Chuyên đề số phức toàn tập
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (903.93 KB, 32 trang )
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
1
-
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
2
-
Lời nói ñầu
Kể từ năm học 2009 kiến thức về số phức ñược ñưa vào chương trình toán 12 như một phần
không thể thiếu trong những ñề thi ðại học – Cao ñẳng- Tốt nghiệp hàng năm. Bởi ñộ phức tạp của
các bài toán ñược nâng dần từ năm ñầu tiên ñưa vào học tập nên chúng tôi quyết ñịnh hệ thống lại
kiến thức về số phức trong chương trình ñể góp một phần trong việc ôn luyện của các em cũng như
tham khảo của quý thầy cô.
Trong tài liệu này, chúng tôi ñã không sắp xếp theo trình tự bài dạy trong sách giáo khoa mà
sắp xếp theo trình tự của kiến thức của số phức. Mỗi kiến thức ñược chia thành các mãn về phương
pháp học cũng như phương pháp dạy học ñược thuận tiện nhất có thể. Những dạng toán ñều có
phương pháp giải, các ví dụ mẫu và ñi kèm với nó là các bài tập vận dụng tương tự.
Ngoài phần lý thuyết, phần phương pháp giải toán chúng tôi ñã chia thành những chủ ñề dạng
toán sau:
Chủ ñề 1: + Tìm số phức
+ Tính giá trị biểu thức số phức
+ Tìm phần thực, phần ảo của số phức
+ Rút gọn biểu thức
Chủ ñề 2: Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức
Chủ ñề 3 : + Tìm tập hợp ñiểm trong mặt phẳng phức
+ Biểu diễn tập hợp ñiểm lên mặt phẳng phức
Chủ ñề 4 : Chứng minh ñẳng thức số phức
Chủ ñề 5: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực
Chủ ñề 6: ðịnh lý Vi-ét cho phương trình bậc hai trên tập số phức
Chủ ñề 7: Căn bậc hai của số phức
Chủ ñề 8: Giải phương trình bậc hai với hệ số phức
Chủ ñề 9: Dạng lượng giác của số phức và các ứng dụng
Chủ ñề 10: Trích từ các ñề thi tuyển sinh những năm gần ñây
ðể thực hiện ñược tốt hơn trong việc tiếp thu kiến thức về số phức. Tác giả khuyên bạn nên
ñọc và tham khảo những phần phương pháp cũng như bài tập mẫu của tài liệu, sau ñó bạn ñọc tự
mình thực hiện những bài tập tự luyện dưới dạng tương tự ñể nâng cao kỹ năng giải toán của mình
ñược tốt hơn.
Một phần không thể thiếu ở trong chương trình ôn luyện môn toán là trích các bài toán liên
quan ñến số phức từ các ñề thi liên quan của các ñề thi tuyển sinh ñại học và cao ñẳng hàng năm.
Phần này giúp cho chúng ta có thể hình dung ñược cách ra ñề cũng như phương pháp học phần số
phức này như thế nào. Tất nhiên theo nhận xét chủ quan của chúng tôi, các phần chúng tôi ñã giới
thiệu trong phương pháp nó chưa chắc ñã xuất hiện vào những năm ñã qua nhưng cũng rất có thể xuất
hiện vào những năm sắp ñến. Ngoài ra, những câu thi của những ñề thi chúng tôi giới thiệu ñầy ñủ và
có hướng dẫn giải ở trong phương pháp giải toán.
Tài liệu này dùng ñể giảng dạy chính của các giáo viên dạy luyện thi và các em học sinh
luyện thi ñại học. Do ñó, nó ñược cập nhật theo thời gian và cũng ñang cố gắng hoàn thiện dần về nội
dung và mẫu mã. Vì vậy, chúng tôi sẽ cố gắng khắc phục những lỗi có ở trong tài liệu như một việc
làm cập nhật thường xuyên ñể tài liệu ñược hoàn thiện dần. Cũng chính vì lý do ñó, tài liệu còn nhiều
nơi thiếu sót mong quý ñộc giả ñóng góp ý kiến. Chúng tôi xin chân thành cám ơn sự ñóng góp ñó
như một phần ñóng góp của quý ñộc giả vào công cuộc giáo dục cho nước nhà.
Tài liệu ñược hoàn thiệu trên cơ sở của sự giảng dạy nhiều năm kinh nghiệm của thầy
Nguyễn Quốc Tuấn và website Xuctu.com. Nên tất cả quý vị ñộc giả và các em học sinh còn chưa
hiểu bất cứ ñiều gì. Nên truy cập vào Xuctu.com ñể xem những Video Tutorial bài giảng trực tiếp của
thầy Nguyễn Quốc Tuấn
Huế,tháng 4-2013
Các tác giả
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
3
-
Chương IV : Số phức
A : Lý thuyết
1. ðịnh nghĩa về số phức :
Số phức z có dạng
z a bi
= +
Trong ñó
;a b
∈ℜ
a : ñược gọi là phần thực của số phức
b. ñược gọi là phần ảo của số phức với i
2
= -1
Tập hợp các số phức ñược ký hiệu là C
Như vậy tập số thực là tập số phức khi phần ảo bằng không hay nói cách khác tập hợp
các số thực là tập hợp con của tập số phức.
2. Hai số phức bằng nhau
Cho hai số phức
1 1 1
z a bi
= +
và
2 2 2
z a b i
= +
Hai số phức bằng nhau khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau
Ta có công thức
1 2
1 2
1 2
a a
z z
b b
=
= ⇔
=
3. Biểu diễn số phức lên mặt phẳng toạ ñộ .
Cho số phức
z a bi
= +
. ðiểm M(a,b)
trên mặt phẳng toạ ñộ ñược gọi là ñiểm
biểu diễn của số phức lên mặt phẳng
toạ ñộ .
Trong ñó trục ox ñược gọi là trục thực
(Re(z)), và trục oy ñược gọi là trục ảo
(Im(z))
4. Môñun(ñộ dài) của số phức
Cho số phức
z a bi
= +
. Môñun của số phức
z a bi
= +
ñược ký hiệu là
z
tương ứng
với Môñun của vector
OM
với M(a,b) là ñiểm biểu diễn của số phức
z a bi
= +
lên
mặt phẳng toạ ñộ. Khi ñó
2 2
z OM a b
= = +
5. Số phức liên hợp
Cho số phức
z a bi
= +
Số phức liên hợp của số phức
z a bi
= +
ñược ký hiệu là
z
và
z a bi
= −
6. Các phép toán trên tập số phức
Cho hai số phức
1 1 1
z a bi
= +
,
2 2 2
z a b i
= +
. Khi ñó các phép toán trên tập số phức ñược
ñịnh nghĩa như sau :
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
4
-
a) Phép cộng trên tập số phức
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i
+ = + + +
b) Phép trừ hai số phức
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i
− = − + −
c) Phép nhân hai số phức
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
.
z z a a bb a b a b i
= − + −
d) Phép chia hai số phức
Với
2
0
z
≠
(
)
(
)
2 2
1 1
1 1 2
2
2 2
2 2 2
2
.
a bi a b i
z z z
z a b
z
+ −
= =
+
B. Phương pháp giải toán
Chủ ñề 1: + Tìm số phức
+ Tính giá trị biểu thức số phức
+ Tìm phần thực, phần ảo của số phức
+ Rút gọn biểu thức
Phương pháp :
* Hai số phức bằng nhau
Cho hai số phức
1 1 1
z a bi
= +
và
2 2 2
z a b i
= +
Hai số phức bằng nhau khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau
Ta có công thức
1 2
1 2
1 2
a a
z z
b b
=
= ⇔
=
* Số phức liên hợp
Cho số phức
z a bi
= +
Số phức liên hợp của số phức
z a bi
= +
ñược ký hiệu là
z
và
z a bi
= −
* Các phép toán trên tập số phức
Cho hai số phức
1 1 1
z a bi
= +
;
2 2 2
z a b i
= +
Khi ñó các phép toán trên tập số phức ñược ñịnh nghĩa như sau
a) Phép cộng trên tập số phức
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i
+ = + + +
b) Phép trừ hai số phức
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
z z a a b b i
− = − + −
c) Phép nhân hai số phức
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
.
z z a a bb a b a b i
= − + −
d) Phép chia hai số phức
Với
2
0
z
≠
(
)
(
)
2 2
1 1
1 1 2
2
2 2
2 2 2
2
.
a bi a b i
z z z
z a b
z
+ −
= =
+
Bài tập 1:Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau
a.
