Tuyệt đỉnh kung fu ô xờ y Lực Lập Lờ

 
  1
Võ lâm bí tịch Oxy Cửu âm chân kinh
Version 1.0
I, Giới thiệu:







 

hông quá gây khó cho
các em.


n 
 )
II, Đặt vấn đề




song song


Yêu cầu của bài toán













kính








 
  2



 
+   
 - - 
phá )  






Oxy.
 
1. 
2. 
III, Nội Dung
*Nội dung chính :
1. 

3. 


A- Hệ thống kiến thức cơ bản SGK
B-Tư duy ngược


C – Bổ đề hình học: Tam giác, hình vuông, hình chữ nhật





 







  có 
Oxy, 
 c  


 




 
  3

A- Hệ thống kiến thức cơ bản








Oxy









( , )
o o o
M x y

Và có :

( ;0) Ox
: 1, 0
(0;b) Oy
Aa
xy
pt ab
B
ab


   




Hs góc k:
()
oo
y k x x y  

Vtpt
( ; ): ( ) ( ) 0

oo
n a b a x x b y y    


Vtcp
( ; )u a b




oo
x x y y
ab




o
o
x x at
y y bt






+Tâm
( , )
oo

I x y

+Bán kính R
2 2 2
( ) ( )
oo
x x y y R   

2 2 2
4
22
+ax+by+c=0
a b c
xy

 
Tâm
;
22
ab
I




và
22
4
ab
Rc




Elip
2
2
22
1
y
x
ab


Có

Tâm sai
 
4
4(a b)
x a S ab
y b C
  



   


22
ex

1
( , ) ( ) 1; 2
12
22
x
2
c
MF a x a
xy
oo
a
oo
M x y E MF MF a
oo
c
ab
MF a x a e
oo
a

   


      


   




12
2A A a

12
2B B b


12
2F F c

2 2 2
, , , 0a b c a b c  

1
c
e
a


 
  4




B-Tư duy ngược


Khởi động ta sẽ chiến luôn bài A – 2014:

Ví dụ 1(ĐH-A-2014): 
g M(1;2) và N(2;-1).
Hướng dẫn
+ Bước 1 : Ta cần vẽ hình thật chuẩn
I
A
B
D
C
M
(1;2)
N
(2;-1)

+ Bước 2: Xác định mục tiêu và phương hướng : bẻ khóa, tìm điểm mấu chốt


   
22
11
2 1 2 1 2 1 2 1
22
( ; )
( ;y y )
( ; )
A x y
AB x x AB x x y y
B x y


        




( , )
22
( ', ) ( , )
( ; )
:0
'/ / , '
oo
oo
M
M
M x y
ax by c
d
ax by c
ab
M d d

  




   



    

Góc
1 1 1 1
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
:a 0
cos |cos( , )| cos( , )
:a 0
.
x b y c
a a bb
n n u u
x b y c
a b a b

   


   

   


   

1 2 1 2

12
1 1 1
12
2 2 2
. . 0
: y k
.1
: y k
n n u u
xd
kk
xd

  
  

  

  

   





11
. bcsin ( )( )( )
2 2 4
a

abc
S ah A pr p p a p b p c
R
       



 
  5
*Mục tiêu: Viết phương trình CD, trong khi tay trắng, vì không có dữ kiện gì trực tiếp cả
Có 2 hướng chính để các em viết pt của 1 đường thẳng
1. 

2. 

  và

 tâm hình vuông ABCD là I

+ 

IM






2
2

2
AI
IM
IM IN
AI
IN











 



 

,
90,
hcn AC BD
A B C AB BC CD DA




     



Khi ta dùng
2
AI
IM 

AM MI AB BC
AM MI AB BC
  







2
AI
IN 
c dùng

2 2 , 0IM IN x x  


10MN 




135
o
NIM 

I
A
B
D
C
M
(1;2)
N
(2;-1)



2 2 2
2 . . osMN IM IN IM IN C NIM  

 
  6
2 2 2
2
1
10 2 2 2 .
2
10 5 2
x x x
xx


   
   



