 bạn, trong đó số bạn trai bằng
một nửa số bạn gái. Hỏi nhóm đó có mấy bạn trai, mấy bạn gái?
Lời giải
Nếu ta chia số học sinh gái thành 2 phần bằng nhau thì số học sinh trai sẽ
chiếm 1 phần như thế.
Ta có sơ đồ:
Bạn trai:
Bạn gái:

? bạn
12 bạn
? bạn
Số bạn trai là:
12 : (1 + 2) = 4 (bạn).
Số bạn gái là:

trang 17


Khóa luận tốt nghiệp
12 – 4 = 8 (bạn).

Đáp số: 4 bạn trai, 8 bạn gái.
Bài 4. (lớp 4 trang 148). Một người đã bán được 280 quả cam và qt, trong đó số
2
cam bằng số qt. Tìm số cam, số quýt đã bán.
5
Lời giải
Nếu ta chia số quýt thành 5 phần bằng nhau thì số cam sẽ chiếm 2 phần như
thế.
Ta có sơ đồ:
Số quả cam:

? quả
280 quả

Số quả quýt:
? quả
Số quả cam đã bán:
280 : (2 + 5) × 2 = 80 (quả).
Số quả quýt đã bán:
280 – 80 = 200 (quả).
Đáp số: 80 quả cam, 200 quả quýt.

Bài 5. (lớp 4 trang 149). Một sợi dây dài 28m được cắt thành hai đoạn, đoạn thứ nhất
dài gấp 3 lần đoạn thứ hai. Hỏi mỗi đoạn dài bao nhiêu mét?
Lời giải
Nếu ta chia đoạn thứ nhất thành 3 phần bằng nhau thì đoạn thứ hai sẽ chiếm 1
phần như thế.
Ta có sơ đồ:
Đoạn thứ hai:

?m

28m

Đoạn thứ nhất:
?m
Đoạn thứ hai dài là:
28 : (3 + 1) = 7 (m).
Đoạn thứ nhất dài là:
28 – 7 = 21 (m).
Đáp số: đoạn thứ hai: 7m.
Đoạn thứ nhất: 21m.
Bài 6. (lớp 4 trang 176). Hai kho chứa 1350 tấn thóc. Tìm số thóc của mỗi kho, biết
4
rằng số thóc của kho thứ nhất bằng
số thóc của kho thứ hai.
5
Lời giải
Nếu ta chia số tấn thóc của kho thứ hai thành 5 phần bằng nhau thì số tấn thóc
của kho thứ nhất sẽ chiếm 4 phần như thế.
Ta có sơ đồ:

trang 18


Khóa luận tốt nghiệp
? tấn

Kho thứ nhất:

1350 tấn

Kho thứ hai:
? tấn

Số tấn thóc của kho thứ nhất là:
1350 : (4 + 5) × 4 = 600 (tấn).
Số tấn thóc của kho thứ hai là:
1350 – 600 = 750 (tấn).
Đáp số: kho thứ nhất: 600 tấn.
Kho thứ hai: 750 tấn.
Bài 7. Năm nay tổng số tuổi của hai mẹ con bằng 45 tuổi. Tìm tuổi của mỗi người,
biết rằng 2 lần tuổi mẹ bằng 7 lần tuổi con.
Lời giải
Nếu ta chia tuổi của mẹ thành 7 phần bằng nhau thì tuổi của con sẽ chiếm 2
phần như thế.
Ta có sơ đồ sau:
Con:

? tuổi
45 tuổi

Mẹ:
? tuổi
Tuổi con hiện nay là:
45 : (7 + 2) × 2 = 10 (tuổi).
Tuổi mẹ hiện nay là:
45 – 10 = 35 (tuổi).
Đáp số: con 10 tuổi.
Mẹ: 35 tuổi.

6.2. Một số bài tốn “Tìm hai số khi biết hiệu số và tỉ số của chúng”
Bài 8. (lớp 4 trang 151). Hiệu của hai số là 85. Tỉ số của hai số đó là

3
. Tìm hai số
8

đó?
Lời giải
Nếu ta chia số lớn thành 8 phần bằng nhau thì số bé sẽ chiếm 3 phần như thế.
Ta có sơ đồ:
Số bé:

?
85

Số lớn:
?

Số bé là:
85 : (8 – 3) × 3 = 51.
Số lớn là:
85 : (8 – 5) × 8 = 136.
Đáp số: hai số cần tìm là 51 và 136.

trang 19


Khóa luận tốt nghiệp
Bài 9. Hiệu của hai số bằng 0,6. Thương của số bé và số lớn cũng bằng 0,6. Hãy tìm

hai số đó?
Lời giải
0,6 =

6
3
=
10 5

Vì thương là số bé hơn 1 nên số bị chia phải bé hơn số chia. Biểu thị số bị chia
bằng 3 phần bằng nhau thì số chia là 5 phần như thế.
Ta có sơ đồ:

?

