Ôn thi đại học phần khảo sát hàm số 2015

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (619.91 KB, 20 trang )

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
I.Các dạng toán cơ bản:
1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số trên tập D .
2. Sử dụng GTLN – GTNN ñể chứng minh bất
ñẳng thức.
3. Sử dụng GTLN – GTNN ñể giải phương trình,
bất phương trình.

C
C
h
h
ú
ú

ý
ý
:
:

G
G
ỉ
ỉ
a
a

s
s
ử
ử

h
h
à
à
m
m

s
s
ố
ố

y
y

=
=

f
f

(
(
x
x
)
)

c
c
ó
ó

G
G
T
T
L
L
N
N

v
v
à
à

G
G
T
T
N
N
N
N

t
t
r
r
ê
ê
n
n

D
D
:
:

t
t
a
a

c
c
ó
ó

1
1
.
.

P
P
h
h
ư
ư

ơ
ơ
n
n
g
g

t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h

f
f
(
(
x
x
)
)

=
=

m
m

c
c
ó
ó

n
n
g
g
h
h
i
i
ệ
ệ
m
m

)(max)(min xfmxf
D
D
≤≤⇔

.
.

2
2
.
.

B
B
ấ
ấ
t
t

p
p
h
h
ư
ư

ơ
ơ
n
n
g
g

t
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h

f
f
(
(
x
x
)
)

m
≥

c
c
ó
ó

n
n
g
g
h
h
i
i
ệ
ệ
m
m

mxfDx
D
≥⇔∈ )(max
.
.

3
3
.
.

B
B
ấ
ấ
t
t

p
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g

t

t
r
r
ì
ì
n
n
h
h

mxf
≤
)(

c
c
ó
ó

n
n
g
g
h
h
i
i
ệ

ệ
m
m

mxfDx
D
<⇔∈ )(min
.
.

4
4
.
.

mxfDxmxf
D
≥⇔∈∀≥ )(min,)(
.
.

5
5
.
.

mxfDxmxf
D
≤⇔∈∀≤ )(max,)(
.
.

6
6
.
.

Đ
Đ
ể
ể

c
c
h
h
ứ

ứ
n
n
g
g

m
m
i
i
n
n
h
h

Dxxgxf
∈
∀
≤
),()(
.
.

T
T
a
a

c
c
/
/
m
m
i
i
n
n
h

h
:
:

[
]
0)()(max ≤− xgxf
D

h
h
o
o
ặ
ặ
c
c

)(min)(max xgxf
D
D
≤
.
.

II. Bài tập:

Bài 1: Tìm GTLN & GTNN của các hàm số

1) y=
1
sin
sin
1sin
2
+
+
+
x
x
x
2) y=cos x +
2
1
cos 2x
2) y = sin x + cos
2
x +
2
1
4) y=
xx cossin +
5) y = 3 sin x + 4 cos x – 4
(ĐHDL Ngoại Ngữ _ Tin học)
6) y = 2(1 + sin 2x cos 4x) -
2
1
(cos 4x – cos 8x)
(ĐH luật HN 2001 – ĐH Y Dược HN 2001)

7)
90722
23
+−+= xxxy trên
[
]
5;5−
8)
22
42
)21(
1283
x
xx
y
+
++
=
9)
)cos(sin2
cossin1
xx
xx
y
+−
+
+
=

10) y=

xx
22
cossin
2525 +
Bài 2: Cho hàm số y = x
4
– 6m x
2
+ m
2

Tùy theo m, tìm GTLN của hàm số trên
[
]
1;2−
Bài 3: Cho hàm số y = m
2
x
4
– 2x
2
+m ; ( 0
≠
m )
Khảo sát sự biến thiên của hàm số khi 0
≠
m . Xác
ñịnh m ñể m
2
x

4
– 2x
2
+ m x
∀
≥
,0
(ĐHQG HCM - ñợt 3)
Bài 4: Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 2x
2
–(m – 1)x + m
Xác ñịnh m ñể f(x)
2,
1
≥∀≥ x
x

(ĐHKHTN - HCM)
Bài 5:Cho hàm số g(x) = 3x – x
2
với 0 < x <
2
π

CMR:







∈∀≤<
2
;0,2)(0
π
xxg

Bài 6: Xác ñịnh m ñể
1 + cos x +
2
1
cos 2x +
3
1
cos 3x xm
∀
≥
,
Bài 7: CM ñể x
4
+ px
3
+ q x
∀
≥
,0
ñiều kiện cần và ñủ là 256q
≥

27q
4

Bài 8: Xác ñịnh m ñể các bất phương trình sau thỏa x
∀
:

a) sin
3
x + cos
3
x
m
≥
b) mx
4
– 4x + m
≥
0
c) x
4
+ 4mx + m > 0 d)
[
]
1;1,1
2
−∈∀≤−+ xmxx
Bài 9: Với giá trị nào của m thì bất phương trình:
x
2

– 2mx + 2
mx − + 2 > 0, x
∀
.
(Đề 60, II, Bộ ñề tuyển sinh)
Bài 10: Cho hàm số y = f (x) = -x
3
+ 3mx – 2
Xác ñịnh m ñể f(x) 1,
1
3
≥∀−≤ x
x

Bài 11: Tìm m ñể phương trình :
mxxxx =−+−++− )2)(2(22
(ĐH TS – Nha Trang)
Bài 12: Cho bất phương trình
axxa +<+ 72
2

a) Giải bất phương trình khi a =
2
1

b) Tìm a ñể bất phương trình có nghiệm x
∀
.
Bài 13:Xác ñịnh m ñể phương trình
4(sin

4
x + cos
4
x) – 4(sin
6
x + cos
6
x) – sin
2
4x = m
có nghiệm. (ĐHQG HCM)
Bài 14: Xác ñịnh a ñể phương trình

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
axx
x
x
+−=
−
−
12
12
13
2
có nghiệm duy nhất
(ĐHQG HCM - ñợt 3)

Bài 15: Cho phương trình:

mxxxx =−+−+−+−
2
6515
a) Giải pt khi m =
)21(2 +
b) Tìm m ñể phương trình có nghiệm
(ĐHPCCC – A – 2000)
Bài 16: Tìm m ñể phương trình :
Cos 2x + m cos x + 2m + 1 = 0 có nghiệm
(ĐHPCCC – A – 2000)
Bài 17:Cho phương trình:

()()()
m
x
x
xxx =
−
+
−++−
3
1
3413 .
a) Giải phương trình khi m = -3.
b) Tìm m ñể phương trình có nghiệm thực.
(Đề 3,I BỘ ĐỀ TUYỂN SINH)

Bài 18:Xác ñịnh theo m số nghiệm của ph.trình:

4
44
44 mxxmxx +++++ = 6.
(Đề 132,II BỘ ĐỀ TUYỂN SINH)
Bài 19:Cho bất phương trình :

(
)
(
)
.264
2
mxxxx +−≤−+
a) Giải bất phương trình với m = -12.
b) Tìm m sao cho bất phương trình thỏa

[
]
6;4−∈∀x .
(Đề 69,II BỘ ĐỀ TUYỂN SINH)
Bài 20:Cho bất phương trình :

(
)
(
)
182244
2
−+−≤+−− axxxx .
a) Giải bất phương trình khi a = 6.

b) Xác ñịnh a ñể bất phương trình ñưo0ực nghiệm
ñúng với
[
]
4;2−∈∀x .
(Đề 149,III BỘ ĐỀ TUYỂN SINH)
Bài 21:Chứng minh rằng với mọi m > 0 phương
trình ñã cho luôn có hai nghiệm thực phân biệt:

(
)
282
2
−=−+ xmxx .
(Đề thi TUYỂN SINH ĐH – B – 2007)
Bài 22:Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm thực:

4
2
12113 −=++− xxmx .
(Đề thi TUYỂN SINH ĐH-A-2007)

Bài 23:Tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm thực
phân biệt:

.626222
44

mxxxx =−+−++
(Đề thi TUYỂN SINH ĐH –A-2008)
Bài 24: .Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm thực:

()
.0232341
4
2
=−+++−+− xmxxmx
(HVQHQT)
Bài 25:Cho phương trình:

(
)
(
)
.8181 axxxx =−++−++
a) Giải phương trình khi m = 3.
b) Tìm m ñể phương trình có nghiệm.
(ĐH KINH TẾ QUỐC DÂN HN)
Bài 26: Xác ñịnh m ñể phương trình sau có nghiệm:

(
)
(
)
.7272 mxxxx =−+−−++
(ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG)

Bài 27:Cho phương trình:

.444 mxxxx =−++−+
a) Giải phương trình khi m = 6.
b) Tìm m ñể phương trình có nghiệm.
(CAO ĐẲNG HẢI QUAN)
Bài 28: Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm:

.
6
9696
mx
xxxx
+
=−−+−+
(ĐHỌC SƯ PHẠM VINH –G)

Bài 29 Sử dụng tính ñơn ñiệu chứng minh bất ñẳng
thức
1.CMR:
(
)
01ln >∀<+ xxx
2.CMR:
(
)
1
1
12
ln >∀

+
−
> x
x
x
x
3.CMR :
()
0x
2
1ln
2
>∀−>+
x
xx
4.CMR :
(
)
0ln
1
11ln
2
>∀+<++ xx
x
x
5.CMR
:
(
)
(

)
1,0,11 ≤−>≥≥∀−+≥−
+
qpqpxxxqpx
qpqp

6.CMR :
(
)
(
)
12log1log
1
>∀+>+
+
xxx
xx

6.Cho a, b>0, CMR:

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
(
)
(
)
0ln
1
ln
1
>>∀+>+ αβ

βα
ββαα
baba

7. Cho
()
yx
y
x
≠



<<
<<
10
10
. CMR :
4
1
ln
1
ln
1
>







−
−
−− x
x
y
y
xy

8. Cho x>y>0. CMR :
yx
yxyx
lnln2 −
−
>
+

9.CMR với mọi x>0 ta có
!
4
!
2
1cos
!
2
1)
!5!3
sin
!3
)

tan)sin)
422
533
xx
x
x
d
xx
xx
x
xc
xxbxxa
+−<<−
+−<<−
>
<

10. CMR với






∈∀
2
;0
π
x

π
x
xc
b
a
x
xx
xxx
2
sin)
222)
222)
1
2
3
tansin2
1tansin
>
>+
>+
+
+

 k 

A/
PHƯƠNG PHÁP.
1/ Phương pháp 1:
Biến đổi đưa về phương trình
tích.
2/ Phương pháp 2: Sử dụng phép biến đổi tương
đương.

Đối với phương trình chứa căn thức còn gọi là
phép khử căn.
*
g(x)0
2n
f(x)g(x)
2n
f(x)g(x)
≥



=⇔

=



*
2n1
2n1
f(x)g(x)f(x)g(x)
+
+
=⇔=
3/ Phương pháp 3:
Đặt ẩn số phụ
4/ Phương pháp 4: Sử dụng các kiến thức về
BĐT
Chủ yếu là hai dạng sau:
* Dạng 1:
Đưa phương trình về dạng
f(x)g(x)
=
mà
g(x)a
g(x)a
≥



=

(a là hằng số )
Nghiệm của phương trình là
nghiệm của hệ
f(x)a
g(x)a
=


=

.
* Dạng 2: Đưa phương trình cần giải về dạng
h(x)=a (a là hằng số)
Mà
h(x)a
h(x)a
≥


≤

thì nghiệm của
phương trình là giá trò của biến x làm cho dấu của

đẳng thức xảy ra .
5/ Phương pháp 5:
Chứng minh nghiệm duy
nhất

6/ Phương pháp 6:
Đưa về hệ
7/ Phương pháp 7: Đưa về tổng các số không
âm.

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
8/ Phương pháp 8:Tính chất chia hết của
nghiệm
9/ Phương pháp 9: Sử dụng đồ thò và các
kiến thức về tam thức bậc hai.
10/ Phương pháp 10:
Sử dụng tính chất hàm
số

B/ BÀI TẬP.
I/ Dạng 1:
Giải phương trình.
1/ (Dự bò 2 khối D 2006) :
2
x27x2x1x8x71
+−=−+−+−+
,
xR
∈
.
2/ (Dự bò 1 khối B 2006) :
2
3x2x14x923x5x2

−+−=−+−+
,
xR
∈
.
3/ (Dự bò 1 khối B 2005)
:
3x35x2x4
−−−=−
.
4/ ( ĐH K
D
-2005)
2x22x1x14
+++−+=
;
5/ ( ĐH K
D
-2006) :
2
2x1x3x10
−+−+=
,
xR
∈

6/
(
)
(

)
1x11x2x5x
++++−=
;7/
22
2x3x52x3x53x
+++−+=

8/
10x1x31
−−+=
;
9/
3x5x14
+−−=

10/
2x5x22x1
−++=+
;
11/
1x1
2
x1x1
2x1
+

−=+

−


.
12/
2
12x1x
2
2x1
2
+−
+=
.

II/ Dạng 2:
Giải bất phương trình.
1/ (Dự bò 2 khối B 2005) :
2
8x6x14x10
−+−+≤
;
2/ (Dự bò 1 khối D 2005)
2x75x3x2
+−−≥−
;
3/ ( ĐH K
D
- 02)
(
)
22
x3x2x3x20

−−−≥
;
4/ ( ĐH K
A
-05)
5x1x12x4
−−−>−
;
5/ ( ĐH K
A
-04)
(
)
2
2x16
7x
x3
x3x3
−
−
+−>
−−
;
III/ Dạng 3:
Tìm điều kiện để phương trình, bất
phương trình có nghiệm .
Thông thường ở dạng này ta sử dụng một
trong các phương pháp sau:
* PP1: Sử dụng tính chất đồng biến ,nghòch
biến của hàm số.

* PP2: Sử dụng tương giao của các đồ thò hàm
số.
1/ (Dự bò 1 khối B 2007) :
Tìm m để phương trình:
4
2
x1xm
+−=
có nghiệm.
2/ (Dự bò 1 khối A 2007) :Tìm m để bất phương
trình :
2
mx2x21x(2x)0

−+++−≤



có nghiệm
x0;13

∈+

.
3/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình
4
2
3x1mx12x1
−++=−

có nghiệm thực .
4/ ( ĐH K
B
-2007) CMR với giá trò của mọi m,
phương trình
2
x2x8m(x2)
+−=−
có 2
nghiệm thực phân biệt .
5/ ( ĐH KA-2007) Tìm m để phương trình
4
4
2x2x26x26xm
++−+−=
,
(
)
mR
∈
có đúng hai nghiệm thực phân biệt.
6/ (Khối D-2004):
CMR: phương trình sau có đúng
một nghiệm :
52
xx2x10
−−−=
.
7/ ( ĐH K
B

-2004): Xác đònh m để phương trình
sau có nghiệm :

22422
m1x1x221x1x1x

+−−+=−++−−


.