2 2 2 2
22
2 2 2
2
( 1) ( 2) 4 ( 1) ( 2) 4
( 2) ( 1) 2 2 3 6 3 2
2
1, 0
( 1) ( 2) 4 10 4 0
11 2
,
3 1 3 1
55
IM
x y x y
x y x y
IN
xy
x y y y
xy
x y x y





       


  
       






  


     


  



   





 
(1;0)I

(3;2)C
và
(2;0)IM 


: 2 0CD y 

 
11 2
( ; )
55
I

9 12
( ; )
55
C

và
68
( ; )
55
IM 


6 9 8 12
( ) ( ) 0 :3 4 15 0
5 5 5 5
x y CD x y        


: 2 0CD y 

:3 4 15 0CD x y  


Ví dụ 2: (ĐH – B – 2014): 
--
4
3
;3) là


+ Bước 1: Vẽ cẩn thận cái hình, là bộ mặt của bài toán:
G
I
A
B
D
C
H
(0;-1)
M
(-3;0)
N

+ Bước 2: Xác định mục tiêu  Phương hướng : Tìm điểm mấu chốt, hạ gục bài toán



 
  7


3
2
3
B C D
G
BG BN












 N do I là
 B do
2GB GN
 

là vuông góc liên quan

HB AH

 




( , )
oo
B x y

( 6 , )
oo
A x y  
suy ra
( 6, 1)
oo
AH x y  


Ta có:
( , 1)
oo
HB x y



. 0 ( 6) ( 1)( 1) 0
o o o o
AH HB x x y y      
 
(1)






4
44
2( )
49
2
2;
33
9
22
3 2( 3)
2
o
N
oN
oo
o
oN
n
x
x
xx
xy
GB GN N
y
yy

y





   



    





   





 


//
AD BC
AD BC








//MN AD

10 9
,
22
oo
xy
MN







10
( 6)( )
2
/ / / / , 0
9
( 1)( )
2
o
o
o

o
x
k x a
MN AD MN AH MN k AH k
y
k y b





    






 


1
o
y 

Ta nhâ
(10 )( 1) ( 6)(9 ) 2 8
o o o o o o
x y x y x y       
(2)


  
1 5 15 0 3 2 ( 2;3)
o o o o
y y y x B         


1
o
y 


/ / / / .MN AD MN AH MN HB MN HB   
 

22
10 9
( 1) 0
22
10 8 9 0(3)
oo
oo
o o o o
xy
xy
x y x y

   
   
   

   
     


 
  8
2 2 2 2 2 2
22
0
2, 3
( 2;3)
6 1 0 6 1 0 6 1 0
0, 1
(0; 1)
10 8 9 0 16 8 8 0 (2 1)
oo
o o o o o o o o o
oo
o o o o o o o
xy
B
x y x x y x x y x
xy
B
x y x y x y y x
  
   
           



   
  


  

          


  





 
(0; 1)B 
ta có

AD MN BC

(5;5)MN 

và
(2;5)N
,
15
( , )
22
I

suy ra
(1;6)D
;
(3;4)C
nên
(3;5)BC 



MN BC

(0; 1)B 

 
( 2;3)B 
ta có

(6;3)MN 

và
(3;3)N
,
3
(0, )
2
I
suy ra
(2;0)D
;
(4;6)C

nên
(6;3)BC 



MN BC

( 2;3)B 


( 2;3)B 
và
(2;0)D







Ví dụ 3: ĐH – D – 2014 
gó- 
 
Hướng dẫn
Các em thao khảo bài cuối cùng, phần bài tập áp dụng bổ đề ở trang gần cuối nhé

Ví dụ 4: ĐH – A – 2013 :

d :
2x y 5 0  

và
A( 4;8)

-4).
ĐS :
( 4; 7); (1; 7)BC  


Bước 1: Vẽ hình : Hình khi mới vẽ thì chỉ đơn giản như vậy thôi
 
  9
A
(-4;8)
B
C
D
M
N
(5;-4)

Bước 2: Xác định mục tiêu, phương hướng : tìm điểm mấu chốt


2x y 5 0  



-

A

(-4;8)
B
C
D
M
N
(5;-4)





i NC :