(
)
(
)
3 5 2 4
z i i
= − + +
b.
(
)
(
)
2 3 5 4
z i i
= − − −
c.
(
)
(
)
3 2 2 3
z i i
= − −
d.
(
)
2 5 4
z i i
= − −
e.
( )
2
2 3
z i
= +
f.
( )
3
2 3
z i
= +
g.
(
)
2
2 3
z i
= −
h.
3
1 3
2 2
z i
= −
i.
( ) ( )
2 2
2 2
z i i
= − − +
i.
( ) ( )
2 2
2 2
z i i
= − − +
Hướng dẫn giải
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
5
-
a.
(
)
(
)
3 5 2 4
z i i
= − + +
Ta có
(
)
(
)
(
)
3 5 2 4 3 2 ( 5 4)
5
z i i z i
z i
= − + + ⇔ = + + − +
⇔ = −
Vậy
Phần thực của số phức
(
)
(
)
3 5 2 4
z i i
= − + +
là 5;
Phần ảo của số phức
(
)
(
)
3 5 2 4
z i i
= − + +
là -1
b.
(
)
(
)
2 3 5 4
z i i
= − − −
Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2 3 5 4 2 5 3 4
3
z i i z i
z i
= − − − ⇔ = − − −
⇔ = − +
Vậy
Phần thực của số phức
(
)
(
)
2 3 5 4
z i i
= − − −
là -3;
Phần ảo của số phức
(
)
(
)
2 3 5 4
z i i
= − − −
là 1;
c.
(
)
(
)
3 2 2 3
z i i
= − −
Ta có
(
)
(
)
( )
2
3 2 2 3 6 9 4 6
6 6 9 4 13
z i i z i i i
z i z i
= − − ⇔ = − − +
⇔ = − − + ⇔ = −
Vậy
Phần thực của số phức
(
)
(
)
3 2 2 3
z i i
= − −
là 0;
Phần ảo của số phức
(
)
(
)
3 2 2 3
z i i
= − −
là -13;
d.
(
)
2 5 4
z i i
= − −
Ta có
(
)
2
2 5 4 8 20 20 8
z i i z i i z i
= − − ⇔ = − − ⇔ = −
Vậy
Phần thực của số phức
(
)
2 5 4
z i i
= − −
là 20;
Phần ảo của số phức
(
)
2 5 4
z i i
= − −
là -8;
e.
( )
2
2 3
z i
= +
Ta có
(
)
2
2
2 3 4 12 9
4 9 12 5 12
z i z i i
z i z i
= + ⇔ = + +
⇔ = − + ⇔ = − +
Vậy
Phần thực của số phức
( )
2
2 3
z i
= +
là -5;
Phần ảo của số phức
( )
2
2 3
z i
= +
là 12;
f.
( )
3
2 3
z i
= +
Ta có
(
)
(
)
(
)
3 2 3
3 2
2 3 2 3.2 .3 3.2. 3 3
8 36 54 27 46 9
z i z i i i
z i i z i
= + ⇔ = + + +
⇔ = + − − ⇔ = − +
Vậy
Phần thực của số phức
( )
3
2 3
z i
= +
là -46;
Phần ảo của số phức
( )
3
2 3
z i
= +
là 9;
g.
(
)
2
2 3
z i
= −
Ta có
(
)
2
2
2 3 2 2 6 3 1 2 6
z i z i i z i
= − ⇔ = − + ⇔ = − −
Vậy
Phần thực của số phức
(
)
2
2 3
z i
= −
là -1;
Phần ảo của số phức
(
)
2
2 3
z i
= −
là
2 6
−
;
h.
3
1 3
2 2
z i
= −
Ta có
3
2 3
1 3
2 2
1 1 3 1 3 3 3
3. . 3. .
8 4 2 2 4 8
1 3 3 9 3 3
1
8 8 8 8
z i
z i i i
z i i z
= +
⇔ = + + +
⇔ = + − − ⇔ = −
Vậy
Phần thực của số phức
3
1 3
2 2
z i
= −
là -1;
Phần ảo của số phức
3
1 3
2 2
z i
= −
là 0;
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
6
-
i.
( ) ( )
2 2
2 2
z i i
= − − +
Ta có:
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
2 2
4 2 4 2 4
z i i
z i i i i z i
= − − +
⇔ = − + − + + ⇔ = −
Vậy
Phần thực của số phức
( ) ( )
2 2
2 2
z i i
= − − +
là 0;
Phần ảo của số phức
( ) ( )
2 2
2 2
z i i
= − − +
là -4;
k.
(
)
(
)
(
)
2 4 3 5 7 4 3
z i i i
= + − + −
Ta có :
(
)
(
)
(
)
2
2 4 3 5 7 4 3
6 10 12 20 28 21 52 19
z i i i
z i i i i z i
= + − + −
⇔ = − + − + − ⇔ = −
Vậy
Phần thực của số phức
(
)
(
)
(
)
2 4 3 5 7 4 3
z i i i
= + − + −
là
0;
Phần ảo của số
phức
(
)
(
)
(
)
2 4 3 5 7 4 3
z i i i
= + − + −
là -4;
Bài tập 2:Tìm các số thực x,y sao cho
a.
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2 1 1 5
x y i x y i
− + + = + − −
b.
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 3 2 1
x y y x i x y y x i
+ + − = − + + + +
c.
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
x y x y i x y x y i
+ + − = + + +
d.
(
)
(
)
(
)
(
)
2 3 1 3 2 2 4 3
x y x y i x y x y i
+ + + − + = − + + − −
Hướng dẫn giải
a.
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2 1 1 5
x y i x y i
− + + = + − −
Ta có hai số phức bằng nhau khi phần
thực bằng phần thực và phần ảo bằng
phần ảo.
Do ñó ta có
3 2 1
2 1 5
x x
y y
− = +
+ = − +
Giải hệ phương trình này ta có
3
2
4
3
x
y
=
=
Vậy hai số thực cần tìm là
3 4
;
2 3
x y
= =
b.
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 3 2 1
x y y x i x y y x i
+ + − = − + + + +
Ta có hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng
phần thực và phần ảo bằng phần ảo.
Do ñó ta có:
3
-2 2 3 3 3
4
2 2 1 3 1 5
4
x
x y x y x y
y x y x x y
y
= −
+ = − + + =
⇔ ⇔
− = + + − − =
=
Vậy hai số thực cần tìm là
3 5
;
4 4
x y
= − =
Ta có hai số phức bằng nhau khi phần
thực bằng phần thực và phần ảo bằng
phần ảo.
Do ñó ta có
2 2
2 2
x y x y
x y x y
+ = +
− = +
Giải hệ phương trình này ta có
2 2 0 0
2 2 0 0
x y x y x y x
x y x y x y y
+ = + − + = =
⇔ ⇔
− = + + = =
Vậy hai số thực cần tìm là
0; 0
x y
= =
Ta có hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng
phần thực và phần ảo bằng phần ảo.
Do ñó ta có
9
2 3 1 3 2 2 5 1
11
4 3 5 3 3 4
11
x
x y x y x y
x y x y x y
y
=
+ + = − + − + = −
⇔ ⇔
− + = − − − + = −
=
Vậy hai số thực cần tìm là
9 4
;
11 11
x y
= =
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
7
-
Bài tập 3: Thực hiện các phép tính sau:
a.
(
)
(
)
(
)
3 2 1 3 4
i i i
+ + − +
b.
1 2
3 2
i
i
+
+
c.
1 2
3 2
i
i
+
+
d.
(
)
(
)
(
)
2 1 4 3
3 2
i i i
i
+ + + −
+
e.
(
)
(
)
3 4 1 2
4 3
1 2
i i
i
i
− +
+ −
−
f.
