Tính chất định tính của các hệ động lực chịu nhiễu

Mục lục
Mở đầu iii
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều . 1
1.2 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính vô hạn chiều . . 9
1.3 Tính điều khiển được của hệ có ràng buộc điều khiển . . 26
2 Kết quả 40
2.1 Bán kính điều khiển được của hệ có ràng buộc với miền
tham số điều khiển bị nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính dưới các nhiễu
cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Kết luận 68
Tài liệu tham khảo 71
i
Lời cảm ơn
Dìu dắt tôi trên con đường toán học, luôn tạo ra những thử thách giúp
tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếp
nhận từ người thầy đáng kính của tôi, GS. TSKH Nguyễn Khoa Sơn.
Tôi xin gửi đến thầy lòng biết ơn sâu sắc nhất.
Tôi xin gửi tới GS. TSKH Phạm Kỳ Anh, GS. TS Nguyễn Hữu Dư,
Ban chủ nhiệm Khoa và các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin
học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN lòng biết ơn sâu
sắc nhất, những người đã dạy dỗ và chỉ bảo tận tình tôi, đã giúp đỡ rất
nhiều để tôi đến được con đường toán học như bây giờ.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo trong
Khoa Toán - Tin Ứng dụng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, các thầy
cô trên Viện Toán học, những người luôn ủng hộ nhiệt tình và sẵn sàng
giúp đỡ tôi trong thời gian này.
Luận văn này được hoàn thành dưới sự động viên, chia sẻ, giúp đỡ
của người thân, các bạn cùng lớp K7 Cử nhân Khoa học Tài năng và
Cao học 0709. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả.

Hà Nội, ngày 10 tháng 12 năm 2009
Tác giả
ii
Mở đầu
Lý thuyết điều khiển được phát triển từ khoảng 150 năm trước đây
khi sự thực hiện các điều khiển cơ học bắt đầu cần được mô tả và phân
tích một cách toán học. Hiện nay lý thuyết điều khiển tiếp tục được phát
triển mạnh mẽ và được xem là một lĩnh vực khoa học có nhiều ứng dụng
trong thực tế.
Một trong các khái niệm cơ bản của lý thuyết điều khiển là tính điều
khiển được. Hệ điều khiển tuyến tính ˙x = Ax+Bu, A ∈ K
n×n
, B ∈ K
n×m
với K = R hoặc C được gọi là điều khiển được nếu cho trạng thái tùy ý
ban đầu x(0) = x
0
và trạng thái mong muốn cuối cùng x
1
thì có tồn tại
một số T > 0 và một hàm điều khiển đo được u(t) ∈ Ω ⊂ K
m
sao cho
x(T ) = x
1
. Khi đó chúng ta sẽ gọi cặp ma trận (A, B) ∈ K
n×n
× K
n×m
là điều khiển được.

Hiện nay, vấn đề đang được quan tâm là các hệ chịu ảnh hưởng của
các "nhiễu nhỏ". Sự bảo toàn các tính chất định tính của các hệ dưới
ảnh hưởng của nhiễu chẳng hạn như tính điều khiển được, tính ổn định...
được gọi là sự bền vững. Một vấn đề được đặt ra là độ lớn của nhiễu
như thế nào thì các hệ vẫn bảo toàn được các tính chất định tính của
nó. Khóa luận này sẽ trình bày và giải quyết vấn đề bảo toàn tính điều
khiển được khi xét các hệ chịu nhiễu.
Trong chương 1, tôi trình bày vấn đề điều khiển được. Đầu tiên là
iii
tính điều khiển được của hệ tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều.
Tiếp theo là tính điều khiển được của hệ tuyến tính trong không gian
vô hạn chiều và cuối cùng là tính điều khiển được của hệ với điều khiển
có ràng buộc.
Trong chương 2, tôi trình bày các kết quả. Thứ nhất là kết quả về bán
kính điều khiển được của hệ có ràng buộc với miền tham số điều khiển
chịu nhiễu. Chúng tôi đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa các nón để
từ đó xây dựng nên công thức bán kính điều khiển được. Thứ hai là kết
quả về bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính dưới nhiễu cấu trúc
của toán tử. Để giải quyết vấn đề này chúng tôi cần sử dụng lý thuyết
các toán tử tuyến tính đa trị.
Trong chương 3, tôi trình bày phần kết luận, các công trình, báo cáo
liên quan đến luận văn và tài liệu tham khảo.
iv
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính
hữu hạn chiều
Các kiến thức trong mục này được lấy từ phần I, chương 1 trong cuốn
sách "Mathematical Control Theory: An Introduction" của Jerzy Zabczyk
[1].

Bài toán điều khiển được xuất phát từ phương trình vi phân





dy
dt
= Ay(t) + Bu(t),
y(0) = x ∈ R
n
, u(t) ∈ R
m
,
(1.1)
với A : R
n
→ R
n
, B : R
m
→ R
n
là các toán tử tuyến tính, u(t) là hàm
khả tích địa phương, tức là u(t) ∈ L
1
[0, T ; R
m
] với mọi T > 0. Ta đã
biết phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất

y(t) = S(t)x +

t
0
S(t − s)Bu(s)ds,
1
ở đây S(t) = e
At
=
∞

n=0
A
n
n!
t
n
là ma trận nghiệm cơ bản.
Định nghĩa 1.1.1. Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái a
trong thời gian T > 0 nếu tồn tại điều khiển u(t) xác định trong [0, T ]
sao cho phương trình (1.1) có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b.
Quy ước: Trạng thái a đạt được từ a trong thời gian T = 0.
Định nghĩa 1.1.2. Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái a hay
trạng thái a dịch chuyển được đến trạng thái b nếu b đạt được từ a trong
thời gian T > 0 nào đó.
Định nghĩa 1.1.3. Hệ (1.1) được gọi là điều khiển được trong thời gian
T > 0 nếu b và a là hai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a trong
thời gian T.
Định nghĩa 1.1.4. Hệ (1.1) được gọi là điều khiển được nếu b và a là
hai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a.

