Vấn đề 2: Cực trị của hàm số

Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12
−
CB&Nâng cao
VẤN ĐỀ 2 :
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A − Tóm tắt lí thuyết :
2 − Đònh nghóa : Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D ⊂ R và x
0
∈D.
a) Điểm x
0
là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) ⊂ D chứa điểm x
0
sao cho
f(x) < f(x
0
), ∀x ∈(a;b)\{x
0
}
* f(x
0
) − giá trò cực đại của hàm số.
* Điểm M( x
0
; f(x
0
)) điểm cực đại của đồ thò.
b) Điểm x
0
là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn

tại một khoảng (a;b) ⊂ D chứa điểm x
0
sao cho f(x) > f(x
0
), ∀x ∈(a;b)\{x
0
}
* f(x
0
) − giá trò cực tiểu
* Điểm M( x
0
; f(x
0
)) điểm cực tiểu của đồ thò.
c) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là các cực trò.
( Minh họa bằng đồ thị)
* Lưu ý: 1− Giá trị cực đại ( cực tiểu) nói chung khơng phải là GTLN( gtnn), nó mang tính địa phương
trong một khoảng nào đó, có thể gt cực đại nhỏ hơn gt cực tiểu.
2− Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên D, cùng có thể hàm số khơng có
cực trị trên D.
3− Đònh lí:
+Dấu hiệu cần: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trò tại đó thì f’(x
0
) = 0.
+Dấu hiệu đủ:
Dấu hiệu 1: (Tính theo chiều tăng của trục số)
• f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x

0
⇒ x
0
− là điểm cực đại.
• f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0
⇒ x
0
− là điểm cực tiểu.
Dấu hiệu 2: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục tại x
0
.
*
0
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
x là điểm cực trò của HS
f x
′
=

⇒ −

′′
≠

*

0
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
x là điểm cực đại của HS
f x
′
=

⇒ −

′′
<

*
0
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
x là điểm cực tiểucủa HS
f x
′
=

⇒ −


′′
>

4 − Phương pháp tìm cực trò:
Qui tắc 1: + Tìm f’(x).
+ Tìm các nghiệm x
i
( i = 1,2,...) của phương trình f’(x) = 0.
+ Lập bảng xét dấu − Căn cứ dấu hiệu 1 kết luận.
Qui tắc 2: ( Chỉ áp dụng tìm cực trò tại những điểm ở đó đạo hàm cấp 1 bằng 0)
B1− Tính đạo hàm cấp một rồi giải pt: y’ = 0 tìm các nghiệm x
i
.
B2− Tính f”(x
i
) . Nếu f”(x
i
) < 0 ⇒ x
i
là điểm cực đại
Nếu f”(x
i
) > 0 ⇒ x
i
là điểm cực tiểu.
Nếu f”(x
i
) = 0 không thể kết luận được cực trò.
Chú ý: Quy tắc 2 tuy đơn giản nhưng có nhiều hạn chế. Do đó chỉ nên dùng quy tắc này trong trường hợp đạo
hàm cấp hai quá đơn giản.

Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12
−
CB&Nâng cao
B − Luyện tập:
I
−
Bài tốn 1: Tìm cực trị của hàm số − Cho biết cực trị tìm hệ số.
Bài 1: Xét tính đơn điệu và tìm cực trò của các hàm số sau:
a) y = 2x
3
+3x
2
−36x −10 b) y=
4 2
3
3
4 2
x x
x x+ − −
c)
2 3
1
x
y
x
−
=
−
d) y =
2

2 1
2
x x
x
− +
−
e) y=
2
1
1
x
x x
+
− +
g) y = sin2x − x h)
2
3
1
x
y
x
+
=
+
i)
2
2 4 2
2 3
x x
y

x
− +
=
+
Bài 2: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) f(x) = 2x
3
−9x
2
+ 12x + 3b) f(x) = − 5x
3
+ 3x
2
− 4x + 5 c) f(x) = 3x
4
− 4x
3
−24x
2
+ 48x −3
d) f(x) =
9
x 3
x 2
− +
−
e) f(x)=
2
2
x 8x 24

x 4
+ −
−
g) f(x) =
2
x
x 4+
h) f(x) =
x 3 x−
.
Bài 3: Tìm m để hàm số y =
2
2 1x x
y
x m
+ +
=
+
đạt cực đại tại x = 2.
Bài 4: Cho hàm số y = mx
3
+ 3x
2
+ 5x +2 .(1)
a) Tìm khoảng đơn điệu và cực trò của hàm số khi m = −1.
b) Tìm m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2.
Bài 5: Cho hàm số
1
sin3 sin
3

y x m x= +
(3). Tìm m để hàm số (3) đạt cực đại tại x = 2.
Bài 6: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)
[ ]
2
y sin x 3cosx, x 0;π= − ∈
b) y = 2sinx + cos2x,
[ ]
x 0;π∈

c) y = sin2x + cos2x.
Bài 7: Xác định m để hàm số
2
x mx 1
y
x m
+ +
=
+
đạt cực đại tại x = 2.
Bài 8: a) Tìm a, b để các cực trị của hàm số : y =
2 3 2
5
a x 2ax 9x b
3
+ − +
đều là những số dưong và x
0
=