3 2 3 3 2 3
2 3 2 3
i i
i i
+ − +
− +
+ −
Hướng dẫn giải
a.
(
)
(
)
(
)
3 2 1 3 4
i i i
+ + − +
Ta có
(
)
(
)
(
)
2
3 2 1 3 4
3 2 4 12 12 10 9
i i i
i i i i i
+ + − +
= + + + − − = −
b.
1 2
3 2
i
i
+
+
Ta có
(
)
(
)
( )( )
2
1 2 3 2
1 2 3 2 6 4
3 2 3 2 3 2 9 4
7 4 7 4
13 13 13
i i
i i i i
i i i
i i
+ −
+ − + −
= =
+ + − +
+
= = +
c.
1 2
3 2
i
i
+
+
Ta có
(
)
(
)
( )( )
2 4 3
2 11 2
4 3 4 3 4 3 25
i i
i i
i i i
− + +
− + − −
= =
− − +
d.
(
)
(
)
(
)
2 1 4 3
3 2
i i i
i
+ + + −
+
Ta có
(
)
(
)
(
)
( )( )
( )( )
2
2 1 4 3
2 4 4 3 3
3 2 3 2
9 2 3 2
9 2 31 12
3 2 3 2 3 2 13
i i i
i i i i
i i
i i
i i
i i i
+ + + −
+ + + − −
=
+ +
+ −
+ −
= = =
+ + −
e.
(
)
(
)
3 4 1 2
4 3
1 2
i i
i
i
− +
+ −
−
Học sinh tự làm .
f.
3 2 3 3 2 3
2 3 2 3
i i
i i
+ − +
− +
+ −
Học sinh tự làm .
Bài tập 4: Tìm nghịch ñảo các hàm số sau
a.
2 3
z i
= −
b.
1 5
3 2
i
z
i
+
=
−
c.
(
)
2
3 2
z i
= +
Hướng dẫn giải
a.
2 3
z i
= −
Ta có
( )( )
1 1 2 3 2 3
5
2 3
2 3 2 3
i i
z
i
i i
+ +
= = =
−
− +
b.
1 5
3 2
i
z
i
+
=
−
Ta có
( )
(
)
( )( )
( )
3 2 1 5
1 1 3 2
1 5 1 5
1 5 1 5
3 2
3 2 5 3 5 2
6
i i
i
z
i i
i i
i
i
− −
−
= = =
+ +
+ −
−
− − +
=
c.
(
)
2
3 2
z i
= +
( )
( )
( )( )
2
1 1 1
7 6 2
3 2
7 6 2
7 6 2
121
7 6 2 7 6 2
z
i
i
i
i
i i
= =
+
+
−
−
= =
+ −
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
8
-
Chủ ñề 2: Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức
Phương pháp :
Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức cũng giống giải phương trình trên
tập thực với các phép toán ñịnh ghĩa trên tập số phức .
Phương pháp tổng quát
0
b
az b z
a
+ = ⇔ = −
Bài tập 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a.
(
)
(
)
(
)
3 2 4 5 7 3
i z i i
− + + = +
b.
(
)
(
)
(
)
1 3 2 5 2
i z i i z
+ − + = +
c.
( ) ( )
2 3 5 2
4 3
z
i i
i
+ − = −
−
d.
(
)
(
)
(
)
3 2 3 1 2 5 4
z i i i
+ + − = +
e.
(
)
(
)
5 2 3 4 1 3
iz i i
− = + −
f.
(
)
2 3 2 3 2 2
i z i i
− + = +
g.
(
)
(
)
(
)
3 4 1 2 4
i z i i
+ = + +
h.
(
)
(
)
3 2 1 2 1 3
i z i i z i
− + = + +
Giải
a.
(
)
(
)
(
)
3 2 4 5 7 3
i z i i
− + + = +
Ta có
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
3 2 4 5 7 3
3 2 7 3 4 5
3 2 3 2
3 2
1
3 2
i z i i
i z i i
i z i
i
z z
i
− + + = +
⇔ − = + − +
⇔ − = −
−
⇔ = ⇔ =
−
b.
(
)
(
)
(
)
1 3 2 5 2
i z i i z
+ − + = +
Ta có:
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )( )
2
1 3 2 5 2
1 3 2 2 5
1 2 2 5
2 5 2 5 1 2
1 2 1 2 1 2
2 9 10 8 9
1 4 5
i z i i z
i z i z i
i z i
i i i
z
i i i
i i i
z
+ − + = +
⇔ + − + = +
⇔ − + = +
+ + − −
⇔ = =
− + − + − −
− − − −
⇔ = =
+
c.
( ) ( )
2 3 5 2
4 3
z
i i
i
+ − = −
−
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
2
2 3 5 2
4 3
5 2 2 3
4 3
3 3 4 3
4 3
12 9 4 3 15 5
z
i i
i
z
i i
i
z
i z i i
i
z i i i z i
+ − = −
−
⇔ = − − −
−
⇔ = + ⇔ = + −
−
⇔ = − + − ⇔ = −
d.
(
)
(
)
(
)
3 2 3 1 2 5 4
z i i i
+ + − = +
Ta có:
(
)
(
)
(
)
( ) ( )( )
3 2 3 1 2 5 4
3 5 4 2 3 1 2
3 5
3 3 5
3
z i i i
z i i i
i
z i z
+ + − = +
⇔ = + − + −
− +
⇔ =− + ⇔ =
e.
(
)
(
)
5 2 3 4 1 3
iz i i
− = + −
Ta có:
f.
(
)
2 3 2 3 2 2
i z i i
− + = +
Ta có:
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
9
-
(
)
(
)
( )( )
( )( )
2
2
5 2 3 4 1 3 2 3 9 4 12 5
10 5 2
10 5
2 10 5
2 2 2
20 10 10 20 5 10
4 4 2
iz i i iz i i i
i i
i
iz i z z
i i i
i i i i
z z z
− = + − ⇔ − = − + − −
−
−
⇔ − = − ⇔ = ⇔ =
− −
− + +
⇔ = ⇔ = ⇔ =
(
)
( )
( )
( )( )
( )( )
2 3 2 3 2 2
2 3 3 2
3 2 2 3
3 2
2 3 2 3 2 3
5
2 3
i z i i
i z i
i i
i
z z
i i i
i
z z i
− + = +
⇔ − = +
+ +
+
⇔ = ⇔ =
− − +
⇔ = ⇔ =
+
g.
(
)
(
)
(
)
3 4 1 2 4
i z i i
+ = + +
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )( )
2
2
3 4 1 2 4 3 4 4 6 2
2 6 2 6 3 4
3 4 2 6
3 4 3 4 3 4
6 8 18 24 30 10
9 16 25
i z i i i z i i
i i i
i z i z z
i i i
i i i i
z z
+ = + + ⇔ + = + +
+ + −
⇔ + = + ⇔ = ⇔ =
+ + −
− + − +
⇔ = ⇔ =
+
h.
(
)
(
)
3 2 1 2 1 3
i z i i z i
− + = + +
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )( )
2
3 2 1 2 1 3 6 3 1 2 2 3
6 3 2 2 1 3 8 5 1 3
1 3 1 3 8 5
8 5 8 5 8 5
8 5 24 15 23 19
64 25 89
i z i i z i i z i z i
i z i z i i z i
i i i
z z
i i i
i i i i
z z
− + = + + ⇔ − + = − + +
⇔ − − − + =− + ⇔ − = − +
− + − + +
⇔ = ⇔ =
− − +
− − + + − −
⇔ = ⇔ =
+
Chủ ñề 3 : + Tìm tập hợp ñiểm trong mặt phẳng phức
+ Biểu diễn tập hợp ñiểm lên mặt phẳng phức
Phương pháp :
Thông thường dựa vào những bài toán cụ thể ñể giải toán, tìm ra những tập hợp
ñiểm cần tìm . Tuy nhiên ta nên lưu ý các ñiểm sau
* Biểu diễn tập hợp dạng
2 2 2
x y a
+ =
lên mặt phẳng toạ ñộ là
ñường tròn tâm O bán kính bằng a.