Xét ma trận
Q
T
=

T
0
S(r)BB
∗
S
∗
(r)dr,
được gọi là ma trận điều khiển được. Dễ thấy Q
T
là ma trận đối xứng
và xác định không âm.
Bổ đề 1.1.1. Giả sử với T > 0 nào đó ma trận Q
T
không suy biến, khi
đó với mọi a, b ∈ R
n
điều khiển u(s) = −B
∗
S
∗
(T −s)Q
−1
T
(S(T )a−b), s ∈
[0, T ] dịch chuyển từ a đến b trong thời gian T, tức là với điều khiển như

trên hệ (1.1) có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b.
2
Chứng minh. Ta có
y(t) = S(t)a +

t
0
S(t − s)Bu(s)ds
= S(t)a −

t
0
S(t − s)BB
∗
S
∗
(t − s)Q
−1
T
(S(T )a − b)ds.
Dễ thấy y(0) = S(0)a = a.
y(T ) = S(T )a −


T
0
S(T − s)BB
∗
S
∗

(T − s)ds

Q
−1
T
(S(T )a − b)
= S(T )a − Q
T
Q
−1
T
(S(T )a − b)
= b.
Bổ đề 1.1.2. Nếu mọi trạng thái b ∈ R
n
đều đạt được từ 0, khi đó ma
trận Q
T
không suy biến với mọi T > 0.
Chứng minh. Xét
L
T
u =

T
0
S(r)Bu(T − r)dr.
Suy ra L
T
u = y

u
(t) trong đó y
u
(t) là nghiệm của hệ (1.1) thỏa mãn
y
u
(0) = 0. Đặt E
T
= L
T
(L
1
[0, T ; R
m
]) là không gian véc tơ con của R
n
.
Vì mọi b ∈ R
n
đều đạt được từ 0 nên ∪
T >0
E
T
= R
n
. Nếu T < T

thì
E
T

⊂ E
T

, từ đó suy ra tồn tại T
0
sao cho E
T
= R
n
,∀T ≥ T
0
. Với mọi
T > 0, v ∈ R
n
, u ∈ L
1
[0, T ; R
m
] ta có
Q
T
v, v = 


T
0
S(r)BB
∗
S
∗

(r)dr

v, v

=

T
0
B
∗
S
∗
(r)v
2
dr
L
T
u, v =

T
0
u(r), B
∗
S
∗
(T − r)vdr.
Vì thế nếu Q
T
v = 0 với v nào đó thuộc R
n

, T > 0 thì hàm B
∗
S
∗
(r)v
đồng nhất bằng 0 trong [0, T ] cho nên suy ra E
T
vuông góc với v. Do
3
hàm f(r) = B
∗
S
∗
(r)v là hàm giải tích (có thể khai triển thành chuỗi
Taylor vô hạn) và f(r) = 0 với mọi r ∈ [0, T ] cho nên f(r) phải bằng 0
với mọi r ∈ R
+
. Từ công thức biểu diễn của Q
T
suy ra Q
T
v = 0,∀T > 0,
cụ thể Q
T
0
v = 0 cho nên v vuông góc với E
T
0
= R
n

. Suy ra v = 0. Vậy
Q
T
là không suy biến với mọi T > 0.
Xét ánh xạ
l
n
: R
m
× R
m
. . . × R
m
→ R
n
,
l
n
(u
0
, . . . , u
n−1
) =
n−1

j=0
A
j
Bu
j

, u
j
∈ R
m
, j = 0, . . . , n− 1.
Bổ đề 1.1.3. Im(L
T
) = Im(l
n
) với mọi T > 0.
Chứng minh. ∀v ∈ R
n
, u ∈ L
1
[0, T ; R
m
], u
j
∈ R
m
, j = 0, 1 . . . , n − 1 ta
có:
L
T
u, v =

T
0
u(s), B
∗

S
∗
(T − s)vds,
l
n
(u
0
, . . . , u
n−1
) = u
0
, B
∗
v + . . . + u
n−1
, B
∗
(A
∗
)
n−1
v.
Xét v nào đó, giả sử l
n
(u
0
, . . . , u
n−1
), v = 0,∀u
0

, . . . , u
n−1
∈ R
m
. Suy
ra
B
∗
v = . . . = B
∗
(A
∗
)
n−1
v = 0.
Theo Định lý Caley - Hamilton (A
∗
)
n
+ a
1
(A
∗
)
n−1
+ . . . + a
n
= 0. Suy ra
(A
∗