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
8/ ( ĐH K
B
-2006): Tìm m để pt:
2
xmx22x1
++=+
có 2 nghiệm thực phân
biệt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH .
Để giải hệ phương trình và hệ bất phương

trình , ngoài những phương pháp như:
cộng đại số; thế; đồ thò; sử dụng đònh
thức cấp hai.
Chúng ta có thể sử dụng phương pháp đặt
ẩn phụ và phương pháp bất đẳng thức.
I/ Dạng 1:
Giải hệ phương trình.
1/ (Dự bò 1 khối D 2006)
:
()
22
xxyy3(xy)
3
22
xxyy7xy

−+=−



++=−

,
(
)
x,yR
∈ .
2/ (Dự bò 2 khối B 2006)
:
()

(
)
()
(
)
22
xyxy13
22
xyxy25

−+=



+−=

,
(
)
x,yR
∈ .
3/ (Dự bò 2 khối A 2006) :
(
)
33
x8xy2y
22
x33y1

−=+



−=+


,
(
)
x,yR
∈ .
4/ (Dự bò 1 khối A 2006) :
(
)
()
(
)
()
2
x1yyx4y
2
x1yx2y

+++=



++−=

,
(

)
x,yR
∈ .
5/ (Dự bò 1 khối A 2005) :
()
22
xyxy4
xxy1y(y1)2

+++=


++++=


,
6/ (Dự bò 2 khối A 2005) :
2xy1xy1
3x2y4

++−+=


+=


.

7/ (Dự bò 2 khối A 2007) :
4322

xxyxy1
32
xyxxy1

−+=


−+=


.
8/ ( ĐH K
A
-2008):
()
5
232
xyxyxyxy
4
5
42
xyxy12x
4

++++=−




+++=−



,
(
)
x,yR
∈ .
9/ ( ĐH K
B
-2008):
4322
x2xyxy2x9
2
x2xy6x6

++=+


+=+


,
(
)
x,yR
∈ .
10/ ( ĐH K
D
-2008):
22

xyxyx2y
x2yyx12x2y

++=−


−−=−


,
(
)
x,yR
∈ .
11/ ( ĐH K
B
-2002)
3
xyxy
xyxy2

−=−


+=++



12/ (ĐH K
D

-2002)
3x2
25y4y
xx1
42
y
x
22

=−

+

+

=
+
.
13/ ( ĐH Khối A -2003)
11
xy
xy
3
2yx1
−=−
=+






.

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
14/ (ĐH K
B-
03)
2
y2
3y
2
x
2
x2
3x
2
y
+
=
+
=







;
15/ ( ĐH K

A
-2006)
xyxy3
x1y14

+−=


+++=



II/ Dạng 2:
Tìm điều kiện của tham số để
hệ phương trình, hệ bất phương trình có
nghiệm.
1/ (Dự bò 1 khối D 2005) :Tìm m để hệ bất
phương trình sau có nghiệm

2xx12x1
772005x2005
2
x(m2)x2m30

++++
−+≤




−+++≥

.
2/ (Dự bò 1 khối B 2007) :Chứng minh rằng hệ
phương trình
y
x
e2007
2
y1
x
y
e2007
2
x1

=−

−



=−

−

có đúng
hai nghiệm thỏa điều kiện x>0, y>0.
3/ ( ĐH K-D:2007) Tìm m để hệ
11

xy5
xy
11
33
xy15m10
33
xy

+++=




+++=−


có nghiệm thực .
4/ (CĐ Khối A+B+D: 2008) Tìm m để hệ
phương trình
xmy1
mxy3
−=


+=

có nghiệm (x;y) thỏa
Điều kiện x.y<0.
5/ ( ĐH K
D

-2004)
xy1
xxyy13m

+=


+=−



6/Tìm x, y
(
)
π;0∈ thoả mãn hệ



=+
−=−
π285
cotcot
yx
yxyx

7/Giải hệ






++=+
++=+
++=+
xxxz
zzzy
yyyx
23
23
23
12
12
12

8/Giải hệ





−++=
−++=
−++=
2
2
2
23
23
23
xxxz

zzzy
yyyx

9/Giải hệ
(
)
()





=+−+−+
=+−+−+
=+−+−+
xzzzz
zyyyy
yxxxx
1ln33
)1ln(33
1ln33
23
23
23

10/Giải hệ
()
()
()








=
=
=
+
+
+
x
z
y
zz
yy
xx
23
23
23
2
4
1
2
4
1
2
4
1

11/Giải hệ









+=
+=
+=
x
x
z
z
z
y
y
y
x
sin
6
sin
6
sin
6
3

3
3

12/
(
)
()





=++++
+=+
+−+−−
02ln14
21541
23
12212
xyxy
yxyxyx

.
.

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn

LƯNG GIÁC .
I/ Dạng 1:
Giải phương trình .
1/ (Dự bò 1 khối D 2006):
332
cosxsinx2sinx1
++=
.
2/ (Dự bò 2 khối B 2006)
(

)
(
)
xxxx
421221sin2y120
−++−+−+=
.
3/ (Dự bò 2 khối B 2007) :
(
)
(
)
cos2x12cosxsinxcosx0
++−=
.
4/ (Dự bò 2 khối D 2006) :
32
4sinx4sinx3sin2x6cosx0
+++=
.
5/ (Dự bò 1 khối B 2006) :
(
)
(
)
222
2sinx1tan2x3cosx10
−+−=
.
6/ (Dự bò 2 khối A 2006) :

2sin2x4sinx10
6
π

−++=


.
7/ (Dự bò 1 khối A 2006)
232
33
cos3x.cosxsin3x.sinx
8
+
−=.
8/ (Dự bò 1 khối A 2005) :Tìm nghiệm trên
khoảng
(
)
0;
π
của phương trình :

x3
22
4sin3cos2x12cosx
24
π

−=+−




9/ (Dự bò 2 khối A 2005) :
3
22cosx3cosxsinx0
4
π

−−−=



10/ (Dự bò 1 khối B 2005) :
(
)
223
sinx.cos2xcosxtanx12sinx0
+−+=
.
11/ (Dự bò 2 khối B 2005) :
cos2x1
2
tanx3tanx
2
2
cosx
π−

+−=



.
12/ (Dự bò 1 khối D 2005) :
3sinx
tanx2
21cosx
π

−+=

+

.
13/ (Dự bò 2 khối D 2005) :
sin2xcos2x3sinxcosx20
++−−=
.
14/ (Dự bò 1 khối B 2007) :
5xx3x
sincos2cos
24242
ππ

−−−=


.

15/ (Dự bò 2 khối A 2007) :

(
)
2
2cosx23sinx.cosx13sinx3cosx
++=+ .
16/ (Dự bò 1 khối A 2007) :
11
sin2xsinx2cot2x
2sinxsin2x
+−−= .
17/(CĐ Khối A+B+D: 2008) :
sin3x3cosx2sin2x
−=.
18/(ĐH K-D-2008):
(
)
2sinx1cos2xsin2x12cosx
++=+ .
19/(ĐH K-B-2008):
3322
sinx3cosxsinx.cosx3sinx.cosx
−=− .
20/(ĐH K-A-2008):
117
4sinx
3
sinx4
sinx
2
π


+=−

π


−


.
21/ (ĐH K
B
-2007)
2
2sin2xsin7x1sinx
+−= .

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
22/( ĐH K
D
-2007)
2
xx
sincos3cosx2
22

++=


.