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
10
-
* Biểu diễn tập hợp dạng
2 2 2
x y a
+ <
lên mặt phẳng toạ ñộ là
một miền trong của hình tròn tâm O
bán kính bằng a, nhưng không tính
ñường viền ngoài.
* Biểu diễn tập hợp dạng
2 2 2
x y a
+ ≤
lên mặt phẳng toạ ñộ là
một miền trong của hình tròn tâm O
bán kính bằng a, nhưng có tính
ñường viền ngoài.
* Biểu diễn tập hợp dạng
2 2 2
x y a
+ >
lên mặt phẳng toạ ñộ số
phức là một miền ngoài của hình
tròn tâm O bán kính bằng a, nhưng
không tính ñường viền trong.
* Biểu diễn tập hợp dạng
2 2 2
x y a
+ ≥
lên mặt phẳng toạ ñộ số
phức là một miền ngoài của ñường
tròn tâm O bán kính bằng a, và có
tính ñường viền trong của hình tròn .
* Và các dữ kiện ñề bài cho ñể biểu diễn tập số phức lên mặt phẳng cho phù hợp bài toán.
Bài tập 1:
Trên mặt phẳng toạ ñộ, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức
z a bi
= +
thoả mãn
ñiều kiện :
1
z
≤
và phần ảo của
z a bi
= +
thuộc ñoạn
1 1
;
2 2
−
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
11
-
Hướng dẫn giải
Gọi
z a bi
= +
là số phức thoả mãn ñiều
kiện
Ta có:
2 2 2 2
1 1 1
z a b a b
≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤
(1)
(1)
⇒
Biểu diễn
2 2
1
a b
+ ≤
lên mặt
phẳng toạ ñộ là một miền trong của
ñường tròn tâm O bán kính bằng 1 và có
tính ñường viền ngoài.
Kết hợp với phần ảo của
z a bi
= +
thuộc
ñoạn
1 1
;
2 2
−
ta có biểu diễn lên mặt
phẳng toạ ñộ là
Bài tập 2:
Hãy biểu diển các số phức
z a bi
= +
lên mặt phẳng toạ ñộ, biết
2
z
≤
và
a. Phần thực của số phức
z a bi
= +
không vượt quá phần ảo của nó
b. Phần ảo của
z a bi
= +
lớn hơn 1
c. Phần ảo của
z a bi
= +
nhỏ hơn 1, phần thực
z a bi
= +
lớn hơn 1
Hướng dẫn giải
Lý luận như câu 1 ta có các kết quả sau
(Kết quả câu a)
(Kết quả câu b)
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
12
-
(Kết quả câu c)
Bài tập 3: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
z a bi
= +
thoả mãn mỗi ñiều kiện sau :
a.
5 6
z z
+ + =
b.
5 2 4
z z i
− + − =
Giải
a.
5 6
z z
+ + =
(1)
Giả sử
z a bi
= +
với a, b
∈
R
(
)
1 5 6 2 5 6
1
2 5 6
2
2 5 6 1
2
a b i a b i a
a
a
a
a
⇒ ⇔ + + − + = ⇔ + =
=
+ =
⇔ ⇔
+ = −
= −
Vậy tập hợp ñiểm cần tìm biểu diễn lên mặt
phẳng phức là hai ñường thẳng
1 1
;
2 2
a a
= = −
b.
5 2 4
z z i
− + − =
(2)
Giả sử
z a bi
= +
với a, b
∈
R
⇒
(2)
⇔
(
)
2
2
5 7
2 5 7
4 25 49
24
6
4
6
a bi a bi
bi
b
b
b
+ − − + =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ = =
⇔ = ±
Bài tập 4: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng số phức biểu diễn các số phức
z a bi
= +
thoả mãn mỗi ñiều kiện sau
a.
z
< 4 b. 1 <
z
≤
2
Giải
Lý luận như câu 1 ta có các kết quả sau
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
13
-
a.
z
< 4 là tập hợp các ñiểm thuộc
miền trong của ñường tròn tâm O (0,0)
bán kính bằng 4 . Không tính ñường
viền của ñường tròn .
b.1 <
z
≤
4 là tập hợp các ñiểm thuộc
miền trong của ñường tròn tâm O (0,0)
bán kính bằng 2 .Có tính ñường viền
của ñường tròn, cộng với miền ngoài
của ñường tròn tâm O bán kính bằng
1, nhưng không tính ñường viền trong.
Ta có hình vẽ minh hoạ sau
Bài tập 5 : Xác ñịnh Tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng số phức biểu diễn các số
phức
z a bi
= +
thoả mãn mỗi ñiều kiện sau
a.
2
2
9
z z
− =
b.
2
4
2
z i
z i
−
=
+
Bài tập 6: Xác ñịnh Tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng số phức biểu diễn các số phức
z a bi
= +
thoả mãn mỗi ñiều kiện sau
a. Phần ảo của số phức không âm và bé hơn 2
b. Phần thực của số phức trừ cho 1 lớn hơn môñun số phức (
z
)
Chủ ñề 4 : Chứng minh ñẳng thức số phức
Phương pháp :
Dựa vào các bất ñẳng thức ñã học như bất ñẳng thức vector, bất ñẳng thức Cauchy…
Bài tập1 : Cho
1 1 1
z a bi
= +
,
2 2 2
z a b i
= +
là hai số phức . Chứng minh rằng
a.
1 2 1 2
z z z z
+ = +
b.
1 2 1 2
. .
z z z z
=
Giải
a.
1 2 1 2
z z z z
+ = +
Gọi
1 1 1
z a bi
= +
,
2 2 2
z a b i
= +
trong ñó
1
a
,
2
a
,
1
b
,
2
b
∈
R
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
(1)
VT z z a bi a b i a a b b i
a a b b i
= + = + + + = + + +
= + − +
b.
1 2 1 2
. .
z z z z
=
Gọi
1 1 1
z a bi
= +
,
2 2 2
z a b i
= +
trong
ñó
1
a
,
2
a
,
1
b
,
2
b
∈
R
Ta có:
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
14
-
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
(2)
VP z z a bi a b i
a bi a b i a a bi b i
a a b b i
= + = + + +
= − + − = + + − −
= + − +
Từ (1)&(2) suy ra VT = VP(dccm).
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2 1 2 2 1
. .
(1)
VT z z a bi a b i
a a bb a b a b i
a a bb a b a bi
= = + +
= − + +
= − − +
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 1 2 2
1 1 2 2
2
1 2 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1
. .
.
(2)
VP z z a bi a b i
a bi a b i
a a a b i a b i b b i
a a bb a b a b i
= = + +
= − −
= − − +
= − − +
Từ (1)&(2) suy ra VT = VP(dccm).
Bài tập 2: Cho hai số phức
1 1 1
z a bi
= +
,
2 2 2
z a b i
= +
trong ñó
1
a
,
2
a
,
1
b
,
2
b
∈
R. Chứng
minh rằng
a.
(
)
1 2 1 2
z z z z
+ = +
b.
(
)
1 2 1 2
. .
z z z z
=
c.
(
)
1 2 1 2
z z z z
− = −
Bài tập 3: Cho hai số phức
u a bi
= +
,
v c di
= +
trong ñó a,b,c,d
∈
R . Chứng minh
rằng
a.
u v u v u v
− ≤ + ≤ +
b.
u v u v u v
− ≤ − ≤ +
c.