5
9
−
là
điểm cực đại.
b) Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d biết rằng hàm số f đạt cực tiểu tại x = 0,
f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1.
c) Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d biết rằng hàm số f đạt cực tiểu tại x = 0,
f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x =
1
3
, và giá trị cực đại bằng
4
27
.
d) Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f(x) = x
3
+ ax
2
+ bx + c đạt cực trị bằng 0 tại x = - 2 và đồ thị hàm
số đi qua điểm A(1; 0).
e) Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số f(x) = ax

4
+ bx
2
+ c đạt cực trị bằng −9 tại x =
3
và đồ thị hàm
số đi qua gốc tọa độ.
Bài 9: Tìm a, b, c để hàm số:
a)
2
1
x bx c
y
x
+ +
=
−
đạt cực trị bằng −6 tại x = −1. b)
2
ax bx ab
y
bx a
+ +
=
+
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
c)
2
2
ax 2

1
x b
y
x
+ +
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12
−
CB&Nâng cao
II
−
Bài toán 2: Tìm điều kiện để hàm số có hoặc không có cực trị .
* Điều cần nhớ :
1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x
0
thì f’(x
0
) = 0 hoặc tại x
0
không có đạo hàm.
2. Để hàm số đạt cực trị tại điểm x
0
thì f’(x) đổi dấu khi x đi qua x
0
.
* Điều chú ý:
1. Hàm số bậc ba
3 2

axy bx cx d= + + +
có cực trị ⇔ Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Nếu x
0
là điểm cực trị, để tính giá trị cực trị y(x
0)
ta có thể tiến hành bằng hai cách sau:
Cách 1: Thay giá trị x
0
vào biểu thức hàm, cụ thể:
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ax x xy x f x b c d= = + + +
.
Cách 2: Lấy hàm số y chia đạo hàm y’ được phần dư y = Ax + B khi đó
0 0 0
( ) ( ) Axy x f x B= = +
.
2. Hàm số dạng
( )
2
ax ( )
. ' 0
' ' ( )
bx c P x
y a a
a x b Q x
+ +
= = ≠
+

có cực trị ⇔ Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm
phân biệt khác
'
'
b
a
−
.
Nếu x
0
là điểm cực trị, để tính giá trị cực trị y(x
0)
ta có thể tiến hành bằng hai cách sau:
Cách 1: Thay giá trị x
0
vào biểu thức hàm, cụ thể:
0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
=
.
Cách 2: Thay giá trị x
0
vào biểu thức

0
0
0
( )
( )
( )
P x
y x
Q x
′
=
′
( trong đó P’(x), Q’(x) là đạo hàm của P(x), Q(x)).
• Khi sử dụng điều kiện cần để xét cực trị của hàm số cần kiểm tra lại để loại nghiệm lạ.
• Bài tập loại này đôi khi còn dùng kiến thức khác nữa, đặc biệt là định lí Vi−ét.
Bài 1: Chứng minh các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu.
a)
( )
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m= − + − −
b)
( ) ( )
3 2
2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= − + + + +
c)
( )
3 2
2 3 5y m x x mx= + + + −
d)
( )

( )
( )
3 2 2
3 1 2 3 2 1y x m x m m x m m
= − − + − + − −
c)
2
2
x 2x m
y
x 2
+ +
=
+
d)
( )
2 3
x m m 1 x m 1
y
x m
− + + +
=
−
e)
( )
2 2 4
x m m 1 x m 1
y
x m
+ − − +

=
−
g)
2
x mx m 2
y
x m 1
+ − +
=
− +
.
Bài 2: Tìm m để hàm số sau không có cực trị:
a)
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
b)
( )
3 2
3 1 1y mx mx m x= + − − −
c)
2
5
3
x mx
y
x
− + +
=
−
d)

( )
2 2
1 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
Bài 3: Tìm m để hàm số ( hoặc đồ thị hàm số):
a)
( )
( ) ( )
3 2 2 2
2 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + − +
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho các điểm
cực trị này thõa
( )
1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = +

.
b)
3 2
3y x x mx= − +
có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị đối xứng qua
đường thẳng (d): x − 2y − 5 = 0.(*)
c)
3 2
2 12 13y x mx x= + − −
có hai điểm cực trị cách đều trục tung.
d)
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm cùng phía đối với đường thẳng (d):
3 2 8 0x y− + =
.
Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12
−
CB&Nâng cao
e)
3 2
1
1
3
y x mx mx= − + −
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho thõa:

1 2
8x x− ≥
.
g)
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − +
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho thõa:
1 2
2 1x x+ =
.
h)
( ) ( )
3 2
1 2 2 2y x m x m x m= + − + − + +
có điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị, đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.(*)
i)
4 2
4y x mx x m= − + +
có ba điểm cực trị M, N, P và tam giác MNP nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
Bài 4:Tìm m để hàm số (hoặc đồ thị hàm số):
a)

