Chuyên đề tìm cực trị của hàm số

Bài 2. Cực trị hàm số
BÀI 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng  a; b  có thể a là  ; b là  và điểm x 0   a; b 
1. Nếu tồn tại h>0 sao cho f ( x )  f ( x 0 ), x   x 0  h; x0  h  và x  x 0 thì ta nói hàm số f(x)
đạt tại x0.

2. Nếu tồn tại h>0 sao cho f ( x )  f ( x 0 ), x   x 0  h; x0  h  và x  x 0 thì ta nói hàm số f(x)
đạt cực tiểu tại x0.

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
46


Bài 2. Cực trị hàm số

Chú ý:
1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực
tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại( giá trị cực tiểu) của hàm số . Kí hiệu
là : fCD ( fCT ) , còn điểm M(x0;f(x0)) được gọi là của đồ thị hàm số. Các điểm cực đại và
cực tiểu nói chung là . Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là được gọi chung là điểm
cực trị của hàm số
2. Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng  a; b  và
đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f’(x0)=0
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0.
Chú ý:
 Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có
đạo hàm.
Ví dụ minh họa:

Ta thấy x  1 thì y '  0 và đạt cực đại tại x  1, yCD  1 và y ' khơng có đạo hàm tại

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
47


Bài 2. Cực trị hàm số
x  0 nhưng vẫn đạt giá trị cực tiểu tại x  0 , yCT  0

 Đạo hàm f ' có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm f không đạt cực trị tại điểm x0
Ví dụ minh họa:

Mặc dù f '( x )  0 tại x  2 nhưng không có cực trị taại x  2
 Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}
a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.

Ví dụ minh họa

Mặc dù tại x   3 đạo hàm khơng xác định (khơng có đạo hàm tại hai điểm này) nhưng hàm
vẫn khơng có cực trị tại 2 điểm này vì hàm số khơng xác định trên bất kì khoảng  a; b  nào của
hai điểm này

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
48

Bài 2. Cực trị hàm số
 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có đạo hàm
cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
49


Bài 2. Cực trị hàm số
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
DẠNG 1: TÌM CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Phương pháp

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.
 Tìm f (x).
 Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm.
 Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
 Tính f (x).
 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).
 Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).
Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.
Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.
Chú ý:


Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo

hàm.



Đạo hàm f ' có thể bằng 0 tại điểm x 0 nhưng hàm f không đạt cực trị tại điểm x 0

BÀI TẬP MẪU:
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y 

1 3
5
x  x2  3x  ;
3
3

b) y  x 3  3 x 2  3 x  5

Hướng dẫn:

10
3
22
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  3; f (3)  3

a) Hàm số đạt cực đại tại điểm x  -1; f (-1) 

2

b)y '  3  x  1  0, x    hàm không có cực trị

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
50


Bài 2. Cực trị hàm số
Chú ý:
 Nếu y’ không đổi dấu thì hàm khơng có cực trị. Đối với hàm bậc 3 thì điều kiện cần và
đủ để hàm đạt cực trị là y’=0 có hai nghiệm phân biệt
Bài 2. Tìm cực trị hàm số:
a)y   x 4  6 x 2  8 x  1;

b)y   x 4  2 x 2  1

Hướng dẫn:

a)Haøm đạt cực đại tại x=-2,giá trị cực đại y(-2)  25, hàm không có cực tiểu

x



y'

-2
+

0



1
-

0

-

y





Nhận xét: Ta thấy đạo hàm triệt tiêu tại x  1 nhưng qua điểm này y’ khơng đổi dấu nên nó
khơng phải là điểm cực trị

b) Hàm đạt cực đại tại các điểm x=  1, với giá trị cực đại là y(  1)=2 và hàm đạt
cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu là y(0)=1

Nhận xét: Đối với hàm bậc 4, vì đạo hàm là đa thức bậc 3 nên hàm chỉ có thể có một cực trị
hoặc ba cực trị. Hàm số có một cực trị khi phương trình y’=0 có một hoặc hai nghiệm ( 1
nghiệm đơn và 1 nghiệm kép), hàm số có 3 cực trị khi phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân
biệt