. .
u v u v
=
Hướng dẫn giải
a.
u v u v u v
− ≤ + ≤ +
Bất ñẳng thức trên tương ñương với hai bất ñẳng thức
(1)
(2)
u v u v
u v u v
− ≤ +
+ ≤ +
Bất ñẳng thức (2)
u v u v
+ ≤ +
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )( ) ( )( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 (*)
u v u v a c b d a b c d a c b d a b c d a b c d
a b c d ac bd a b c d a b c d ac bd a b c d
+ ≤ + ⇔ + + + ≤ + + + ⇔ + + + ≤ + + + + + +
⇔ + + + + + ≤ + + + + + + ⇔ + ≤ + +
Nếu
0
ac bd
+ <
thì bất ñẳng thức (*) hiển nhiên ñúng
Nếu
0
ac bd
+ ≥
thì bất ñẳng thức (*) tương ñương với bất ñẳng thức
( )
(
)
(
)
( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 0 2 0
ac bd a b c d a c b d abcd a c a d b c b d
abcd a d b c a d b c abcd ad bc
+ ≤ + + ⇔ + + ≤ + + +
⇔ ≤ + ⇔ ≤ + − ⇔ ≤ −
Hiển nhiên
Bất ñẳng thức (1) :
u v u v
− ≤ +
Ta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
u v u v a b c d a c b d
− ≤ + ⇔ + − + ≤ + + +
Nếu
2 2 2 2
0
a b c d
+ − + ≤
thì bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng
Nếu
2 2 2 2
0
a b c d
+ − + ≥
thì bất ñẳng thức trên tương ñương với bất ñẳng thức
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
15
-
(
)
( ) ( )
( )( )
( )( )
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
(**)
a b c d a c b d
a b c d a b c d a b c d ac bd
a b c d ac bd
+ − + ≤ + + +
⇔ + + + − + + ≤ + + + + +
⇔− + + ≤ +
Nếu
0
ac bd
+ ≥
thì bất ñẳng thức (**) luôn luôn ñúng
Nếu
0
ac bd
+ <
thì bất ñẳng thức (**) tương ñương với
( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
0 2 0
ac bd a b c d a c b d abcd a c b d a d c b
a d b c abcd ad bc ad bc
+ ≤ + + ⇔ + + ≤ + + +
⇔ ≤ + − = − ⇔ ≤ −
Bất ñẳng thức này luôn luôn ñúng !
Từ (1)&(2) suy ra
u v u v u v
− ≤ + ≤ +
b.
u v u v u v
− ≤ − ≤ +
Học sinh tự làm.
c.
. .
u v u v
=
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
.
u v a bi c di ac bd ad bc i
= + + = − + +
Từ ñây suy ra
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
.
u v ac bd ad bc a c b d a d b c
= − + + = + + +
(1)
Mặt khác ta lại có
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
. .
u v a b c d a c b d a d b c
= + + = + + +
(2)
Từ (1)&(2) suy ra VT = VP(dccm).
Bài tập 4:Cho số phức
z a bi
= +
. Chứng minh rằng
a.
(
)
(
)
2
2 2 2
2
z z a b
+ = −
Ta có:
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
VT z z a bi a bi a abi bi a abi bi
= + = + + − = + + + − +
(
)
2 2 2 2
2 2 2 ( )
a b a b VP dccm
= − = − =
b.
(
)
(
)
2
2
2 2 2
z z a b
= +
. Học sinh tự làm
Bài tập 5: Chứng tỏ rằng
1
1
z
z
−
+
là số thực khi và chỉ khi z là số thực
≠
-1
Giải
(
⇒
)
1
1
z
z
−
+
là số thực
⇒
z là số thực
≠
-1
Ta có :
1
1
z
z
−
+
là số thực khi
1
; a
1
z
a
z
−
= ∈ℜ
+
Biến ñổi
( )
1
1 1 1
1
z
a z a z z az a
z
−
= ⇔ − = + ⇔ − = +
+
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
( )
1
1 1 1 1
1
a
z a a z a a z
a
+
⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ =
−
. Vậy
z
là số thực
(
⇐
) z là số thực
≠
-1
⇒
1
1
z
z
−
+
là số thực . Hiển nhiên !
Vậy
1
1
z
z
−
+
là số thực khi và chỉ khi z là số thực
≠
-1
Bài tập 6: Chứng minh rằng
z a bi
= +
là số thực khi và chỉ khi
z z
=
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
16
-
Bài tập 7: cho
1 1 1
z a bi
= +
2 2 2
z a b i
= +
là hai số phức và
2 2 2
z a b i
= +
≠
0. Chứng minh
rằng
a.
1 1
2
2
z z
z
z
=
b.
1
1
2 2
z
z
z z
=
Bài tập 8 : Cho số phức
z a bi
= +
. Chứng minh rằng :
(
)
2
2
4
z z abi
− =
Bài tập 9: Cho số phức
1 1 1
z a bi
= +
. Chứng minh rằng với mọi số phức
2 2 2
z a b i
= +
, ta
có
2
2 2 1 2 2 1 1 2 1 1
. . . .
z z z z z z z z z z
+ + = + −
Chủ ñề 5: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực
Phương pháp:
Các căn bậc hai của số thực a < 0 là
±
a
i
Xét phương trình bậc hai a
2
x
+ bx + c = 0
với a,b,c
∈
R ; và a
≠
0
ðặt
∆
=
2
b
-4ac
Nếu
∆
= 0 thì phương trình có một nghiệm kép (số thực)
2
b
x
a
= −
Nếu
∆
> 0 thì phương trình có hai nghiệm thực
1 2
,
2 2
b b
x x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
Bài tập 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a.
2
1 0
z z
+ + =
b.
2
7 0
z z
+ + =
c.
2
3 2 7 0
z z
+ + =
e.
3
8 0
z
− =
f.
( )
( )
3
2
1
3 3 2 2 8
1
i
z i z iz
i
+
+ + − =
−
Giải
a.
2
1 0
z z
+ + =
Ta có:
∆
=
2
b
- 4ac = 1 - 4 = -3 < 0
Phương trình có hai nghiệm trên tập số phức
là
1
2
1 3
2
1 3
2
i
z
i
z
− +
=
− −
=
b.
2
7 0
z z
+ + =
Ta có:
∆
=
2
b
- 4ac = 1 - 28 = -27 < 0
Phương trình có hai nghiệm trên tập số
phức là
1
2
1 27 1 3 3
2 2
1 27 1 3 3
2 2
i i
z
i i
z
− + − +
= =
− − − −
= =
c.
2
3 2 7 0
z z
+ + =
Ta có:
∆
=
2
b
- 4ac = 4 - 84 = -80 < 0
Phương trình có hai nghiệm trên tập số phức
là
d.
4 2
3 2 5 0
z z
+ − =
ðặt
(
)
2
Z z
=
phương trình trở thành
2
1
3 2 5 0
5
2
Z
Z Z
Z
=
+ − = ⇔
= −
Với
2
1 1 1
Z z z
= ⇔ = ⇔ = ±
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
17
-
1
2
2 80 2 4 5 1 2 5
6 6 3
2 80 2 4 5 1 2 5
6 6 3
i i i
z
i i i
z
+ + +
= = =
− − −
= = =
Với
2
5 5 5
2 2 2
Z z z i
= − ⇔ = − ⇔ = ±
Vậy phương trình
4 2
3 2 5 0
z z
+ − =
trên
tập số phức có 4 nghiệm phân biệt
1
z
= ±
;
5
2
z i
= ±
e.
3
8 0
z
− =
Ta có:
(
)
(
)
3 3 3 2
8 0 2 0 2 2 4 0
z z z z z
− = ⇔ − = ⇔ − + + =
2 2
2 0 2
2 4 0 2 4 0 (*)
z z
z z z z
− = =
⇔ ⇔
+ + = + + =
giải phương trình (*)
2
2 4 0
z z
+ + =
Ta có:
∆
=
2
b
- 4ac = 4 - 16 = - 12 < 0
1
2
2 12 2 2 3
1 3
2 2
2 12 2 2 3
1 3
2 2
i i
z i
i i
z i
− + − +
= = = − +
− − − −
= = = − −
Vậy phương trình
3
8 0
z
− =
trên tập số phức
có ba nghiệm phân biệt
1
2
3
1 3
1 3
2
z i
z i
z
= − +
= − −
=
f.
