SKKN giải toán hình học như thế nào

Trường THCS Trung An Sáng kiến kinh nghiệm

DẠY HỌC SINH GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
NHƯ THẾ NÀO
oOo
I. VAI TRÒ CỦA MÔN HÌNH HỌC
VÀ DẠY HỌC SINH GIẢI TOÁN HÌNH HỌC NHƯ THẾ NÀO
Môn hình học ra đời rất sớm, từ sự cần thiết đo đạc ruộng đất và nó luôn gắn bó với
nhu cầu hằng ngày của con người . Môn hình học cung cấp cho học sinh những kiến thức
cấn thiết trong cuộc sống, giúp phát triển tư duy logic, phát triển trí tưởng tượng không
gian và óc thẩm mỹ .
Bài tập hình học cũng có vai trò của bài tập toán nói chung, tức là chỉ ra sự áp dụng lý
thuyết vào thực hành và đảm bảo việc hiểu lý thuyết : chỉ có quá trình áp dụng lý thuyết
tổng quát và trừu tượng vào những ví dụ cụ thể và những bài toán nhiều loại mới có thể
hiểu lý thuyết một cách đầy đủ được
Chứng minh hình học là rất mới lạ, rất khó đối với lứa tuổi 12-14 tuổi, đang chập
chững những bước đi ban đầu trong quá trình học hình học. Vì vậy, giáo viên cần coi
trọng khâu giải toán hình học. Về mặt tổ chức ( xây dựng nền nếp làm bài ở lớp, ở nhà,
cách sử dụng vở bài tập, vở nháp, vở bài soạn…) cũng như về mặt dạy học sinh giải toán(
dạy học sinh giải toán chứ không phải giải toán cho học sinh).
Thế nào là dạy học sinh giải toán hình học ? Với vai trò quan trọng của bài toán hình
học, với quan điểm dạy học nhằm phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức của học
sinh, rõ ràng rằng dạy học sinh giải toán hình học không phải chỉ cung cấp lời giải cho
học sinh và tìm moị cách làm cho học sinh hiểu và nhớ những lời giải mẫu đó. Nhiệm vụ
chủ yếu của giáo viên khi dạy học sinh giải toán hình học là tổ chức những hành động trí
tuệ bên trong đầu óc của học sinh để tự các em khám phá ra lời giải: hướng dẫn, gợi ý,
nêu vấn đề kích thích học sinh biết suy nghĩ đúng hướng trước bài toán hình học cụ thể,
biết vận dụng một cách hợp lý nhất những tri thức hình học của mình để độc lập tìm tòi
được mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận của bài toán và từ đó tìm được cách giải. Chỉ
có qua quá trình hoạt động trí tuệ chủ động sáng tạo như vậy mới chuyển hóa được trí
nhớ tạm thời khi thu nhận những thông tin mới trong giờ học thành trí nhớ lâu dài, giữ lại

được những thông tin cần thiết nhất trong thời gian lâu dài và mới có thể nắm vững tri
thức, kỹ năng hình học.
II. MỘT SỐ TỒN TẠI TRONG VIỆC GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Ở
TRƯỜNG THCS
1. Về phía giáo viên
-Thiên về cung cấp lời giải cho học sinh tiếp thu một cách thụ động : chưa chú trọng
dạy học sinh giải toán hình học
-Thường bằng lòng và kết thúc công việc giải bài toán hình học khi đã tìm được một
cách giải nào đó, chưa chú ý hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm tròi cách giải khác, cách
giải hay hơn hoặc khai thác thêm ở bài toán vừa giải để phát huy tư duy linh hoạt và sáng
tạo của học sinh ; thường chú ý số lượng hơn là chất lượng bài giải
- Đôi lúc chú trọng mặt đề cao và coi nhẹ mặt bảo đảm cái cơ bản theo yêu cầu của
chương trình ; thích cho học sinh giải những bài toán khó, bài toán lạ trong khi còn nhiều
học sinh vẫn lúng túng với những bài toán rất cơ bản
- 1 - Nguyễn Thanh Hùng
Trường THCS Trung An Sáng kiến kinh nghiệm


