Đề thi HSG Toán THPT Thanh hóa 2009

Sở Giáo dục và đào tạo
thanh hoá
CHNH THC
Kỳ thi chọn HọC SINH GIỏI TỉNH
Nm hc: 2008-2009
Mụn thi: Toán
LP : 12 THPT
Ngy thi: 28/03/2009
Thi gian: 180 phỳt (khụng k thi gian giao )
Bài 1(5,0 điểm)
Cho hàm số
23
23
+=
xxy
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình:

2323
2323
+=+
mmxx
3. Với mỗi điểm M thuộc (C) kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến với (C)?
Bài 2(4,0 điểm)
1. Tính tích phân: I =
dx
xx
xe

++

1
0
2
22
44
2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó chỉ có một
chữ số lẻ ?
Bài 3 (5,0 điểm)
1. Giải phơng trình:
)
4
sin(.2sin)
4
3sin(

+=
xxx
2. Tìm giá trị của m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x

0)
1
log1(2)
1
log1(2)
1
log2(
22
2
2
<

+
+
+
+
+

m
m
x
m
m
x
m
m
.
3. Với giá trị nào của x, y thì 3 số
y
yx
yx
uuu
5,
log
2,
log
8
3
2
2
2
1

=

=
+
=
theo thứ tự
đó, đồng thời lập thành một cấp số cộng và một cấp số nhân.
Bài 4 (5,0 điểm)
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình:

( )
11
2
2
=+
yx
Chứng minh rằng với mỗi điểm M(m; 3) trên đờng thẳng y = 3 ta luôn tìm đợc
hai điểm T
1
, T
2
trên trục hoành, sao cho các đờng thẳng MT
1`
, MT
2
là tiếp tuyến của
(C). Khi đó hãy viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác MT
1
T
2

.
2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC =1)
và các cạnh bên SA = SB = SC = 3. Gọi K, L lần lợt là trung điểm của AC và BC. Trên
cạnh SA, SB lần lợt lấy các điểm M, N sao cho SM = BN = 1. Tính thể tích của tứ diện
LMNK.
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho n là số nguyên lẻ và n >2. Chứng minh rằng với mọi a khác 0 luôn có:

1)
!)!1(
...
!3!2
1)(
!
...
!3!2
1(
13232
<

++++++++

n
a
n
aaa
a
n
aaa
a

nnn
Hết
S bỏo danh
.