)
n
= −
n

k=1
a
k
(A
∗
)
n−k
=
n−1

k=0
c
k
(A
∗
)
k
.
Bằng truy hồi thu được
(A
∗
)
n+l
=
n−1


k=0
c
l,k
(A
∗
)
k
, ∀l ≥ 0.
4
Từ đó suy ra B
∗
(A
∗
)
k
v = 0,∀k ≥ 0. Do đó
B
∗
S
∗
(t)v = B
∗
e
A
∗
t
v =
∞


k=0
B
∗
(A
∗
)
k
v
t
k
k!
= 0, ∀t ≥ 0.
Suy ra
L
T
u, v =

T
0
u(s), B
∗
S
∗
(T − s)vds = 0,∀u ∈ L
1
[0, T ; R
m
], ∀T > 0.
Ngược lại, giả sử L
T

u, v = 0,∀u ∈ L
1
[0, T, R
m
]. Suy ra B
∗
S
∗
(t)v = 0
với mọi t ∈ [0, T ]. Đặt f(t) = B
∗
S
∗
(t)v. Suy ra f
(n)
(0) = 0,∀n ∈ N. Suy
ra B
∗
(A
∗
)
k
v = 0,∀k ≥ 0. Do đó
l
n
(u
0
, . . . , u
n−1
), v = 0, ∀u

0
, . . . , u
n−1
∈ R
m
.
Vậy Im(L
T
)
⊥
= Im(l
n
)
⊥
, điều này tương đương với Im(L
T
) = Im(l
n
).
Cho ma trận A ∈ R
n×n
và B ∈ R
n×m
. Kí hiệu
[A|B] = [B, AB, . . . , A
n−1
B].
Định lý sau đưa ra các điều kiện tương đương cho một hệ là điều khiển
được.
Định lý 1.1.1. Các điều kiện sau là tương đương.

1. Mọi trạng thái b ∈ R
n
đạt được từ 0.
2. Hệ (1.1) là điều khiển được.
3. Hệ (1.1) là điều khiển được ở thời gian T > 0 nào đó.
4. Ma trận Q
T
là không suy biến ở T > 0 nào đó.
5. Ma trận Q
T
không suy biến với mọi T > 0.
5
6. rank[A|B] = n.
Điều kiện 6 được gọi là điều kiện hạng Kalman.
Chứng minh. Ta có
1 → 5: Áp dụng Bổ đề 1.1.2.
5 → 4: Hiển nhiên.
4 → 3: Q
T
không suy biến ở thời gian T > 0 nào đó. Áp dụng Bổ đề
1.1.1 suy ra hệ (1) là điều khiển được trong thời gian T.
3 → 2: Hiển nhiên.
2 → 1: Do hệ là điều khiển được nên mọi b ∈ R
n
đều đạt được từ 0.
3 → 6: Hệ (1.1) là điều khiển được ở thời gian T>0 nào đó. Suy ra L
T
là toàn ánh. Từ Bổ đề 1.1.3 suy ra l
n
là toàn ánh. Do đó rank[A|B] = n.

6 → 1: rank[A|B] = n. Suy ra l
n
là toàn ánh. Từ Bổ đề 1.1.3 suy ra L
T
là toàn ánh với mọi T > 0. Do đó ∀b ∈ R
n
đạt được từ 0.
Nhận xét: Định lý trên vẫn đúng khi xét hệ trong không gian phức,
tức là các ma trận A ∈ C
n×n
, B ∈ C
n×m
và điều khiển u ∈ C
m
.
Ví dụ 1.1.1. Xét phương trình vi phân:
d
n
dt
n
z + a
1
d
n−1
dt
n−1
z + . . . + a
n
z = u,
với điều kiện ban đầu z(0) = ξ

0
,
dz
dt
(0) = ξ
1
, . . . ,
d
n−1
z
dt
n−1
(0) = ξ
n−1
.
Đặt y
1
= z, y
2
=
dz
dt
, y
n
=
d
n−1
z
dt
n−1

, y = (y
1
, . . . , y
n
)
T
. Khi đó phương trình
vi phân trên được đưa về hệ phương trình vi phân cấp một:
˙y = Ay + Bu,
6
với
A =











0 1 0 . . . 0
0 0 1 . . . 0
.
.
.
.
.

.
.
.
. . . .
.
.
.
0 0 0 . . . 1
−a
n
−a
n−1
−a
n−2
. . . −a
1











, B =












0
0
.
.
.
0
1











.
Suy ra
A

j
B =

















0
.
.
.
0
1
c
1j
.
.
.

c
jj

















và rank[A|B] = rank












0 0 . . . 0 1
0 0 . . . 1 c
n−1,1
.
.
.
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
0 1 . . . c
n−3,n−2
c
n−2,n−1
1 c
11
. . . c
n−2,n−2
c
n−1,n−1












= n.
Vậy bởi điều kiện hạng Kalman phương trình vi phân tuyến tính cấp
cao với hệ số hằng là điều khiển được.
Định lý 1.1.2. (Điều kiện hạng Hautus) Hệ (1.1) là điều khiển được khi
và chỉ khi
rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈ C.
Chứng minh. Một cách tổng quát ta xét A ∈ C
n×n
, B ∈ C
n×m
. Giả sử
hệ (1.1) là điều khiển được. Khi đó bởi điều kiện hạng Kalman suy ra
BC
m
+ ABC
m
+ . . . + A
n−1
BC
m
= C
n
.