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
51

Bài 2. Cực trị hàm số
Bài 3. Tìm cực trị của hàm số sau:

x2  2x  3
b) y 
x 1

x 1
a) y  2
x 8
x2  x  5
c) y 
x 1

d )y 

 x  2

2

x2  2x  5

Hướng dẫn:
a) Hàm đạt cực đại tại x  2, yCD 

1
1
; Hàm đạt cực tiểu tại x  4; yCT  

4
8

b) Hàm đạt cực đại tại x  1  2, yCD  2 2 ;
Hàm đạt cực tiểu tại x  1  2; yCT  2 2
c) Hàm số đồng biến trên  ; 1 ,  1;   nên hàm khơng có cực trị

1
13
d) Hàm đạt cực đại tại x   , yCD  ;
3
4
Hàm đạt cực tiểu tại x  4; yCT  0
Bài 4. Tìm cực trị hàm số:

a) y  x
b) y  x  x  2 
c) y 

x  x  3

Hướng dẫn:
b)

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
52


Bài 2. Cực trị hàm số

Hàm đạt cực đại tại x=1, đạt cực tiểu tại x=0
c)Hàm xác định và liên tục trên 


y= 



 3  x  3
nếu x>0

x  x  3 neáu x  0
 2 x
, y'  
,y'  0  x 1
3 x
 x  x  3 neáu x< 0

 2  x +  x neáu x< 0


Hàm đạt cực tiểu tại x=1, đạt cực đại tại x=0
Nhận xét: Ta thấy các trường hợp này, mặc dù hàm khơng có đạo hàm tại x  0 nhưng vẫn đạt
cực trị tại x  0
Bài 5. Tìm cực trị các hàm số sau:

a) y  x 4  x 2 ;

b) y  2 x  x 2  3;

c) y   x 3  3 x 2

Hướng dẫn:

a) Hàm đã cho liên tục và xác định trên  2;2 


x   2
4  2x2
y' 
, x   2;2  , y '  0  
x  2
4  x2

Bảng biến thiên:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
53


Bài 2. Cực trị hàm số

Hàm đạt cực đại tại x= 2, cực tiểu tại x=- 2



b)Hàm đã cho liên tục và xác định ;  3    3; 
 

y' 

2 x2  3  x
2



, x  ;  3    3; 
 

x 3
2 x 2  3  x  0

y'  0  
 x  ;  3 




 

3; 







 x2

Hàm không có đạo hàm tại x=  3

Hàm đạt cực tiểu tại x=2, hàm khơng có cực đại
Nhận xét: Mặc dù x   3 là điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm, tuy nhiên hàm số
khơng xác định trên bất kì khoảng  a; b  nào của hai điểm này nên hai điểm này khơng phải là
hai điểm cực trị hàm số

c)Hàm đã cho xác định và liên tục trên  ;3

3 x 2  2 x
y' 
, x  3, x  0
2  x3  3x 2
y '  0  x  2, hàm số không có đạo hàm tại x=0 và x=3
Hàm đạt cực đại tại x=2, đạt cực tiểu tại x=0





Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
54


Bài 2. Cực trị hàm số
Nhận xét: Lý luận tương tự câu b) x  3 ở câu c) cũng không phải là điểm cực trị nhưng
x  0 lại là điểm cực trị của hàm số
Bài 6. Tìm cực trị của hàm số sau:

a)y  2sin 2 x  3;

b)y  3  2 cos x  cos2 x

Hướng dẫn:

a)Hàm đã cho xác định và liên tục trên 


y'=0  x=  k , k  
4
2

  8 khi k=2n
y ''  8sin 2 x , y ''   k   
2  8 khi k=2n+1
4
Vaäy hàm đạt cực đại tại x=




 n ,đạt cực tiểu tại x=   2n+1
4
4
2

b)Hàm đã cho xác định và liên tục trên 
sin x  0

 x  k

y'=0 

,k  
 cos x   1
 x   2  k 2


3

2

 2

2
y ''  2 cos x  4 cos 2 x, y ''  
 k 2   6 cos
 3  0
3
3


y ''  k   2 cos(k )  4  0, k  
Vậy hàm đạt cực đại tại x= 

2
 k 2 ,đạt cực tiểu tại x=k
3

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Áp dụng quy tắc 1
Bài 1. Tìm cực trị của hàm số sau:

1 3 2
x +x -3x+2
3
c. y = -x 4  x 2  2

d. y = x 4 +2x2 -3

e. y = -5x3 + 3x 2 - 4x + 5

f. y = - x 3 - 5x

a. y =

b. y = -x3  2 x 2  3 x 

Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
55


Bài 2. Cực trị hàm số

a. y 

x 2  3x  5

x 1
2
-2 x  x  2
e. y 
2x  1

3 x -1
2x  4

d . y  x -3 

( x - 4)2
x2  2x  5
x
f. y  2
x 4

b. y 

9
x -2

c. y 

Bài 3. Tìm cực trị các hàm số

a. y = 25 - x 2
d. y =

b. y =

x
10 - x

e. y =

2

x+1

c. y = 3  x  1  x

x2  1
x3

f. y = 2 x 2  4 x  5

2

x 6

Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:

a. y = sin2x

c. y = sin2 x

b. y = cosx - sinx

Áp dụng quy tắc 2:

Bài 5. Tìm cực trị của các hàm số sau:

C  : y   1 x  3  mx2 1
2
m

Bài 6. Tìm cực trị của hàm số sau:

a)y  cos2 3 x

b) y  sin

x
x
 cos
2
2

Bài 7. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y  3x 2  2 x 3

b) y  x 3  2 x 2  2 x  1

1
c) y   x 3  4 x 2  15 x
3

x4
d) y 
 x2  3

2

e) y  x  4 x  5

x4
3
f) y    x 2 
2
2

 x2  3x  6
g) y 
x2

3x 2  4 x  5
h) y 
x 1

x 2  2 x  15
i) y 
x 3

4

2

Bài 8.Tìm cực trị của các hàm số sau:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế

56


Bài 2. Cực trị hàm số

4x2  2x 1
2x2  x  3

a) y  ( x  2)3 ( x  1)4

b) y 

d) y  x x 2  4

e) y  x 2  2 x  5

c) y 

3x 2  4 x  4
x2  x  1

f) y  x  2 x  x 2

Bài 9.Tìm cực trị của các hàm số sau:
3

3

2

a) y  x  1

b) y 

x2
2x 1

c) y  x  4sin 2 x

DẠNG 2: Tìm điều kiện hàm có cực trị tại x0

Phương pháp
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 khơng có đạo hàm.
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0.

 f '( x0 )  0

 f ''( x0 )  0


3. Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại tại x0  

 f '( x0 )  0

 f ''( x0 )  0


4. Hàm số y  f ( x ) đạt cực tiểu tại x0  

Chú ý:

3

2

 Hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân
biệt.


4

2





Hàm trùng phương y  ax  bx  cx  d , a  0 có 3 cực trị  y '  0 có ba nghiệm phân
biệt.

 Hàm số y 

ax 2  bx  c
P( x )
=
(aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm
a' x  b'
Q( x )

phân biệt khác 

b'
.
a'

BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tìm m để hàm số y  mx 3  3 x 2  12 x  2 đạt cực đại tại x  2 .

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
57


Bài 2. Cực trị hàm số
Hướng dẫn:

Hàm số liên tục và xác định trên 
 y '(2)  0
Hàm đạt cực đại tại x  2  
 m  2
 y ''(2)  0
Chú ý: ta có thể giải bài tốn trên theo cách sau:

Để hàm đạt cực đại tại x=2 thì y'(2)=0  m=-2
Với m=-2 ta thử lại ta thấy thỏa

x 2  mx  1
Bài 2. Xác định giá trị m để hàm số y  f ( x ) 
đạt cực đại tại x  2 .
xm
Hướng dẫn:

Hàm số liên tục và xác định trên  \ {  m}
 y '(2)  0
Hàm đạt cực ñaïi taïi x  2  
 m  3
y ''(2)  0

Nhận xét: Khi tính đạo hàm cấp hai của hàm số trên và giải hệ bất phương trình tương đối dài
dịng.
Tuy nhiên ta có thể trình bày theo cách sau

 m  3
Để hàm đạt cực đại tại x  2 thì y '(2)  0  
 m  1
x  2
 Với m  -3 : y '  0  
x  4
Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đạt cực đại tại x  2 , vậy m  3 thỏa.