,BN DM BC CM


NC BC CM

 
  10



HNC HBC
(1)

H
A

(-4;8)
B
C
D
M
N
(5;-4)

Thì
ACMD
là hình bình hành, nên
//AC DM AC DM





(2)ANH ABH




 


90ANC ANH HNC ABH HBC ABC     

AN NC
ta có :


2x y 5 0  
suy ra :
( , 2 5)C c c

(9; 12); ( 5, 2 1)AN NC c c     
 


. 0 9( 5) 12( 2 1) 0 1 (1; 7)AN NC AN NC c c c C            
 



trình AC và NB
trình AC:
48
3 4 0
1 4 7 8
xy
xy

    
  


( 5) 3( 4) 0 3 17 0x y x y       


1

34
1 11
2
;
3 17 11
22
2
x
xy
H
xy
y





  






  










( 4;7)B 





 
  11
I
A
(-4;8)
B
C
D
M
N
(5;-4)


( , 2 5)C c c


_hcn ABCD
BC CM
BN DM









sao.

4 2 3
( ; )
22
tt
I
  





2 2 2 2
4 2 3 4 2 3
5 4 4 8 1
2 2 2 2
t t t t
t
     
       
          
       

       

Suy ra C(1;-7)
 

Ví dụ 5: ĐH – A – 2013 – NC :

:x y 0  

10




42


Hướng dẫn
Bước 1: Các em vứ vẽ cẩn thận cái hình không cần thêm bớt gì cả.
 
  12
I
A
H
B

Bước 2: Xác định mục tiêu và tìm cách hủy diệt
 
10R 






K
I
A
H
B



10
42
:0
2 _tiep_tuyen
H Oy
R
AB
AB x y














2 ,

22
22
10
(2 2)
10 8 2 4 2
2
42
R
AK
IK IA KA HK
IK
AB



         






 
  13


:0
(0; )
AB x y
H Oy H h







( , )
8
0
42
8
2
H AB
h
h
d HK
h



   



-8.


0h 



(0;8)H
 trình IH là
1.( 0) 1.(y 8) 0 x y 8 0x       
do IH vuông AB

0
4
8
xy
xy
xy


  




2 2 2
I IK
IH IK









ta s

4KH KI
 


22
(4;4) (3;5) (C):(x 3) ( 5) 10K I y     

Ví dụ 6: ĐH – B – 2013 :

 -

Hướng dẫn
Bước 1: Các em vứ vẽ cẩn thận cái hình không cần thêm bớt gì cả.
H
(-3;2)
B
C
A
D

Bước 2: Xác định mục tiêu, phương hướng làm


 

-





Tiếp tục nhé

 
  14
_ _ _
3
: 2 6 0
( 3;2) _va_la_truc_tam
hinh thang can ABCD
AD BC
AC BD
BD x y
H










  







:2( 3) ( 2) 0 2 8 0
( 3;2)
BD: x 2 6 0
AC BD
AC x y x y
H
y



        



  





H
(-3;2)
I
B

C
A
D






0
90 45
o
IBH IBC  
ông cân.





Do
:2 8 0 (c;2c 8)C AC x y C     


3
;c 5
2
c
I






 BD nên :
3
2.(c 5) 6 0 1 ( 1;6)
2
c
cC

        


Mà BC // AD nên :
1
3
3
IB BC
ID IC
ID AD
IB IC










( 2;4) (1;2)I IC  


Do
: 2 6 0 (6 2d,d)D BD x y D     

 
  15
2 2 2
1 (4;1)
3 (8 2 ) ( 4) 9.5 ( 4) 9
7 ( 8;7)
dD
ID IC d d d
dD


         