Mặt khác ta có A
k
Bu = (A− λI + λI)
k
Bu = (A− λI)v + λ
k
Bu với mọi
u ∈ C
m
. Suy ra A
k
BC
m
⊂ (A− λI)C
n
+ BC
m
với mọi k. Do đó
C
n
= BC
m
+ ABC
m
+ . . . + A
n−1
BC
m
= (A− λI)C
n

+ BC
m
,
7
điều này tương đương với rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈ C. Ngược
lại, giả sử rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈ C. Gọi λ
1
, λ
2
, . . . , λ
n
là
các nghiệm của phương trình P
n
(λ) = det[A − λI] = 0. Theo Định lý
Caley-Hamilton ta có
P (A) = (A − λ
1
I)(A − λ
2
I) . . . (A − λ
n
I) = 0.
Đặt T
k
= (A− λ
1
I)(A − λ
2
I) . . . (A − λ

k
I). Ta sẽ chứng minh bằng qui
nạp
T
k
C
n
+ BC
m
+ ABC
m
+ . . . + A
k−1
BC
m
= C
n
với mọi k.
Rõ ràng điều này đúng với k = 1 vì rank[A − λ
1
I, B] = n. Ta có
C
n
= (A− λ
k+1
I)C
n
+ BC
m
= (A− λ

k+1
I)(T
k
C
n
+ BC
m
+ ABC
m
+ . . . + A
k−1
BC
m
) + BC
m
⊂ T
k+1
C
n
+ BC
m
+ ABC
m
+ . . . + A
k
BC
m
.
Suy ra đẳng thức đúng với k + 1. Với k = n thì T
n

= 0 nên ta thu được
BC
m
+ ABC
m
+ . . . + A
n
BC
m
= C
n
Do vậy rank[A|B] = n cho nên hệ (1.1) là điều khiển được.
Ví dụ 1.1.2. Xét hệ điều khiển ˙x = Ax+Bu với A =


0 1
1 0


, B =


1
0


.
Ta có rank[A− λI, B] = rank



−λ 1 1
1 −λ 0


= 2 với mọi λ ∈ C. Vậy bởi
điều kiện hạng Hautus hệ này là điều khiển được.
8
1.2 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính
vô hạn chiều
Các kiến thức trong mục này được lấy từ phần IV, chương 1,2 trong
cuốn sách "Mathematical Control Theory: An Introduction" của Jerzy
Zabczyk [1] và bài báo "Controllability and observability in Banach space
with bounded operators" của Roberto Triggiani [10].
Trước tiên chúng tôi điểm qua sơ lược lí thuyết họ toán tử nửa nhóm và
áp dụng của nó vào hệ điều khiển phương trình vi phân tuyến tính vô
hạn chiều. Cho E là một không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.1. Họ toán tử nửa nhóm là một họ các toán tử tuyến
tính bị chặn S(t) : E −→ E, t ≥ 0 thỏa mãn
1. S(0) = I;
2. S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ≥ 0;
3. lim
t↓0
S(t)x = x, ∀x ∈ E.
Kí hiệu D(A) = {x ∈ E : ∃ lim
t↓0
S(t)x − x
t
}. Suy ra D(A) là một
không gian con của E. Xét ánh xạ tuyến tính A : D(A) −→ E, Ax =
lim

t↓0
S(t)x − x
t
. Toán tử A được xác định như vậy được gọi là toán tử
sinh của họ toán tử nửa nhóm S(t).
Ví dụ 1.2.1. A là một toán tử tuyến tính bị chặn, khi đó nó là toán tử
sinh của họ toán tử nửa nhóm
S(t) = e
At
=
∞

n=0
t
n
n!
A
n
.
9
Ví dụ 1.2.2. E = L
2
(a, b), họ toán tử nửa nhóm S(t) xác định như sau
S(t)x(ξ) =





x(t + ξ) nếu t + ξ ∈ (a, b),

0 nếu ngược lại.
Ta có D(A) = {x ∈ E : x khả vi hầu khắp nơi và
dx
dξ
∈ E}. Suy ra toán
tử sinh của họ này là A : D(A) −→ E, Ax =
dx
dξ
.
Bởi lý thuyết họ toán tử nửa nhóm chúng ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2.1. Cho {S(t)}
t≥0
là một họ toán tử nửa nhóm. Khi đó
1. ∀T > 0,∃M : S(t) ≤ M, ∀t ∈ [0, T ].
2. Nếu x ∈ D(A) thì S(t)x ∈ D(A) và
d
dt
S(t)x = AS(t)x = S(t)Ax.
3. D(A) = E hay D(A) trù mật trong E.
Bây giờ xét hệ điều khiển tuyến tính





˙y = Ay + Bu,
y(0) = a, u ∈ U,
(1.2)
ở đây A là toán tử sinh của họ toán tử nửa nhóm S(t) : E → E, B là
toán tử tuyến tính bị chặn từ U → E với E là một không gian Hilbert

và U là không gian Hilbert tách được của miền tham số điều khiển.
Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm mạnh của hệ (1.2) trên [0, T ] là hàm liên
tục y : [0, T ] → E thỏa mãn
1. y(0) = x, y(t) ∈ D(A), ∀t ∈ [0, T ];
2. y khả vi và
dy
dt
(t) = Ay(t) + Bu(t), ∀t ∈ [0, T ].
10
Định lý 1.2.1. Nếu u(t) là hàm liên tục trên [0, T ], x ∈ D(A) và y(t)
là nghiệm mạnh của (1.2) thỏa mãn y(0) = x thì nó phải có dạng
y(t) = S(t)x +

t
0
S(t − s)Bu(s)ds, ∀t ∈ [0, T ].
Chứng minh. Cố định t > 0 và s ∈ (0, t), theo Mệnh đề 1.1 ta có
d
ds
S(t − s)y(s) = −AS(t − s)y(s) + S(t − s)
d
ds
y(s)
= −S(t − s)Ay(s) + S(t − s)[Ay(s) + Bu(s)]
= S(t − s)Bu(s).
Vì u(s) liên tục nên lấy tích phân từ 0 tới t ta được
y(t) − S(t)y(0) =