2. Về phía học sinh
- Rất lúng túng trước đầu bài toán hình học : không biết làm gì, bắt đầu từ đâu, đi theo
hướng nào, không biết liên hệ những điều nói trong đề bài với những kiến thức đã học,
không phân biệt được điều đã cho và diều cần tìm, thậm chí không nắm được các kiến
thức hình học, nên không biết cách làm bài
- Suy luận hình học kém, chưa hiểu thế nào là chứng minh, cho nên lý luận thiếu căn
cứ, không chính xác, không chặt chẽ, lấy điều phải chứng minh làm giả thiết ; suy nghĩ
rất hời hợt , máy móc. Không biết rút kinh nghiệm về bài vừa giải, nên thường lúng túng
trước những bài toán khác đôi chút với bài quen giải
- Trình bày bài giải hình học không tốt : hình vẽ không chính xác, rõ ràng ; ngôn ngữ
và ký hiệu tùy tiện ; câu văn lủng củng, không ngắn gọn, sáng sủa, lập luận thiếu khoa
học, không logic.

Những khuyết điểm trên đây của học sinh chủ yếu do chúng ta chưa quan tâm đầy đủ
đến việc uốn nắn, rèn luyện từng cái nhỏ, cái bắt đầu nhưng rất quan trọng, trong những
bước đi ban đầu học hình học và giải toàn hình học ( đặc biệt là năm lớp 7) . Cho nên học
sinh thường mắc sai lầm ngay cả khi thực hiện những thao tác rất đơn giản
III. NHỮNG YÊU CẦU CHỦ YẾU CỦA VIỆC
DẠY HỌC SINH GIẢI TOÁN HINH HỌC
Yêu cầu1: Làm cho học sinh, kể cả học sinh yếu, giải được toán hình học và qua đó làm
cho học sinh nắm vững các tri thức hình học và hiểu rõ thêm thế nào là chứng minh hình
học.
Ở lớp 6, yêu cầu chủ yếu là vẽ hình, đo đạc, luyện tập sử dụng các dụng cụ vẽ và đo,
quan sát hình và mô tả hình, rút ra một số tính chất của các hình
Ở lớp 7, bước đầu làm quen với định lý, nắm được hai phần của định lý, thấy được sự
cần thiết phải chứng minh định lý, bước đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học.
Vì vậy đây là năm học rất quan trọng cần được chuẩn bị kỹ càng, giúp học sinh nắm
được trình tự cơ bản của bài toán chứng minh hình học, có như thế mới tạo cho học sinh
tâm lý tự tin đối với môn học
Hiện nay trong dạy học hình học có tình trạng là nhiều học sinh không giải được toán
hình học, do đó những học sinh này không những không có điều kiện để hiểu rõ thêm
những tri thức hình học ( kể cả phép chứng minh )mà còn dễ bi quan, thiếu tự tin, mất
hứng thú học tập. Cho nên dạy giải toán hình học, trước hết phải làm cho học sinh giải
được toán, nhất là học sinh yếu , sao cho khả năng giải đó ngày càng tăng lên. Muốn thế
cần chú ý các biện pháp sau :
- Khả năng giải bài tập phụ thuộc nhiều vào việc tiếp thu kiến thức. Mỗi khi giảng
khái niệm, định lý mới, cần có những câu hoỉo, bài tập miệng giúp học sinh nắm
vững các dấu hiệu bản chất của khái niệm, trước khi đi vào giải bài tập trong SGK
- Mỗi tiết học nhất thiết giành thời gian làm một số bài tập ở lớp, những bài tập này
phải lựa chọn sao cho có tác dụng gợi ý giúp học sinh giải được các bài tập cho về
nhà
- Tập cho học sinh thói quen chuẩn bị tốt trước khi chứng minh, phần chuẩn bị này
không ngoài những điểm sau :

+ Đọc kỹ đề, phải hiểu rõ nghĩa tất cả các danh từ trong bài, nhằm hoàn toàn hiểu ý bài
tập đó
- 2 - Nguyễn Thanh Hùng
Trường THCS Trung An Sáng kiến kinh nghiệm