Số bị chia:

0,6

Số chia:
?

Số bị chia là:
0,6 : (5 – 3) × 3 = 0,9.
Số chia là:
0,6 + 0,9 = 1,5.
Đáp số: hai số cần tìm là: 0,9 và 1,5.
Bài 10. Số cây đào trong vườn nhà Lan gấp bốn lần số cây mận và số cây đào nhiều
hơn số cây mận 12 cây. Hỏi vườn nhà Lan có bao nhiêu cây mỗi loại?
Lời giải

Nếu ta chia số cây đào thành 4 phần bằng nhau thì số cây mận sẽ chiếm 1 phần
như thế.
Ta có sơ đồ:
Số cây mận:

? cây
12 cây

Số cây đào:
? cây

Số cây mận là:
12 : (4 – 1) = 4 (cây).
Số cây đào là :
4 × 4 = 16 (cây).
Đáp số: 4 cây mận, 16 cây đào.
Bài 11. (lớp 4 trang 151). Người ta dùng số bóng đèn màu nhiều hơn số bóng đèn
5
trắng là 250 bóng đèn. Tìm số bóng đèn mỗi loại, biết rằng số bóng đèn màu bằng
3
số bóng đèn trắng.
Lời giải
Nếu ta chia số bóng đèn màu thành 5 phần bằng nhau thì số bóng đèn trắng sẽ
chiếm 3 phần như thế.
Ta có sơ đồ:

trang 20


Khóa luận tốt nghiệp

? bóng

Số bóng đèn trắng:

250 bóng

Số bóng đèn màu:
? bóng

Số bóng đèn trắng là:
250 : (5 – 3) × 3 = 375 (bóng đèn).
Số bóng đèn màu là:
375 + 250 = 625 (bóng đèn).
Đáp số: 375 bóng đèn trắng, 625 bóng đèn màu.
Bài 12. (lớp 5 trang 18). Số lít nước mắm loại I có nhiều hơn số lít nước mắm loại II
là 12l. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu lít nước mắm, biết rằng số lít nước mắm loại I gấp
3 lần số lít nước mắm loại II?
Lời giải
Ta có sơ đồ:

? lít

Số lít nước mắm loại II:

12 lít

Số lít nước mắm loại I:
Số lít nước mắm loại II là:

? lít

tuổi

12 : (3 – 1) = 6 (lít).
Số lít nước mắm loại I là:
12 + 6 = 18 (lít).
Đáp số: 6 lít nước mắm loại II, 18 lít nước mắm loại I.
Bài 13. (lớp 4 trang 151). Một cửa hàng có số gạo nếp ít hơn số gạo tẻ là 540 kg.
1
Tính số gạo mỗi loại, biết rằng số gạo nếp bằng
số gạo tẻ.
4
Lời giải
Nếu ta chia số gạo tẻ thành 4 phần bằng nhau thì số gạo nếp sẽ chiếm 1 phần
như thế.
Ta có sơ đồ:
Gạo nếp:

? kg
540 kg

Gạo tẻ:
? kg

Số ki-lô-gam gạo nếp là:
540 : (4 – 1) = 180 (kg).
Số ki-lô-gam gạo tẻ là:
180 + 540 = 720 (kg).
Đáp số: 180 kg gạo nếp, 720 kg gạo tẻ.
Bài 14. (lớp 4 trang 153). Năm nay tuổi con ít hơn tuổi bố là 35 tuổi và bằng

2
tuổi
9

bố. Hỏi năm nay con bao nhiêu tuổi? bố bao nhiêu tuổi?

trang 21


Khóa luận tốt nghiệp
Lời giải
Nếu ta chia tuổi bố thành 9 phần bằng nhau thì tuổi con sẽ chiếm 2 phần như
thế.
Ta có sơ đồ:
Con:

? tuổi
35 tuổi

Bố:

? tuổi
Số tuổi con là:
35 : (9 – 2) × 2 = 10 (tuổi).
Số tuổi bố là:
35 + 10 = 45 (tuổi).
Đáp số: con: 10 tuổi.
Bố: 45 tuổi.
6.3. Một số bài toán mở rộng của các bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng
số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng

Ngồi các bài tốn dạng tìm hai số khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ
số của chúng được cho dưới dạng tường minh về tổng số, hiệu số và tỉ số, cịn có một
số bài toán được cho dưới dạng tổng số của hai số liên quan đến hai số cần tìm, hoặc
hiệu số của hai số liên quan đến hai số cần tìm, hoặc tỉ số của hai số liên quan đến hai
số cần tìm. Với những bài tốn dạng này ta có thể đưa về dạng bài tốn tìm hai số
mới khi biết tổng số và tỉ số hoặc hiệu số và tỉ số của hai số mới đó, sau đó tìm hai số
cần tìm. Sau đây là một số dạng bài tốn ta phải tìm hai số mới khi biết tổng số và tỉ
số hoặc hiệu số và tỉ số của chúng, sau đó tìm hai số cần tìm.
6.3.1. Một số bài tốn mở rộng của các bài tốn dạng tìm hai số khi biết
tổng số và tỉ số của chúng (minh họa cho phần 3.1.3)
Bài 15. (minh họa phần chú ý 1 - trang 12)
Hai bạn Nga và Hồng có tất cả 48 nhãn vở. Nếu bạn Nga cho bạn Hồng 2 nhãn vở thì
số nhãn vở của Hồng sẽ nhiều gấp đơi số nhãn vở của Nga. Hãy tính số nhãn vở lúc
đầu của mỗi bạn?
Lời giải
Nếu Nga cho Hồng hai nhãn vở thì tổng số nhãn vở của hai bạn vẫn là 48 nhãn vở.
Ta có sơ đồ minh hoạ số nhãn vở của mỗi bạn, sau khi Nga cho Hồng 2 nhãn vở:
? nhãn vở
Nga:
48 nhãn vở
Hồng:
? nhãn vở
Sau khi cho bạn hai nhãn vở thì số nhãn vở còn lại của Nga là:
48 : (1 + 2) = 16 (nhãn vở).
Số nhãn vở lúc đầu của Nga là:
16 + 2 = 18 (nhãn vở).
Số nhãn vở lúc đầu của Hồng là:

trang 22

Khóa luận tốt nghiệp
48 – 18 = 30 (nhãn vở).
Đáp số: Nga có 18 nhãn vở.
Hồng có 30 nhãn vở.
Bài 16. (minh họa phần chú ý 2 - trang 12)
Lớp A và lớp B tham gia trồng cây. Ngày đầu cả hai lớp trồng được 115 cây. Ngày
sau lớp A trồng được 20 cây, lớp B trồng được 15 cây. Sau hai ngày trồng cây, số
2
cây của lớp A đã trồng bằng
số cây của lớp B đã trồng. Hỏi mỗi lớp đã trồng được
3
bao nhiêu cây?
Lời giải
Tổng số cây của hai lớp trồng được trong hai ngày là:
115 + 20 + 15 = 150 (cây)
Nếu ta chia số cây trồng được trong hai ngày của lớp B là 3 phần bằng nhau thì
số cây trồng được trong hai ngày của lớp A sẽ chiếm 2 phần như thế.
Ta có sơ đồ:

? cây

Lớp A:

150 cây

Lớp B:
? cây
Số cây của lớp A trồng được là:
150 : (2 + 3) × 2 = 60 (cây).

Số cây của lớp B trồng được là :
150 – 60 = 90 (cây).
Đáp số: lớp A: 60 cây.
Lớp B: 90 cây.
Bài 17. (minh họa phần chú ý 3 - trang 12)

Tổng số gạo của hai cửa hàng A và B là 500 kg, sau đó người ta bán đi 20 kg gạo ở
2
cửa hàng A và 30 kg gạo ở cửa hàng B, lúc này số kg gạo của cửa hàng B bằng
số
3
kg gạo của cửa hàng A. Hỏi lúc đầu mỗi cửa hàng có bao nhiêu kg gạo?
Lời giải
Sau khi bán, số kg gạo còn lại của hai cửa hàng là:
500 – (30 + 20) = 450 (kg).
Nếu ta chia số kg gạo sau khi bán của cửa hàng A thành 3 phần bằng nhau thì
số kg gạo sau khi bán của cửa hàng B sẽ chiếm 2 phần như thế.
Ta có sơ đồ:
Cửa hàng B:

? kg gạo
450 kg gạo

Cửa hàng A:
? kg gạo
Số kg gạo sau khi bán của cửa hàng B là:

trang 23

Khóa luận tốt nghiệp
450 : (3 + 2) × 2 =180 (kg).
Số kg gạo lúc đầu của cửa hàng B là:
180 + 30 = 210 (kg).
Số kg gạo lúc đầu của cửa hàng A là:
500 – 210 = 290 (kg).
Đáp số: cửa hàng B: 210 kg.
Cửa hàng A: 290 kg.
Bài 18. (minh họa phần chú ý 4 - trang 12)
Tổng số thóc ở kho A và kho B là 375 tấn. Sau đó kho A tiếp nhận thêm 15 tấn, cịn
3
kho B chuyển đi nơi khác 40 tấn thì lúc đó số thóc ở kho A bằng
số thóc ở kho B.
4
Hãy tính số tấn thóc lúc đầu ở mỗi kho?
Lời giải
Sau khi kho A nhận thêm 15 tấn và kho B chuyển đi nơi khác 40 tấn thì lúc
này số thóc ở hai kho là:
375 + 15 – 40 = 350 (tấn).
Nếu ta chia số tấn thóc lúc sau ở kho B thành 4 phần bằng nhau thì số tấn thóc
lúc sau của kho A sẽ chiếm 3 phần như thế.
Ta có sơ đồ:
Kho A:

? tấn
350 tấn

Kho B:
? tấn
Số thóc lúc sau ở kho A là:

350 : (3 + 4) × 3 =150 (tấn).
Số thóc lúc đầu của kho A là:
150 – 15 = 135 (tấn)
Số thóc lúc đầu của kho B là:
375 – 135 = 240 (tấn).
Đáp số: kho A: 135 tấn.
Kho B: 240 tấn.
6.3.2. Một số bài toán mở rộng của các bài tốn dạng tìm hai số khi biết
hiệu số và tỉ số của chúng (minh họa cho phần 3.2.3)
Bài 19. (minh họa phần chú ý 1 - trang 13)
Có hai kho chứa thóc: kho A chứa 35 tấn và kho B chứa 50 tấn. Người ta đã lấy đi
một số tấn thóc như nhau ở mỗi kho để chuyển đi nơi khác, nên số thóc cịn lại của
2
kho A bằng số thóc cịn lại của kho B. Tính số thóc đã chuyển đi của mỗi kho?
3
Lời giải
Số thóc của kho B nhiều hơn kho A là:
50 – 35 = 15 (tấn).

trang 24


Khóa luận tốt nghiệp
Sau khi chuyển đi một số tấn thóc ở mỗi kho thì số thóc cịn lại ở kho B vẫn
nhiều hơn số thóc cịn lại của kho A là 15 tấn.
Ta có sơ đồ sau:
Kho A:

? tấn
15 tấn

Kho B:
? tấn

Số thóc cịn lại của kho B là:
15 : (3 – 2) × 3 = 45 (tấn).
Số thóc chuyển đi ở mỗi kho là:
50 – 45 = 5 (tấn).
Đáp số: 5 tấn.
Bài 20. (minh họa phần chú ý 2 - trang 14)
Số cây trồng của khối Năm nhiều hơn khối Bốn là 360 cây. Nếu khối Năm trồng
thêm 30 cây nữa và khối Bốn trồng bớt đi 30 cây thì số cây của khối Năm sẽ nhiều
gấp 4 lần số cây của khối Bốn. Tính số cây đã trồng lúc đầu của mỗi khối?
Lời giải
Nếu khối Năm trồng thêm 30 cây và khối Bốn trồng bớt 30 cây thì lúc đó số
cây trồng của khối Năm nhiều hơn khối Bốn là:
360 + 30 + 30 = 420 (cây)
Ta có sơ đồ biểu thị số cây trồng lúc sau :
? cây
Khối Bốn:
420 cây
Khối Năm:
? cây
Số cây trồng lúc sau của khối Bốn là:
420 : (4 – 1) = 140 (cây).
Số cây trồng lúc đầu của khối Bốn là:
140 + 30 = 170 (cây).
Số cây trồng lúc đầu của khối Năm là:
170 + 360 = 530 (cây).
Đáp số: khối Bốn: 170 cây.

Khối Năm: 530 cây.
Bài 21. (minh họa phần chú ý 3 - trang 14)
Bạn An đã chuyển 5 cuốn sách từ ngăn thứ hai lên ngăn thứ nhất nên số sách ở ngăn
thứ hai nhiều hơn số sách ở ngăn thứ nhất là 150 cuốn và số sách ở ngăn thứ nhất
1
bằng số sách ở ngăn số hai. Tính số sách lúc đầu ở mỗi ngăn?
3
Lời giải
Biểu thị số sách sau khi đã nhận thêm 5 cuốn ở ngăn thứ nhất là 1 phần thì số
sách sau khi đã chuyển đi 5 cuốn ở ngăn số hai là 3 phần như thế.
Ta có sơ đồ sau:

trang 25