( )
( )
3
2
1
3 3 2 2 8
1
i
z i z iz
i
+
+ + − =
−
Ta có:
( )
( )
3
2
1
3 3 2 2 8
1
i
z i z iz
i
+
+ + − =
−
( )
( ) ( )
( )
3
2
2
2
2 2
1 1
3 3 2 2 2 2 0
2
2
3 3 0
2
4
3 3 0 3 3 2 0
2
i i
z i z iz
i
z z
z z z z
+ −
⇔ + + − − =
⇔ + − =
⇔ + + = ⇔ + + =
∆
=
2
b
- 4ac = 9 - 24 = - 15 < 0
1
2
3 15
6
3 15
6
i
z
i
z
− +
=
− −
=
Vậy phương trình
( )
( )
3
2
1
3 3 2 2 8
1
i
z i z iz
i
+
+ + − =
−
trên tập
số phức có hai nghiệm phân biệt là
1
2
3 15
6
3 15
6
i
z
i
z
− +
=
− −
=
Chủ ñề 6:ðịnh lý Vi-ét cho phương trình bậc hai trên tập số
phức
Phương pháp :
Cho phương trình
2
0
az bz c
+ + =
với a,b,c
∈
R và a
≠
0. Gọi
1 1 1
z a bi
= +
2 2 2
z a b i
= +
là hai nghiệm của phương trình trên tập số phức .
Khi ñó ta có :
1 2 1 2
; .
b c
z z z z
a a
+ = − =
(Cần chứng minh lại, nhưng khi làm bài bài tập vẫn ñược công nhận)
Bài tập 1: Hai số phức
1
z
,
2
z
là hai nghiệm của phương trình
2
2 3 3 0
z z
+ + =
. Hãy
tính
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
18
-
a.
2 2
1 2
z z
+
b.
3 3
1 2
z z
+
c.
4 4
1 2
z z
+
Hướng dẫn giải
a.
2 2
1 2
z z
+
Ta có: Theo ñịnh lý Vi-ét thì
1 2
1 2
3
2
3
.
2
z z
z z
+ = −
=
Từ ñó ta có
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2 .
z z z z z z
+ = + −
2
3 3 3 9
2. 3
2 2 4 4
= − − = − = −
b.
3 3
1 2
z z
+
Ta có biến ñổi
( )
(
)
3 3 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
.
z z z z z z z z
+ = + − +
( )
(
)
2 2
1 2 1 2 1 2
.
z z z z z z
= + + −
Áp dụng ñịnh lý Vi-ét và câu a thay vào
ta có
( )
( )
2 2
1 2 1 2 1 2
3 9 3
.
2 4 2
3 15 15 3
2 4 8
z z z z z z
+ + − = − − −
= − − =
c.
4 4
1 2
z z
+
. Ta có biến ñổi
(
)
(
)
(
)
2 2 2
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 .
z z z z z z z z
+ = + = + −
(
)
( )
2
2
2 2
1 2 1 2
2 .
z z z z
= + −
Áp dụng ñịnh lý Vi-ét và câu a thay vào ta
có
( )
( )
2 2
2
2
2 2
1 2 1 2
9 3 9
2 . 2
4 2 16
z z z z
+ − = − − =
Chủ ñề 7:Căn bậc hai của số phức
(Dành cho học sinh học chương trình nâng cao)
Phương pháp :
Cho hai số phức
z x yi
= +
, và
w
a bi
= +
Khi ñó
z x yi
= +
ñược gọi là căn bậc hai của số phức
w
a bi
= +
⇔
2
w
z
=
Ta có khai triển
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
2 2 (*)
2
x y a
x yi a bi x xyi yi a bi x y xyi a bi
xy b
− =
+ = + ⇔ + + = + ⇔ − + = + ⇔
=
Giải hệ phương trình (*) ñể tìm ra ñược căn bậc hai của số phức
w
a bi
= +
.
Giải hệ phương trình (*) là hệ phương trình ñẳng cấp bậc hai. Tuỳ thuộc vào từng bài
toán cụ thể ta có cách giải tương ứng . Tuy nhiên cách giải tổng quát của loại hệ
phương trình này như sau
+ Thử xem x = 0 có phải là nghiệm của hê phương trình hay không .
+ Với x
≠
0 ta có
ðặt y = kx
Hệ phương trình trở thành
( )
2
2
2 2
2
(1)
2
2 (2)
x kx a
x y a
xy b
kx b
− =
− =
⇔
=
=
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
19
-
Lấy
( )
2 2 2 2
2 2
2
(1) 1
1 2 2 0
(2) 2 2
x k x a k a
b k ak bk ak b
kx b k b
− −
⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ + + =
ðây là phương trình bậc hai theo k . Giải phương trình này tìm k, rồi thế vào y = kx .
Thay y = kx và phương trình (1) hoặc phương trình (2) ñể giải x.
Các cặp (x, y) vừa tìm ñược của hệp phương trình tương ứng với các căn bậc hai của
số phức
w
a bi
= +
.
Bài tập 1 : Tìm căn bậc hai của các số phức sau
a.
w 3 4
i
= − +
b. (2 + 6i)(2 - 6i)
c.
( )
2
w 1 5
i
= +
d.
-1 4 3
w i
= +
e.
2 2 15
w i
= −
Hướng dẫn giải
a.
w 3 4
i
= − +
Gọi
z x yi
= +
(x, y
∈
R)là căn bậc hai của
w 3 4
i
= − +
Khi ñó
(
)
( )
2
2
2
2
2 2
2 2
w 3 4
2 3 4
2 3 4
3 (1)
(*)
2 4 (2)
z x yi i
x xyi yi i
x y xyi i
x y
xy
= ⇔ + = − +
⇔ + + =− +
⇔ − + =− +
− =−
⇔
=
+ Nhận xét x = 0 không là nghiệm của hệ
phương trình (*)
+ Do x
≠
0 nên từ (2) ta suy ra
2
2 4xy y
x
= ⇔ =
thay vào (1)
2
2 2
2
2
4 2
2
2 4
3 3
1
3 4 0
4( )
x x
x x
x
x x
x loai
− = − ⇔ − = −
=
⇔ + − = ⇔
= −
Với
2
x
=1
⇔
1; 2
1; 2
x y
x y
= =
= − = −
Vậy số phức
w 3 4
i
= − +
có hai căn bậc hai
là
1 2
z i
= +
và
1 2
z i
= − −
b. (2 + 6i)(2 - 6i)
Ta có:
(2 + 6i)(2 - 6i) = 4+ 36 = 40
Vậy (2 + 6i)(2 - 6i) có hai căn bậc hai là
±
2
10
c.
( )
2
w 1 5
i
= +
Ta có biến ñổi
( )
2
2
w 1 5 1 10 25 1 25 10 24 10
i i i i i
= + = + + = − + = − +
Gọi
z x yi
= +
(x, y
∈
R)là căn bậc hai của
w 24 10
i
=− +
Khi ñó
c.
( )
2
w 1 5
i
= +
Cách khác
Bài này các em có thể làm cách khác chẳng hạn
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
20
-
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 2
w 24 10 2 24 10
24 (1)
2 24 10 (*)
2 10 (2)
z x yi i x xyi yi i
x y
x y xyi i
xy
= ⇔ + =− + ⇔ + + =− +
− =−
⇔ − + =− + ⇔
=
+ Nhận xét x = 0 không là nghiệm của hệ
phương trình (*)
+ Do x
≠
0 nên từ (2) ta
⇒
5
2 10xy y
x
= ⇔ =
thay vào (1)
2
2 4 2
2
2
5
24 24 25 0
1
5( )
x x x
x
x
x loai
− = − ⇔ + − =
=
⇔
= −
Với
2
x
=1
⇔
1; 5
1; 5
x y
x y
= =
= − = −
Vậy số phức
( )
2
w 1 5
i
= +
có hai căn bậc hai
là
1 5
z i
= +
và
1 5
z i
= − −
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1 5 1 5 0
1 5 1 5 0
1 5 0
1 5
1 5
1 5 0
z i z i
z i z i
z i
z i
z i
z i
= + ⇔ − + =
⇔ − + + + =
− + =
= +
⇔ ⇔
= − −
+ + =
Vậy số phức
( )
2
w 1 5
i
= +
có hai căn bậc hai là
1 5
z i
= +
và
1 5
z i
= − −
d.