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
58


Bài 2. Cực trị hàm số
Tương tự: m  1

x 2  mx  2

Bài 3. Tìm m để hàm y 
có cực trị.
mx  1
Hướng dẫn:

1
Hàm số liên tục và xác định trên  \ { }
m
2
 Nếu m=0 thì y=x  1 có một cực trị
1
Nếu m  0: hàm xác định với mọi x 
m
2
Hàm số đạt cực trị khi phương trình mx  2 x  m  0 có hai nghiệm phân biệt
1  m 2  0
1

khaùc

 1  m  1
1
m
m 0


m
Bài 4. Chứng minh rằng m   , hàm số y 

x 2  m  m  1 x  m 3  1

mx  1

ln có hai cực trị.

Hướng dẫn:

Hàm đã cho xác định và liên tục trên  \{m}
y'=

x 2  2mx  m 2  1

 x  m

2



g( x )

 x  m

2

, x  m, g( x )  x 2  2mx  m 2  1





Dấu của g(x) cũng là dấu của y' vaø  'g  m 2  m 2  1  0, m  

g(x) luôn có 2 nghiệm phân biệt x=m-1;x=m+1 thuộc tập xác định
Bảng biến thiên:

Bài 5. Cho hàm số y  x 4  4mx 3  3  m  1 x 2  1. Tìm m để:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
59


Bài 2. Cực trị hàm số
a) Hàm có ba cực trị
b) Hàm có cực tiểu mà khơng có cực đại
Hướng dẫn:

Hàm đã cho xác định và liên tục trên 
x  0
y'=0  
2
 g( x )  2 x  6mx  3m  3  0
Nhận xét:
1. Nếu g(x)=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 thì hàm có hai cực tiểu và một cực đại
2. Nếu g(x)=0 có một nghiệm x=0 thì hàm chỉ có một cực tiểu
3. Nếu g(x)=0 có nghiệm kép hoặc vơ nghiệm thì hàm đạt cực tiểu tại x=0
Từ nhận xét trên ta thấy hàm có ít nhất một cực trị

a) Hàm có ba cực trị khi và chỉ khi g(x)=0 có hai nghieäm phan bieät  0




1 7   1 7
;  
 m   ;




3   3

 


 m  1
b) Theo nhận xét trên ta thấy hàm chỉ đạt cực tiểu và không có cực đại
 Hàm sô không có ba cực trị 

1 7
1 7
m
3
3

Chú ý:
Đối với hàm trùng phương y  ax 4  bx  c  a  0 

x  0
Ta có: y '  4ax 3  2bx  y '  0  
2
 4ax  2b  0 (1)

b  0
1. Hàm có ba cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0  
 ab  0
Khi đó:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
60


Bài 2. Cực trị hàm số
 Hàm có hai cực tiểu, một cực đại khi a>0
 Hàm có hai cực đại, một cực tiểu khi a<0
2. Hàm có một một cực trị (1) có một nghiệm kép hoặc vơ nghiệm hoặc có nghiệm

  0
x=0  
 f (0)  0
Khi đó:
 Hàm có cực tiểu khi a>0
 Hàm có cực đại khi a<0
Bài 6. Tìm các hệ số a,b,c,d sao cho hàm số y  f ( x )  ax3  bx 2  cx  d đạt cực tiểu tại
x  0 , f (0)  0 và đạt cực đại tại x  1 , f (1)  1 .

