PHƯƠNG PHÁP TÌM BÀI TOAN PHỤ

PHƯƠNG PHÁP TÌM BÀI TOAN PHỤ -
CHỨNG MINH BĐT
A- PHƯƠNG PHÁP TÌM BDT PHỤ:
Ví dụ 1: Chứng minh
∀
a, b, c >0 ta có :
* Áp dụng B Đ T (a + b)
2

≥
4ab
⇔
4
ba
ba
ab +
≤
+
( 1)
* hoặc sử dụng BDT Cô-Si
• Đặt tình huống ta không nhìn ra BDT (1) thì sao? Tôi xin mạo dạn
đưa ra cách tìm BDT phụ để giải BDT đã cho.
• Xét:
(1a)
Cộng theo vế, ta được:
))(( cbayx
ac
ca
cb
bc
ba

ab
+++≤
+
+
+
+
+
So sánh với BDT đã cho
xyyx −=⇒=+⇒
2
1
2
1
thay vào BDT ( 1a) :
0
)(2
)(
0
)(2
2)(
)(
0
2
1
)
2
1
(
≤









+
−−⇔
≤
+
−+
+−⇔
≤
+
−+−⇔
−+≤
+
ba
b
xba
ba
abbab
bax
ba
ab
bbxax
bxax
ba
ab

Đẳng thức xảy ra





=
+
−
=−
⇔
0
)(2
0
ba
b
x
ba





=
+
=
=
⇔
4
1

)(2 bb
b
x
ba
4
1
4
1
2
1
=−=⇒ y

www.toibietlabanbiet.com

2
cba
ac
ca
cb
bc
ba
ab ++
≤
+
+
+
+
+
1
aycx

ac
ca
cybx
bc
bc
byax
ba
ab
+≤
+
+≤
+
+≤
+
Vậy ta có BDT phụ :

4
4
1
4
1
ba
ba
ab
ba
ba
ab
+
≤
+

⇔
+≤
+
• Xin lưu ý “ phương pháp này tôi may mắn đọc được từ một tác giả
khác mà tôi không biết tên”.Tuy nhiên tác giả đưa ra cách tìm BDT
phụ bằng cách thử một vài giá trị đặc biệt của a và b, từ đó chọn đúng
giá trị x và y.Rất tiếc tác giả không nêu ra ví dụ thử.Tôi đã tâm đắc
phương pháp độc đáo của tác giả nhưng khi thử thì không may
mắn,khó xác định giá trị x,y.Rất mong tác giả tiếp tục chia sẻ những
kĩ năng- kiến thức cho mọi người cùng tham khảo- học tập.
Ví dụ 2: Chứng minh
∀
a, b, c >0 ta có :
• Nhiều tác giả đưa ra BDT phụ:
4
3
2
ba
ba
a −
≥
+
• Bây giờ tiếp tục với cách trên,ta xét:
byax
ba
a
+≥
+
2
và ( x + y =

2
1
)
xy −=⇒
2
1
0
)(2
2
)(
0
)(2
))(()(
)(
0
)(2
)(
0
)(2
2
)(
0
2
1
)
2
1
(
222
22

2
2
≤








+
+
−−⇔
≤
+
+−+−
−−⇔
≤
+
−+−
+−⇔
≤
+
−+
+−⇔
≤
+
−+−⇔
−+≥

+
ba
ba
xba
ba
bababaa
bax
ba
abaab
bax
ba
abab
bax
ba
a
bbxax
xbax
ba
a

www.toibietlabanbiet.com

2
222
cba
ac
c
cb
b
ba

a ++
≥
+
+
+
+
+
2
Đẳng thức xảy ra khi





=
+
+
−
=−
0
)(2
2
0
ba
ba
x
ba






=
=
⇔
a
a
x
ba
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3 −
=−=⇒=⇔ yx
Vậy ta được BDT phụ:
4
3
2
ba
ba
a −
≥
+
Ví dụ 3: Chứng minh