2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu.
b)
2
2 2 1
1
x x m
y
x
− + −
=
−
có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa điểm
cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị bằng 5.(*)
c)
( )
2 2
1 4 2
1
x m x m m
y
x

− + − + −
=
−
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực tiểu đạt giá trị
nhỏ nhất.
d)
2
3
4
x x m
y
x
− + +
=
−
có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m sao cho
4M m− =
.
e)
2
2 3 2
2
x x m
y
x
+ + −
=
+
có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m sao cho sao cho
12M m− <

.
g)
2
2 5
1
x mx
y
x
− + +
=
−
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm hai phía đối với đường thẳng 2x−y = 0
h)
2
2 3x x m
y
x m
+ + +
=
−
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
i)
( )
2 2
2 1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +

=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đg.thẳng (d): 2x−3y−1=0.
Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số:
a)
( )
2
1 2 1x m x m
y
x m
− + + −
=
−
có hai điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ.
b)
( )
2 2 2
2 4 1 32 2
2
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ hai và điểm cực
trị kia thuộc góc phần tư thứ tư của mặt phẳng tọa độ.
c)
( )
2 2 2

1 4mx m x m m
y
x m
− + + +
=
−
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và điểm cực trị
kia thuộc góc phần tư thứ ba của mặt phẳng tọa độ.
d)
( )
2 2
2 1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trị nằm hai phía của trục hoành ( hoặc trục tung).
Lê Trinh Tường Tài liệu phụ đạo 12
−
CB&Nâng cao
III
−
Bài toán 3: Luận về đường thẳng qua các điểm cực trị của đồ thị.
Cách xác định phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị:
1). Đối với hàm số bậc ba
3 2
( ) ax .y f x bx cx d= = + + +

(1)
+ Thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta được:
( )
( ) ( ). Ax .f x P x f x B
′
= + +
+ Chứng minh đường thẳng có phương trình
Axy B= +
là đường thẳng qua các điểm cực trị của hàm số (1)
Giả sử M
1
(x
1
; y
1
), M
2
(x
2
; y
2
) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1), thế thì: f’(x
i
) = 0, i=1,2.
Do đó, các đẳng thức y
1
= Ax
1
+ B và y
2

= Ax
2
+ B đúng ⇒ M
1
(x
1
; y
1
), M
2
(x
2
; y
2
) thuộc đường thẳng
Axy B= +
.
2) Đối với hàm phân thức dạng:
2
( ) ax
( ) ( . ' 0)
( ) ' '
P x bx c
y f x a a
Q x a x b
+ +
= = = ≠
+
.(2)
+ Thực hiện đạo hàm riêng tử thức (P’(x)=2ax+b) và mẫu thức (Q’(x)=a’).

+ Chứng minh đường thẳng có phương trình
( )
( )
2ax+b
'
P x
y
Q x a
′
= =
′
là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Thật vậy, giả sử x
i
là điểm cực trị, ta có:
f’(x
i
) = 0 ⇔
( )
( )
( )
( )
2
( ). ( ) ( ). ( )
( ). ( ) ( ). ( )
0
( ) 0, 1,2
( )
i i i i
i i

i i i i
i
i i i
P x Q x P x Q x
P x P x
P x Q x P x Q x
Q x i
Q x Q x Q x
′ ′
′
=
′ ′ 
−
= ⇒ ⇒ =

′
≠ =


Do đó các điểm cực tri của hàm số (2) thuộc đường thẳng
( )
( )
2ax+b
'
P x
y
Q x a
′
= =
′

hay 2ax − a’y +b = 0.
Chú ý: Khi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị ta cần xác định điều kiện để hàm số có hai
cực trị trước đã.
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị các hàm số sau:
a).
3 2
2 1y x x x= − − +
b)
3 2
3 6 8y x x x= − − +
c)
3 2
2 3y x x= − +
d)
2
2
4
x x
y
x
− −
=
−
e)
2
1
2
x x
y
x

− −
=
−
g)
2
2 1
3
x x
y
x
− +
=
+
Bài 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng qua các điểm
cực trị của đồ thị hàm số.
a)
( )
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m= − + − −
b)
( )
( )
( )
3 2 2
3 1 2 3 2 1y x k x k k x k k= − − + − + − −
c)
2
6x mx
y
x m

+ −
=
−
d)
2
2
1
x kx k
y
x k
+ − +
=
− +
Bài 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số:
a)
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 2 1y x m x m x= + − + − −
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường
thẳng y = − 4x + 1.
b)
( ) ( )
3 2
2 3 1 6 1 2y x k x k k x= + − + −
có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị thuộc đường thẳng
4y x= −
.
c)
3 2
7 3y x mx x= + + +

có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng
3 7y x= −
.
d)
3 2 2
3y x x k x k= − + +
có các điểm cực đại và cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua các điểm
cực trị đó.