+ Phân biệt được giả thiết và kết luận của bài tập, rồi dựa vào những điều đã cho trong
giả thiết để vẽ hình.
+ Ghi dược giả thiết và kết luận của bài toán ; biết thay những danh từ toán học trong
bài bằng các ký hiệu, làm chop bài toán trở nên đơn giản hơn và dễ hiễu hơn
Yêu cầu 2 : Chú trọng rèn luyện cho học sinh óc tìm tòi cách giải bài toán
Dạy học toán ngày nay, nếu như việc ghi nhớ từng định lý, từng chứng minh càng tối
thiểu bao nhiêu thì việc nắm vững những phương pháp chung của toán học lại càng tối đa
bấy nhiêu. Một trong những phương pháp toán học quan trọng nhất, có tác dụng rõ rệt
trong việc rèn luyện ở học sinh óc tìm tòi cách giải bài toán hình học là phương pháp
phân tích, đặt biệt là phương pháp phân tích đi lên. Phương pháp này thường bắt đầu từ
kết luận, Tìm những điều kiện cần phải có để dẫn tới kết luận đó ; rồi nghiên cứu từng
điều kiện, xét xem điều kiện nào có thể đứng vững được, ngoài ra cần có những điều kiện
gì nữa. Cứ như vậy suy ngược từng bước, cho đến lúc những điều kiện đó phù hợp với
giả thiết mới thôi.
Dưới đây là một ví dụ cụ thể dùng phương pháp phân tích để chứng minh một định
lý.
ví dụ : cho tam giác cân ABC đáy BC, trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD =
BA. Chứng minh rằng trung tuyến CE =
2
1
CD
Phân tích :
1. Muốn CD = 2 CE, phải có một trong hai điều kiện dưới đây :
a/.
2

1
CD = CE
b/. 2CE = CD
điều kiện :
a/. CF = CE b/. DF = CE
3.Để có CF = CE, phải có một trong những điều kiện sau :
a/. CF và CE là cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau
b/. CF và CE đều bằng một đoạn thẳng thứ ba
4. Nếu lấy a của 3, để có CF = CE phải nối BF và muốn ∆BFC = ∆BEC, lại cần phải có
một trong những điều kiện sau :
a/ BE = BF , CBE = CBF , BC chung ( c. g .c)
b/ CBF = CBE, BC chung, BCF = BCE
- 3 - Nguyễn Thanh Hùng
GT
KL
AB = AC
BD = AB , AE = EB
CD = 2 CE
Trường THCS Trung An Sáng kiến kinh nghiệm

5. Nghiên cứu kỹ a/ và b/ của 4, ta thấy chỉ có a/ phù hợp với giả thiết vì BF là đoạn
thẳng nối liền trung điểm của hai cạnh, nên BF =
2
1
AC. Theo giả thiết thì AB = AC , BE
=
2
1
AB.
Thay vào sẽ được BF = BE. Và vì BF // AC, nên có cặp góc so le trong CBF = ACF ;

∆ABC cân, nên BCE = ACB ; ta suy ra CBE = CBF. Còn BC chung. Cuối cùng ta
được
∆ BCF =∆ BCE, thì cũng chúng minh được CD = 2 CE
Trong phương pháp phân tích nêu trên, nếu lấy b/ của 1 ; b/ của 2 ; b/ của 3 …, suy
đoán tương tự , ta cũng được kết quả như trên, do đó có những phương pháp chứng minh
khác nhau .
Quá trình phân tích là một bộ phận không thể tách rời được của việc chứng minh định
lý, cũng như việc gải phần lớn các bài toán, nhất là các bài toán hình học. Vì quá trình
chứng minh định lý ( giải toán hình học nói chung cũng là chứng minh định lý) là quá
trình nêu lên được mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận ; phương pháp phân tích đi lên
cho phép ta đi từ kết luận đến giả thiết , nhờ đó ta tìm được cách chứng minh ( hoặc cách
giải). Khi trình bày bài giải thì trình bày theo hướng ngược lại, tức là đi từ giả thiết đến
kết luận, gọi là phương pháp tổng hợp. Bài toán hình học dễ hay khó thể hiện ở mối liên
hệ giữa giả thiết và kết luận là đơn giản hay phức tạp. Trong trường hợp mối liên hệ đó là
rõ ràng thì không nhất thiết phải phân tích. Phương pháp phân tích có tác dụng rõ rệt
trong trường hợp mối liên hệ nói trên phức tạp, lúc đó phân tích thực sự là sự tìm tòi cách
giải bài toán một cách hữu hiệu. Tất nhiên, phải mất nhiều thời gian khi tiến hành phân
tích, nhưng sự tiêu phí thời gian lúc đầu sẽ được đền bù rất lớn về sau. Chính vì vậy, cần
coi trọng và thường xuyên sử dụng phương pháp phân tích, vì đó là con đường phát hiện
cách giải bài toán , như là sự giáo dục sự đào tạo con người, không những về kiến thức
mà cả vế văn hóa ( ta thường nói “dạy chữ và dạy ngừoi ”)
Yêu cầu 3: Dạy học sinh tìm tòi những cách giải khác nhau của một bài toán hình học
và biết lựa chọn cách giải tốt nhất.
Việc dạy học sinh tìm tòi nhiều cách giải khác nhau là hoàn toàn có thể thực hiện
được vì:
- Khả năng giải bài toán bằng nhiều cách phụ thuộc vào vốn kiến thức hình học của
từng học sinh, vốn kiến thức đó được tích lũy dần qua các lớp học.
- Có thêm kiến thức mới, tìm được cách giải tốt hơn sẽ làm cho học sinh năng động
hơn, yêu thích môn học hơn và tất sẽ có kết quả học tập ngày càng tốt hơn
Để giúp học sinh có khả năng tìm tòi những cách giải khác nhau, giáo viên cần:

1.Giúp đỡ học sinh tích lũy, hệ thống hóa và nắm vững các cách chứng minh khác
nhau của cùng một tương quan hình học (bằng nhau, song song, thẳng hàng, cùng nằm
trên một đường tròn …). Có thể coi dây là bộ đồ nghề tương đối hoàn chỉnh của một
công nhân kỹ thuật, được chia làm nhiều loại khác nhau, mỗi loại công cụ phục vụ cho
một mục đích lao động nhất định ; để đạt được mục đích này người thợ lại tùy tình huống
cụ thể mà sử dụng công cụ này hay công cụ khác cho thích hợp. Người học sinh cũng
vậy, đứng trước một luận điểm cụ thể, tức vấn đề phải chứng minh, phải biết nghĩ đến
loại công cụ nào cần đến, tức là trong óc đã mở ra một số con đường đi nhất định. Nếu
- 4 - Nguyễn Thanh Hùng
Trường THCS Trung An Sáng kiến kinh nghiệm

dùng phương pháp phân tích đi lên thì những con đường này đều xuất phát từ kết luận
của bài toán
2.Tập cho học sinh biết phân tích đề bài, biết căn cứ vào giả thiết (tức tình huống cụ
thể ) mà lựa chọn một số công cụ thích hợp trong loại công cụ có liên quan đến luận
điểm. Như vậy trong số những con đường đi vừa xuất hiện, học sinh có thể loại trừ ngay
những con đừong không thích hợp và chỉ giữ lại một số con đường thích hợp. Đối với
nhiều học sin, lúc đầu phải thử với từng con đường đi còn lại đó, có thể thất bại nhiều lần
mới xác định con đường đi đúng. Nhưng chính công việc mò mẫm ban đầu đó lại cần
thiết trong quá trình nghiên cứu khoa học. Nếu biết nhìn lại con đường mò mẫm vừa qua
mà rút kinh nghiệm thì có thể rút ngắn dần thời gian mò mẫm và nâng cao dần kỹ năng
tìm tòi cách giải và tìm tòi nhiều cách giải khác nhau.
3.Luôn luôn khuyến khích việc tìm nhiều cách giải khác nhau, khi học lý thuyết cũng
như khi giải toán, có những hình thức động viên khác nhau đối với những đối tượng học
sinh khác nhau. Chúng ta không nghĩ rằng phải đòi hỏi học sinh tìm được cách giải độc
đáo. Tất nhiên như vậy là rất quý. Trong mọi trường hợp, mỗi cố gắng tìm tòi độc lập của
học sinh điều có giá trị, cần được trân trọng xem xét và khai thác để giáo dục chung.
Rõ ràng rằng nếu giáo viên thành công trong việc làm cho học sinh có hứng thú tìm
kiếm những cách giải khác nhau một bài toán hay những cách chứng minh khác nhau một
định lý thì điều đó không những làm cho học sinh nắm vững thêmnhững kiến thức hình