  


không có gì 

Vậy:
( 1;6); (4;1)CD

( 1;6); ( 8;7)CD

Anh vừa trình bày cho các em chi tiết 5 bài thi ĐH , ở đây anh chủ yếu hướng dẫn các em cách tư duy là
chính, thay vì giải cho em tất cả các bài trong đề ĐH, các bài còn lại là phần việc của em có muốn lấy điểm
8 hay không, anh chỉ có thể dẫn các em tới giữa đường rồi đem con bỏ chợ thôi còn lại là các em phải tự tìm
cho mình đích đến…
Cố gắng lên các em.
Phía dưới là phần bài tập tự luyện còn qua phần này là phần bổ đề

*Dưới đây là các bài tập trong đề thi ĐH để các em tự luyện:
Bài 1. (ĐH B2013−NC)

17 1
( ; )
55


.
ĐS :
(9;11)C

Bài 2. (ĐH D2013−CB)
          
93
M( ; )
22

    
H( 2;4)

I( 1;1)



ĐS :
(4;1); ( 1;6)CC

Bài 3. 

22
(x 1) (y 1) 4   

: y 3 0  
. Tam




ĐS :
( 1;3); (3;3)PP

Bài 4. 


11 1
;
22
M



 y3=0.


ĐS :
(1; 1); (4;5)AA

 
  16
Bài 5. 
Trong 
2
+ y
2


ĐS :
22
1
16
16
3
xy


Bài 6. B)
OxyC
1
) :
22
4xy
, (C
2
):

22
12 18 0x y x   

d:
40xy  
C
2
d C
1
 A và
B sao cho AB 
ĐS :
22
( 3) ( 3) 8xy   

Bài 7. 
Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD 

22
4.xy
A, B, C, D 
A Ox.
ĐS :
22
1
20 5
xy


Bài 8. 


là x + 3y = 0 và x  
1
3


ABCD.
ĐS :
( 3;1); (1; 3); (3; 1); ( 1;3)A B C D   

Bài 9. 
2x  

ĐS :
2 2 2 2
( ):( 1) ( 1) 2;( ):( 3) ( 3) 10C x y C x y       

Bài 10. 
 Oxy : x+ y+ 2= (C) : x
2
+ y
2
 4x 2y =  I 
(C), M  . Qua M MA và MB C) (A và B  M
MAIB 
ĐS :
(2; 4); ( 3;1)MM

 
  17

Bài 11. 
Tron
22
1
41
xy


sao

ĐS :
22
( 2; ); ( 2; )
22
AB

22
( 2; ); ( 2; )
22
AB

Bài 12. 
 Oxy x - y  4=0 và d: 2x - y  2=  N 
 d  ON  ∆  M  OM.ON= 8.
ĐS :
62
(0; 2); ( ; )
55
NN

Bài 13. 
 Oxy, cho tam giác ABC 
1
( ;1)
2
B
 ABC 
 BC, CA, AB  D, E, F. Cho D EF  y  3= 
 A A có tung 
ĐS :
13
(3; )
3
A

Bài 14. 
 Oxy, cho tam giác ABC  B(-  G 
 A  x - y  1=h A và C.
ĐS :
(4;3); (3; 1)AC

Bài 15. 
 Oxy AC): x
2
+ y
2
- 2x + 4y  5= 
 ∆ C M và N sao cho tam giác AMN  A.
ĐS :
: 1; : 3yy    

Bài 16. 
Oxy 
1
:
30xy
và d
2
:
30xy


1

2
 

3
2

ĐS :
22
13
( ):( ) ( ) 1
2
23
T x y   

 
  18

Bài 17. 
OxyA(6; 6)
AB và AC x + y

B và C
E(1; C 
ĐS :
(0; 4); ( 4;0)BC

( 6;2);(2; 6)B 

Bài 18. 
-
trình x + y  

ĐS :
:3 4 16 0BC x y  

Bài 19. 

3
) và elip (E):
22
1
32
xy


1
và F

2

1

 AF
1

2
qua M.

2
.
ĐS :
22
2 3 4
( ) :( 1) ( )
33
C x y   

Bài 20. 