Hướng dẫn:

 f '(0)  0
c  0
Hàm đạt cực tiểu tại x=0  


 f ''(0)  0
 2b  0
 f '(1)  0
3a  2b  c  0
Hàm đạt cực đại tại x=0  

 f ''(1)  0
6 a  2 b  0
Mặt khác:

(1)
(2)

 f (1)  1
d  0

(3)

 f (0)  0
a  b  c  1
Giải hệ (1),(2),(3) ta được a=-2,b=3,c=d=0
Thay vào và kiểm tra lại thì thỏa mãn
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tìm m để hàm số y  x 3  3  m  1 x 2  x  1 có cực đại, cực tiểu.
Hướng dẫn:
Ta có: y '  3 x 2  6  m  1 x  1 . Hàm đạt cực đại, cực tiểu khi y’=0 có hai nghiệm phân

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
61

Bài 2. Cực trị hàm số


3  3
m 
3
biệt   '  0  

3  3
m 
3

Bài 2. Tìm m để hàm số y   m  2  x 3  3 x 2  mx  m có cực đại, cực tiểu.
Hướng dẫn:

Hàm có cực đại và cực tiểu khi phương trình y'=0 có hai nghiệm phân biệt
m  2  0
 m  2


 '  0
3  m  1
mx 2  x  m
Bài 3. Tìm m để hàm số y 
khơng có cực đại, cực tiểu.
xm
Hướng dẫn:

y' 

mx 2  2m 2 x

 x  m

2

Hàm số không có cực đại và cực tiểu khi y' không đổi dấu qua nghiệm
 g(x)=mx 2  2m 2 x  0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
 m=0, y'=0,x  -m  m=0 thỏa
m  0: Ta có '=m 4  0, m  0  g( x ) có hai nghiệm phân biệt nên khô ng có
giá trị của tham số m để g(x)=0 vô nghiệm hay có nghiệm kép.
Vậy: chỉ có m =0 thỏa yêu cầu bài toán
Bài 4. Tìm m để hàm số y  mx 3  3mx 2   m  1 x  1 khơng có cực trị.
Hướng dẫn:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
62


Bài 2. Cực trị hàm số

Ta coù: y '  3mx 2  6mx  m  1 (*)
m  0 : khi đó y'=1>0,x   nên hàm không có cực trị
m  0: Hàm không có cực trị khi phương trình y'=0 vô nghiệm hoặc có
1
nghiệm kép  '  0  04

1
Vaäy 0  m  thì hàm không có cực trị.
4
Bài 5. Xác định m để hàm số y 

1 4
3
x  mx 2  có cực tiểu mà khơng có cực đại.
2
2

Hướng dẫn:

x  0
y'  0   2
x  m
Hàm có cực tiểu mà không có cực đại khi y'=0 có một nghiệm duy nhất và
y' đổi dấu khi đi qua nghiệm đó  x 2  m vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x=0
m0

x 2  mx  1
Bài 6. Tìm m để hàm số y 
đạt cực tiểu tại x  1 .
xm
Hướng dẫn:

 y '(1)  0
Hàm đạt cực tiểu tại x  1  
m0
 y ''(1)  0

Bài 7. Tìm hệ số a, b, c sao cho hàm số f ( x )  x 3  ax 2  bx  c đạt cực trị bằng 0 tại điểm
x  2 và có đồ thị hàm số đi qua A(1;0).

Hướng dẫn:

 f '(2)  0
 4a  b  12
Hàm đạt cực trị bằng 0 taïi x=-2  

 f (2)  0
 4a  b  c  8
Đồ thị đi qua A(1;0) nên f (1)  0  a  b  c  1  0
Giải hệ ta được : a  3; b  0; c  4
LUYỆN TẬP
Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
63


Bài 2. Cực trị hàm số
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu:
a) y  x 3  3mx 2  3(m 2  1) x  m 3
c) y 

x 2  m(m 2  1) x  m 4  1
xm

b) y  2 x 3  3(2m  1) x 2  6m(m  1) x  1
d) y 

x 2  mx  m  2
x  m 1

Bài 2. Tìm m để hàm số:
a) y  (m  2) x 3  3 x 2  mx  5 có cực đại, cực tiểu.
b) y  x 3  3(m  1) x 2  (2m 2  3m  2) x  m(m  1) có cực đại, cực tiểu.
c) y  x 3  3mx 2  (m 2  1) x  2 đạt cực đại tại x = 2.