học đã học vì biết quy động chúng một cách linh hoạt sáng tạo mà còn giúp phát triển
năng lực nghiên cứu của học sinh
Yêu cầu 4 : Dạy học sinh biết khai thác bài toán
Nếu biết khai thác nhiều khía cạnh của một bài toán sẽ giúp phát triển cao nhất năng
lực nhận thức của học sinh . Giáo viên toán cần thấ hết những tiềm lực của bài toán và
biết tổ chức khai thác, nhằm phát huy tính độc lập sáng tạo của học sinh, giúp học sinh
“học một biết mười”.
Đối với những bài toán khác nhau có thể có những cách khai thác khác nhau. Sau đây
là một số hướng khai thác cần thiết :
a/ Thay đổi một phần của giả thiết, ví dụ xét trường hợp đặc biệt hoặc trường hợp rộng
hơn …, thì kết quả thay đổi như thế nào, hoặc có thể thay đổi những gì ở giả thiết thì
cách giải và kết quả vẫn không thay đổi
b/ Có thể giải quyết thêm vấn đề gì mới, ví dụ xét mệnh đề đảo, dựa vào bài toán này
có thể giải bài toán tương tự nào khác hoặc đặt ra bài toán nào khác
Ví dụ : Cho một hình thang ABCD. Chứng minh rằng nếu các phân giác của hai góc
A và D gặp nhau trên đáy BC thì AB + CD = BC
Sau khi giả xong bài toán này, đối với cả lớp có thể cho khai thác bài toán bằng câu
hỏi : nếu hình thang đã cho là hình thang cân thì có thêm kết quả gì ( về vị trí của giao
điểm M của hai đường phân giác, về độ dài các đoạn thẳng AM và DM).
Đối với học sinh khá và giỏi có thể khai thác bài toán bằng cách cho nghiên cứu hai
loại vấn đề sau :
a/ Phát biểu mệnh đề đảo và xét xem mệnh đó có đúng không
b/ Dựa vào kết quả bài toán hãy giải bài toán dựng hình sau : Cho một hình thang
ABCD. Dựng đường thẳng EF song song với cạnh đáy AD (E và F là những giao điểm
với hai cạnh bên) sao cho AE + DF = EF
Việc dạy học sinh biết khai thác bài toán có tác dụng rất lớn trong việc bồi dưỡng cho
học sinh những phương pháp toán học như đặt biệt hóa, khái quát hóa, tương tự …, kích
thích tư duy linh hoạt, độc, sáng tạo của học sinh. Việc khai thác bài toán chủ yếu dành
- 5 - Nguyễn Thanh Hùng
Trường THCS Trung An Sáng kiến kinh nghiệm

cho những học sinh khá và giỏi, còn đối với những đối tượng khác tất nhiên có mức độ
yêu cầu khai thác thấp hơn.
Yêu cầu 5 : Nâng cao kỹ năng giải toán hình học cho học sinh và tiếp tục dạy cho học
sinh trình bày tốt bài giải
Việc xây dựng cho học sinh một nền nếp tốt trong việc giải toán hình họclà rất quan
trọng và cần được chú trọng ngay từ giai đoạn đầu học hình học. Kỹ năng giải toàn hình
học được nâng cao dần trên cơ sở hình thành và hoàn thiện những thói quen, nền nếp làm
bài tập. Sau đây là những thói quen, nền nếp quan trọng, nêu dưới dạng quy tắc :
- Đọc kỹ đầu bài, vẽ hình rõ và đúng, hiểu rõ và ghi giả thiết, kết luận bài toán theo
ngôn ngữ và ký hiệu hình học.
- Nhớ và huy động bộ công cụ liên quan đến kết luận của bài toán, căn cứ váo nội
dung của giả thiết mà lựa chọn những công cụ thích hợp.
- Sử dụng hết những điều giả thiết đã cho. Trong nhiều trường hợp, không tìm ra cách
giải là vì còn có điều trong giả thiết chưa sử dụng đến.
- Mỗi diều khẳng định của mình phải có căn cứ.
- Từng bước, từng phần phải kiểm tra để kịp thời phát hiện và sửa những sai lầm nếu
có
- Khi giải xong, nhìn lại con đường vừa đi : có thể coi đây là giai đoạn nhận thức tư
tưởng, giai đoạn tích lũy kinh nghiệm.
IV. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH Ở LỚP 8
Bài 1 : Cho một hình thang ABCD. Chứng minh rằng nếu các phân giác của hai góc A và
D gặp nhau trên đáy BC thì : AB + CD = BC
Tìm tòi cách giải
Gọi M là giao điểm trên BC của hai đường phân giác góc A và D
Muốn chứng minh AB + CD = BC, ta phải chứng minh AB + CD = BM + MC
Muốn thế, phải chứng minh AB = BM và CD = MC
Muốn cho AB = BM thì tam giác BAM phải cân tại B. Tam giác này cân nếu có hai góc
bằng nhau. Dựa vào giả thiết và tính chất của hai góc so le trong sẽ dễ thấy hai góc BMA
và MAB bằng nhau