, 






(3;-7), 



(3;-1), 

(-
2;0). , 





.
ĐS :
( 2 65;3)C 

Bài 21. 









, 

(0;2)  . 
. 





, 









.
ĐS :
:( 5 1) 2 5 2 0; :( 5 1) 2 5 2 0x y x y         

Bài 22. 

:
05  yx


ĐS :

: 5 0; : 4 19 0AB y AB x y    

 
  19
Bài 23. (ĐH A2009−NC)
g tròn (C):
0644
22
 yxyx
:
032  mmyx
 

ĐS :
8
0;
15
mm

Bài 24. (ĐH B2009−CB)

22
4
(x 2) y
5
  

1
: xy= 0, 
2

: x  7y =

1

1

1
,

2

ĐS :
8 4 2 2
( ; );
5 5 5
KR

Bài 25. (ĐH B2009−NC)
-
 : x  y   
ĐS :
11 3 3 5
( ; ); ( ; )
2 2 2 2
BC

3 5 11 3
( ; );( ; )
2 2 2 2
B 

Bài 26. (ĐH D2009−CB)

  2y  3 = 0 và 6xy
AC.
ĐS :
:3 4 5 0AC x y  

Bài 27. (ĐH D2009−NC)
 1)
2
+ y
2



IMO
= 30
0
.
ĐS :
33
;
22
M






Bài 28. (ĐH A2008−CB)

5
3
và

 
  20
ĐS :
22
1
94
xy


Bài 29. (ĐH B2008−CB)

 

ĐS :
10 3
( ; )
34
C 

Bài 30. (ĐH D2008−CB)

2




0
90BAC 

ĐS :
(17; 4)I BC

Bài 31. (ĐH A2007−CB)
BC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-

ĐS : (C):
22
20x y x y    

Bài 32. (ĐH B2007−CB)

1
: x + y  2 = 0,
d
2
: x + y  
1
và d
2

ĐS :
   
1;3 ; 3;5BC


   
3; 1 ; 3;5BC

Bài 33. (ĐH D2007−CB)
 1)
2
+ (y + 2)
2



ĐS :
19; 41mm  

Bài 34. (ĐH A2006−CB)
Trong mt phng vi h t ng thng: d
1
: x + y + 3 = 0, d
2
: x  y  4 = 0,
d
3
: x  2y = 0. Tìm t m M nng thng d
3
sao cho khong cách t ng thng
d
1
bng hai ln khong cách t ng thng d
2
.

ĐS :
( 22; 11); (2;1)MM

 
  21
Bài 35. (ĐH B2006−CB)
Trong mt phng vi h t ng tròn (C):
22
2 6 6 0x y x y    
m M(-3; 1). Gi T
1
và T
2
là
các tim ca các tip tuyn k t n (C). Ving thng T
1
T
2
.
ĐS :
2 3 0xy  

Bài 36. (ĐH D2006−CB)
Trong không gian vi h t ng tròn (C):
22
2 2 1 0x y x y    
ng thng d:
30xy  
.
Tìm t m M nng tròn tâm M, có bán kính gng tròn (C), tip xúc

ngoài vng tròn (C).
ĐS :
(1;4); ( 2;1)MM


Chuyên đề: Các bổ đề trợ giúp giải các bài toán hình học phẳng
Biên soạn : Nguyễn Văn Nam (chính) _ Nguyễn Thế Lực
 Tam Giác ABC – Một số bổ đề chỉ có tính chất tham khảo
Tài liệu:
- THTT 384,387,390,449
- Chuyên đề giải tích hình học phẳng Châu Ngọc Hùng
- Tuyển tập hình học giải tích trong mặt phẳng
- Tuyển chọn hệ phương trình +Oxy
- Kĩ thuật xử lý tọa độ hình học phẳng
1. Các dữ kiện khai thác được liên quan đến tam giác
1.1 Tam giác cân tại A
- AB=AC
- Đường cao từ Ang phân giác t ng trung tuyn t A
- 

= 


1.2 Tam giác vuông tại A
- 







. 