23/(ĐH K
A
-2007)
(
)
(
)
22
1sinxcosx1cosxsinx1sin2x
+++=+ .
24/(ĐH K
A
-2003)
cos2x1
2
cotgx1sinx.sin2x
1tgx2
−=+−
+

25/( ĐH K
B
-2003)
x
xtgxgx
2
sin
2
2sin4cot =+−
26/( ĐH K

D
-2003)
xx
222
sin.tgxcos0
242
π

−−=



27/(ĐH K
A
-2002).
32cos
2sin21
3sin3cos
sin5 +=






+
+
+ x
x
xx

x
; với
x )2;0(
π
∈
.
28/(ĐH K
B
-2002)
2222
sin3xcos4xsin5xcos6x
−=−
29/(ĐH K
D
-2002) cos3x - 4cos2x + 3cosx – 4
= 0 ; x
∈
[
]
0;14

30/(ĐH K
A
-2005)
22
cos3x.cos2xcosx0
−=
.
31/( ĐH K
A

-2004 ) Cho tam giác ABC không
tù thoả điều kiện :

cos2A22cosB22cosC3
++=
. Tính ba
góc của tam giác ABC .
32/( ĐH K
B
-2004)
()
2
5sinx231sinxtgx
−=−
33/( ĐH K
D
-2004)
(
)
(
)
2cosx12sinxcosxsin2xsinx
−+=−
34/(ĐH K
B
-2005)
02sin2coscossin1
=
+
+

+
+
xxxx
35/(ĐH K
D
-2005)
3
44
cosxsinxcosx.sin3x0
442
ππ

++−−−=



36/( ĐH K
B
-2006)
x
cotgxsinx1tgx.tg4
2
++=




37/( ĐH K
D
-2006)

cos3xcos2xcosx10
+−−=

38/(ĐH K
A
-2006)
(
)
66
2cosxsinxsinx.cosx
0
22sinx
+−
=
−
.

HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT .
I/ Dạng 1:
Giải phương trình .

1/ (Dự bò 2 khối A 2006) :
log2log4log8
x
2x
2x
+=
2/ (Dự bò 1 khối B 2006) :
()()

3
logx1log3xlogx1
18
2
2
+−−=−
3/ (Dự bò 2 khối D 2006) :
(
)
1
2logx1.logxlog0
242
4
++=

4/ (Dự bò 2 khối B 2006) :
22
xx1xx2
910.310
+−+−
−+=

5/ (Dự bò 1 khối D 2006) :
(
)
(
)
xx1
log31.log336
33

+
−−=

6/ (Dự bò 1 khối B 2007) :
() ()
2
logx1log2x12
3
3
−+−=

7/ (Dự bò 2 khối A 2007) :
()
11
logx1logx2
42
log42
2x1
−+=++
+

8/ (ĐH K
A
-2002) Cho PT :
22
logxlogx12m10
33
++−−=
.

a) Giải PT khi m = 2 ;
b) Tìm m để PT có ít nhất một nghiệm trên
3
1;3




9/ (ĐH K
A
-2006)
xxxx
3.84.12182.270
+−−=

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
10/ ( ĐH K
D
-2006)
22
xxxx2x
24.2240
+−
−−+=
.
11/ ( ĐH K
D
-2003)
22

xx2xx
223
−+−
−=
.
12/ ( ĐH K
A
-2008)
(
)
()
2
2
log2xx1log2x14
2x1x1
+−+−=
−+
.
13/(ĐH K-B:2007)
(
)
(
)
xx
2121220
−++−=

14/(ĐH K-D:2007)
()
1

xx
log415.2272log0
x
22
4.23
+++=
−
.
15/(CĐ Khối A+B+D: 2008) :
()
2
logx16logx120
22
+−++=

16/(TN-2008-CTPB):
2x1x
39.360
+
−+=

17/ (ĐH Luật Hà Nội 98):
(
)
(
)
cosxcosx
7437434
++−=

18/ (ĐHQG Hà Nội-
98):
(
)
(
)
22
logx3x2logx7x123log3
222
+++++=+
19/ (ĐHY Thái Bình-
98):
2
22
logx1logx1x6
2323

+++−=

+−


II/ Dạng 2:
Giải bất phương trình .
A/ PHƯƠNG PHÁP MŨ HÓA VÀ
LOGARIT HÓA

1/ (ĐH BK Hà Nội-98):
()
1
2
logx5x6logx2logx3
311
2
33
−++−>+
.
2/(Dự bò 1 khối A 2006) :
log(2x)2
x1
−>
+

3/(Dự bò 1 khối A 2007) :
(
)
2
log8logxlog2x0
x
42
+≥

4/(Dự bò 2 khối D 2005) :
2
2xx
2
1

x2x
923
3
−

−
−≤


.
5/ (ĐH K-B:2007):
(
)
(
)
xx2
log41444log21log21
555
−
+−<++
.
6/(ĐH BK Hà Nội 97):
xx1
2
1
x2x
3
3
−−


−
≥


.
7/(ĐH DL Phương Đông):
(
)
log3x1
2
3xx
−>
−
.
8/ (ĐH Văn Lang 97):
(
)
2
log5x8x32
x
−+>
.
9/ (ĐH Thương Mại 97):
(
)
2
log5x18x162
x3
−+>
.

10/ (ĐH Huế 98) :
1
logx2
x
4

−≥


.
11/ (ĐH K-D:2008):
2
x3x2
log0
1
x
2
−+
≥
.
12/ (ĐH K-B:2008):
2
xx
loglog0
0,7
6
x4

+
<



+

.
13/ (ĐH K
A
-2007)
(
)
2log4x3log(2x3)2
31
3
−++≤
.

B/ PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.
1/ ( ĐH K
B
-2002)
(
)
x
loglog9721
x

3

−≤


2/(ĐH K
B
-2006)
(
)
(
)
xx2
log41444log21log21
555
−
+−<++

3/ (ĐH Y Hà Nội 97):
log64log163
2x2
x
+≥

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
C/ PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC
HOẶC ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH .

1/ (ĐH Y- Dược Hà Nội 97):
222
2x1x2x
4xx.23.2x.28x12
+
++>++
.
2/ (ĐHSP Quy Nhơn 97):
2
xx
448
2
332.cosx



−+
ππ
+≤

III/ Dạng 3:
Hệ phương trình , hệ bất
phương trình .
1/ (Dự bò 1 khối A 2007) :
y1
2
xx2x231
2x1
yy2y231
−


+−+=+


−

+−+=+

,
(
)
xR
∈

2/ (Dự bò 2 khối D 2006) :
(
)
(
)
ln1xln1yxy
22
x12xy20y0

+−+=−


−+=



3/ (Học Viện Quân Y 97) :
(
)
1
4
logxxlogx
2
6
4
16
sin1
x
x
1cos
x
4
cos
16

+=



π

+
π

<−
π




.
4/ (K
A
-2004):
()
1
logyxlog1
14
y
4
22
xy25

−−=




+=


.
5/ (ĐH Đà Nẵng-97):
22
logxlogx0
22
1

32
x3x5x90
3

−<


−++>


.
6/ (ĐH SPHà Nội 2-Khối A-98) :
y2y3x
3x1
223.2
2
3x1xyx1
−+
+

+=



++=+

.
7/ ( KB-2005)
(
)

x12y1
23
3log9xlogy3
93

−+−=


−=


.
8/ (khối D-2006) Chứng minh rằng với mọi a>0 ,
hệ phương trình :

()()
ln1ln1
y
x
eexy
yxa

−=+−+


−=


có nghiệm duy nhất.
9/ (ĐHQG TPHCM Đợt 1-98) Cho hệ phương

trình:
()()
22
9x4y5
log3x2ylog3x2y1
m
3

−=


+−−=


.
a) Giải hệ khi m=5.
b) Tìm giá trò lớn nhất của m sao cho hệ đã
cho có nghiệm (x,y) thỏa :
3x2y5
+≤
.

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ
ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ .

1/ (Dự bò 1 khối B 2002) Cho hàm
số:
422
ymx(m9)x10
=+−+

, (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số
(1) khi m=1.
b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trò .
2/ (Dự bò 2 khối A 2002) Cho hàm
số:
42
ymxmxm1
=−+−
, (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số
(1) khi m=8.
b) Tìm m để đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành
tại 4 điểm phân biệt .
3/ (Dự bò 1 khối A 2002) Cho hàm
số:
422
yx2mx1
=−+
, (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số
(1) khi m=1.

b) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có ba điểm cực
trò là ba đỉnh của một tam giác vuông cân .

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn

4/ (Dự bò 1 khối D 2002) Cho hàm
số:
2
xmx
y
1x
+
=
−
, (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò
hàm số (1) khi m=0.
b) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có cực đại
cực tiểu . Với giá trò nào của m thì khoảng
cách
giữa hai điểm cực trò của đồ thò hàm số
(1) bằng 10.
5/ (Dự bò 1 khối A 2003)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C)
của hàm số
2
2x4x3
y
2(x1)
−−
=
−
.
b) Tìm m để phương trình
2

2x4x32mx10
−−+−=
có hai nghiệm phân
biệt.
6/ (Dự bò 2 khối A 2003) Cho hàm
số:
22
x(2m1)xmm4
y
2(xm)
+++++
=
+
, (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò
hàm số (1) khi m=0.
b) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có cực trò
và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trò của
đồ
thò hàm số (1).
7/ (Dự bò 1 khối B 2003) Cho hàm
số:
2x1
y
x1
−
=
−
, (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C)

của hàm số (1) .
b) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm
cận của (C) . Tìm điểm M thuộc (C) sao cho
tiếp
tuyến của (C) tại M vuông góc với đường
thẳng IM.
8/ (Dự bò 1 khối D 2003) Cho hàm
số:
22
x5xm4
y
x3
+++
=
+
, (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số
(1) khi m=1.
b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trong
khoảng
(
)
1;
+∞
.
9/ (Dự bò 1 khối A 2005) Cho hàm
số:
22
x2mx13m

y
xm
++−
=
−
, (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số
(1) khi m=1.
b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trò
nằm về hai phía trục tung.
10/ (Dự bò 2 khối A 2005)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của
hàm số
2
xx1
y
x1
++
=
+
.
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua M(-
1;0) và tiếp xúc với đồ thò (C).

VD1. Từ tỉnh A đến tỉnh B có hai con đư

ờng. Từ tỉnh A
đến tỉnh C có 3 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách để đ
i
từ A đến các tỉnh khác. (Tỉnh A khơng có đường nào đ
ến
các tỉnh khác ngoại trừ hai tỉnh B và C).
VD2. Một người được đi tham quan một trong các đ
ịa
điểm như sau: Đi Châu âu: Anh, Đức, Pháp, Hà
lan,
Thuỵ sỹ. Đi Châu Á: Trung quốc, Ấn độ, Ápga
nitstan,
Mơng cổ. Đi Châu mỹ: Mỹ, Canada, Cuba, Brazil. H
ỏi
người đó có bao nhiêu cách đi du lịch.

VD1. Từ tỉnh A đến tỉnh B có 5 con đường, từ B đ
ến
tỉnh C có 4 con đường. Hỏi đi từ A đến C có bao nhiê
u
cách đi (phải đi qua tỉnh B).
VD2. Một người có 5 các áo sơ mi và 6 cái quần dài
.
Hỏi người đó có bao nhiêu bộ trang phục.

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
VD3. Sắp xếp 5 học sinh vào một hàng dài. Hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp.
VD4. Từ các chữ số 1,2,…6. Lập ñược bao nhiêu
số:

a) Có 3 chữ số. b) Có 3 chữ số khác
nhau c) Có 5 chữ số khác nhau.
Nhận xét.
Quan trọng nhất trong qui tắc nhân là:
Chúng ta biết chia công việc A thành các công
việc nhỏ. Và quan trọng hơn nữa là biết sắp xếp
thứ tự công việc, cái nào nên làm trước, cái nào
làm sau
VD5.
Cho các chữ số 0,1,2,…5. Lập ñược bao
nhiêu số
a) Có 4 chữ số khác nhau b) Số lẻ có 4
chữ số khác nhau c) Số chẵn có 4 chữ số khác
nhau

Nhận xét.
Chủ yếu các bài toán là phối hợp hai
qui tắc cộng và nhân. Khi ñó chúng ta cần biết
phân chia công việc A thành các công việc nhỏ và
cần nhận biết ñược mối quan hệ giữa các công
việc nhỏ
VD1. Cho các chữ số 0,1….6. Lập ñược bao nhiêu
số:
a) Có 5 chữ số khác nhau b) Số chẵn có
5 chữ số khác nhau c) Số lẻ có 5 chữ số khác
nhau
d) Số có 5 chữ sô khác nhau và chia hết cho
5. e) Có 5 chữ số khác nhau và chữ số ñầu tiên bằng
5
f) Số có 5 chữ số khác nhau và chữ số ñầu

tiên khác 5 g) Có 5 chữ số khác nhau và không có
số 4
h) Số tạo thành có 5 chữ số khác nhau và
luôn có mặt số 5
VD2. Cho các chữ số 0, 1,…, 9. Lập một số thoả
mãn:
a) Có 9 chữ số trong ñó có 5 chữ số 1 ñứng
liền nhau và 4 chữ số còn lại khác nhau.
b) Có 6 chữ số trong ñó có hai chữ số 1 và 4
chữ số còn lại khác nhau.
c) Có 5 chữ số khác nhau trong ñó luôn có
mặt hai số 1,2 và hai số này luôn ñứng gần nhau.
d) Có 5 chữ số khác nhau trong ñó luôn có
mặt hai số 1, 2 và hai số này không ñứng gần nhau.
e) Số tạo thành có 5 chữ số trong ñó hai số
ñứng vị trí ñối xứng qua số thứ 3 thì giống nhau.
f) Số có 6 chữ số khác nhau và chữ số ñầu tiê
n,
hoặc thứ hai là số 5.
g) Số có 6 chữ số khác nhau và <600000.
h) Số chẵn có 6 chữ số khác nhau và <600000.
i) Có 5 chữ số khác nhau và không có d
ạng
23cde.
VD3. Cho các chữ số 1, 2, …5, 6. Lập một số thoả mãn:

a) Có 5 chữ số trong ñó chữ số 1 ñược lặp lại
hai
lần.
b) Có 5 chữ số trong ñó có một số ñược lặp l

ại
hai lần.
c) Có 6 chữ số trong ñó chữ số 1 ñược lặp lại
ba
lần.
d) (ĐHNN1) Cho các chữ số 0,1 ….,7 có thể l
ập
ñược bao nhiêu số gồm 10 chữ số ñược chọn từ các ch
ữ
số trên, sao cho chữ số 6 có mặt ñúng 3 lần, các chữ s
ố
khác có mặt một lần.
e) Lập ñược bao nhiêu số có 6 chữ số khác
nhau.
Tính tổng tất cả các số này.
VD4. Cho các chữ số 0,1,…4,5. Lập một số thoả mãn:
a) Số tạo thành là số chẵn b) Số tạo thành l
à
số lẻ. c) Số tạo thành không chia hết cho 5.
d) Số tạo thành không chia hết cho 3.
VD5. (HVBCVT) Từ các chữ số 0, 1, …8, 9 có thể l
ập
ñược bao nhiêu số có 6 chữ số khác
nhau, sao cho trong
các số ñó luôn có mặt chữ số 0 và 1.
VD6. Với các chữ số 1, 2, …, 7 lập ñược bao nhiêu s
ố
có 7 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số này
.
Chứng minh rẳng tổng các số chia hết cho 9.