Cách giải
Gọi M là giao điểm trên BC của hai đường phân giác góc A và D, ta có
BAM = MAD ( gt)
BMA = MAD ( góc so le trong)
Do đó BAM = BMA
- 6 - Nguyễn Thanh Hùng


GT
ABCD là hình thang (AD // BC)
AM & DM là hai phân giác
(M
∈
BC)


KL
AB + CD = BC
Trường THCS Trung An Sáng kiến kinh nghiệm

Suy ra tam giác BAM cân. Vậy BA = BM
Tương tự, tam giác MCD cũng cân. Vậy CD = CM
Suy ra : AB + CD = BM + MC = BC
Khai thác bài toán
1/ Nếu ABCD là hình thang cân thì có nhận xét gì về vị trí của điểm M trên BC và so
sánh các đường phân giác AM, DM
2/ Nêu và chứng minh mệnh đề đảo :
a/ Trong một hình thang ABCD nếu AB + CD = BC (AD và BC là hai đáy )thì các đường
phân giác của các góc A và D gặp nhau tại một điểm nằm trên BC
b/ Trong một hình thang ABCD, nếu M là một điểm nằm trên cạnh đáy BC sao cho

BM = AB và MC = CD thì AM và DM là hai phân giác của các góc A và D
Bài 2 : ( Bài 161 SBT tóan 8, Tập 1, trang 77)
Cho tam giác ABC, các đường BD và CE cắt nhau ở G. Goị H là trung điểm GB, K là
trung điểm của BC.
a/ Chứng minh rằng tứ giác DEHK là hình bình hành
b/ Tam giácABC có điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật?
c/ Nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là
hình gì?
Trước khi đi tìm lời giải cho bài toán giáo viên cần cho học sinh ôn lại một số kiến thức
về :
- Đường trung tuyến của tam giác
- Đường trung bình của tam giác
- Các dấu hiệu nhận biết hình bình hành

a/ Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành phải chứng minh nó thoả mãn một
trong năm dấu hiệu nhận biết vừa nêu ở trên. Căn cứ vào giả thiết của bài toán, ta thấy
các điểm E, D là trung điểm của AB và AC
⇒
ED là đường trung bình của tam giác
ABC
Tương tự HK là đường trung bình của tam giác BGC , từ đó so sánh được quan hệ
của ED và HK ( song song và bằng nhau) và như vậy kết luận được tứ giác DEHK là
hình bình hành
b/ Để hình bình hành DEHK là hình chữ nhật thì phải có thêm điều kiện gì?( có một
góc vuông hoặc có hai đường chéo bằng nhau). Ở đây điều kiện về góc vuông đề bài
không nói đến. Hãy tập rung xét về dấu hiệu hai đường chéo. Dựa vào tính chất về giao
điểm của ba đường trung tuyến trong một tam giác, ta thấy, nếu hai đường chéo DH =
EK thì các trung tuyến BD = CE và như vậy thì tam giác ABC phải cân tại A
Cách giải
a/ Ta có, AE = EB và AD = DC

⇒
ED là đường trung bình của tam giác ABC
Suy ra ED//BC và ED =
2
1
BC
- 7 - Nguyễn Thanh Hùng
GT ∆ABC, AE = EB, AD = DC
G là trọng tâm
HB +HG, KC = KG
KL a/ DEHK là hình bình hành
b/ ∆ABC thoả điều kiện gì thì DEHK
là hình chữ nhật
Trường THCS Trung An Sáng kiến kinh nghiệm