t
0

S(t − s)Bu(s)ds.
Suy ra
y(t) = S(t)x +

t
0
S(t − s)Bu(s)ds.
Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm y(t) = S(t)x+

t
0
S(t−s)Bu(s)ds, t ∈ [0, T ]
được gọi là nghiệm yếu của hệ (1.2) tương ứng với điều khiển u(s) ∈
L
2
[0, T ; U].
Với giả thiết u(s) ∈ C
1
[0, T ; U] ta có thể chứng minh được nghiệm yếu
y(t) cũng là nghiệm mạnh. Vì mỗi hàm u(s) ∈ L
2
[0, T ; U] là giới hạn
theo chuẩn L
2
của dãy hàm u
n
(s) ∈ C
1
[0, T ; U] và mỗi x ∈ E là giới
hạn của dãy x

n
∈ D(A) suy ra mỗi nghiệm yếu là giới hạn đều của các
nghiệm mạnh. Do đó chúng ta chỉ cần xét tính điều khiển được trên
nghiệm yếu.
11
Phần tiếp theo chúng tôi trình bày một số định lý cần sử dụng để
nghiên cứu tính điều khiển được của hệ điều khiển phương trình vi
phân tuyến tính vô hạn chiều. Cho X, Y, Z là các không gian Bannach,
F : X → Z, G : Y → Z là các toán tử tuyến tính bị chặn.
Định lý 1.2.2. Hai điều kiện sau là tương đương
1. Im(F ) ⊂ Im(G);
2. ker(F
∗
) ⊃ ker(G
∗
).
Chứng minh. Giả sử 1 đúng. Xét f ∈ Z
∗
thỏa mãn G
∗
(f) = 0. Do đó
f(G(y)) = G
∗
(f)(y) = 0, ∀y ∈ Y.
Suy ra f = 0 trên Im(G) và f = 0 trên Im(G) ⊃ Im(F ). Do vậy
f ∈ ker(F
∗
). Giả sử 2 đúng nhưng 1 sai. Lấy z
0
∈ Im(F)\ Im(G). Theo

định lí Hahn-Banach tồn tại f ∈ Z
∗
thỏa mãn
f(z
0
) = 0 và f(z) = 0 với mọi z ∈ Im G.
Cho nên f ∈ ker(G
∗
). Vì z
0
∈ Im(F ) nên ∃(x
n
) ∈ X : F (x
n
) → z
0
.
Suy ra f(F (x
n
)) → f(z
0
) = 0. Do đó tồn tại N để với mọi n ≥ N thì
F
∗
(f)(x
n
) = f(F (x
n
)) = 0. Do vậy f /∈ ker(F
∗

) (mâu thuẫn với 2).
Bổ đề 1.2.1. Các điều kiện sau là tương đương
1. Im(F ) ⊂ Im(G);
2. ∃c > 0 sao cho {F (x) : x ≤ 1} ⊂ {Gy : y ≤ c}.
Chứng minh. 2 ⇒ 1. Lấy z ∈ Im(F ), z = 0. Do đó z = F (x) với x = 0
nào đó thuộc X. Vì 
x
x
 = 1 nên ∃y : y ≤ c và F (
x
x
) = G(y). Suy
12
ra

z
x
 = F (
x
x
) = G(y).
Do vậy z = G(yx) ∈ Im(G). Bây giờ ta chứng minh 1 ⇒ 2. Nếu
ker(G) = 0 thì toán tử G
−1
F : X → Y được định nghĩa tốt. Đầu tiên,
chúng ta chứng minh đồ thị (x, G
−1
F (x)), x ∈ X là đồ thị đóng. Thật
vậy, giả sử (x
n

, G
−1
F (x
n
)) tiến đến (x, y) khi n tiến ra vô cùng. Ta có
x
n
→ x ⇒ F(x
n
) → F (x), G
−1
F (x
n
) → y ⇒ F (x
n
) → G(y).
Do đó F (x) = G(y). Suy ra y = G
−1
F (x). Vậy đồ thị (x, G
−1
F x), x ∈ X
là đồ thị đóng. Theo định lí đồ thị đóng suy ra G
−1
F là toán tử tuyến
tính liên tục. Do vậy tồn tại c > 0 sao cho G
−1
F (x) ≤ c,∀x : x ≤ 1.
Suy ra
{F (x) : x ≤ 1} ⊂ {G(y) : y ≤ c}.
Nếu ker(G) = 0. Xét không gian thương [Y ] = Y/ ker(G). Trong [Y ] xác