∀
a, b, c >0 ta có :
Ta xét:
byax
aab
ba
+≤
+
−
2
33
7
41
và ( x + y =5)
xy −=⇒ 5
0
7
641(
)(
0
7
35)(5
)(
0
7
))(()(35)(5
)(
0
7
535355

)(
0
7
41355
)(
0
7
41
5
)5(
7
2
22
2
222
2
32222
2
333322
2
3322
2
33
2
3
≥









+
++
−−⇔
≥








+
+++++
−−⇔
≥
+
++−+−+−
−−⇔
≥
+
+−−−+
+−⇔
≥
+
+−+

+−⇔
≥
+
−
−+−⇔
−+≤
+
aab
baba
xba
aab
babaabaa
xba
aab
babababaabaa
bax
aab
baaabaab
bax
aab
babaab
bax
aab
ba
bbxax
xbax
aab
a
Đẳng thức xảy ra khi






=
+
++
−
=−
0
7
)641(
0
22
222
aa
aaa
x
ba





==
=
⇔
6
8
48

2
2
a
a
x
ba
1656 −=−=⇒=⇔ yx

www.toibietlabanbiet.com

)(5
77
41
7
41
2
333
2
33
cba
cca
c
bbc
cb
aab
ba
++≤
+
+
+

−
+
+
−
3
Vậy ta được BDT phụ:
ba
aab
ba
−≤
+
−
6
7
41
2
33
* Chúng ta dễ dàng chứng minh các BDT phụ trên.
B- BÀI TẬP:
1)
với a,b,c >0
( BDT phụ:
3
2
22
3
ba
baba
a −
≥

++
)
2)
cba
a
c
c
b
b
a
++≥++
222
Với a,b,c >0
(Ta có BDT phụ:
ba
b
a
−≥ 2
2
)
3)
cba
ca
ac
bc
cb
ab
ba
++≥
+

+
+
+
+
222
333333
với a, b, c > 0
(Ta có BDT phụ:
22
33
ba
ab
ba +
≥
+
)
4)
)(4
6
29
6
29
6
29
2
33
2
33
2
33

cba
cac
ac
bcb
cb
aba
ba
++≤
+
−
+
+
−
+
+
−
(Ta có BDT phụ
ba
aba
ba
−≤
+
−
5
6
29
2
33
)
5)Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn -Thanh Hóa năm 2000 – 2001

Cho a,b,c,d > 0 và a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng:
2
1
2222
≥
+
+
+
+
+
+
+ da
d
cd
c
bc
b
ab
a
( Ta có bài toán phụ:
4
3
2
ba
ab
a −
≥
+
)

6) Kỳ thi chọn HSG tỉnh Thanh Hóa lớp 9 năm 2008 – 2009
Cho a,b,c >0. và a + b + c = 1
Chứng minh:
3
5
19
5
19
5
19
2
33
2
33
2
33
≤
+
−
+
+
−
+
+
−
aac
ca
ccb
bc
bba

ab
( Ta có BDT phụ:
ab
bba
ab
−≤
+
−
4
5
19
2
33
)
** Tuy nhiên cách làm này chỉ áp dụng cho những bài toán chỉ có 1 cặp số
(a , b) trong cùng một phân thức, mà không áp dụng cho 3 số (a,b,c) ,4 số
(a,b,c,d) …trở lên. Hy vọng các đọc giả chia sẻ những kiến thức và đóng góp
ý kiến về pp tìm BDT phụ này. Xin cảm ơn tác giả “người đã đưa ra pp này”

www.toibietlabanbiet.com
4
3
22
3
22
3
2
3
cba
acac

c
cbcb
b
baba
a ++
≥
++
+
++
+
++
đã giúp tôi tìm thấy cho mình một kĩ năng chứng minh BDT cho một dạng
bài toán loại này.

www.toibietlabanbiet.com
5