Tương tư, HK là đường trung bình của tam giác BGC
Suy ra HK// BC và HK =
2
1
BC
Từ đó suy ra ED// HK và CD = HK
Tứ giác DEHK có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành
b/ Hình bình hành DEHK là hình chữ nhật
⇔
HD = EK

⇔
EG = GD = GH = GK

⇔

CE = BD

⇔
∆ ABC cân tại A
Vậy tam giác ABC có thêm điều kiện là cân tại A thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật
Cách giải khác
a/ Dựa vào vào tính chất giao điểm ba đường trung tuyến của tam giác, ta có thể chứng
minh hai đường chéo DH và EK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đừong, từ đó kết luận
được tứ giác DEHK là hình bình hành
Khai thác bài toán
Từ giả thiết của bài toán yêu cầu chứng minh thêm các tứ giác BEDC , BHKC là các
hình thang
Bài 3: Cho một tam giác cân ABC ( AB = AC). Từ một điểm M trên đáy BC ta hạ
những đường vuông góc MP và MQ tới AB và AC. Trên tia đối của tia MQ lấy điểm R
sao cho
MR = MP và từ B hạ đường BH với AC. Chứng minh rằng tứ giác BHQR là hình chữ
nhật. Từ đó suy ra : MP + MQ = BH.
Tìm tòi cách giải
*Theo giả thiết tứ giác BHQR có Q = H = 1v. Như vậy muốn chứng minh nó là hình
chữ nhật chỉ cần chứng minh nó có một góc vuông nữa, ví dụ góc BRM. Giả thiết MR =
MP gợi
ý việc chứng minh ∆MPB = ∆MRP, từ đó suy ra BPM = BRM
* Cũng có thể nhận xét rằng tứ giác BHQR đã có BH // RQ ( cùng vuông góc với AC)
và
H = 1v, nên chỉ cần chứng minh thêm BR // HQ là đủ kết luận nó là hình chữ nhật
(hình bình hành có một góc vuông).
Muốn chứng minh BR // HQ phải chứng minh BR
⊥
RQ ( cũng bằng cách chứng
minh ∆MPB = ∆MRP)

Cách giải
Xét hai tam giác MPB và MRB, ta có :
MP = MR (gt)
BM là cạnh chung
Mặt khác, ta có BMP = 1v – B
- 8 - Nguyễn Thanh Hùng
GT
∆ ABC cân(AB = AC)
M
∈
BC , MP
⊥
AB, MQ
⊥
AC
MR = MP, BH
⊥
AC
KL BHQR là hình chữ nhật
MP + MQ = BH
Trường THCS Trung An Sáng kiến kinh nghiệm


QMC = 1v – C
Vì B = C (gt) nên BMQ = QMC

Mà QMC = BMR (đđ), do đó BMP = BMR
Suy ra ∆MPB = ∆MRP(c.g.c)
Suy ra MRB = MPB = 1v .
Tứ giác BHQR có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Do đó hai cạnh đối bằng nhau :

BH = RQ = MR + MQ = MP + MQ
Khai thác bài toán
Vấn đề chính ở bài toán này là chứng minh MP + MQ bằng chiều cao của tam giác
ABC hạ từ B (hoặc C). Câu hỏi trước chỉ là gợi ý để giải câu hỏi sau
Muốn chứng minh MP + MQ = BH, có thể không cần vẽ MR = MP, mà từ M hạ ME
⊥
BH
như vậy EH = MQ, chỉ còn phải chứng minh EB = MP( hai tam giác vuông MPB và
MEB bằng nhau…)
không đổi ( vì bằng BH có độ dài không đổi )và không phụ thuộc vị trí của điểm M trên
cạnh đáy BC
Bài 4:( Bài thi HK II năm 05 – 06)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 9 cm. Gọi H là chân đường vuông
góc kẻ từ A xuống BD.
a/ Chứng minh : Tam giác AHB đồng dạng với tam giác BCD
b/ Tính độ dài đoạn thẳng AH