định chuẩn
[y] = inf{y + u : u ∈ ker(G)}, ∀[y] ∈ [Y ].
Dễ chứng minh không gian thương [Y ] với chuẩn như trên trở thành một
không gian Banach. Toán tử [G] : [Y ] −→ Z, [G]([y]) = G(y) là toán tử
tuyến tính liên tục. Vì Im(G) bằng Im([G]) nên Im(F ) ⊂ Im([G]). Mặt
khác ker([G]) = [0] nên áp dụng phần trên ta có
{F (x) : x ≤ 1} ⊂ {[G]([y]) : [y] ≤ c}
⊂ {G(y + u) : y ∈ Y, u ∈ ker(G),y + u ≤ c + 1}.
Do vậy {F (x) : x ≤ 1} ⊂ {G(y) : y ≤ c + 1}.
Kết quả sau đã được biết đến trong giải tích lồi.
13
Định lý 1.2.3. (Hệ quả của định lý tách các tập lồi)
Cho M là tập con lồi của E, x
0
/∈ M. Khi đó tồn tại σ > 0, ϕ thuộc
E
∗
, ϕ = 0 sao cho
ϕ(x) + σ ≤ ϕ(x
0
), ∀x ∈ M.
Bổ đề 1.2.2. Hai điều kiện sau là tương đương
1. Tồn tại c > 0 sao cho F
∗
(f) ≤ cG
∗
(f),∀f ∈ Z
∗
;
2. Tồn tại c > 0 sao cho {F (x) : x ≤ 1} ⊂ {G(y) : y ≤ c}.

Chứng minh. 2 ⇒ 1.
F
∗
(f) = sup{|f(F (x))| : x ≤ 1} ≤ sup{f(z) : z ∈ {G(y) : y ≤ c}}
= sup{f(G(y)) : y ≤ c} = cG
∗
(f), ∀f ∈ Z
∗
.
1 ⇒ 2. Giả sử tồn tại F (x
0
) ∈ {F (x) : x ≤ 1}\{G(y) : y ≤ c} (trong
đó x
0
 ≤ 1 và c là hằng số thỏa mãn: F
∗
(f) ≤ cG
∗
(f),∀f ∈ Z
∗
.
Từ Định lý 1.2.3 ta có ∃f ∈ Z
∗
, f = 0, σ > 0 sao cho
f(G(y)) + σ ≤ f(F (x
0
)), ∀y : y ≤ c.
Vì thế
cG
∗

(f) = sup{f(G(y)) : y ≤ c}
≤ f(F (x
0
)) − σ < f(F (x
0
)) ≤ F
∗
(f) (mâu thuẫn).
Kết quả sau đã được biết đến trong giải tích hàm.
Định lý 1.2.4. Cho H là một không gian Hilbert tách được và Φ : H →
H là toán tử tuyến tính bị chặn. Khi đó tập {Φ(y) : y ≤ c} là tập
đóng.
14
Định lý 1.2.5. Nếu Y là không gian Hilbert tách được thì Im(F ) ⊂
Im(G) tương đương với
∃c > 0 : F
∗
(f) ≤ cG
∗
(f), ∀f ∈ Z
∗
.
Chứng minh. Chứng minh của định lý được suy ra từ Bổ đề 1.2.1, Bổ đề
1.2.2 và Định lý 1.2.4.
Sau đây, chúng tôi trình bày tính điều khiển được của hệ điều khiển
phương trình vi phân tuyến tính vô hạn chiều với miền tham số điều
khiển không có ràng buộc. Cho X, Z là các không gian Hilbert, F :
X → Z là toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó X
0
= ker(F ) là không

gian con đóng của X. Kí hiệu X
1
là phần bù trực giao của X
0
,
X
1
= {x ∈ X : x, y = 0,∀y ∈ X
0
}.
Ta có X
1
là không gian con đóng và hạn chế F
1
của F trên X
1
là đơn
ánh. Hơn nữa Im(F
1
) = Im(F ). Từ đó ta định nghĩa toán tử
F
−1
: Im(F) −→ Y, F
−1
(z) = F
−1
1
(z), ∀z ∈ Im(F ).
F
−1

gọi là toán tử giả ngược của F , nó tuyến tính và đóng nhưng trong
trường hợp tổng quát không liên tục. Xét hệ điều khiển tuyến tính vô
hạn chiều





˙y = Ay + Bu,
y(0) = x ∈ E, u ∈ U.
(1.3)
Trong đó E và U là các không gian Hilbert, A là toán tử sinh của họ
toán tử nửa nhóm S(t), t ≥ 0 từ E vào E, B là toán tử tuyến tính bị
chặn từ U vào E. Vì E là không gian Hilbert nên họ S
∗
(t), t ≥ 0 là họ
15
toán tử nửa nhóm được sinh bởi toán tử A
∗
. Với T > 0, toán tử sau gọi
là toán tử điều khiển được
Q
T
x =

T
0
S(r)BB
∗
S

∗
(r)xdr.
Q
T
được xác định vì f(r) = S(r)BB
∗
S
∗
(r)x liên tục. Hơn nữa S(r), S
∗
(r)
bị chặn trong [0, T ] nên Q
T
là toán tử tuyến tính liên tục. Với mọi
x, y ∈ E ta có
Q
T
x, x =

T
0
|B
∗
S
∗
(r)x|
2
dr ≥ 0,
Q
T

x, y =

T
0
S(r)BB
∗
S
∗
(r)x, ydr
=

T
0
x, S(r)BB
∗
S
∗
(r)ydr = x, Q
T
y.
Suy ra Q
T
là toán toán tử đối xứng xác định không âm. Do vậy tồn tại
duy nhất Q
1/2
T
đối xứng xác định không âm sao cho (Q
1/2
T
)

2
= Q
T
. Vì E
là không gian Hilbert nên ta định nghĩa được toán tử giả ngược (Q
T
)
−1
và Q
−1/2
T
= (Q
1/2
T
)
−1
. Công thức nghiệm của hệ (1.3) là
y(t) = S(t)a +

t
0
S(t − s)Bu(s)ds.
Với T > 0, đặt
L
T
u =

T
0
S(T − s)Bu(s)ds.