= 0
- A thuộc đường tròn đường kính BC
1.3 Tam giác vuông cân
Tổng hợp các điều kiện cân và vuông
2. Các đại lượng liên quan đến tam giác
- Điểm: Trực tâm H, trọng tâm G, tâm O đường tròn ngoại tiếp, tâm I đường tròn nội
tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp 

, 

, 

tương ứng nằm trong góc A, B, C)
-  cao, trung tuyn, phân giác trong, ngoài, trung trc, le
- Đường tròn: ngoại tiếp tâm O, nội tiếp tâm I, bàng tiếp tâm J, ơ-le
3. Các tính chất cơ bản trong tam giác
3.1. Các quan hệ bằng nhau

1
2
(180


2. 

) =
1
2
(180



) = 

)
AD, BE, CF là 3 đường cao hạ từ A, B, C


= 

(cùng phụ với 




= 

(do 

= 90




=

3.2 Mối quan hệ trực tâm H và tâm O: 







= 2









3.3 Tính chất AOEF


3.4 








= 3








Gọi M là trung điểm BC, T đối xứng với A qua O => AT là đường
kính đường tròn tâm O
B, C thuộc đường tròn đường kính AT nên BABT; CACT (1)
H là trực tâm nên BACH; CABH (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH//BT; BH//CT => BHCT là hình bình hành,
có M là trung điểm đường chéo BC nên M cũng là trung điểm đường
chéo HT; O là trung điểm AT => OM là đường trung bình của tam
giác AHT


//
= 2

=>








= 2









BE, CF là 2 đường cao hạ từ B, C. Kẻ tiếp tuyến tại
A của đường tròn tâm O
 

= 




= 

= 90

=> BFEC là tứ giác
nội tiếp =>

= 


Do đó, 

= 

=> Ax//EF mà AO
Ax nên AOEF

Trung tuyến AM của tam giác ABC, T đối xứng
với A qua O.
Theo 3.2, ∆AHT có M là trung điểm của HT, =>
AM là trung tuyến của ∆AHT, có tỉ số


=
2
3
=> G
cũng là trọng tâm tam giác AHT =>


=
2
3

=>








= 3 








3.5 Điểm R đối xứng với H qua BC => R thuộc đường tròn (O)

3.6 D, E, F là chân đường cao hạ từ A, B, C => H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

3.7 Tính chất đối xứng của đường phân giác
AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC. M là điểm bất kì trên AB, N là điểm đối xứng với M
qua AD => N AC

R, H đối xứng với nhau qua BC nên 

= 


H là trực tâm => theo (3.1) thì 

=  


Do đó, 


=  

=> RBAC nội tiếp => R  (O)



= ;



= 


Chứng minh DH là phân giác 


BFHD, CEHD là 2 tứ giác nội tiếp nên
Mà theo 3.1, 

= 


Suy ra 

= 


Tương tự, EH, FH là phân giác góc 


, 


 H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
DEF

Do M, N đối xứng với nhau qua AD nên


= 

=> AN, AC trùng nhau => NAC

3.8 Phân giác trong AD cắt (O) tại K => K là tâm đường tròn ngoại tiếp IBC

3.9 Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại P. AD là phân giác trong góc A => PA=PD

3.10 Tam giác ABC vuông tại A. AD là đường cao. M
 Nu M, N là m ca AD, CD 

 ,   á  â   => = 
Chứng minh KI=KB


= 

+ 

= 


+ 

= 

+ 

= 


=> tam giác KIB cân tại K
Do đó, K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC
Lưu ý: K cũng là điểm chính giữa cung BC không chứa A =>
OKBC



= 

+ 

= 

+ 

=


=> tam giác PAD cân tại P =>
PA=PD

MN là đường trung bình của tam giác ACD => MN//AC;
ACAB => MNAB
Tam giác ANB có MNAB, AMBN nên M là trực tâm
tam giác ANB => BMAN
 Nếu AN, BM là phân giác 

; 

thì
ANBM
AN, BM là phân giác nên


=


;


=



Mặt khác; 


=