VD7.(CĐKTĐN) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số kh
ác
nhau ñược lập từ các số 1 ,2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho hai ch
ữ
số chẵn không ñứng liền nhau.
VD8. (ĐHHH) Có bao nhiêu cách xếp 5 học
sinh A, B,
C, D, E vào một nghế dài sao cho:
a) Bạn C ngồi chính giữa b) Hai bạn
A, E
ngồi hai ñầu nghế
VD9.( ĐHTN) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác
nhau
sao cho tổng các chữ số của nó là một số lẻ.
VD10.( ĐHSPHN) Có thể lập ñược bao nhiêu số gồm
8
chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, trong ñó các chữ s
ố
1 và 6 ñược lặp lại hai lần.
VD11.( ĐHV) a) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ sô kh
ác
nhau sao cho tổng các chữ số của nó là một số chẵn.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
sao cho
trong mỗi số ñó, chữ số ñứng sau luôn lớn hơn chữ s
ố
ñứng liền trước.
VD12. (ĐHQGTPHCM) a) Có bao nhiêu số chẵn gồm
6
chữ số khác nhau trong ñó chữ số ñầu tiên là số lẻ.

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
b) Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau
trong ñó có ñúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn (chữ
số ñầu tiên phải khác số 0).
VD13. (ĐHQGTPHCM) Có bao nhiêu số gồm 6
chữ số khác nhau sao cho có ñúng 3 chữ số lẻ và 3
chữ số chẵn.
VD14. (ĐHQG) a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6
chữ số khác nhau, trong ñó có mặt chữ số 0 nhưng
không có mặt chữ số 1.
b) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số trong ñó
chữ số 2 có mặt ñúng 2 lần, chữ số 3 có mặt ñúng 3
lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
VD15. (ĐHH) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ
số sao cho không có chữ số nào lặp lại ñúng 3 lần.

VD1. Một lớp học có 30 học sinh.
a) Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả học sinh
thành một hàng dọc.
b) Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh lần
lượt làm lớp trưởng, bí thư và lớp phó.
c) Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh ñi dự
hội nghị học sinh giỏi.
VD2. Trong mặt phẳng cho 8 ñiểm bất kỳ sao cho
không có 3 ñiểm nào thẳng hàng.
a) Có bao nhiêu tam giác có 3 ñỉnh là các
ñỉnh trên.

b) Có bao nhiêu ñường thẳng ñi qua hai ñỉnh
trong các ñỉnh trên.
VD3. Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi lập
ñược bao nhiêu số có 4 chư số và các chữ số ñược
xếp theo thứ tự tăng dần.

VD1. (ĐHHuế) Một lớp học có 30 hs nam và 15 hs
nữ. Chọn 6 hs làm thành một tốp ca. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn nếu:
a) 6 hs ñược chọn bất kỳ.
b) Số nam và nữ bằng nhau.
c) Đội văn nghệ gồm 4 nữ và 2 nam. d)
Phải có ít nhất là 2 hs nữ
e) Có ít nhất một nữ
VD2. (ĐHYHN) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học
nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một ñoàn công tác gồm 3
người sao cho cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán
học và vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách.
VD3. (ĐHTNguyên) Một ñội văn nghệ gồm 20 người
trong ñó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn ra 5 người sao cho:
a) Có ñúng 2 người nam trong 5 người ñó.
b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người
ñó.
VD4. (HVCTQGTPHCM) Có 10 hs trong ñó 3 hs giỏi
, 4
hs khá và 3 hs trung bình. Chọn ngẫu nhiên ra một nhóm

gồm 3 hs. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ñể:

a) Trong 3 học sinh ñược chọn có cả hs giỏi, khá
,
trung bình.
b) …. không có
hs trung
bình.
VD5. Có 9 bi xanh, 5 bi ñỏ và 6 bi vàng có kích thước
khác nhau (các viên bi khác nhau).
a) Có bao nhiêu cách chon ra 3 viên bi bất kỳ.
b) Có bao nhiêu cách chọn 6 viên trong ñó có
ñúng hai bi ñỏ.
c) Có bao nhiêu cách chọn 6 viên bi trong ñó số
bi xanh bằng số bi ñỏ.
d) Chọn ra 3 viên bi sao cho có ñúng hai màu.
e) Có bao nhiêu cách chon ra 3 viên bi sao cho
không ñủ 3 màu.
VD6. (ĐHQGTPHCM). Có 5 hoa vàng, 3 hoa trắng, 4
hoa ñỏ (các bông khác nhau), chọn ra 7 bông ñể làm
thành một bó.
a) Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ñúng một

bông ñỏ.
b) Có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong ñó có ít

nhất 3 bông hoa vàng và ít nhất 3 bông ñỏ.
c) Có ít nhất một bông trắng.
VD7. Một lớp học có 25 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu
cách chọn ra 7 học sinh sao cho:
a) không phân biệt các học sinh. b) Có 5
nam và 2 nữ. c) Nữ nhiều hơn nam.

d) Có học sinh nam
VD8. (HVNH) Trong mặt phẳng cho ña giác ñều T gồm
có 20 cạnh. Xét các tam giác có 3 ñỉnh lấy từ 20 ñỉnh
trên. Hỏi:
a) Có bao nhiêu tam giác như vậy.
b) Có bao nhiêu tam giác có 1 cạnh là cạnh của T

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
c) Có bao nhiêu tam giác có 2 cạnh là cạnh
của T d) Bao nhiêu tam giác không có cạnh chung
với T
VD9. Cho ña giác ñều T gồm có n cạnh nội tiếp
ñường tròn tâm O. Hỏi:
a) Có bao nhiêu ñường chéo
b) Tìm số giao ñiểm của các ñường chéo.
c) Tìm n biết số ñường chéo bằng số cạnh
d) Có bao nhiêu hình chữ nhật có ñỉnh là
ñỉnh của ña giác
VD10. Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam
giác 5 ñường thẳng song song với AB, 6 ñường
thẳng song song với BC và 7 ñường thẳng song
song với AC. Các ñường thẳng trên cắt nhau tại các
ñiểm. Hỏi
a) Có bao nhiêu tam giác có 3 cạnh là các
ñường trên.
b) Có bao nhiêu hình thang có các cạnh là
các cạnh trên.
c) Có bao nhiêu hình bình hành có các cạnh
là các cạnh trên

VD11. Ba bạn A, B, C cùng ñến nhà bạn D mượn
sách. Bạn D có 9 quyển sách khác nhau trong ñó có
một quyển tiểu thuyết. Bạn A muốn mượn 2 quyển
trong ñó có một quyển tiểu thuyết. Bạn B muốn
mượn 2 quyển và bạn C mượn 3 quyển. Hỏi bạn D
có bao nhiêu cách cho mượn sách.
VD12. Một người có 12 cây giống gồm 6 cây xoài,
4 cây mít và 2 cây ổi. Người ñó muốn chọn ra 6 cây
ñể trồng. Có bao nhiêu cách chọn sao cho:
a) Mỗi loại có 2 cây.
b) Mỗi loại có ít nhất một cây.
VD13. (ĐHYHN) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà
toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một ñoàn
công tác 3 người cần có cả nam và nữ và cần có cả
nhà toán học và vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách.
VD14. (HVKTQS) Một ñồn cảnh sát khu vực có 9
người. Trong ngày cần cử 3 người làm công tác ở
ñịa ñiểm A, 2 người làm ñịa ñiểm B, còn 4 người
làm việc tại ñồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công.
VD15. (HVKTQS) Có 3 học sinh giỏi, 5 khá và 8
trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh ñó
thành hai tổ mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ ñều có
học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá.
VD16. Một tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8
nữ trong ñó có cả An và Bình. Chọn một tổ công tác
gồm 6 người. Tìm số cách chọn trong các trường
hợp:
a) Tổ phải có cả nam và nữ.
b) Trong tổ có một tổ trưởng, 5 tổ viên và An,
Bình ñồng thời có mặt trong tổ.