Ta có L
T
u là toán tử tuyến tính liên tục từ L
2
[0, T ; U] vào E.
Định lý 1.2.6. Giả sử E và U là các không gian Hilbert tách được. Khi
đó
1. Trạng thái b đạt được từ trạng thái a trong thời gian T > 0 khi và
chỉ khi S(T )a − b ∈ Im(Q
1/2
T
).
16
2. Nếu S(T )a − b ∈ Im(Q
T
) thì điều khiển
u(s) = −B
∗
S
∗
(T − s)Q
−1
T
(S(T )a − b)
dịch chuyển từ trạng thái a đến trạng thái b trong thời gian T > 0.
Chứng minh. 1. Trạng thái b đạt được từ trạng thái a trong thời gian
T > 0 tương đương tồn tại điều khiển u ∈ L
2
[0, T ; U] để b = S(T )a+L
T

u
hay S(T )a−b ∈ Im(L
T
). Vì vậy ta phải chứng minh Im(L
T
) = Im(Q
1/2
T
).
Lấy x ∈ E, u ∈ L
2
[0, T ; U], ta có
u, L
∗
T
x
L
2
= L
T
u, x =

T
0
S(T − s)Bu(s), xds
=

T
0
u(s), B

∗
S
∗
(T − s) = u, B
∗
S
∗
(T − s)x
L
2
.
Suy ra L
∗
T
x = B
∗
S
∗
(T − s)x và
L
∗
T
x
2
=

T
0
|B
∗

S
∗
(T − s)x|
2
ds = Q
T
x, x = Q
1/2
T
x
2
= (Q
1/2
T
)
∗
x
2
.
Do đó |L
∗
T
x = (Q
1/2
T
)
∗
x,∀x ∈ E. Vì E và L
2
[0, T ; U] là các không

gian Hilbert tách được nên từ định lí 1.2.5 suy ra Im(L
T
) = Im(Q
1/2
T
).
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh 2. Ta có
L
T
L
∗
T
x = L
T
(B
∗
S
∗
(T − s)x) =

T
0
S(T − s)BB
∗
S
∗
(T − s)xds
=

T

0
S(s)BB
∗
S
∗
(s)xds = Q
T
x.
(1.4)
Đặt y = b − S(T )a, u = L
−1
T
y, z = Q
−1/2
T
y. Ta thấy y ∈ Im(Q
T
) ⊂
Im(Q
T
)
1/2
= Im(L
T
) và Q
−1/2
T
z = Q
−1
T

y. Từ (1.4) suy ra L
T
L
∗
T
Q
−1/2
T
z =
Q
1/2
T
z = y. Hơn nữa, nếu L
T
v = 0, v ∈ L
2
[0, T ; U] thì
L
∗
T
Q
−1/2
T
z, v
L
2
= Q
−1/2
T
z, L

T
v = 0.
17
Suy ra L
∗
T
Q
−1/2
T
z thuộc phần bù trực giao của ker(L
T
). Theo định nghĩa
của toán tử giả ngược suy ra L
−1
T
y = L
∗
T
Q
−1/2
T
z. Vì vậy điều khiển
u(s) = L
−1
T
y = L
∗
T
Q
−1/2

T
z = L
∗
T
Q
−1
T
y = −B
∗
S
∗
(T − s)Q
−1
T
(S(T )a − b)
dịch chuyển từ trạng thái a đến trạng thái b trong thời gian T > 0. Định
lý hoàn toàn được chứng minh.
Kí hiệu R
T
(a) là tập hợp tất cả các trạng thái đạt được từ a trong thời
gian T ≥ 0. Ta có R
T
(a) = S(T )a + Im(L
T
).
Định nghĩa 1.2.4. Hệ (1.3) được gọi là điều khiển được chính xác ở a
trong thời gian T > 0 nếu R
T
(a) = E.
Định nghĩa 1.2.5. Hệ (1.3) được gọi là điều khiển được xấp xỉ ở a trong

thời gian T > 0 nếu R
T
(a) = E.
Định nghĩa 1.2.6. Hệ (1.3) được gọi là điều khiển được về không trong
thời gian T > 0 nếu một trạng thái tùy ý có thể dịch chuyển đến 0 trong
thời gian T > 0.
Nhận xét: Điều khiển được về 0 tương đương với Im(S(T )) ⊂ Im(L
T
).
Trong các định lý sau vẫn giả thiết là E và U là các không gian Hilbert
tách được.
Định lý 1.2.7. Các điều kiện sau là tương đương.
1. Hệ (1.3) là điều khiển được chính xác ở một trạng thái tùy ý trong
thời gian T > 0.
2. Có tồn tại c > 0 sao cho

T
0
|B
∗
S
∗
(t)x|
2
dt ≥ cx
2
, ∀x ∈ E.
18
3. Im(Q
1/2

T
) = E.
Chứng minh. 1 ⇒ 2. Hệ (1.3) điều khiển được chính xác ở một trạng
thái tùy ý trong thời gian T > 0, cụ thể nó điều khiển được chính xác ở
0. Vì thế
Im(L
T
) = R
T
(0) = E.
Ta có L
2
[0, T ; U] là không gian Hilbert tách được (vì U tách được) nên
áp dụng Định lý 1.2.5 cho ánh xạ G = L
T
và F = I ta thu được 2.
Tiếp đến ta sẽ chứng minh 2 ⇒ 3. Với ánh xạ F, G như trên, vẫn áp
dụng Định lý 1.2.5 suy ra Im(L
T
) = E. Từ chứng minh phần 1 của Định
lý 1.2.6 ta có Im(L
T
) = Im(Q
1/2
T
). Do đó Im(Q
1/2
T
) = E. Cuối cùng ta
chứng minh 3 ⇒ 1. Ta có Im(L