Tìm tòi cách giải
a/ Quan sát thấy các tam giác AHB và BCD đều là những tam giác vuông, để hai tam
giác này đồng dạng với nhau chỉ cần có thêm một cặp góc nhọn bằng nhau, cặp góc đó
là : góc ABD và góc BDC ( các góc so le trong)
b/ Lợi dụng tính chất về cạnh của hai tam giác đồng dạng, dễ dàng tính được AH
Cách giải
a/ Xét hai tam giác vuông AHB và BCD, ta có :
ABD = BDC ( so le trong)
suy ra ∆AHB đồng dạng với ∆BCD
b/ Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuôngABD, ta có :
BD
2

= AB
2
+ AD
2
BD
2
= 12
2
+ 9
2
= 144 + 25 = 225
- 9 - Nguyễn Thanh Hùng
GT AB = 12cm, BC = 9cm
AH
⊥
BD
KL a/ ∆ AHB đồng dạng với ∆ BCD
b/ Tính độ dài đoạn thẳng AH
Trường THCS Trung An Sáng kiến kinh nghiệm

BD = 15
Mặt khác, ∆AHB đồng dạng với ∆BCD ( câu a)
Suy ra
=
BC
AH
BD
AB
⇒
AH =

BD
AB
.BC =
15
12
. 9 = 7.2
AH = 7.2cm
Khai thác bài tốn
a/ Chứng minh : Tam giác AHD đồng dạng với tam giác ABH
Tam giác AHD dồng dạng với tam giác BCD
b/ Tính độ dài các đoạn thẳng HD và HB

LỜI KẾT
Trên đây là những kinh nghiệm đúc kết được qua q trình dạy học tốn ở trường
THCS. Qua q trình thường xun thực hiện các phương pháp nêu trên thì học sinh
ngày càng tự tin hơn đối với mơn học, số học sinh giải được tốn hình học ngày càng
nhiều hơn (kể cả học sinh trung bình-yếu), khả năng trình bày bài tốn hình học ngày
càng hồn thiện hơn
* Thống kê chất lượng qua từng thời điểm được ghi nhận như sau
T
S
Giỏi Khá TB TS>5 Yếu kém TS<5
Ts Tl Ts tl Ts Tl Ts tl Ts Tl Ts tl Ts tl
Đầu năm
07-08
89 5 5.6 7 7.9 13 14.6 25 28.1 29 32.6 35 39.3 64 71.9
Cuối năm
07-08
89 12 13.5 24 27.0 28 31.5 64 71.9 15 16.8 10 11.2 25 28.1
Học kỳ I

07-08
84 19 22.6 23 27.4 22 26.2 64 76.2 15 17.9 5 5.9 20 23.8
Việc khai thác bài tốn ngồi việc giúp học sinh hiểu sâu hơn vấn đề, mà còn làm cho
các em tự tin hơn, khả năng sử dụng ngơn ngữ và khả năng giao tiếp cũng tốt hơn. Đơi
lúc thơng qua việc khai thác bài tốn, giáo viên có thể tổ chức cho học sinh tham gia thi
ra đề, việc làm này rất bổ ích , nó giúp phát triển tư duy tốn học và rèn luyện khả năng
khái qt hóa bài tốn .Giúp học sinh tìm được cách giải tốt nhất ở mỗi bài tốn và có
thể vận dụng tốt vào việc tìm nhanh lời giải cho những bài tốn tương tự
Việc dạy cho học sinh có được phương pháp học và phương pháp tìm lời giải bài
tốn hình học là một cơng việc khó khăn, mất khơng ít thời gian. Tuy nhiên nếu thực
hiện tốt và thường xun thì kết quả mang lại là rất khả quan. Rất mong sự đóng góp ý
kiến của q đồng nghiệp để việc dạy học mơn tốn nói chung và việc dạy mơn hình
học nói riêng ngày càng mang lại hiệu quả tốt hơn. Xin chân thành cảm ơn
Trung An, ngày tháng năm 200 .
Ý kiến của tổ CM Người viết
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- 10 - Nguyễn Thanh Hùng
Trng THCS Trung An Sỏng kin kinh nghim

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nguyeón Thanh Huứng
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nhaọn xeựt cuỷa BGH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- 11 - Nguyn Thanh Hựng