VD1. Giải các phương trình, bất phương trình sau
a)
(1)!
72
(1)!
n
n
+
=
−
b)
!
(2)!
20
n
n
n
=−
c)
!!
3
(2)!(1)!
nn
nn
−=
−−
d)

!(1)!1
(1)!6
nn
n
−−
=
−

e)
3
!
10
(2)!
n
n
n
+≤
−
e)
123
7
2
xxx
CCCx
++=
f)
3
1
4
13

1
14
n
n
n
C
AP
−
−
+
< h)
11
1
::6:5:2
yyy
xxx
CCC
+−
+
=
i) (ĐHSPTPHCM)
21
141414
2
kkk
CCC
++
+= j)
12
777

;;
kkk
CCC
++
lập thành CSC
k)
(
)
111
11
::10:2:1
yyyy
xxxx
AyAAC
−−−
−−
+=

I. Sử dụng công thức tổng quát ñể xác ñịnh hệ số

VD1. Cho khai triển (x
13
+xy)
15
.
a) Tìm số hạng tổng quát của khai triển.
b) Tìm số hạng thứ 7 của khai triển.
c) Tìm hai số hạng ñứng chính giữa khai triển.
d) Tìm số hạng chứa x

25
y
10
.
VD2. Cho biết hệ số của hạng tử thứ 3 trong khai triển
nhị thức:
3
2
n
x
xx
x

+



bằng 36. Hãy tìm hạng tử thứ
7
và tìm hạng tử không chứa x.
VD3. Cho khai triển
28
3
15
n
xxx
−

+



.
a) Tìm n biết
12
79
nnn
nnn
CCC
−−
++=
.
b) Tìm số hạng không phụ thuộc vào x

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
c) Tìm số hạng ñứng chính giữa của khai
triển.
VD4. Cho biết 3 hạng tử ñầu tiên của khai triển
4
1
2
n
x
x

+


có các hệ số là 3 số hạng liên tiếp
của một cấp số cộng. Tìm các hạng tử có số mũ của
x là số nguyên.

VD5. Tìm các hạng tử là số nguyên của khai triển:
(
)
6
315
−
VD6. Trong khai triển
(
)
124
4
35
+ có bao nhiêu
hạng tử là số nguyên.
VD7. Tìm số nguyên dương x sao cho hạng tử thứ 5
của khai triển:
6
1
(4)
4
22
4
x
x
−
−

+



là 240.
VD8. Tìm số nguyên dương x sao cho trong khai
triển
3
3
1
2
3
x

+


có tỉ số của hạng tử thứ 7 kể từ số
hạng ñầu và hạng tử thứ 7 kể từ số hạng cuối là 1/6.

II. Giải phương trình
VD1. Tìm số thực x sao cho hạng tử thứ 4 của khai
triển
6
12
(lg1)
1
x
x
x
+

+




là 200.
VD2. Tìm giá trị của x sao cho hạng tử thứ 6 của
khai triển
1
1
2
2
7
1
;log(31)
log97
5
22
x
x
−
+
−
+
+

+


là 84.
VD3. Cho khai triển
(
)

5
lg(103)(2)lg3
22
m
xx−−
+ . Cho
biết hạng tử thứ 6 là 21 và các hệ số thứ 2, thứ 3 và
thứ 4 của khai triển là các số hạng thứ nhất, thứ ba
và thứ năm của một cấp số cộng. Tìm x

III. Tìm hệ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một
khai triển

VD1. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho
trong khai triển
()
1
n
x
+ có tỉ số
1
:7:15
kk
nn
CC
+
= .
Khi ñó hãy tìm hạng tử có hệ số lớn nhất trong khai
triển.
VD2. Tìm hệ số lớn nhất của khai triển (1+x)

n
cho
biết tổng của tất cả các hệ số là 4096.
VD3. Trong khai triển của
10
12
33
x

+


thành ña thức :
a
0
+a
1
x+….+a
10
x
10
. Hãy tìm hệ số a
k
lớn nhất.
VD4. Xác ñịnh số n sao cho trong khai triển (x+2)
n
hạng

tử thứ 11 là hạng tử có hệ số lớn nhất.
VD5. Xác ñịnh số n sao cho trong khai triển nhị thức

(3+x)
n
hạng tử thứ 8 là hạng tử có hệ số lớn nhất.

IV. Một số dạng khác
VD1. Khai triên S = (x+1)
12
+(x+1)
13
….+(x+1)
17
=
a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
17
x
17

a) Tìm a
0
b) Tìm a
12
c) Tìm a

15
d)
Tìm a
17
VD2. Khai triển (x-2)
100
=a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
100
x
100

a) Tìm a
97
b) T= a
0
+a
1
+…+a
100
c)
S=a
0

-a
1
+a
2
-a
3
+….+a
100
P=a
1
+2a
2
+3a
3
+…+100a
100

VD3. Khai triển: (1+2x+3x
2
)
10
= a
0
+a
1
x+….+a
20
x
20

a) Tìm a
1
, a
20
, a
4
b) Tính S = a
0
+a
1
+…+a
20

VD4. Khai triển (1+x+x
2
)
1996
=a
0
+a
1
x+…+a
3992
x
3992

a) Tính T=a
0
+a
1

x+…+a
3992
b) H= a
0
-a
1
+a
2
-
….+a
3992
c) CMR a
0
+2a
1
+2
2
a
2
+…+2
3992
a
3992
chia hết
2401

VD1. Tính giá trị các biểu thức sau:
1)
016
666

SCCC
=+++
2)
012255
5555
22 2
SCCCC
=++++ 3)
01

n
nnn
SCCC
=+++

4)
0122
22 2
nn
nnnn
SCCCC
=++++ 5)
0123
(1)
nn
nnnnn
SCCCCC
=−+−++−
6)

12233
1222 (1)2
nnn
nnnn
SCCCC
=−+−++− 7)
01232
22222

n
nnnnn
SCCCCC
=+++++
8)
0123212
222222

nn
nnnnnn
SCCCCCC
−
=−+−+−+ 9)
01222322
22222
222 2
nn
nnnnn
SCCCCC
=+++++
10)

1321
222

n
nnn
SCCC
−
=+++ 11)
0242
2222

n
nnnn
SCCCC
=++++ 12)
1332121
222
33 3
nn
nnn
SCCC
−−
=+++
13)
0224422
2222
33 3
nn
nnnn
SCCCC

=++++ 14)
012
2
1111
(1) (1)
3333
kknn
nnnnn
kn
SCCCCC
=−+++−++−

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
15)
02244
222
nnnn
nnnn
SCCCC
−−
=++++
16)
113355
222
nnnn
nnnn
SCCCC
−−−
=++++

17) CM:
02122
2
()() ()
nn
nnnn
CCCC
+++=
18) CM:
0110

pppp
nmnmnmmn
CCCCCCC
−
+
+++=
Dùng (1+x)
n
(1+x)
m
=(1+x)
n+m
)
19)
12341
234 (1)
nn
nnnnn

SCCCCnC
−
=−+−++−
20) CM
1011
2(1)
nn
nnn
nnCnCC
−−
=+−++
21) 2.1

1.
()
0
2
3
1
1
x
xexdx
−
++
∫
2.

