DE + DA Thi HSG Toan 9 THANH HOA 2011

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học 2010- 2011
Môn thi: Toán
Câu I. (5,0 điểm):
1) Cho phương trình: x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0. Chứng minh phương trình luôn có hai
nghiệm x
1
, x
2
với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2(1 )
x x
P
x x x x
+
=
+ + +
khi m thay đổi.
2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thõa mãn
1 1 1
a b c
+ =
. Chứng minh rằng:

2 2 2
A a b c= + +
là số hữu tỉ
(b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
= + +
− − −
là số hữu tỉ
Câu II. (5,0 điểm):
1) Giải phương trình:
2 2
10
1 1 9
x x
x x
   
+ =
 ÷  ÷
− +
   
2) Giải hệ phương trình:
2
2
3
2 3
1 1

1 4
1
4
x x
y y
x x
x
y
y y

 
+ + + =

 ÷

 


+ + + =


Câu III. (2,0 điểm): Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC,
AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác
BPC. Tính
·
BPE
.
Câu IV. (4,0 điểm): Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O
∉
AB). P là điểm

di động trên đoạn thẳng AB (P
≠
A, B và khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua
điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với
đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N
≠
P).
1) C/m rằng:
·
·
= BNPANP
và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn
2) C/m rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua một điểm cố định khi P di
động.
Câu V. (4,0 điểm):
1) Cho a
1
, a
2
, a
3
, a
45
là 45 số tự nhiên thỏa mãn a
1
< a
2
< a
3
< <a

45

≤
130. Đặt d
j
= a
j+1
– a
j
,
(j = 1,2, 44). Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu d
j
xuất hiện ít nhất 10 lần.
2) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn:
2 2 2 2 2 2
2011a b b c c a+ + + + + =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 2011
2 2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +

_________________Hết _________________
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

NĂM HỌC 2010 - 2011
MÔN THI: TOÁN
1)
2,5đ
Ta có
2
' ( 1) 0,m m∆ = − ≥ ∀
nên phương trình có hai nghiệm với mọi m.
Theo định lí viet, ta có
1 2 1 2
2 , 2 1x x m x x m+ = = −
, suy ra
2
4 1
4 2
m
P
m
+
=
+
2
2
(2 1)
1 1. 1,
4 2
m
Max P
m
−

= − ≤ =
+
khi
1
.
2
m =
2a)
1,5đ
Từ giả thiết suy ra
2 2 2 0ab bc ca− − =
Suy ra
2
( )A a b c a b c= + − = + −
là số hữu tỉ
2b)
1,0đ
Đặt
1 1 1
, ,a b c
x y y z x z
= = =
− − −
suy ra
1 1 1
.
a b c
+ =
Áp dụng câu 2a) suy ra
2 2 2

1 1 1
( ) ( ) ( )
B
x y y z z x
= + +
− − −
là số hữu tỉ.
1)
2,5đ
Đk:
1.x ≠ ±
Phương trình tương đương với
2
2
2 2 2
2 2 2
10 2 2 10
2 0.
1 1 1 9 1 1 9
x x x x x
x x x x x
 
 
+ − = ⇔ − − =
 ÷
 ÷
+ − − − −
 
 
Đặt

2
2
2
,
1
x
t
x
=
−
ta được phương trình
2
10 5
0
9 3
t t t− − = ⇔ =
hoặc
2
3
t
−
=
Với
5
,
3
t =
ta được
2
2

2 5
1 3
x
x
=
−
(vô nghiệm)
Với
2
,
3
t = −
ta được
2
2
2 2
1 3
x
x
= −
−
suy ra
1
.
2
x = ±
2)
2,5đ
Đk:
0.y ≠

Hệ tương đương với
2
2
3
3
1 1
4
1 1
4.
x x
y y
x
x x
y y y

+ + + =



 

+ + + =
 ÷

 

Đặt
1
,
u x

y
x
v
y

= +




=


ta được hệ
2 2
3 2
2 4 4 4 0 2
1.
2 4 4 2
u u v u u u
v
u uv u u v
 
+ − = − + = =

 
⇔ ⇔
  
=
− = + − =

 

 
Với
2
1,
u
v
=


=

ta được
1
2
1
1.
1
x
x
y
x y
y

+ =

=



⇔
 
=


=


(thoả mãn điều kiện)
Kẻ
EF AC⊥
tại F,
DG BC
⊥
tại G.
Theo giả thiết
( ) ( )ADPE BPC
S S=


( ) ( )
.
ACE BCD
S S⇒ =
Mà
AC BC EF DG= ⇒ =
và
µ
µ
A C=

Suy ra
.AEF CDG AE CG∆ = ∆ ⇒ =

Do đó
·
·
( )AEC CDB c g c DBC ECA∆ = ∆ − − ⇒ =
·
·
·
·
·
0
60BPE PBC PCB PCD PCB⇒ = + = + =
1) Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến
A
O
N
C
D
B
P
Q
E
H