-1 4 3
w i
= +
Gọi
z x yi
= +
(x, y
∈
R)là căn bậc hai của
-1 4 3
w i
= +
Khi ñó
( )
2
2
w 1 4 3
z x yi i
= ⇔ + = − +
( )
2
2
2 2
2 2
2 1 4 3
1
2 1 4 3
2 4 3
x xyi yi i
x y
x y xyi i
xy
⇔ + + = − +
− = −
⇔ − + = − + ⇔
=
+ Nhận xét x = 0 không là nghiệm của hệ
phương trình (*)
+ Do x
≠
0 nên từ (2) ta
⇒
4 3 2 3
2 4 3
2
xy y
x x
= ⇔ = =
thay vào (1)
2
2 2
2
2
4 2
2
2 3 12
1 1
3
12 0
4( )
x x
x x
x
x x
x loai
− =− ⇔ − =−
=
⇔ + − = ⇔
=−
Với
2
x
= 3
⇔
3; 2
3; 2
x y
x y
= =
= − = −
Vậy số phức
-1 4 3
w i
= +
có hai căn bậc
hai là
3 2
z i
= +
và
3 2
z i
=− −
e.
2 2 15
w i
= −
Gọi
z x yi
= +
(x, y
∈
R) là căn bậc hai của
Khi ñó
2
w
z
=
( )
2
2 2 15
x yi i
⇔ + = −
( )
2
2 2 2
2 2
2 2 2 15 2 2 2 15
2 (1)
(*)
2 2 15 (2)
x xyi yi i x y xyi i
x y
xy
⇔ + + = − ⇔ − + = −
− =
=−
+ Nhận xét x = 0 không là nghiệm của hệ phương
trình (*)
+ Do x
≠
0 nên từ (2) ta
⇒
2 15 15
2 2 15
2
xy y
x x
= − ⇔ = − = −
thay vào (1)
2
2 2 4 2
2
2
2
15 15
2 2 2 15 0
5
3( )
x x x x
x x
x
x loai
− − = ⇔ − = ⇔ − − =
=
⇔
= −
Với
2
x
= 5
⇔
5; 3
5; 3
x y
x y
= =
= − = −
Vậy số phức
2 2 15
w i
= −
có hai căn bậc hai là
5 3
z i
= +
và
5 3
z i
=− −
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
21
-
Bài tập 2 : Tìm căn bậc hai của cấc số phức sau
. 2 3 4 2 3
a z i
= − + + +
. 8 2 6 1 2
b z i
= − − +
. 21 220
c z i
= +
( )
1
. 3 4
25
d z i
= +
Chủ ñề 8:Giải phương trình bậc hai với hệ số phức
(Dành cho học sinh học chương trình nâng cao)
Phương pháp :
Cho phương trình bậc hai
2
0
Az Bz C
+ + =
(trong ñó A,B,C là các số phức cho trước
và A
≠
0)
Ta có
2
4
B AC
∆ = −
+ Nếu
∆
= 0 phương trình có một nghiệm kép là
2
B
z
A
= −
+ Nếu
∆
≠
0 phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
2
2
2
B
z
A
B
z
A
δ
δ
− +
=
− −
=
Với
δ
là một căn bậc hai của
∆
.
Bài tập 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a.
(
)
(
)
2
1 1 0
z i z i
+ + − − =
b.
(
)
2
1 2 1 0
z i z i
+ + + − =
Hướng dẫn giải
a.
(
)
(
)
2
1 1 0
z i z i
+ + − − =
Ta có
(
)
(
)
( ) ( )
2
2
1 1 0
1 4 1 4 2
z i z i
i i i
+ + − − =
∆ = + + − = −
Gọi
δ
là một căn bậc hai của
∆
(Xem chi tiết tìm căn bậc hai của số phức ở
chủ ñề 7.)
Khi ñó
(
)
5 2 5 2
i
δ
= ± + − −
Vậy phương trình
(
)
(
)
2
1 1 0
z i z i
+ + − − =
có
hai nghiệm phức phân biệt là
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
1
2
1 5 2 5 2
2
1 5 2 5 2
2
i i
z
i i
z
− + + + − −
=
− + − + − −
=
b.
(
)
2
1 2 1 0
z i z i
+ + + − =
Ta có
(
)
(
)
( ) ( )
2
2
1 2 1 0
1 2 4 1 1
z i z i
i i
+ + + + =
∆ = + + + =
Vậy phương trình bậc hai
(
)
2
1 2 1 0
z i z i
+ + + − =
có hai nghiệm
phân biệt là
(
)
( )
1
2
1 2 1
2
1 1
1
2
i
z i
i
z i
− + +
= = −
− + −
= = − −
Bài tập 2 : Giải các phương trình sau trên tập số phức
a.
(
)
(
)
(
)
2 3
1 0
z i z z i
+ − + =
b.
(
)
(
)
2
2 2
3 4 0
z z z z
− + − − =
c.
4 3 2
2 2 1 0
z z z z
+ − + + =
Hướng dẫn giải
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
22
-
a.
(
)
(
)
(
)
2 3
1 0 (*)
z i z z i+ − + =
Phương trình (*)
⇔
với
(
)
(
)
(
)
2 3
2
3
1 0 (*)
0 (1)
1 0 (2)
0 (3)
z i z z i
z i
z
z i
+ − + =
+ =
− =
+ =
(1)
⇔
0
z i z i
+ = ⇔ = −
(2)
⇔
2
1 0 1
z z
− = ⇔ = ±
(3)
⇔
( )
( )
3 3 3
2 2
2 2
2
0 0
0
0
0
0
3
2
1 0
3
2
z i z i
z i
z i z iz i
z iz i
z i
z i
i
z
z iz
i
z
+ = ⇔ − =
− =
⇔ − + + = ⇔
+ + =
=
− =
− +
⇔ ⇔ =
+ − =
− −
=
Vậy phương trình
(
)
(
)
(
)
2 3
1 0 (*)
z i z z i+ − + =
trên tập số phức có sáu nghiệm phân biệt là
3 3
; 1; 1 ; ;
2 2
i i
z i z z z i z z
− + − −
= − = = − = = =
b.
(
)
(
)
2
2 2
3 4 0
z z z z
− + − − =
ðặt
2
t z z
= −
phương trình trở thành
2
1 (1)
3 4 0
4 (2)
t
t t
t
=
+ − = ⇔
= −
(1) với t = 2 ta có
2 2
1 1 0
z z z z
− = ⇔ − − =
∆
= 1 + 4 = 5
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm
1
2
1 5
2
1 5
2
z
z
+
=
−
=
(2) với t = - 4 phương trình trở thành
2 2
4 4 0
z z z z
− = − ⇔ − + =
∆
=1 – 16 = -15
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
3
4
1 15
2
1 5
2
i
z
i i
z
+
=
−
=
Do ñó phương trình
(
)
(
)
2
2 2
3 4 0
z z z z
− + − − =
có bốn nghiệm phân biệt
1 2 3 4
1 5 1 5 1 15 1 5
; ;
2 2 2 2
i i i
z z z z
+ − + −
= = = =
c.
4 3 2
2 2 1 0
z z z z
+ − + + =
Nhận xét z =0 không phải là nghiệm của phương
trình . Chia hai vế cho
2
z
phương trình trở thành
4 3 2 2
2
1 1
2 2 1 0 2 1 0
z z z z z z
z z
+ − + + = ⇔ + + + − =
ðặt
1
w z
z
= +
⇒
2 2
2
1
-2
z w
z
+ =
phương trình
trở thành
2 2
1
-2 2 -1 0 2 -3 0
-3
w
w w w w
w
=
+ = ⇔ + = ⇔
=
Với w = 1
⇔
1
2
2
1 3
1
2
1 1 0
1 3
2
i
z
z z z
z
i
z
+
=
+ = ⇔ − + = ⇔
−
=
Với w = -3
⇔
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
23
-
2
3 5
1
2
3 3 1 0
3 5
2
z
z z z
z
z
− +
=
+ = − ⇔ + + = ⇔
− −
=
Vậy phương trình
4 3 2
2 2 1 0
z z z z
+ − + + =
có bốn
nghiệm phân biệt
1 2 3 4
1 3 1 3 3 5 3 5
; ; ;
2 2 2 2
i i
z z z z
+ − − + − −
= = = =
Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức
1 2
2 2
1 2
2 3
.
5 4
z z i
a
z z i
+ = +
+ = −
1 2
2 2
1 2
1 7
.
5 10
z z i
b
z z i
+ = +
+ = − −
Hướng dẫn giải
1 2
2 2
1 2
2 3
.