()
2
0
1sin2
xxdx
π
+
∫

3.
2
1
1
ln
e
x
xdx
x
+
∫
4.
2
1
3
0
x
xedx
∫

5.

4
0
1cos2
x
dx
x
π
+
∫
6.
()
3
2
2
ln
xxdx
−
∫

7.
()
1
0
2
x
xedx
−
∫
*8.
2

cos
0
sin2
x
exdx
π
∫

9.
2
1
ln
e
xxdx
∫
10.
2
ln2
5
0
x
xedx
∫

11.
2
3
0
sin5
x

exdx
π
∫
12.
()
2
1
2ln
xxdx
−
∫

13.
()
2
2
2
0
2
x
xe
dx
x +
∫
14.
()
4
0
1cos
xxdx

π
−
∫

15
()
1
2
0
ln1
xxdx
+
∫
16.
()
1
22
0
421
x
xxedx
−−
∫

17.
4
2
0
cos

x
dx
x
π
∫

18.
(
)
2
2
1
ln1
x
dx
x
+
∫

19
()
1
2
0
1
x
xedx
+
∫
20.

2
0
sin
xxdx
π
∫

21.
()
3
2
0
ln5
xxdx
+
∫
22.
2
2
0
x
xedx
∫

23.
()
2
2
0

21cos
xxdx
π
−
∫

24.
1
2
2
0
11
ln
11
x
dx
xx
+
−−
∫

Giỏo viờn biờn son:Lờ Duy Tun
25.
()
1
2
2
0
1

x
xedx
+

26.
2
4
0
cos
xxdx

27.
1
ln
1
x
xdx
x

+

28.
()
1
2
0
sin

x
exdx

29
4
2
0
xtgxdx

30.
()
2
1
ln
e
xxdx

31.
2
1
ln
e
x
dx
x

32.
3
2
0
sin
cos
xx
dx
x

+

33.
(
)
2
3
2
0
ln1
1
xxx
dx
x
++
+

34.

()
1
0
11
n
nn
dx
xx
++

35.
1
cos(ln)
e
xdx

36.
()
2
1
ln
1
e
e
x
dx
x+

37.
2
0
2cos4
x
xdx

38.
()
2
0
cosln1cos
xxdx

+

39.
()
3
2
2
1
ln
1
xx

dx
x+

40*
()
2
1
3
0
12
xx
xedx

41.
()
2
2
0
sinsin
xxdx

+

42.
10
2
1

lg
xxdx

43.
4
1
x
edx

44.
()
2
2
1
sinlog
xdx

45.
()
3
2
6
lnsin
cos
x
dx

x

46.
4
0
cos
xdx

47.
2
0
1sin
1cos
x
x
edx
x

+
+

48.
3
ln
3
x

dx

49.
()
2
3
2
1
xdx
x

50.
3
3
cos1
1
x
dx
x
+
+

51.

()
1cos
4
0
ln1sin
1cos
x
x
dx
x

+
+
+

52.
()
2
1
2
1
sin
xx
exexdx

+

21.

()
4
3
0
sincoslncos
xxxdx

22.
()
1cos
4
0
ln1sin
1cos
x
x
dx
x

+
+
+

23.
1
0
1
12

x
dx
+

24.
2
3
4
cos
sin
xxdx
x

26.
32
1
ln
e
xxdx

27.
2
2
sin3
0
sincos
x

exxdx

28.
2
2
0
cos
xxdx

29.
2
1
(ln)
e
xxxdx

30.
1
9
3
2
5
0
1
5
sin(21)
41

x
x
dx
x
x

++

+

31.
()
4
2
0
sin
xxdx

32.
()
2
1/
ln
1
e
e

x
dx
x+

3. Cho hàm số f(x)=
()
3
1
x
a
bxe
x
+
+
. Tìm a,
b biết rằng f(0)=-22 và
()
1
0
5
fxdx
=

4. Chứng minh
()
cot
22

11
10
1(1)
tgaga
ee
xdxdx
tga
xxx
+=>
++

.
Phần 2: Tích
phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
1.
2
2
0
xxdx

2.
1
0
1
2
xxdx

3.

()
5
3
22
xxdx

+

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
4.
1
42
1
12
x
dx
xx
−
−−
∫
4.
3
2
0
21
xxdx
−−
∫

5.
2
2
3
2
xxdx
−
+−
∫

6.
1
2
2
0
41
32
x
dx
xx
−
−+
∫
7.
5
2
1
68
1
xx

dx
x
−+
+
∫
8.
1
ln
e
e
xdx
∫
9.
2
2
sin
xdx
π
π
−
∫
10.
0
cossin
xxdx
π
∫
11.
()
2

2
1
1
xaxadx
−++
∫

12.
3
22
6
cot2
tgxgxdx
π
π
+−
∫
13.
4
32
0
2
xxxdx
−+
∫
14.
2
0
sincos
xxdx

π
−
∫

2. Cho I=
3
2
1
2
xxmdx
−+
∫

a.TÝnh I víi m=1
b.TÝnh I theo m víi m<3
TÝnh chÊt 3:
*NÕu hµm f(x) liªn
tôc vµ lµ hµm lÎ trªn [-a;a] th×
()
a
a
fxdx
−
∫
=0
*NÕu f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn
[-a;a] th×
()
0
2()

aa
a
fxdxfxdx
−
=
∫∫

PP: §Æt x=-t
HÖ qu¶: NÕu f(x) lµ hµm liªn tôc
vµ ch½n trªn [-a;a] th×
(
)
()
0
aa
x
a
fx
dxfxdx
bx
−
=
+
∫∫

1.
()
2
1
22

1
sin
x
exexdx
−
+
∫
2.
1
4
1
12
x
x
dx
−
+
∫

3.
2
2
2
cos
4sin
xx
dx
x
π
π

−
+
−
∫
4.
2007
4
20062006
4
sin
sincos
x
dx
xx
π
π
−
+
∫

5.
2
sin
13
x
x
dx
π
π−
+

∫

6.
3
2
3
sin
cos
xx
dx
x
π
π
−
∫
7.
1
2003
2006
1
20042005
x
dx
x
−
+
∫

8.
2

cos
1cos
xx
dx
x
π
π−
+
∫
9.
66
4
4
sincos
20061
x
xx
dx
π
π
−
+
+
∫
10.
1
2
1
2
1

cosln
1
x
xdx
x
−
−
+
∫

11.
2
2
cos
20061
x
x
dx
π
π
−
+
∫
12.
1
42
1
12
x
dx

xx
−
−−
∫

13.
(
)
1
22
1
ln
xaxdx
−
++
∫
14.
1
2
1
1
12
x
x
dx
−
−
+
∫
15.

()()
1
2
1
11
x
dx
ex
−
++
∫

16.
(
)
1
52
1
ln1
xxdx
−
++
∫
17.
2
2
2
sin
12
x

xx
dx
π
π
−
+
∫

18.
2
2
sinsin2cos5
1
x
xxx
dx
e
π
π
−
+
∫
19.
(
)
1
20072
1
ln1
xxdx

−
++
∫

TC2: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ
f(a+b-x)=f(x) th×
()()
2
bb
aa
ab
xfxdxfxdx
+
=
∫∫

CM: §Æt x=a+b-t (tæng 2 cËn
trõ ®i biÕn míi)

Giáo viên biên soạn:Lê Duy Tuấn
HÖ qu¶: NÕu f(x) liªn tôc trªn
[0;1] th×
() ()
00
sinsin
2
xfxdxfxdx
ππ
π
=