1
d) y   mx 4  2(m  2) x 2  m  5 có một cực đại x  .
2
e) y 

x 2  2mx  2
đạt cực tiểu khi x = 2.
xm

x 2  (m  1) x  m 2  4m  2
f) y 
có cực đại, cực tiểu.
x 1
g) y 

x2  x  m
có một giá trị cực đại bằng 0.
x 1

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau khơng có cực trị:
a) y  x 3  3 x 2  3mx  3m  4

b) y  mx 3  3mx 2  (m  1) x  1

 x 2  mx  5
c) y 
x 3

x 2  (m  1) x  m 2  4m  2
d) y 
x 1

Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:
a) y  ax 3  bx 2  cx  d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng

4
1
tại x =
27
3

b) y  ax 4  bx 2  c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
64


Bài 2. Cực trị hàm số
x=

3.

c) y 

x 2  bx  c
đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.
x 1

ax 2  bx  ab
d) y 
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
bx  a
ax 2  2 x  b
e) y 
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
x2  1

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
65


Bài 2. Cực trị hàm số
DẠNG 3:Tìm điều kiện để hàm số có cực trị thỏa điều kiện nào đó
Phương pháp
 Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị;
 Biểu diễn điều kiện của bài tốn thông qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số, từ
đó ta tìm được điều kiện của tham số;
Chú ý:
 Nếu ta gặp biểu thức đối xứng của hoành độ các điểm cực trị và hoành độ các cực trị là
nghiệm của một tam thức bậc hai thì ta dùng định lí Viet

 Khi tính giá trị cực trị của hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng các kết quả sau:
 Kết quả 1: Cho hàm đa thức y  P ( x ) . Giả sử y   ax  b  Q( x )  r ( x ) . Khi đó,
nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là y( x0 )  r( x0 )
và y  r ( x ) gọi là phương trình quỹ tích các điểm cực trị
 Kết quả 2: Cho hàm phân thức y 

u( x )
, v( x )  0 . Khi đó, nếu x0 là điểm cực
v( x )

trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số là y ( x0 ) 

u '( x 0 )
và y  r ( x ) gọi là
v '( x 0 )

phương trình quỹ tích các điểm cực trị
Hai kết quả trên các em dễ dàng chứng minh được.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tìm m để hàm số y 

1 3
x  mx 2   2m  1 x  2 có hai điểm cực trị dương.
3

Hướng dẫn:
Hàm số xác định trên 
Ta có: y '  x 2  2mx  2m  1
Hàm số có hai cực trị dương  y '  0 có hai nghiệm dương phân biệt

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
66


Bài 2. Cực trị hàm số

 '  0

1

m 
 S  0  
2
P  0
m  1


Bài 2. Tìm m để đồ thị hàm số y 

mx 2  3mx  2m  1
có cực đại và cực tiểu và hai điểm đó
x 1

nằm về hai phía của trục Ox.
Hướng dẫn:

y' 

mx 2  2mx  5m  1

 x  1

2

y '  0  mx 2  2mx  5m  1  0,  x  1 (1)

1
m   6
Hàm có hai cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  1 

m  0

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Ox  y(x1 )y( x2 )  0
Ta coù: y(x1 )  2m  x1  1 ; y(x2 )  2m  x2  1

1
 m   2 .Vaäy
y(x1 )y ( x2 )  0 

m  0



1
 m   2 là những giá trị cần tìm

m  0


Bài 3. Tìm m để hàm số y  2 x 3  mx 2  12 x  13 có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách
đều trục tung.
Hướng dẫn:





y '  2 3 x 2  mx  6  y '  0  3 x 2  mx  6  0 (*)
Vì (*) luôn có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có hai cực trị x1; x2
Hai cực trị này cách đều trục tung  x1  x2  x1   x 2  vì x1  x x 
 x1  x2  0  m  0





Bài 4. Tìm m để hàm số y  x 3   2m  1 x 2  m 2  3m  2 x  4 có cực đại, cực tiểu nằm về
hai phía trục tung.
Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
67