5 4
z z i
a
z z i
+ = +
+ = −
Ta có biến ñổi tương ñương
( )
1 2
1 2
2
2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
2 3
2 3
2 5 4
5 4
2 3
5 8
z z i
z z i
z z z z i
z z i
z z i
z z i
+ = +
+ = +
⇔
+ − = −
+ = −
+ = +
⇔
= − +
⇒
1 2
;
z z
là hai nghiệm của phương trình
(
)
2
2 3 5 8 0
z i z i
− + − + =
Ta
có:
( ) ( ) ( )
2
2
2 3 4 5 8 15 20 5 2
i i i i
∆ = + − − + = − = −
Vậy phương trình
(
)
2
2 3 5 8 0
z i z i
− + − + =
có hai
nghiệm phân biệt
( )
( )
1
2
2 3 2 5 5 3 5
1 5
2 2
2 3 2 5 5 3 5
1 5
2 2
i i
z i
i i
z i
+ + − −
= = + +
+ − + +
= = − +
Do ñó hệ phương trình ñã cho có hai nghiệm
( ) ( )
( ) ( )
3 5 3 5
1 5 ; 1 5 ;
2 2
3 5 3 5
1 5 ; 1 5
2 2
i i
i i
− +
+ + − +
+ −
− + + +
1 2
2 2
1 2
1 7
.
5 10
z z i
b
z z i
+ = +
+ = − −
Học sinh tự làm tương tự như câu a.
Bài tập 5 : Giải các phương trình sau trên tập số phức
2
. 2 1 0
a z z i
+ + − =
(
)
(
)
(
)
(
)
. 1 5 3 7 297
e z z z z− + − + =
(
)
2
. 5 1 5 0
b z z i
+ + + =
(
)
(
)
2
2 2 2
. 9 4 9 5 0
f z z z z z z
+ + + + + − =
(ðặt
2
9
Z z z
= + +
)
3 2
. 2 6 5 0
c z z z
− + − =
4 3 2
.2 2 2 2 0
g z z z z
− + + + =
(Chia hai vế phương trình cho
2
z
khi nhận xét z =0 không là nghiệm của phương trình)
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
24
-
4 2
. 9 18 9 0
d z z z
− + − =
Bài tập 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức
(
)
(
)
4 3 2
. 1 2 1 1 0
a z i z z i z
− − + − − + =
4 3 2
. 3 2 3 1 0
b z z z z
− + + + =
(
)
(
)
4 3 2
. 1 3 1 0
c iz i z z i z i
− − + + + − + + =
Bài tập 7: Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức
1 2
3 3
1 2
. 1
.
2
z z
a
z z
=
+ =
2
1 1 2
2
2 2 1
10 3
.
10 3
z z z
b
z z z
+ = −
+ = −
(hệ ñối xứng loại 2. Lấy
hiệu hai phương trình của
hệ)
( )
1 2
2 2
1 2
. 16 11
.
8 2
z z i
c
z z i
= −
+ = − +
1 2
2 2
1 2
3 2
.
1
z z i
d
z z i
− = +
+ = −
2
2 1
2
1 2
2 3 2
.
2 3 2
z z i
e
z z i
= + +
= + +
Những lưu ý khi gải phương trình hay hệ phương trình trên trường số phức . Về
Phương pháp rất giống khi giải trên tập số thực . Do ñó ta có thể vận dụng cách giải
phương trình hay hệ phương trình ñã học như hệ ñối xứng loại 1, hệ ñối xứng lạo 2, hay các
phương trình bậc ba bậc bốn dạng ñặc biệt .
Chủ ñề 9: Dạng lượng giác của số phức và các ứng dụng
(Dành cho học sinh học chương trình nâng cao)
Phương pháp :
1. ðịnh nghĩa dạng lượng giác của số phức
Cho số phức
z a bi
= +
≠
0 (a, b
∈
R) có môñun là
2 2
r a b
= +
Và một acgumen là
ϕ
thì
⇒
z a bi
= +
= r(cos
ϕ
+i sin
ϕ
)
Dạng
( os +isin )
z r c
ϕ ϕ
=
, với r > 0 ñược gọi là dạng lượng giác của số phức
z a bi
= +
≠
0, Và dạng
z a bi
= +
(a, b
∈
R) ñược gọi là dạng ñại số của số phức z .
Nhận xét : ðể tìm ñược dạng lượng giác của số phức dạng
( os +isin )
z r c
ϕ ϕ
=
, r > 0
của số phức
z a bi
= +
(a, b
∈
R), ta cần :
• Tìm
2 2
r a b
= +
là môñun của số phức
z a bi
= +
• Tìm
ϕ
sao cho
cos
sin
a
r
b
r
ϕ
ϕ
=
=
là một acgumen của
z a bi
= +
Lưu ý : +
z
=1
⇔
z = cos
ϕ
+isin
ϕ
(
ϕ
∈
R)
+z = 0
⇒
z
= r = 0 còn acgumen củua không xác ñịnh
Các phép toán của số phức dưới dạng lượng giác
Cho hai số phức dạng lượng giác
( os +isin )
z r c
ϕ ϕ
=
và
' '(cos ' sin ')
z r i
ϕ ϕ
= +
, với r, r’
> 0 . Khi ñó:
z = z’
⇔
'
' 2 ,
r r
k k Z
ϕ ϕ π
=
= + ∈
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
25
-
(
)
(
)
. ' . ' cos ' sin '
z z r r i
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + +
( ) ( )
cos ' sin '
' '
z r
i
z r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= − + −
Công thức Moa-vrơ và ứng dụng
với mọi số n nguyên dương ta ñều có :
[
]
( ) ( )
(cos sin ) cos sin
n
n n
z r i r n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + = +
Khi r = 1
⇒
[
]
( ) ( )
(cos sin ) cos sin
n
i n i n
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ = +
Căn bậc hai và căn bậc n của số phức dạng lượng giác
Cho số phức
( os +isin )
z r c
ϕ ϕ
=
với r > 0 .
Khi ñó ta có hai căn bậc hai của
( os +isin )
z r c
ϕ ϕ
=
là
cos sin
2 2
r i
ϕ ϕ
+
và
cos sin
2 2
r i
ϕ ϕ
π π
+ + +
Tổng quát : n căn bậc n của số phức dạng lượng giác
( os +isin )
z r c
ϕ ϕ
=
r > 0 là
2 2
cos sin
n
k k
r i
n n n n
ϕ π ϕ π
+ + +
với k = 0, 1, 2,…(n-1)
Bài tập 1 :Cho hai số phức
1 3
z i
= −
và
w 3
i
= +
. Tìm dạng lượng giác của các số
phức sau
a.
1 3
z i
= −
b.
z
w
c.
z
c.
w 3
i
= +
e.
.
z w
f .
2
z
Hướng dẫn giải
a.
1 3
z i
= −
Số phức
1 3
z i
= −
co Môñun là
( )
2
2
1 3 2
r
= + − =
Và có một acgumen
ϕ
sao cho
1 3
os ,sin
2 2
c
ϕ ϕ
= = −
⇒
ϕ
= -
π
/3
vậy dạng lượng giác của các số phức
1 3
z i
= −
là
2 cos sin
3 3
z i
π π
= − + −
Hoặc cách khác ta có biến ñổi :
1 3
1 3 2 2 cos sin
2 2 3 3
z i i i
π π
= − = − = − + −
vậy dạng lượng giác của các số phức
1 3
z i
= −
là
2 cos sin
3 3
z i
π π
= − + −
b.
z
w
Ta có biến ñổi
(
)
(
)
( )( )
( )
2
2
2
1 3 3
1 3
3
3 3
3 3 3
3
4
1(0 )
4
i i
z i
w
i
i i
i i i
i
i
i i
− −
−
= =
+
+ −
− − +
=
−
−
= = − = −
Do ñó :
1(0 ) 1 cos sin
2 2
z
i i
w
π π
= − = − + −
c.
w 3
i
= +
Học sinh làm hoàn toàn tương tự
d.
1 3
1 3 2 2 cos sin
2 2 3 3
z z i i i
π π
= = + = + = +