T
) = Im(Q
1/2
T
) = E nên suy ra
R
T
(a) = S(T )a + Im(L
T
) = E, ∀a ∈ E.
Do vậy hệ (2) là điều khiển được chính xác ở một trạng thái tùy ý trong
thời gian T > 0.
Định lý 1.2.8. Các điều kiện sau là tương đương.
1. Hệ (1.3) là điều khiển được xấp xỉ trong thời gian T > 0 ở một trạng
thái tùy ý.
2. Nếu B
∗
S
∗
(t)x = 0 (h.k.n.) trong [0, T ] thì x = 0.
3. Im(Q
1/2
T
) trù mật trong E.
Chứng minh. Nhận xét: Tập R
T
(a) trù mật trong E tương đương với
Im(L
T
) trù mật trong E, hàm B

∗
S
∗
(t)x = 0 (h.k.n) trong [0, T ] tương
đương với B
∗
S
∗
(t)x
L
2
= 0. Do đó, áp dụng Định lý 1.2.2 với F = I
và G = L
T
ta có 1 ⇔ 2. Từ chứng minh phần 1 của Định lý 1.2.6 ta có
Im(L
T
) = Im(Q
1/2
T
). Do vậy 1 ⇔ 3.
19
Định lý 1.2.9. Các điều kiện sau là tương đương.
1. Hệ (1.3) là điều khiển được về không trong thời gian T > 0.
2. Có tồn tại c > 0 sao cho :

T
0
|B
∗

S
∗
(t)x|
2
dt ≥ c|S
∗
(T )x|, ∀x ∈ E.
3. Im(Q
1/2
T
) ⊃ Im(S(T )).
Chứng minh. Hệ (1.3) là điều khiển được về không trong gian T > 0
tương đương với Im(L
T
) ⊃ Im(S(T )). Áp dụng Định lý 1.2.5 cho ánh xạ
F = S(T ) và G = L
T
ta có 1 ⇔ 2. Vì Im(L
T
) = Im(Q
1/2
T
) nên 1 ⇔ 3.
Ví dụ 1.2.3. Xét hệ điều khiển có dạng: ˙y = Ay + u, y(0) = a, ở đây
A là toán tử tự liên hợp của không gian Hilbert tách được H và tồn tại
một cơ sở trực chuẩn e
n
của H sao cho A(e
n
) = λ

n
e
n
,∀n ∈ N.
Giả sử tồn tại α sao cho λ
n
≤ α,∀n ∈ N. Khi đó A là toán tử sinh của
họ toán tử nửa nhóm S(t) xác định bởi
S(t)(x) =
∞

n=0
e
λ
n
t
x, e
n
e
n
, ∀x ∈ H.
Ta có
Q
T
x =

T
0
S(2t)xdt =
+∞


n=0

T
0
e
2λ
n
t
x, e
n
e
n
dt
=
∞

n=0
e
2λ
n
T
− 1
2λ
n
x, e
n
e
n
, ∀x ∈ H.

Do đó
Q
1/2
T
x =
∞

n=0

e
2λ
n
T
− 1
2λ
n

1/2
x, e
n
e
n
,
với quy ước
e
2λ
n
T
− 1
2λ

n
= T nếu λ
n
= 0. Ta xét hai trường hợp
20
1. A là toán tử bị chặn. Suy ra tồn tại β sao cho : λ
n
≥ β,∀n ∈ N. Do
vậy tồn tại M
1
> 0 và M
2
> 0 sao cho M
1
<
e
2λ
n
T
− 1
2λ
n
< M
2
,∀n ∈ N.
Từ điều này suy ra Im(Q
T
)
1/2
= H nên hệ điều khiển được chính

xác.
2. A không bị chặn. Giả sử lim
n→∞
λ
n
= −∞. Suy ra |e
2λ
n
T
− 1| → 1 khi
n → ∞. Vì thế Im(Q
1/2
T
) =

b ∈ H :
∞

n=0
|λ
n
b, e
n
|
2
< ∞

. Do vậy
hệ không điều khiển được chính xác nhưng điều khiển được xấp xỉ.
Phần cuối của mục này, chúng tôi trình bày vấn đề mở rộng điều kiện

hạng Kalman cho hệ điều khiển tuyến tính trong không gian Banach.
Xét hệ điều khiển





˙x = Ax + Bu,
x(0) = a ∈ X, u ∈ U,
(1.5)
ở đây A : X → X, B : U → X là các toán tử tuyến tính bị chặn,
X và U là các không gian Bannach, u ≡ u(t) là điều khiển thuộc
L
1
[0, T ; U],∀T > 0. Nếu X = R
n
, U = R
m
thì điều kiện hạng Kalman
để hệ (1.5) điều khiển được là
rank[A|B] = rank[B, AB, . . . , A
n−1
B] = n,
hoặc tương đương với span{BU, ABU, . . . , A
n−1
BU} = X. Trong trường
hợp tổng quát, X và U là các không gian Banach, chúng ta có định lý
sau
Định lý 1.2.10. Hệ (1.5) là điều khiển được xấp xỉ trong [0, T ] khi và
chỉ khi

span{A
n
BU, n ≥ 0} = X.
21