Bài 2. Cực trị hàm số
Hướng dẫn:

y '  3 x 2  2  2m  1 x  m 2  3m  2
Hàm có cực dại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung  y'=0 có hai nghiệm
phân biệt x1 , x 2 thỏa x1  0  x2  x1 x2  0  1  m  2





Bài 5. Tìm m để hàm số y   x  m  x 2  3x  m  1 có cực đại, cực tiểu thỏa xCD .xCT  1
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định trên 
Ta có: y '  3 x 2  2  m  3 x  2m  1

 '  0
m  2

Hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa xCD .xCT  1  

 P 1
m  1

1
1
Bài 6. Tìm m để hàm số y  mx 3   m  1 x 2  3  m  2  x  có cực đại và cực tiểu và đồng
3
3
thời hồnh độ cực đại cực tiểu x1 , x2 thỏa x1  2 x2  1
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định trên 
Ta có: y '  mx 2  2  m  1 x  3  m  2 

m  0
m  0


Hàm số có cực đại, cực tiểu x1 , x2  
 2  6
2 6
m
 '  0

2
 2
Theo định lí Vi-ét và yêu cầu bài tốn ta có:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
68


Bài 2. Cực trị hàm số


 x1  2 x2  1


2
2  m  1

m  3

 x1  x2 

m


m  2


3 m  2 
 x1 x2 
m


2
hoặc m=2 là giá trị cần tìm
3

So sánh điều kiện, m 

BTTT: Cho hàm số y  x 3  3  m  1 x 2  9 x  m, với m là tham số thực . Tìm m để hàm có
cực trị x1; x2 sao cho 3 x1  2 x2  m  6
Đáp số: m  1; m  3
Bài 7. Tìm m để hàm số y 

2 x 2  3x  m  2
có cực đại và cực tiểu và các điểm cực đại cực
x2

tiểu x1 , x2 thỏa yx  yx  8
2

1

Hướng dẫn:

Ta có: Với  m  0 và x  2 
y'  2 

m
2



g( x )

 x  2  x  2

2

2

, với g( x )  2  x  2   m

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y'=0 có hai nghiệm phân biệt
khác -2  m>0. Khi đó:
 y x  4 x1  3
 1
 yx  y x  8  m  0

2
1
yx  4 x2  3
 2


2 x 2  3x  m
Bài 8. Tìm m để hàm số y 
có cực đại và cực tiểu và các điểm cực đại cực tiểu
xm

x1 , x2 thỏa yx  yx  8
2

1

Hướng dẫn:
Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
69


Bài 2. Cực trị hàm số
Hàm số đã cho xác định trên  \ {m}
Ta có: y ' 

2 x 2  4mx  2m

 x  2

2

, y '  0  2 x 2  4mx  2m  0(1)

  0
m  0



2
2
m  2m  m  0
m  1


Hàm có cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt  m  
Vì

phương

trình

đường

thẳng

đi

qua

các

điểm

cực

trị

là

y  4x  3

nên


1 5
m 
2
yx  yx  8  x1  x2  2  
(*)
2
1

1 5
m 

2
Kết hợp điều kiện (*) suy ra được m 

1 5
1 5
hoặc m 
là những giá trị cần tìm
2
2

Bài 9. Tìm m để hàm số y  x 4  2m 2 x 2  1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác vuông.

Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định trên 




; C  m;1  m  .Ba điểm cực trị lập thành tam giác ABC vuông (tại A) nên

Ta có: y '  4 x x 2  m 2 . Với m  0 hàm có ba cực trị. Khi đó tọa độ các điểm cực trị là



4
A  0;1 ; B m;1  m 4
 
 
AB. AC  0  m  1 là những gí trị cần tìm

Bài 10. Tìm m để hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của tam giác đều.
Hướng dẫn:

Ths.Trần Đình Cư. GV Trường THPT Gia Hội, Huế. Nhận dạy kèm và luyện thi đại học
chất lượng cao. SĐT: 01234332133. Địa chỉ: Số nhà 27/kiệt 147 Phan Đình Phùng TP Huế
70